Методы расчета линейных электрических цепей в установившихся режимах (стр. 6 )

Критерий применимости: Число уравнений необходимых для расчета электрической цепи данным методом соответствует числу независимых контуров, которое в свою очередь определяется разностью между числом ветвей и числом узлов минус один. Расчет упрощается, если в схеме содержатся узлы, замыкающие на себе минимальное число ветвей.

3.4. Метод узловых потенциалов

Идея метода: определить потенциалы узлов схемы, зная которые можно по закону Ома вычислить ток любой ветви электрической цепи.

Для определения потенциалов n узлов должна быть составлена система из n уравнений, однако, потенциал одного из узлов условно может быть принят равным нулю. Что не повлечёт изменения токов ветвей, поскольку их величина зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, к которым примыкает ветвь, а от их разности.

Вывод структуры основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме рис. 3.35. Примем потенциал узла d равным нулю
(jd = 0) и запишем для оставшихся узлов схемы уравнения по первому закону Кирхгофа, учитывая входящие токи со знаком “+” и выходящие – со знаком “–”:

для узла а: .

для узла b: .

для узла с: .

Представим токи ветвей через потенциалы их узлов согласно закону Ома:

Рис.3.35. Метод узловых потенциалов

для узла а: .

для узла b: .

для узла с: .

Раскрыв скобки и сгруппировав подобные, получим:

для узла а: .

для узла b: .

для узла с: .

Перепишем полученные уравнения следующим образом:

(3.20)

Введем обозначения:

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле а;

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле b;

– сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле с;

– сумма проводимостей ветвей соединяющих узлы а и b;

– сумма проводимостей ветвей соединяющих узлы а и с;

– узловой ток, равный геометрической сумме токов источников электрической энергии сходящихся в узле а;

– узловой ток узла b;

– узловой ток узла с.

Правило знаков: со знаком “+” учитываются токи, направленные к узлу. Если в ветви замыкающейся на рассматриваемом узле содержится источник ЭДС§, то его ток определяется как .

По вычисленным значениям узловых потенциалов определяются токи ветвей§§ (для схемы рис. 3.35):

; ; ;

; .

Алгоритм расчета:

– потенциал одного из узлов схемы условно принимается равным нулю (узел “заземляют”);

– из схемы исключаются вырожденные источники ЭДС (если они есть);

– согласно полученной структуры составляется система уравнений;

– по найденным значениям узловых потенциалов согласно закону Ома для активного участка электрической цепи определяются токи ветвей.

Критерий применимости: Число уравнений необходимых для определения токов ветвей электрической цепи методом узловых потенциалов определяется числом узлов минус один. Расчет упрощается, если в схеме содержатся узлы, замыкающие на себе как можно большее число ветвей. Метод позволяет рассчитать ток одной из ветвей схемы, не определяя токи других ветвей.

Пример.3.7.

Определить токи ветвей схемы электрической цепи (рис. 3.36) при известных значениях комплексных сопротивлений пассивных элементов и значении тока и ЭДС активных элементов. Полное условие приведено в примере 3.5.

Рис. 3.36. к примеру 3.8

Решение

Определим комплексные проводимости ветвей:

; ;

; .

Определим собственные комплексные проводимости узлов:

;

Определим межузловые проводимости:

;

Определим узловые токи:

; ;

Запишем систему уравнений

для узла а: ;

для узла b: ;

для узла с: ;

для узла d: ;

для узла а: .

Подставив числовые значения и рассчитав потенциалы узлов, определим токи ветвей по закону Ома§. Для удобства желательно задать условно положительные направления токов ветвей (рис. 3.37):

;

Знак "–" перед действительной частью тока ветви указывает на то, что реальный ток ветви протекает противоположно выбранному условно положительному его направлению.

3.5. Метод двух узлов

Идея метода: в схеме содержащей два узла соединение ветвей параллельное, следовательно, для вычисления тока в каждой ветви достаточно знать определить узловое напряжение.

