Предисловие (стр. 2 )

§ 1.6. Ускорение

При движении материальной точки ее скорость может непрерывно изменяться как по величине (модулю), так и по направлению. Изменение скорости характеризуется вектором ускорения (от англ. acceleration), который определяется следующим образом:

или

. (13)

Как видно из определения (13), ускорение тела измеряется в м/с2.

В общем случае вектор ускорения не совпадает по направлению с вектором скорости, т. к. приращение скорости D может быть направлено куда угодно. Рассмотрим криволинейное движение частицы. Выберем некоторый промежуток времени Dt, за который частица переходит из точки А в точку В (рис. 21).

За это время приращение скорости частицы . Представим вектор ускорения в виде суммы двух векторов: t (тангенциальное ускорение), направленного вдоль траектории (вдоль вектора скорости ), и n (нормальное ускорение), направленного перпендикулярно вектору скорости (рис. 22). Тогда за малый промежуток времени Dt скорость вдоль траектории изменится на , а поперек – на . Найдем изменение модуля скорости. Используя теорему Пифагора и рис. 22, получаем

или после раскрытия скобок

.

Пренебрегая слагаемым, пропорциональным (т. к. << Dt), преобразуем последнее выражение к виду

.

Воспользовавшись известной формулой для приближенных вычислений при Dх << 1

,

получаем

.

В пределе при Dt, стремящемся к нулю, имеем

. (14)

Таким образом, тангенциальная составляющая ускорения описывает изменение модуля скорости и направлена вдоль скорости, т. е. по касательной к траектории.

Пусть за время Dt вектор скорости повернулся на угол Dj. Из рис. 22 видно, что

. (15)

При малых Dt тангенс малого угла можно заменить значением угла (в радианах) и пренебречь членом tDt по сравнению с v в знаменателе формулы (15). Тогда получим

или . (16)

Таким образом, нормальная составляющая ускорения описывает изменение направления вектора скорости и возникает только при криволинейном движении.

Построим перпендикуляры к векторам скорости в точках А и В (рис. 21). Они пересекутся в некоторой точке О, причем угол между ними будет равен Dj. При малом Dt длину дуги АВ можно выразить формулой

DS = vDt.

С другой стороны, ОА = ОВ = R и ту же длину можно записать иначе:

DS = RDj.

Приравнивая оба выражения для DS и учитывая соотношение (16), получаем

. (17)

Величину R называют радиусом кривизны траектории. В частном случае движения по окружности радиус кривизны совпадает с радиусом окружности, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности и называется центростремительным. При равномерном движении по окружности имеем аt = 0; а = аn = v2/R. При движении по прямой можно считать R = ¥ и, следовательно, аn = 0.

Таким образом, вектор можно представить в виде суммы векторов тангенциального и нормального ускорений

= t + n, (18)

взаимно перпендикулярных между собой.

Поэтому полное ускорение а численно равно

. (19)

Направление вектора определяется либо углом b, который составляет с радиусом кривизны, либо углом a, который составляет с касательной к траектории в данной точке (рис. 23).

; . (20)

Возможно также разложение вектора по декартовым осям х, у, z. Аналогично соотношениям (8) получим

.

; ; .

. (21)

Подведем некоторые итоги.

Определение (14) позволяет, зная зависимость скорости v(t) от времени и взяв производную, определить зависимость от времени тангенциального ускорения аt(t). Но возможна и обратная процедура. Зная зависимость аt(t), можно определить v(t). Математический аппарат интегрирования функции позволяет это сделать

. (22)

Соотношения (14) и (22) полностью описывают взаимосвязь между векторами скорости и тангенциального ускорения. В свою очередь, соотношения (6) и (10) связывают между собой скорость и пройденный телом путь. Таким образом, математика позволяет, зная временную зависимость хотя бы одной из трех основных кинематических характеристик (путь, скорость, тангенциальное ускорение) движения, определить две остальные.

Надо еще раз обратить внимание на одно важное обстоятельство. Соотношения (6) и (10), (14) и (22) справедливы для описания любого поступательного движения частицы. Школьное же изложение кинематики основано на хотя и важных, но частных случаях равномерного ( = const) и равнопеременного ( = const) движений. Покажем, что хорошо известные школьные формулы, описывающие эти виды движения, следуют из общих соотношений (6), (10), (14), (22).

