Методы расчета линейных электрических цепей в установившихся режимах (стр. 3 )

Начальные фазовые углы тока и напряжения одинаковы, то есть совпадают по фазе (фазовый сдвиг j = yu – yi равен нулю) и могут быть представлены двумя синусоидами с совпадающими начальными точками (рис. 2.10).

Перейдем от синусоидальных величин к комплексным величинам:

(2.20)

Так как начальные фазовые углы тока и напряжения одинаковы, то на комплексной плоскости ток и напряжение представляются двумя совпадающими по направлению векторами (рис. 2.11).

 

Рис. 2.10. Совпадающие по фазе синусоидальные величины

 

Рис. 2.11. Векторное изображение совпадающих по фазе синусоидальных величин

Мгновенная мощность переменного тока является величиной периодической, величина ее определяется по формуле:

. (2.21)

Так как не может быть больше единицы, то мгновенная мощность, поступающая в сопротивление, всегда положительна и меняется с удвоенной частотой от 0 до UmIm. Учитывая выражение (2.21) выражение мгновенной мощности, можно записать:

, (2.22)

где U, I действующие значения напряжения и тока.

Среднее значение мощности за период или просто мощность переменного тока:

. (2.23)

Часто эту мощность называют активной и измеряют в ваттах [Вт].

Энергия, потребляемая от источника питания за время от 0 до t:

(2.24)

2.6.2. Ёмкость в цепи синусоидального тока

Электрическая ёмкость С – способность элемента электрической цепи накапливать энергию в электрическом поле. Размерность – фарада [Ф].

Подключим обкладки конденсатора к источнику переменного напряжения (рис. 2.12):

. (2.26)

 

Рис. 2.12. Конденсатор

Учитывая (1.18 и 1.19) определим ток, протекающий по соединительным проводам:

(2.26)

или, преобразуя функцию косинуса в функцию синуса

, (2.27)

где – амплитуда,

– начальный фазовый угол тока емкостного элемента.

Следовательно, напряжение емкостного элемента отстает от тока на фазовый угол (рис. 2.13).

 

Рис. 2.13. Синусоиды тока и напряжения в цепи с емкостью

Рис. 2.14. Вектора тока и напряжения в цепи с емкостью

Амплитудное и действующее значение тока и напряжения связаны между собой соотношением подобным закону Ома.

, (2.28)

где – емкостное сопротивление.

Величину обратную емкостному сопротивлению будем называть емкостной проводимостью.

Перейдем от синусоидальных величин к комплексным числам:

(2.9)

Так как начальные фазовый угол тока опережает фазовый угол напряжения на , то на комплексной плоскости ток и напряжение представляются перпендикулярными векторами (рис. 2.14).

На рис. 2.13 представлены временные зависимости напряжения и тока емкостного элемента. Первая часть периода – напряжение увеличивается, то есть

,

конденсатор заряжается. Направление тока совпадает с направлением внешнего напряжения. При достижении напряжением своей максимальной величины

, зарядка конденсатора прекращается ,

ток равен нулю. Вторая часть периода – напряжение начинает уменьшаться

,

конденсатор разряжается из-за избытка зарядов на обкладках, возникающий ток будет отрицателен. При U = 0 , ток имеет отрицательный максимум, т. к. изменение заряда в этот момент происходит наиболее интенсивно. В третью четверть периода (U<0) происходит заряд конденсатора в противоположном направлении

,

ток остается того же направления до того момента прекращения зарядки конденсатора и так далее.

2.6.3. Индуктивность в цепи синусоидального тока

а

Индуктивность – способность элемента электрической цепи накапливать энергию в магнитном поле. Размерность – генри [Гн].

Пропустим через индуктивный элемент переменный электрический ток:

. (2.30)

 

Рис. 2.15. Катушка индуктивности

Падение напряжения на индуктивном элементе определяется согласно формул (1.11 ¸ 1.14):

(2.31)

или, преобразуя функцию косинуса в функцию синуса,

, (2.32)

где – амплитуда, – начальный фазовый угол падения напряжения индуктивного элемента.

Следовательно, напряжение индуктивного элемента опережает ток на фазовый угол (рис. 2.16).

Амплитудное и действующее значения тока и напряжения связаны между собой соотношением подобным закону Ома.

, (2.33)

где – индуктивное сопротивление.

Величину обратную индуктивному сопротивлению

будем называть индуктивной проводимостью.

(2.34)

На рис. 2.16 представлены временные зависимости тока и напряжения на индуктивном элементе.

Перейдем от синусоидальных величин к комплексным числам:

Так как начальные фазовый угол тока опережает фазовый угол напряжения на , то на комплексной плоскости ток и напряжение представляются перпендикулярными векторами (рис. 2.17).