Рис. 3.37. Метод двух узлов

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов. Значение напряжения, действующего между двумя узлами, определяется по формуле, которая, в свою очередь, может быть получена с помощью метода узловых потенциалов или, как в данном случае, на основе закона Ома и Кирхгофа.

Вывод структуры формулы узлового напряжения на примере схемы рис. 3.37.

Пусть узловое напряжение Uab действует от узла а к узлу b, то есть примем, что потенциал узла а больше, чем потенциал узла b. Тогда уравнение для одного из узлов может быть записано, как

Представим токи согласно закону Ома:

или

Решим последнее уравнение относительно узлового напряжения Uab :

В общем виде формула для определения узлового напряжения:

. (3.20)

Правило знаков: в числители со знаком “+” учитываются источники, токи которых направлены к узлу, потенциал которого принят большим.

По вычисленному значению узлового напряжения определяются токи ветвей (для схемы рис. 3.37):

; ; .

Алгоритм расчета:

– задается и обозначается на схеме условно положительное направление действия узлового напряжения и токов ветвей;

– составляется уравнение и по нему определяется значение узлового напряжения;

– по найденному значению узлового напряжения согласно закону Ома определяется ток любой интересующей ветви, без вычисления токов других ветвей.

Критерий применимости: метод расчета применим для схем содержащих два узла и для схем приводимых посредством эквивалентных преобразований к схеме с двумя узлами.

3.6. Метод наложения (метод суперпозиций)

Идея метода: предполагают, что каждый источник создает свою составляющую тока в каждой ветви, при этом полный ток ветви определяется геометрической суммой его составляющих от каждого источника.

Данный метод довольно часто используется при определении изменений токов ветвей электрической цепи в зависимости от изменения значений ЭДС одного или нескольких источников.

Для этого из схемы выделяются ряд вспомогательных схем составленных относительно источников, составляющие токов от которых необходимо определить, при этом остальные источники из вспомогательных схем исключаются.

Если источники ЭДС и тока идеализированы, то они заменяются, соответственно участком разрыва или короткозамкнутым участком. В противном случае, внутренние сопротивления источников должны быть учтены во всех вспомогательных схемах.

Если необходимо оценить влияние каждого источника схемы, то, соответственно, число вспомогательных схем будет определяться числом источников в исходной электрической цепи.

Полные токи ветвей определяются при "наложении" вспомогательных схем друг на друга, то есть ток той или иной ветви определяется геометрической суммой его составляющих.

Метод основывается на принципе суперпозиций электрических полей: напряженность электрического поля системы источников равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из них в отдельности.

Пример. 3.8.

При известных значениях источников и значениях сопротивлений определить токи ветвей электрической цепи (рис. 3.38), и изменение тока первой ветви при варьировании напряжения источника ЭДС.

Рис. 3.38. к примеру 3.9

Решение

Выделим из исходной схемы две (по числу источников) вспомогательные схемы (рис. 3.39, а и рис. 3.40, а). Для расчёта составляющих токов для вспомогательных схем может быть использован любой метод. В данном случае, первая вспомогательная схема рассчитана с использованием эквивалентных преобразований, а вторая – по методу двух узлов.

а)

б)

Рис.3.39. Вспомогательная схема:

а – с исключенным источником тока; б – эквивалентная ей схема

В схему рис. 3.39, а преобразуем соединение сопротивлений Z2, Z3 и Z4, заменив эквивалентным сопротивлением Z2,3,4:

Согласно закону Ома определим токи ветвей§ (для схемы рис.
3.39, б):

;

; ;

; .

Из исходной схемы (рис. 3.38) исключим источник ЭДС и, аналогично, преобразуем соединение сопротивлений Z2, Z3 и Z4, заменив его эквивалентным сопротивлением Z2,3,4 (рис. 3.40, б). Для полученной схемы согласно методу двух узлов нетрудно определить узловое напряжение Uab,:

а) б)

Рис. 3.40. Вспомогательная схема:

а – с исключенным источником ЭДС; б – эквивалентная схема

Согласно закону Ома определим токи ветвей (для схемы рис.
3.40, б):

; ; ;

; .

