Предисловие (стр. 3 )

Две силы называют численно равными и противоположными по направлению, если одновременное приложение этих сил к одной и той же точке тела не вызывает изменения его механического движения. В частности, если до приложения таких двух сил тело покоилось, то оно продолжает оставаться в покое и после их приложения. Поэтому говорят, что две численно равные и противоположные по направлению силы, приложенные к одной и той же точке тела, взаимно уравновешиваются.

Опыты показывают, что две силы, приложенные одновременно к одной и той же точке тела, можно уравновесить одной силой. Эта сила численно равна и противоположна по направлению геометрической сумме указанных первых двух сил, определяемой по правилу параллелограмма. Следовательно, силы складываются по правилу сложения векторов, т. е. сила – величина векторная (рис. 29).

Если на тело одновременно действуют n сил ,,…,, приложенных к одной и той же точке тела, то их можно заменить одной эквивалентной им силой , равной их векторной сумме

(41)

и приложенной в той же точке. Силу называют результирующей или равнодействующей силой. Понятно, что силы, приложенные к одной и той же точке тела, взаимно уравновешиваются, только если их результирующая сила равна нулю.

Основная задача динамики заключается в установлении закона движения неизолированного тела, на которое действуют другие тела и которое, таким образом, движется под действием приложенных к нему сил. Эту задачу и решает второй закон Ньютона.

Выше уже говорилось, что под действием силы тело меняет свое состояние движения и приобретает ускорение. Следовательно, можно предположить, что приобретаемое телом ускорение пропорционально силе, т. е. а ~ F. Опыт показывает, что одна и та же сила по-разному действует на разные тела. Железнодорожный вагон, например, будет ускоряться медленнее, чем маленькая тележка. Пробуя ускорять тела разных размеров из различных материалов, мы придем к уравнению.

ma = F, (42)

где m (от англ. mass) – характеристика каждого конкретного тела. Собственно, это определение массы. Можно проделать опыты по разгону ряда тел, например, при единичной силе (т. е. силе, под действием которой тело приобретает единичное (1) ускорение) и определить массы этих тел из уравнения (42).

Отметим, что форма уравнения (42) не накладывает никаких ограничений на закон движения. Например, масса может оказаться зависящей от силы. Нет никакой гарантии, что масса имеет какие-либо удобные простые свойства. Выяснить это можно только в опыте.

Меняя силу, можно на опыте убедиться, что m не зависит от F. Для любого тела удвоенная сила дает удвоенное ускорение. Следовательно, для каждого тела масса m – константа. Далее, опыт показывает, что при единичной силе «удвоенное» тело, составленное из двух эталонных, имеет половинное ускорение. Следовательно, m – аддитивная (от англ. add – складывать) характеристика. Массы тел складываются из масс их составляющих.

Для сравнения масс m1 и m2 двух тел достаточно измерить численные значения а1 и а2 ускорений, приобретаемых этими телами под действием одной и той же силы. Из (42) следует, что .

Обычно массу тела определяют взвешиванием на рычажных весах. Этот метод основывается на следующей экспериментально установленной закономерности для свободного падения тел: в одной и той же точке земного шара все тела свободно падают с одинаковым ускорением g. Свободное падение вызывается действием силы тяжести тела , так что по закону (42) .

Поэтому

.

При взвешивании тела на рычажных весах сила тяжести тела и сила тяжести гири (или набора гирь) уравновешиваются, т. ч. масса тела и масса гири (или набора гирь) должны быть равны. Таким образом, зная массы гирь, можно измерить массу тел, взвешивая их на рычажных весах. В системе СИ масса измеряется в килограммах (кг).

Единица силы определяется уравнением (42). В системе СИ единицей будет такая сила, которая за 1 с изменяет скорость тела массой 1 кг на 1 . Эта единица называется ньютон (Н).

.

При воздействии на тело нескольких сил, учитывая, что ускорение и действующие на тело силы являются векторами, можно выражение (42) записать в виде

. (43)

Это и есть математическое выражение второго закона Ньютона. Уравнение (43) называется еще уравнением движения тела.

Надо отметить, что форма записи (43) не единственно возможная. Вместо (43) можно было бы написать, например,

,

но тогда были бы аддитивными куб «силы» и квадрат «массы», что явно неудобно. Следовательно, форма записи уравнения (43) – это результат не «вывода», приведенного выше, а главным образом опыта.