Рис. 2.16. Синусоиды тока и напряжения в цепи с индуктивностью

Рис.2.17. Вектора тока и напряжения в цепи с индуктивностью

2.7. Последовательное соединение элементов R, L, C

Рассмотрим схему с последовательным соединением элементов (рис.2.18, а).

а) б)

Рис. 2.18. Схема последовательного соединения R, L, C элементов:

а – электрической цепи; б – эквивалентная ей схема

Согласно второму закону Кирхгофа, входное напряжение электрической цепи может быть представлено суммой падений напряжений на отдельных ее элементах.

. (2.35)

Так как соединение элементов последовательное, то ток для всех элементов цепи один. Определим падение напряжения на каждом из элементов цепи. Согласно формулам (2.21, 2.30, и 2.34) получим:

. (2.36)

Выражение (2.35) запишется: .

Учитывая, что и , получим:

, (2.37)

где – полное комплексное сопротивление участка электрической цепи (рис.2.18, б).

Из (2.37) получим выражение:

, (2.38)

которое определяет закон Ома в комплексной форме.

 

Рис. 2.19. Векторная диаграмма цепи с R, L и C

Рис. 2.20. Сложение векторов

Построение векторной диаграммы токов и напряжений для участка электрической цепи с последовательным соединением элементов (рис. 2.19) начинаем с вектора тока . Начальный фазовый сдвиг вектора тока при построении диаграммы, может быть принят любым, в данном примере принимаем yi = 0. Вектор падения напряжения на активном сопротивлении UR совпадает по направлению с вектором тока. Вектор, соответствующий падению напряжения на индуктивности UL, опережает вектор тока на 90o, а вектор UC – отстает на 90o.

Сложив вектора UR, UL и UC, получим вектор U (рис. 2.20).

В результате построений получается так называемый треугольник напряжений (рис. 2.21), исходя из которого, определяется модуль полного напряжения

(2.39)

и величина фазового сдвига между напряжением и током

. (2.40)

Если каждую сторону треугольника напряжений (рис. 2.21) разделить на модуль тока, то получим подобный треугольник – треугольник сопротивлений (рис. 2.22).

 

Рис. 2.21. Треугольник напряжений

 

Рис. 2.22. Треугольник сопротивлений Рис. 2.23. Треугольник мощностей

По величине угла фазового сдвига различают типы нагрузок:

– индуктивная нагрузка;

– активная нагрузка;

– емкостная нагрузка;

– активно-индуктивная нагрузка;

– активно-емкостная нагрузка;

Если каждую сторону треугольника напряжений (рис. 2.21) умножить на модуль тока, то получим подобный треугольник мощностей (рис. 2.23), в котором:

P = I UR – активная мощность [Вт];

Q = I (UL – UC) – реактивная мощность [ВАР] (вольт-ампер реактивный);

S = I U – полная мощность [ВА] (вольт-ампер).

В большинстве случаев при нахождении тока удобнее пользоваться показательной формой представления полного комплексного сопротивления

, (2.41)

где – абсолютное значение полного сопротивления;

– фазовый сдвиг между синусоидами напряжения и тока.

Отличительной особенностью цепей содержащих индуктивные и емкостные элементы является их взаимное преобразование энергии: энергии магнитного поля индуктивного элемента в энергию электрического поля емкостного элемента и наоборот.

Следовательно, возможны такие режимы работы электрической цепи, при которых индуктивные и емкостные элементы “будут работать друг на друга”, иными словами, взаимное преобразования энергий полей будет полным. Такие режимы работы электрической цепи получили названия резонансных режимов. В цепи с последовательным соединением индуктивности и емкости при равенстве их реактивных сопротивлений имеет место резонанс напряжений (рис. 2.24).

При резонансе напряжений модуль входного напряжения будет определяться лишь активной составляющей, а фазовый сдвиг между током и напряжением будет равен нулю. При этом величина тока, ограниченного лишь активной составляющей сопротивления, будет максимальной:

,

.

 

Рис. 2.24. Векторная диаграмма при резонансе напряжений

При этом напряжения на индуктивности и емкости также достигают своих максимальных значений.

Явление резонанса в электрической цепи, содержащей последовательное соединение элементов R, L, C, может быть достигнуто изменением индуктивности или емкости реактивных элементов, или изменением частоты питающего напряжения. На рис. 2.25 представлены зависимости сопротивлений реактивных элементов от изменения частоты.