Рассмотрим равномерное движение. Пусть v = const = v0. Тогда по определению дифференцирования постоянной функции , т. е. тангенциальное ускорение равно нулю. Интегрирование постоянной функции приводит к выражению (11), определяющему путь.

Теперь рассмотрим равнопеременное движение. Пусть аt = const = а. Интегрирование ускорения согласно формуле (22), дает

.

Здесь в качестве начального момента времени взято значение t1 = 0. Обозначив скорость тела в начальный момент времени v(t = 0) = v(0) = v0, получаем формулу для скорости тела в момент времени t

v(t) = v0 + at. (23)

Чтобы найти путь, пройденный телом, теперь надо проинтегрировать выражение для скорости.

. (24)

Зная зависимость пути от времени, можно опять найти скорость и ускорение.

.

.

Таким образом, формула (11) справедлива только при условии , а формулы (23) и (24) – только при условии . Формулы же (6), (10), (14), (22) справедливы для описания любого поступательного движения.

§ 1.7. Кинематика вращательного движения

При описании вращательного движения тела величинами S, v и а (путь, скорость, ускорение) пользоваться неудобно, т. к. различные точки (с разными радиусами вращения R) тела за один и тот же промежуток времени совершают разные перемещения и движутся с различными скоростями и ускорениями. Поэтому здесь вводятся специальные, так называемые угловые величины: угол поворота j, угловая скорость w, угловое ускорение e. Для различных точек вращающегося тела они одинаковы.

Рассмотрим движение материальной точки по окружности радиуса R (рис. 24). Положение частицы на окружности можно характеризовать углом j, отсчитывая его от фиксированного радиуса, например, совпадающего по направлению с осью х (ОА на рисунке). Тогда аналогом перемещения DS вдоль окружности будет соответствующее этому перемещению изменение угла Dj. По аналогии со скоростью прямолинейного движение введем угловую скорость частицы w.

. (25)

Угловая скорость определяет изменение угла j (т. е. Dj) в единицу времени. Измеряя углы в радианах, а время в секундах, в качестве единицы угловой скорости выбирают угловую скорость такого движения, при котором угол j меняется на один радиан за одну секунду, эту единицу угловой скорости можно обозначить рад/с; обычно ее обозначают просто 1/с или с-1.

При равномерном вращении (w = const) зависимость угла от времени (как следует из (25)) определяется формулой

j(t) = wt + j0, (26)

где j0 = j(t = 0).

Пусть Т – период обращения частицы, т. е. время совершения ею одного оборота вокруг центра вращения О (рис. 24). За время Dt = Т угол j возрастает на 2p, т. е. Dj = 2p. Поэтому

. (27)

Введем в рассмотрение число оборотов n в единицу времени – частоту. Так как один оборот совершается за время Т, то, следовательно, за единицу времени будет совершено оборотов

. (28)

Отсюда, учитывая выражение (27), получаем еще одно выражение для угловой скорости w.

. (29)

Частота n измеряется в оборотах в секунду или герцах. Один герц равен одному обороту в секунду и обозначается Гц или .

Учитывая связь между дифференциалом длины дуги dS окружности и дифференциалом dj соответствующего ей центрального угла

, (30)

получаем соотношение между линейной и угловой скоростями.

. (31)

Отсюда можно, например, получить выражение для нормального ускорения аn через угловую скорость

. (32)

Если вращение неравномерное, угловая скорость является функцией времени. Ее производную по времени называют угловым ускорением.

. (33)

Учитывая (30), получим связь между тангенциальным и угловым ускорениями.

. (34)

(Здесь предполагается R = const, т. к. рассматривается движение по окружности). Угловое ускорение, как видно из (33), измеряется в .

При равнопеременном вращении e = сonst и с учетом формулы (33) получаем следующие выражения для w и j (считаем для простоты j0 = 0):

e = сonst.

. (35)

.