Геометрической суммой составляющих токов источников в каждой ветви определяются полные токи ветвей:

; ; ; ; .

Для определения зависимости тока первой ветви от изменения напряжения источника ЭДС, необходимо определить его составляющую от этого источника в функции ЭДС:

Тогда (рис. 3.39):

Алгоритм расчета:

– исходная схема разбивается на ряд вспомогательных схем, получаемых из исходной цепи путем последовательного исключения всех, кроме одного, источников энергии. При этом значения внутренних сопротивлений (проводимостей) источников не из одной из вспомогательных схем не исключаются§.

– для каждой из вспомогательных схем задаются условно положительные направления токов ветвей и определяются их значения;

– по рассчитанным составляющим токов от каждого источника определяются полные токи ветвей, как геометрическая сумма его составляющих.

Критерий применимости: метод удобен для решения задач, в которых требуется определить изменение токов ветвей при варьировании напряжения или тока одного из источников§§. Расчет усложняется по мере увеличения числа содержащихся в схеме источников.

3.7. Метод эквивалентного генератора

(эквивалентного источника)

Идея метода: по отношению к любой ветви оставшаяся часть схемы (двухполюсник) может быть представлена эквивалентным генератором (источником), ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление определяется входным сопротивлением пассивного двухполюсника§§§.

Любая электрическая схема относительно выбранной ветви является либо активным, либо пассивным двухполюсником. Если двухполюсник активный то, он может быть представлен некоторым эквивалентным источником, с параллельной или последовательной схемой замещения. Таким образом, исходная схема заменяется эквивалентной схемой, в которой последовательно с эквивалентным источником включена рассматриваемая ветвь, ток которой при этом определяется согласно закону Ома.

Пусть задана некоторая схема электрической цепи, в ветви (ab) которой необходимо определить ток. Для этого выделим ветвь (ab), а оставшуюся часть схемы представим активным двухполюсником (рис. 3.41, а). Ток ветви не изменится, если в ее состав включить два равных противоположно направленных источника ЭДС (рис. 3.41, б).

Полученная схема, согласно методу наложения (суперпозиций), может быть представлена двумя вспомогательными схемами (рис. 3.41, в, г), одна из которых будет представлена активным двухполюсником, содержащим все источники исходной схемы, и рассматриваемую ветвь со встречно-, относительно протекающего по ней тока, направленным источником ЭДС.

Для первой вспомогательной схемы (рис. 3.41, в) ток ветви (ab) равен:

а) б)

в) г)

Рис. 3.41. Обоснование метода эквивалентного источника:

а – активный двухполюсник; б – промежуточная схема;

в – первая вспомогательная схема; г – вторая вспомогательная схема

Если выбрать величину ЭДС такой, что ток , то есть (холостой ход), тогда ток ветви (ab), , будет определяться лишь второй своей составляющей:

, (3.21)

где – входное сопротивление пассивного двухполюсника.

Уравнению (3.21) соответствует схема с эквивалентным источником, представленным последовательной (рис. 3.42, а) и параллельной схемой замещения (рис. 3.42, б).

а) б)

Рис. 3.42. Схемы с эквивалентным источником:

а – последовательная схема замещения; б – параллельная схема замещения

Пример. 3.9

При известных значениях источников и значениях сопротивлений определить токи ветви нагрузки электрической цепи (рис. 3.43), и изменение тока этой при варьировании сопротивления нагрузки.

Решение

Выделим из исходной схемы ветвь нагрузки и определим методом узловых потенциалов напряжение, приложенное к рассматриваемой ветви в режиме холостого хода. Для исключения вырожденного источника ЭДС, содержащегося в исходной схеме, перенесем его в ветви ас и bd (рис. 3.44, а).