Результирующую силу , действующую на материальную точку, можно разложить на две составляющие – касательную к траектории точки и нормальную к ней :

= + . (44)

С другой стороны, ускорение материальной точки равно векторной сумме ее касательного и нормального ускорений (см. (18) и рис. 23):

= + .

Из уравнения второго закона Ньютона тогда следует, что

= , = . (45)

Нормальная сила так же, как и , направлена к центру кривизны траектории. Поэтому ее обычно называют центростремительной силой. Эта сила вызывает изменение только направления вектора скорости точки, т. е. искривляет ее траекторию. Численно Fn равна

. (46)

Изменение численного значения скорости точки, характеризуемое касательным ускорением , вызывает касательная сила . Если параллельна , то точка движется ускоренно , если противоположна по направлению вектору , то частица движется замедленно . Наконец, при = 0 точка движется равномерно ( = const). Если, кроме того, Fn = const, то и , т. е. точка движется равномерно по траектории с постоянным радиусом кривизны. Из плоских кривых таким свойством обладает только окружность, а из пространственных кривых – винтовая линия.

Вспомнив, что , запишем уравнение (43) в виде

(47)

или

, (48)

где вектор называется импульсом тела (раньше часто использовалось название – количество движения). Внести массу под знак производной можно, т. к. масса постоянна. Уравнение (47) – еще одна, часто используемая форма записи второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Поэтому второй закон Ньютона можно назвать законом изменения импульса.

Если на материальную точку действует постоянная сила ( = const), то импульс точки является линейной функцией времени:

, (49)

где ­– скорость материальной точки в момент начала отсчета времени (t = 0). В частности, если = 0, то импульс точки не изменяется – она движется равномерно и прямолинейно в соответствии с первым законом Ньютона. Выражение называют импульсом силы за промежуток времени от t1 до t2.

Из выражения (49) следует, что приращение импульса за конечный промежуток времени Dt = t2 – t1 равно

, (50)

т. е. изменение импульса материальной точки под действием постоянной силы равно произведению силы на продолжительность промежутка времени, в течение которого произошло это изменение.

Если сила переменная, то

. (51)

Здесь – среднее значение переменной силы в интервале времени от t1 до t2, т. е. такая постоянная сила, импульс которой за промежуток времени t2 – t1 равен импульсу переменной силы за тот же промежуток времени.

§ 2.3. Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона дополняет содержание второго закона. Он подчеркивает то обстоятельство, что воздействие тел, ведущее к изменению состояния их движения, носит характер взаимодействия: если тело 1 действует на тело 2 с силой , то тело 2, в свою очередь, действует на тело 1 с силой . Третий закон Ньютона утверждает, что силы, с которыми взаимодействующие тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению.

= – . (52)

Существенно то, что силы и («действие» и «противодействие») приложены к разным телам. Это значит, что нельзя подействовать на тело и самому избежать его воздействия (например, стукнуть по стене и не почувствовать удара).

Рассмотрим пример. Пусть тела с массами m1 и m2 соприкасаются, и первое тело толкают с известной силой (рис. 30). Ускорение системы тел 1 и 2 будет

.

Таким же должно быть ускорение каждого тела. На второе действует пока неизвестная сила F12 со стороны первого. Записывая второй закон Ньютона, получаем

.

Откуда

= m2/(m1 + m2).

Рассмотрим теперь движение тела с массой m1. Для него

.

Отсюда находим

.

Мы получили искомое равенство сил, совершенно не зная, как взаимодействуют тела. Все, что нам понадобилось – это тот опытный факт, что тела могут ускоряться вместе, сохраняя соприкосновение.

Третий закон Ньютона справедлив не всегда. Вполне строго он выполняется при непосредственном соприкосновении тел, а также при взаимодействии находящихся на некотором расстоянии друг от друга покоящихся тел.

Сила трения.

Пусть на горизонтальном столе лежит тело массой m. Пусть на это тело начинает действовать горизонтально направленная сила (рис. 31). Если сила достаточно мала, тело не сдвинется с места. Только если величина силы превысит некоторое значение , начнется скольжение. При этом ускорение тела будет меньше, чем это следует из второго закона Ньютона, если считать, что вдоль поверхности соприкосновения действует лишь сила . Причина понятна: вдоль поверхности на тело со стороны стола действует сила трения, препятствующая движению.

Если вспомнить, что сила – мера взаимодействия тел, то, строго говоря, надо бы сделать несколько иной вывод. А именно: при появлении силы меняется сила взаимодействия стола с телом.