До сих пор выражения для угловой скорости и углового ускорения записывались в скалярном виде. Теперь рассмотрим эти величины как векторы. Для этого отметим, что движение по окружности заданного радиуса R будет в том случае полностью охарактеризовано, если заданы: 1) угловая скорость w (или линейная скорость v); 2) плоскость, в которой лежит окружность; 3) направление вращения. Последняя характеристика необходима, т. к. движение по окружности, рассматриваемое с определенной стороны плоскости, может происходить либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки. Однако все эти три характеристики могут быть даны с помощью одного вектора, если условиться проводить этот вектор перпендикулярно к плоскости и сопоставлять направлению вектора определенное направление вращения. Последнее делается по правилу буравчика: сопоставляем направление вектора с поступательным движением буравчика, а вращение – с направлением вращения ручки буравчика (рис. 25).

Тогда для характеристики вращения вводим такой вектор , называемый вектором угловой скорости, что: 1) его численное значение равно численному значению угловой скорости; 2) проведен он нормально к плоскости, в которой лежит окружность, по которой происходит вращение; 3) рассматриваемое с конца этого вектора вращение представляется происходящим против часовой стрелки (рис. 26). Изображение угловой скорости с помощью вектора оправдывается тем, что в случае если тело принимает участие одновременно в двух вращениях, его результирующее вращение характеризуется вектором, полученным сложением векторов угловых скоростей слагаемых вращений по правилу параллелограмма.

В векторной алгебре вводится понятие о векторном произведении. Под векторным произведением векторов и подразумевается вектор , численное значение которого равно

с = ab sina, (36)

где a – угол между и (рис. 27). Вектор направлен перпендикулярно к плоскости, содержащей векторы и , и в такую сторону, чтобы при рассмотрении с его конца вектор мог быть совмещен с вектором путем вращения против часовой стрелки (в сторону меньшего угла, рис. 27).

Другими словами, при вращении ручки буравчика от к (в направлении меньшего угла) поступательное движение буравчика определит направление вектора .

Векторное произведение обозначается символами

= [] = x.

При этом векторы = [] и / = [] совпадают лишь по численному значению, но направлены в противоположные стороны.

Введение представления об угловой скорости как о векторе позволяет удобно связать вектор линейной скорости с вектором угловой скорости и радиусом-вектором , определяющим положение материальной точки относительно оси вращения (рис. 28).

= [], (37)

т. е. является векторным произведением и .

При рассмотрении угловой скорости как вектора и угловое ускорение e должно рассматриваться как вектор

. (38)

Связь между тангенциальным и угловым ускорениями в векторном виде имеет вид, аналогичный (37):

. (39)

Таким образом, соотношения (25) и (38) определяют основные кинематические характеристики вращательного движения. Соотношения (30), (37) и (39) определяют связь между кинематическими характеристиками поступательного и вращательного движений. Обратим внимание на некоторые особенности полученных выражений, которые могут помочь в понимании и усвоении кинематики. Выпишем для этого основные соотношения (табл. 1).

Таблица 1

Поступательное движение	Вращательное движение
Общие соотношения
Равномерное
S = vt v = const at = 0	j = wt w = const e = 0
Равнопеременное
S = v0t + v = v0 + att at = const	j = w0t + w = w0 + et e = const

Видно, что формулы в правой части табл. 1 получаются из соответствующих формул левой части переобозначением

S ® j,

v ® w, (40)

at ® e.

Иными словами, математические уравнения, описывающие связь между кинематическими характеристиками вращательного движения, такие же, как и те, которые описывают связь меду кинематическими характеристиками поступательного движения. Правую и левую стороны таблицы можно рассматривать, как два «языка», на которых возможно описание одного и того же движения – перемещения частицы из точки А в точку В (см. рис. 24). С одной стороны, это перемещение можно рассматривать как «поступательное» вдоль дуги окружности АВ и описывать соотношениями в левой части табл. 1. С другой стороны, это перемещение можно рассматривать как вращение соответствующего радиуса-вектора (из положения ОА в положение ОВ) и описывать соотношениями в правой части табл. 1. Роль «переводчика» с одного языка на другой играют соотношения (30), (31) и (34) в скалярной форме либо соотношения (37), (39) в векторной форме. Выбор того или иного метода описания движения определяется, конечно, из соображений удобства при решении конкретной задачи.