Рис. 3.43. к примеру 3.10

а)

б)

Рис. 3.44. Эквивалентная схема:

а – с исключенной ветвью нагрузки; б – с исключенными источниками

Примем потенциал узла b равным нулю (j b = 0), тогда уравнения согласно методу узловых потенциалов для схемы (рис. 3.44, а) примут вид:

для узла а:

;

для узла b: .

Сложив первое и второе уравнения, получим:

=> =>

Исключив из схемы эквивалентного двухполюсника источники, определим его входное сопротивление (ветви ас и bd (рис. 3.44, б) соединены параллельно):

. Тогда искомый ток будет равен:

Алгоритм расчета:

– из исходной схемы исключается ветвь, в которой необходимо определить ток;

– относительно полученных зажимов определяется входное напряжение активного двухполюсника (удобнее использовать метод узловых потенциалов);

– определяется входное сопротивление пассивного двухполюсника. Для этого из схемы двухполюсника исключаются все источники. При этом значения внутренних сопротивлений (проводимостей) источников не исключаются§.

– определяется ток в рассматриваемой ветви (3.21).

Критерий применимости: метод удобен для решения задач, в которых требуется определить изменение тока той или иной ветви при изменении её сопротивления и неизменности оставшейся части схемы.

3.8. Графо – аналитический метод

Идея метода: расчет параметров электрической цепи или параметров ее элементов может быть выполнен на основе векторных диаграмм с использованием простейших геометрических соотношений.

Графо-аналитический метод позволяет наглядно представить расчет схемы электрической цепи, сведя его к определению геометрических соотношений между векторами, в то время как аналитические выводы могут потребовать достаточно громоздких вычислений. Примерами таких задач является определение параметров катушки индуктивности или емкости конденсатора участка электрической цепи, определение комплексного тока одной из ветвей узла при известных комплексных значениях токов оставшихся ветвей и подобные им задачи.

Пример 3.10

Определить параметры (активное сопротивление и индуктивность) катушки индуктивности.

Решение

Для определения параметров катушки индуктивности графическим методом последовательно или параллельно с ней включают любой пассивный элемент с заранее известными его параметрами (рис. 3.45). По измеренным значениям напряжения питания U, тока в цепи I и падений напряжений на элементах цепи строится векторная диаграмма (рис. 3.46).

Рис. 3.45. к примеру 3.11

В данном случае исходным вектором является вектор, соответствующий току I цепи. Относительно его направления строятся векторы, соответствующие падениям напряжений на активном и емкостном сопротивлениях. Вектор падения напряжения на катушке индуктивности находится из геометрической суммы

с использованием метода засечек.

Устанавливая ножку циркуля в конец вектора UC, делаем засечку радиусом, соответствующим падению напряжения на катушке индуктивности.

Вторую засечку проводим из точки 0 радиусом, соответствующим величине напряжения питания. Из полученного треугольника напряжений для катушки индуктивности определяются составляющие ее комплексного сопротивления (рис. 3.47).

Рис. 3.46. Векторная диаграмма цепи

а) б)

Рис. 3.47. Треугольники напряжений и сопротивлений:

а – треугольник напряжений; б – треугольник сопротивлений

Пример 3.11.

Определить комплексное напряжение между двумя узлами (рис. 3.48), если известны комплексные значения ЭДС источников и измерены значения падений напряжений на сопротивлениях схемы.

Рис. 3.48. к примеру 3.12

Решение

В данной задаче известны лишь абсолютные значения падений напряжений на сопротивлениях цепи, причем характер

этих сопротивлений неизвестен, что усложняет определение узлового напряжения известными аналитическими методами.

Построим векторную диаграмму напряжений (рис. 3.49). Для этого запишем для каждой ветви схемы электрической цепи уравнение согласно второму закону Кирхгофа:

; ; .