Причем новая сила реакции не перпендикулярна поверхности соприкосновения и направлена под некоторым углом a к нормали (рис. 31). Однако в этом случае удобнее считать, что на тело действуют две силы: – сила реакции опоры, перпендикулярная поверхности соприкосновения тел, и – сила трения, направленная вдоль этой поверхности. Такой подход позволяет сформулировать сравнительно простые законы, описывающие силу трения. Подчеркнем, что здесь речь идет о сухом трении, когда непосредственно взаимодействуют твердые тела.

Сила трения обусловлена взаимодействием молекул, находящихся в тонких слоях на поверхностях тел. Непосредственный расчет таких взаимодействий выходит за рамки классической механики.

Законы, описывающие сухое трение, установил опытным путем Шарль Кулон в 1781 г. Согласно Кулону величина силы трения скольжения пропорциональна силе нормального давления:

Fтр = mN. (53)

Здесь введен безразмерный коэффициент трения m, зависящий от материалов, из которых сделаны взаимодействующие тела, и от состояния поверхностей (качества шлифовки, степени загрязнения). Последняя зависимость может быть весьма значительной, т. ч. значения коэффициентов трения, приводимые в справочниках, весьма условны. Пропорциональность силе давления можно объяснить тем, что от N зависит площадь соприкосновения поверхностей. Реальная поверхность имеет многочисленные неровности, которые под давлением образуют контактные площадки.

При проскальзывании сила трения направлена против скорости.

Характерным свойством сухого трения является то, что сила может быть отлична от нуля и при отсутствии проскальзывания. Вернемся к примеру на рис. 31. При внешней силе F < F0 тело, лежащее на столе, не движется. Ясно, что в этом случае сила трения равна по величине и противоположна по направлению внешней силе:

= – .

Когда отсутствует проскальзывание, силу трения называют силой трения покоя. Оказывается, что с хорошей точностью максимальное значение силы трения покоя F0 равно силе трения скольжения. Иными словами, сила сухого трения меньше или равна произведению коэффициента трения на силу нормального давления.

Fтр £ mN.

Рассмотрим еще один пример. Пусть на гладкой горизонтальной поверхности (т. е. трением тела о такую поверхность можно пренебречь) находится брусок массой М, на котором лежит тело массой m (рис. 32). Коэффициент трения между бруском и телом равен m. На брусок действует постоянная горизонтальная сила . Требуется найти ускорения этих двух тел. Так как численные значения не заданы, возможны два варианта: 1) проскальзывания между бруском и телом нет; 2) проскальзывание есть.

Проанализируем эти варианты.

1. Пусть проскальзывания нет. Тогда ускорение бруска а1 и ускорение тела а2 одинаковы (а1 = а2 = а) и между ними действует некоторая сила трения покоя Fтр. Выпишем второй закон Ньютона для каждого тела системы вдоль оси х, параллельной вектору .

F – Fтр = Ма.

Fтр = mа.

Складывая уравнения почленно, получаем

F = (m + M)a.

.

. (54)

2. Пусть проскальзывание есть. Ускорения а1 и а2 теперь различны, но можно записать для силы трения скольжения Fтр = mmg, т. к. сила нормального давления равна mg. Снова, выписывая второй закон Ньютона для бруска и тела, получаем

F – mmg = Ма1;

mmg = Ма2.

Отсюда имеем

.

Осталось выяснить, при каких условиях реализуется первая ситуация, а при каких – вторая. Для этого посмотрим, что происходит при возрастании внешней силы . При малых F ускорение системы мало. Верхнему телу обеспечивает ускорение исключительно сила трения, определяемая выражением (54). Сила трения покоя не превышает максимального значения mmg (Fтр £ mmg). График зависимости силы трения от внешней силы F приведен на рис. 33. Проскальзывание начнется при некотором значении внешней силы F0, когда сила трения покоя достигнет своего максимального значения

.

Отсюда получаем

F0 = m(m + M)g.

При F £ F0 реализуется первый вариант, при F ³ F0 – второй. Отметим, что при F = F0 все ускорения (из первого варианта, а1 и а2 из второго) равны друг другу, как и должно быть. Окончательный ответ имеет вид

a1 = а2 = F/(M + m) при F £ m(m + M)g.

a1 = (F – mmg)/M, a2 = mg при F ³ m(m + M)g.

При движении тел в жидкостях или газах также возникает сила, препятствующая движению. Ее происхождение связано как с возникновением в среде разности давлений, так и с «трением» слоев среды, вовлеченных телом в движение, – вязкостью (подробнее этот вопрос рассматривается в других разделах физики).