§ 1.8. Несколько слов о решении задач кинематики

Все кинематические задачи выглядят более или менее одинаково: известны положение и скорость тела в какой-то момент времени и характер его движения, надо определить положение и скорость (или ускорение) этого тела в некоторый другой момент времени. В этой фразе «зашифрована» практически вся кинематика. Попробуем ее «расшифровать». Что означают слова «известны положение и скорость тела в какой-то момент времени»? Фактически то, что выбрана система отсчета. Дальше. Положение тела в любой момент времени задается его координатами х, у, z, а изменение координат радиусом-вектором перемещения тела Dr. Слова «известен характер движения» означают, что известен вид функции или, что то же самое, вид функций х(t), y(t), z(t). В природе существует огромное разнообразие типов движений. Простейшие движения описываются простейшими функциями: прямолинейное равномерное движение – линейной функцией х = х0 + vt или S = vt, прямолинейное равноускоренное – квадратичной функцией х = х0 + v0t + или S = v0t + , колебательное (которое будет рассмотрено позже) – тригонометрической функцией х = А sinwt и т. д. А если надо, например, проследить за движением какой-нибудь точки на ободе катящегося колеса? В этом случае понадобятся более сложные функции. Но в принципе это можно сделать всегда, и, что очень важно, метод решения основной кинематической задачи универсален и не зависит от типа движения.

Идем дальше. Если «некоторый другой момент времени» известен, то его надо просто подставить в выражение для кинематических характеристик движения. Если же этот момент времени задается неявно (каким-то дополнительным условием), то надо сначала, рассмотрев это условие, найти его в явном виде.

«Расшифровав» таким образом содержание основной задачи кинематики, можно сформулировать и алгоритм ее решения:

1)  выбрать систему отсчета (желателен рисунок);

2)  определить характер движения;

3)  записать соответствующие данному характеру движения кинематические уравнения (табл. 1) (в проекциях на координатные оси – при поступательном перемещении). Если в задаче присутствуют несколько движущихся тел, то уравнения движения лучше записать для каждого тела отдельно;

4)  используя дополнительные условия, определить конечный момент времени и решить полученную систему уравнений.

Глава 2

ДИНАМИКА

§ 2.1. Первый закон Ньютона (закон инерции)

Кинематика описывает только перемещение тела в зависимости от времени. Вопросы, связанные с взаимодействием тел, ведущим к изменению состояния движения, пока не рассматривались. Эти вопросы относятся к области динамики.

В основе так называемой классической или ньютоновской механики лежат три закона динамики, сформулированные Ньютоном в 1687 г.

Первый закон Ньютона может быть сформулирован следующим образом: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.

Здесь тело рассматривается как материальная точка, т. е. из рассмотрения исключается вращательное движение.

Из первого закона Ньютона следует, что тело может только тогда изменить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, когда на него воздействуют другие материальные тела. Или, что то же самое: состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения не требуют для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое инертностью. Соответственно первый закон Ньютона обычно называют законом инерции, а движение тела, не подвергающегося внешним воздействиям – движением по инерции.

Проверить первый закон Ньютона непосредственными опытами невозможно, т. к. в реальной окружающей нас обстановке нельзя поставить тела в такие условия, когда на них вовсе не воздействуют другие тела. Однако путем обобщения ряда фактов можно убедиться в правильности этого закона. Обычно наблюдаемое состояние покоя окружающих нас предметов обусловлено тем, что воздействие различных тел компенсируют друг друга, например, притяжение со стороны земного шара и реакция опоры или подвеса в случае покоящегося тяжелого тела. При движении тело тем дольше сохраняет свою скорость, чем слабее воздействуют на него другие тела: брошенный с некоторой начальной скоростью камень, скользящий по поверхности Земли, тем дольше движется, чем ровнее эта поверхность, т. е. чем меньше на него воздействие других тел. Окончательно в справедливости первого закона Ньютона косвенным образом нас убеждает совпадение вытекающих из него следствий с опытными данными.

Первый закон Ньютона выполняется не в любой системе отсчета. В кинематике отмечалось, что характер движения зависит от выбора системы отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с некоторым ускорением. Если относительно одной из них тело покоится, то относительно другой оно будет двигаться с ускорением. Так, например, пассажир и его вещи, находящиеся в вагоне поезда, неподвижны относительно стенок вагона. В то же время они движутся относительно Земли вместе с поездом, причем это движение может быть неравномерным и непрямолинейным.