и примем потенциал одного из узлов равным нулю.

Пусть потенциал узла b равен нулю (j b = 0). Векторная диаграмма ЭДС источников будет представлять собой звезду соответствующих векторов ЭДС, центр которой помещен в начало координат комплексной плоскости, так как j b = 0. К концу каждого вектора ЭДС необходимо достроить вектор, модуль которого будет равен измеренному значению падения напряжения на соответствующем сопротивлении. Концы этих векторов должны сходиться в одной точке, соответствующей потенциалу узла а, поэтому для их построения используют метод засечек. Ножку циркуля ставят последовательно в конец каждого из векторов ЭДС и радиусом, пропорциональным падению напряжения на соответствующем сопротивлении делают засечки. Пересечение засечек определит точку на комплексной плоскости соответствующей потенциалу узла а. Вектор, проведенный из начала координат (j b = 0) в полученную точку (j а) будет являться вектором узлового напряжения.

По углу поворота векторов падений напряжений (углу фазового сдвига) можно судить характере нагрузки, то есть о характере включенных в схему сопротивлений. Если известны абсолютные значения протекающих в ветвях токов, то исходя из подобия треугольников напряжений и сопротивлений, из векторной диаграммы могут быть определены и параметры пассивных элементов.

Алгоритм расчета:

– согласно законам Ома и Кирхгофа записываются уравнения, в состав которых входят известные и искомые величины комплексных токов и напряжений;

– для полностью определенных (задано абсолютное значение и фазовый угол) величин (токов и напряжений), входящих в состав полученных уравнений, строятся векторные диаграммы;

– достраиваются согласно полученным уравнениям векторные диаграммы и определяются вектора искомых величин;

– исходя из геометрии векторных диаграмм, определяются электротехнические параметры искомых величин.

Критерий применимости: метод удобен при определении параметров электрических цепей, для которых построение векторной диаграммы не представляет особой сложности, в то время как вывод аналитических зависимостей оказывается достаточно громоздким.

3.9. Методы оценки правильности решения

3.9.1. Метод использования баланса мощностей

Идея метода: согласно закону сохранения энергии, для любой электрической цепи мощность, рассеиваемая на пассивных элементах электрической цепи, определяется мощностью её источников. Выполнение такого равенства для рассчитываемой электрической цепи позволяет говорить о правильности расчёта.

Критерий применимости: метод используется для проверки правильности расчета любых схем и является наиболее общим критерием правильности произведенного расчета их электрических параметров. Сложность метода повышается в зависимости от увеличения числа элементов цепи.

Алгоритм расчета:

– определяются истинные направления протекания токов и направления падений напряжений на пассивных элементах электрической цепи;

– определяется суммарная мощность источников;

– определяется суммарная мощность приёмников;

– равенство мощностей источников и приёмников свидетельствует о правильности произведённого расчёта.

Для цепей постоянного тока мощности источников ЭДС учитываются со знаком "+", если направление тока и ЭДС совпадают, мощности источников тока учитываются со знаком "+", если источники действуют в направлении узла с большим потенциалом.

Для цепей переменного тока в зависимости от особенностей работы пассивных элементов рассеиваемая на них мощность может носить активный или реактивный характер (раздел 2.7). Активная составляющая характеризует скорость необратимого преобразования электрической энергии в тепловую. Реактивная составляющая – процессы аккумулирования и разряда во внешнюю цепь энергии электрического (ёмкость) и магнитного (индуктивность) полей реактивных элементов. В общем виде баланс мощности в цепи синусоидального тока запишется:

или:

Алгебраическая сумма активных мощностей, рассеиваемых на резистивных элементах электрической цепи, равна алгебраической сумме активных составляющих мощностей источников

Алгебраическая сумма реактивных мощностей, рассеиваемых на индуктивных и емкостных элементах электрической цепи, равна алгебраической сумме реактивных составляющих мощностей входящих в цепь источников

, .