 

Рис. 2.25. График зависимости реактивных сопротивлений от частоты

 

Рис. 2.26. График зависимости модуля полного сопротивления от частоты

 

Рис. 2.27. График зависимости фазы от частоты

При нулевой частоте питающей сети сопротивление емкостного элемента

бесконечно велико, а реактивная составляющая сопротивления индуктивного элемента , напротив, равна нулю. Фазовый сдвиг между напряжением и током и модуль полного сопротивления, будут определяться только емкостным сопротивлением (рис. 2.25, 2.26, 2.27). По мере увеличения частоты емкостное сопротивление будет снижаться до нуля, а сопротивление индуктивного элемента – увеличиваться. Вследствие чего будет изменяться характер нагрузки от активно емкостного до активно-индуктивного, в предельных режимах активная составляющая несущественна относительно сопротивления реактивного элемента.

Частотные характеристики падений напряжений на последовательно соединенных элементах электрической цепи и характеристика тока в цепи представлены на рис. 2.28.

,

где = const, = const, = const, = const.

При ток поскольку сопротивление конденсатора бесконечно велико, следовательно, . При ток , так как бесконечно возрастает сопротивление индуктивного элемента , следовательно, . При резонансе реактивные составляющие напряжения взаимно скомпенсированы , следовательно, ток в цепи будет определяться лишь током, который протекает по активному сопротивлению под действием приложенного к нему напряжения сети

.

 

Рис. 2.28. График зависимости падений напряжений на элементах цепи

и протекающего по ним тока от частоты

2.8. Параллельное соединение элементов R, L, C

Запишем уравнение согласно первому закону Кирхгофа для схемы (рис.3.29,а):

. (2.42)

Так как соединение элементов параллельное, то напряжение для всех элементов цепи одно и то же. Определим токи в каждом из элементов цепи. Согласно формулам (2.21, 2.30, и 2.35) получим:

. (2.43)

Выражение (2.43) запишется:

.

Учитывая, что и , получим:

, (2.44)

где – полная комплексная проводимость участка электрической цепи содержащего параллельное соединение элементов R, L, C (рис. 2.29, б).

 

а) б)

Рис. 2.29. Схема параллельного соединения элементов R, L, C:

а – электрическая цепь; б – эквивалентная ей схема

Из (2.44) получим выражение:

, (2.45)

которое определяет закон Ома в комплексной форме.

Построение векторной диаграммы токов и напряжений для участка электрической цепи с параллельным соединением элементов начинаем с вектора напряжения (рис. 2.30).

 

Рис. 2.30. Векторная диаграмма цепи с параллельным соединением элементов

Рис. 2.31. Порядок построения диаграммы

Начальный фазовый сдвиг вектора напряжения при построении диаграммы, может быть принят любым, в данном примере принимаем
yU = 0. Вектор тока активного сопротивления IR совпадает по направлению с вектором падения напряжения. Вектор, соответствующий току емкости IC, опережает вектор напряжения на 90°, а вектор тока индуктивности IL – отстает вектора напряжения на 90°. Сложив вектора IG, IL и IC получим вектор I (рис. 2.31). В результате построений получается треугольник токов (рис. 2.33), исходя из которого, определяется модуль полного (входного) тока

(2.46)

и величина фазового сдвига между напряжением и током

. (2.47)

+j

Если каждую сторону треугольника токов (рис. 2.32) разделить на модуль входного напряжения, то получим подобный треугольник – треугольник проводимостей (рис. 2.33).

 

Рис. 2.32. Треугольник токов

Рис. 2.33. Треугольник проводимостей

В большинстве случаев при решении задач удобнее пользоваться показательной формой представления полной комплексной проводимости:

, (2.48)

где – абсолютное значение полной проводимости;

– фазовый сдвиг между синусоидой напряжения и тока.

В цепи с параллельным соединением индуктивности и емкости при равенстве их реактивных проводимостей имеет место резонанс токов (рис. 2.34) – явление равенства реактивных составляющих тока общей ветви.

При резонансе токов модуль тока общей ветви будет определяться лишь активной составляющей, а фазовый сдвиг между напряжением и током будет равен нулю. При этом его величина, будет минимальной, так как полная проводимость участка электрической цепи будет минимальной:

, .

 

Рис. 2.34. Векторная диаграмма при резонансе токов

Явление резонанса в электрической цепи, содержащей параллельное соединение элементов R, L, C, может быть достигнуто, так же как и при последовательном их соединении, изменением L, С или изменением частоты питающего напряжения. На рис. 2.35 представлены зависимости модулей проводимостей реактивных элементов от изменения частоты.

 

Рис. 2.35. Зависимость модулей реактивных проводимостей от частоты

При нулевой частоте питающей сети проводимость емкостного элемента равна нулю, а реактивная составляющая проводимости индуктивного элемента

бесконечно велика. Фазовый сдвиг§ между напряжением и током, модуль полной проводимости будут определяться лишь индуктивным элементом (2.36).