В отличие от сухого трения в этом случае не возникает трения покоя – при нулевой скорости жидкое трение равно нулю. Поэтому даже очень маленькая внешняя сила может сообщить относительную скорость слоям вязкой жидкости.

Помимо собственно сил трения при движении тела в жидкой или газообразной среде возникают так называемые силы сопротивления среды, которые могут быть гораздо значительнее, чем сила трения. При малых скоростях эти силы линейно зависят от скорости

F = av,

где a – некоторый коэффициент, определяющийся параметрами среды и тела.

Силы трения играют большую роль в природе. В нашей повседневной жизни трение нередко оказывается полезным. Вспомним трудности, возникающие во время гололедицы, когда трение между покрытием дорог и подошвами пешеходов или колесами транспорта сильно уменьшается. Во многих случаях роль трения оказывается отрицательной и приходится каким-либо образом его уменьшать. Наиболее радикальным способом уменьшения сил трения является замена трения скольжения трением качения, возникающим, например, между цилиндрическим или шарообразным телом и поверхностью, по которой оно катится. Для этой же цели используются различные виды подшипников и смазки.

§ 2.4. Закон сохранения импульса. Центр масс

Тела, образующие механическую систему, могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не принадлежащими к данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела системы, можно подразделить на внутренние и внешние. Внутренними называют силы, с которыми на данное тело воздействуют остальные тела системы, внешними – силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе. В случае, когда внешние силы отсутствуют, система называется замкнутой.

Рассмотрим систему, состоящую из N точечных частиц. В частности, в виде такой системы можно представить и твердое тело. Тогда этими частицами будут достаточно малые части тела, для которых хорошо определены координаты и скорости. Присвоим частицам номера от 1 до N и обозначим силу, действующую со стороны i-й частицы на j-ю через i, j. Кроме того, на частицы могут действовать внешние силы. Обозначим результирующую силу, действующую со стороны внешних тел на i-ю частицу, через i.

Напишем уравнение движения для каждой из частиц системы:

,

, (55)

………………..

.

Сложим почленно все N выписанных уравнений (55). Заметим, что в сумму справа войдет, например, такая пара: из первого уравнения и – из второго. Но согласно третьему закону Ньютона (52)

+ = 0.

Вообще каждому члену из j-го уравнения найдется соответствующий член из i-го. Поэтому все внутренние силы уничтожаются при суммировании. С другой стороны, после такого суммирования слева будет стоять производная от суммы импульсов всех частиц, т. е. от полного импульса системы

. (56)

В итоге получаем

(57)

или в проекциях на оси декартовой системы координат

Напомним, что – это результирующая внешняя сила, действующая на i-ю частицу системы.

Получен замечательный результат! Второй закон Ньютона можно применять не только к точечным частицам, но и, в частности, к твердым телам. При этом не надо учитывать внутренние силы. Значение этого факта трудно переоценить: ведь самое обычное тело состоит из громадного числа частиц. Силы взаимодействия между частями тела отнюдь не малы, а количество этих сил еще больше, чем количество частей. И, тем не менее, оказывается возможным применить простое уравнение (57) для описания движения системы из большого количества частиц, даже не зная законов взаимодействия частиц, ее составляющих. Именно это обстоятельство позволило классической механике достичь очень больших успехов в описании окружающего нас мира.

Уравнение (57) – это уравнение движения (второй закон Ньютона) системы частиц. Поэтому, чтобы понять особенности этого движения, необходимо проанализировать это уравнение и его следствия.

Предположим, что векторная сумма внешних сил равна нулю, т. е. либо система частиц замкнута (все = 0), либо она не замкнута ( ¹ 0), но = 0. В этом случае и, следовательно, , т. е. полный импульс системы частиц сохраняется. Это утверждение называют законом сохранения импульса. Полный импульс системы частиц, для которой выполнено условие = 0, сохраняется.

Часто приходится иметь дело с незамкнутыми системами, для которых ¹ 0 и полный импульс . Однако, как видно из скалярных уравнений (57), если проекция вектора на какую-либо ось, неподвижную относительно инерциальной системы отсчета, тождественно равна нулю, то проекция вектора на эту же ось не зависит от времени, т. е. сохраняется. Иными словами, если = 0, то и рх = const. Это – закон сохранения проекции импульса.