Если вагон движется равномерно и прямолинейно (и можно отвлечься от сотрясений), первый закон Ньютона выполняется: покоящиеся относительно вагона тела не приходят в движение без воздействия на них со стороны других тел. Но стоит вагону начать поворачивать, тормозить или ускорять ход, как появятся явные нарушения первого закона Ньютона: покоящиеся до того тела могут отклониться или упасть без видимого воздействия на них со стороны окружающих тел.

Следовательно, первый закон Ньютона действительно выполняется не в любых системах отсчета.

Система отсчета, в которой первый закон Ньютона выполняется, называется инерциальной. Естественно, что если бы такие системы отсчета нельзя было указать, то и первый закон Ньютона потерял бы всякий смысл. Поэтому фактически в первом законе Ньютона содержатся два утверждения: во-первых, все тела обладают свойством инертности, и, во-вторых, существуют инерциальные системы отсчета.

Способ проверить инертность может быть таким: если изолированное от всех воздействий тело не ускоряется, система будет инерциальной. Например, шар может лежать на гладкой горизонтальной поверхности стола в вагоне, стоящем не рельсах или равномерно и прямолинейно катящемся по ним. Следовательно, вагон в обоих случаях является инерциальной системой отсчета.

Очевидно и наличие неинерциальных систем. Достаточно человеку закрутиться вокруг своей оси, и вся Вселенная завертится в обратную сторону, в том числе и вполне изолированные тела. Если вагон начнет разгоняться, шар внутри этого вагона покатится по горизонтальной поверхности. В данном случае система отсчета, связанная с вагоном, будет неинерциальной, в которой закон инерции не выполняется. Результат проверки на инерциальность зависит от точности опытов. Например, систему координат, связанную с Землей («лабораторная» система отсчета), можно, пренебрегая медленным суточным вращением, считать инерциальной для большинства практических применений. Но достаточно посмотреть на звезды и Солнце, описывающие в этой системе круги вокруг Земли, чтобы убедиться в неинерциальности земной системы на астрономических масштабах.

Если тело не подвергается внешним воздействиям, то в инерциальной системе отсчета оно либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Следовательно, его ускорение относительно любой инерциальной системы отсчета равно нулю. Отсюда можно сделать вывод о том, что любые две инерциальные системы отсчета могут двигаться друг относительно друга только равномерно и прямолинейно. В частности, они могут быть взаимно неподвижны.

Опыты показали, что с очень большой точностью можно считать инерциальной гелиоцентрическую систему отсчета. Начало координат этой системы жестко связано с Солнцем (точнее говоря, совпадает с центром инерции солнечной системы), а оси проведены в направлении трех удаленных звезд, выбранных, например, так, чтобы оси были взаимно перпендикулярны.

Инерциальные системы отсчета играют особую роль не только в механике, но и во всех других разделах физики. Это связано с тем, что согласно специальной теории относительности математическое выражение любого физического закона должно иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета. Иными словами: все физические явления протекают одинаково в различных инерциальных системах отсчета. Следовательно, все инерциальные системы отсчета эквивалентны друг другу в том смысле, что они физически неотличимы друг от друга. Поэтому, в частности, никакими физическими опытами невозможно определить, движется система прямолинейно и равномерно или она неподвижна.

§ 2.2. Второй закон Ньютона

Из первого закона Ньютона следует, что только воздействие одних материальных тел на другие способно изменить состояние их движения. Это воздействие одних тел на другие характеризуется физической величиной, называемой силой (от англ. force). Изменение состояния движения означает, что тело выходит из состояния покоя или равномерного и прямолинейного движения, т. е., меняется его скорость, тело приобретает ускорение. Следовательно, сила характеризует появление у рассматриваемых тел ускорения в результате воздействий других тел. Поэтому движение тела под действием других тел можно рассматривать как движение тела под действием приложенных к нему сил.

Толкая тележку, поднимая груз, растягивая пружину, мы действуем на эти тела с некоторой силой. Электровоз приводит в движение состав, прикладывая к нему силу тяги. В механике часто приходится сталкиваться с силами тяжести и трения. Сила, приложенная к телу, полностью определена, если указаны ее численное значение, направление действия и точка приложения. Прямую, проведенную через точку приложения силы в направлении действия этой силы, называют линией действия силы.