Рис. 2.36. Зависимость фазы от частоты для участка

с параллельным соединением реактивных элементов

По мере увеличения частоты емкостная проводимость будет увеличиваться, а проводимость индуктивного элемента снижаться вплоть до нуля, тем самым изменяется характер нагрузки от активно-индуктивного до активно-емкостного. В предельных режимах активная составляющая незначительна относительно проводимости реактивного элемента, однако, в режиме резонанса именно активная составляющая проводимости будет способствовать протеканию тока. На рис. 2.37 представлены зависимости токов ветвей от частоты питающей сети.

 

Рис. 2.37. Зависимости токов от частоты

2.9. Мощность и энергия цепи синусоидального тока

В зависимости от входящих в состав той или иной электрической цепи пассивных элементов, полная мощность, потребляемая данной цепью из питающей сети, может быть представлена активной и реактивной составляющими.

Активная составляющая мощности характеризует движение заряженных

частиц и определяет скорость преобразования энергии движения (электрической энергии) в другие виды энергии (световую, механическую, химическую, внутреннюю).

Реактивная составляющая мощности характеризует наличие и интенсивность электрического и магнитного полей наводимых в реактивных элементах электрической цепи.

2.9.1. Мгновенная мощность, активная, реактивная

и полная мощности

Мгновенная мощность – мощность участка электрической цепи, определяемая произведением мгновенных значений протекающего по нему тока i и приложенного к нему напряжения u (размерность – вольт-ампер [ВА]):

p = u i . (2.49)

Пусть ток опережает напряжения по фазе на угол j:

; .

Тогда мгновенная мощность переменного тока :

, (2.50)

где I, U – действующие значения тока и напряжения.

В данной формуле (2.50) первое слагаемое является постоянным для данной цепи и не зависит от времени. Это слагаемое принято называть активной составляющей (активной мощностью).

(2.51)

Второе слагаемое характеризует обмен энергиями между источником и потребителем. Такой процесс возможен лишь при наличии реактивных элементов в цепи, способных накапливать энергию в виде полей и отдавать ее обратно в цепь. Поэтому второе слагаемое принято называть реактивной составляющей мощности (реактивной мощностью).

(2.52)

Полная мощность:

(2.53)

2.9.2. Активная мощность

При наличии в цепи только активной нагрузки (угол разности фаз между

током и напряжением j = 0°) выражение (2.50) примет вид:

[Вт] (2.54)

Получаем пульсирующую с двойной частотой мощность (рис. 2.38).

 

Рис. 2.38. Временные диаграммы напряжения, тока и активной мощности

На практике чаще используется среднее за период значение активной составляющей мощности.

(2.55)

Мощность активного сопротивления:

, (2.56)

где r и g – активные сопротивление и проводимость электрической цепи.

Активная мощность электрической цепи всегда положительна, что означает необратимость преобразования энергии, и может быть замерена ваттметром.

2.9.3. Реактивная мощность

При наличии в цепи только реактивной нагрузки (угол разности фаз между током и напряжением j = 90°) выражение (2.50) примет вид:

(2.57)

 

Рис. 2.39. Временные диаграммы напряжения, тока и реактивной мощности

Получаем синусоидально изменяющуюся мощность, частота которой вдвое больше частоты тока и напряжения (рис. 2.39). Принимая во внимание, что полная мощность (S=UI) есть сумма активной
(P = UI cosj) и реактивной составляющих можно определить формулу для реактивной составляющей – мощности:

Q = U I sin j , (2.58)

размерность вольт-ампер реактивный [ВАР].

Реактивная мощность индуктивного элемента:

, (2.59)

где – индуктивное сопротивление;

– индуктивная проводимость.

Реактивная мощность емкостного элемента:

, (2.60)

где , – емкостное сопротивление и проводимость.

2.9.4. Коэффициент мощности

Составляющие мощностей могут быть сведены к треугольнику мощностей (рис. 2.40).

 

Рис. 2.40. Треугольник мощностей

Важное практическое значение имеет сos j – коэффициент мощности, определяющий долю активной энергии, идущей на выполнение полезной работы (получение тепловой, механической и других энергий) к полной мощности, потребляемой из сети:

. (2.61)

Чем выше коэффициент мощности того или иного электротехнического устройства, тем экономичнее его работает. На промышленных предприятиях повышение cos j достигается правильным подбором оборудования, полной загрузкой двигателей, трансформаторов.

Обычно для предприятий , то есть характер нагрузки индуктивный. Одной из мер повышения может быть установка конденсаторов или электромагнитных компенсаторов.

2.9.5. Выражение мощности в комплексной форме

На рис. 2.41 изображены векторы тока и напряжения, которым соответствуют комплексные числа и . Если взять произведение , то оно не определяет мощность цепи, так как аргумент представляет собой сумму углов, а не их разность.