Например, при полете тела в поле тяжести сила mg направлена вертикально и горизонтальная проекция импульса сохраняется (если пренебречь сопротивлением воздуха). При ударе упругого тела о стенку, если нет трения, сохраняется составляющая импульса, параллельная стенке (сила взаимодействия перпендикулярна стенке).

Отсутствие в правой части уравнения (57) внутренних сил говорит о том, что под влиянием этих сил система не может изменить свой полный импульс. Под влиянием внутренних сил могут лишь прийти в движение части системы друг относительно друга. Например, паровоз под влиянием лишь сил, действующих со стороны пара на поршень, не может прийти в целом в движение. Он приходит в движение, потому что появляется внешняя сила в виде силы трения между колесами и рельсами. Сила, возникающая благодаря трению и приложенная к колесам, сдвигает паровоз. Равная ей сила, возникающая по третьему закону Ньютона и направленная в противоположную сторону, приложена к рельсам; она отталкивает рельсы в обратную сторону. Так как рельсы скреплены с земным шаром, то их смещение не играет роли. Импульс, приобретенный паровозом, равен импульсу, переданному земному шару. Так как масса земного шара чрезвычайно велика по сравнению с массой паровоза, то скорость, приобретенная земным шаром, ничтожно мала.

Важно понимать, что создать замкнутую систему тел (или выполнить условие = 0) практически невозможно. Хотя бы малые внешние воздействия всегда останутся. Поэтому для приближенного выполнения закона сохранения импульса необходимо, чтобы эти внешние воздействия были в каком-то смысле малы. В каком?

Из выражения (57) следует, что изменение импульса системы определяется следующим выражением:

. (58)

Изменением импульса можно пренебречь, если оно мало по сравнению с характерными значениями импульсов тел системы. Следовательно, величина как раз и должна быть малой по сравнению с характерными значениями импульсов тел системы. Даже маленькая сила в течение длительного времени может заметно изменить полный импульс. Наоборот, если интеграл по времени Dt мал, то и при значительной внешней силе D будет малым, т. е. приближенно импульс будет сохраняться. Поэтому часто закон сохранения импульса применяют в задачах с коротким временем взаимодействия тел (удар, выстрел) даже при наличии внешних сил.

Например, если Земля взаимодействует с небольшим астероидом, то систему Земля + астероид можно считать замкнутой на интервале времени порядка недели, хотя на оба тела с большой силой действует Солнце. Теперь рассмотрим систему Земля – Луна на промежутке времени, скажем, три месяца. За это время импульс такой системы (в основном, конечно, Земли) повернется на прямой угол и его изменение будет существенным (). В этом случае систему нельзя считать замкнутой.

Закон сохранения импульса является одним из основных законов природы. В данном пособии он был получен как следствие законов Ньютона. Однако это не означает, что закон сохранения импульса справедлив лишь в тех пределах, в каких выполняются законы Ньютона и построенная на них классическая (ньютоновская) механика. Например, процессы, происходящие в микромире, описываются не классической а квантовой механикой. Между тем закон сохранения импульса в равной мере справедлив как для замкнутой системы макроскопических тел, так и для замкнутой системы микрочастиц. Этот фундаментальный закон природы, как показывается в теоретической физике, является следствием определенного физического свойства пространства – его однородности. Однородность пространства означает, что параллельный перенос в нем замкнутой системы как целого (иначе говоря, изменение выбора начала системы координат) не должен отражаться на физических свойствах системы и законах ее движения.

Что еще можно получить из уравнения (57)? Известно, что если бросить камень под углом к горизонту, то он полетит по параболе. А если бросить длинную палку, да еще закрутить ее как следует? Конечно, разные точки палки движутся по-разному, описывая довольно сложные траектории. Но полет палки в целом чем-то похож на полет камня: подъем, верхнее положение, спуск. Более того, если пренебречь сопротивлением воздуха, то окажется, что движение одной вполне определенной точки палки ничем не будет отличаться от движения камня, свободно летящего по параболе. Эту точку называют центром масс или центром инерции палки.

Найдем ее координаты. Вернемся опять к уравнению (57). Левая часть его может быть представлена так:

(59)

Здесь мы вначале учли выражение (56) и определение импульса одной частицы, затем домножили и разделили выражение на полную массу всей системы (при этом величина дроби не изменилась) и, наконец, ввели некоторый вектор . Полученное выражение (59) показывает, что полный импульс системы частиц (палки) может быть представлен как , т. е. в таком же виде, как и импульс отдельной частицы массой М, двигающейся со скоростью . Преобразуем выражение (59) дальше: