Предисловие (стр. 6 )

учитывая, что

.

Так как

,

уравнение (112) можно записать в виде

. (113)

Векторное произведение радиуса-вектора частицы на ее импульс называют моментом импульса частицы. Векторное произведение радиуса-вектора частицы на силу называют моментом силы .

= ; = . (114)

Численное значение момента силы равно

Mi = riFi sina = Fili, (115)

где a – угол между векторами , а li = ri sina – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы (рис. 47). Величина li – это и есть плечо силы . Если линия действия силы проходила бы через точку О (рис. 48), то было бы li = 0 и момент силы относительно точки О равнялся бы нулю.

Уравнение (113) теперь принимает вид

. (116)

Сложим почленно все эти уравнения, написанные для каждой из n материальных точек:

. (117)

Вектор называется моментом импульса системы (тела) относительно точки О. Вектор – результирующим моментом внешних сил относительно точки О. Уравнение (117) теперь можно представить в виде

, (118)

т. к. производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых.

Наконец, векторная сумма моментов относительно точки О всех внутренних сил взаимодействия между материальными точками системы равна нулю

.

Это связано с тем, что по третьему закону Ньютона силы и численно равны, имеют общую линию действия, но взаимно противоположно направлены: = – . Поэтому их моменты относительно точки О численно равны и противоположны по направлению (рис. 49).

(на рис. 49 точки mi, mk и О лежат в горизонтальной плоскости, и векторы перпендикулярны к этой плоскости). Действительно, , где – вектор, проведенный из точки mi в точку mk.

Поэтому

.

Окончательно уравнение (118) приобретет вид

. (119)

Таким образом, скорость изменения момента импульса системы материальных точек относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на систему.

Уравнение (119) справедливо, в частности, для твердого тела, закрепленного в точке О. В этом случае его называют основным уравнением динамики вращения тела вокруг неподвижной точки. Фактически это уравнение и является вращательным аналогом второго закона Ньютона для поступательного движения.

Пусть теперь твердое тел закреплено в двух неподвижных точках О и О1 так, что оно может вращаться вокруг неподвижной оси Оz, проходящей через эти точки. В этом случае составляющие момента относительно точки О, направленные вдоль осей Ох и Оу, компенсируются соответствующими моментами сил реакции закрепления в точке О1. Поэтому вращение тела вокруг оси Оz происходит под действием составляющей момента внешних сил относительно точки О. Из (119) следует, что уравнение движения тела имеет вид

, (120)

где Lz и Мz – составляющие векторов момента импульса тела и результирующего момента внешних сил относительно точки О, направленные вдоль неподвижной оси Оz вращения тела и называемые соответственно моментом импульса тела относительно оси Оz и результирующим моментом внешних сил относительно той же оси. Уравнение (120) называют основным уравнением динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

§ 3.3. Момент инерции тела. Эквивалентная форма записи

основного уравнения динамики вращения

В § 3.3 был сформулирован основной закон динамики вращения в виде связи между моментом импульса системы и результирующим моментом внешних сил, действующих на нее. Теперь, основываясь на уравнении (120), сформулируем основной закон динамики вращения в виде точной связи между результирующим моментом внешних сил и угловым ускорением системы, о которой шла речь в § 3.1.

Найдем в явном виде выражение для момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной оси симметрии Оz (проходящей через центр масс тела) с угловой скоростью . Так как , то . Из рис. 50 видно, что радиус-вектор i-й материальной точки

,

где – вектор, проведенный из начала координат О в центр вращения i-ой частицы Оi, лежащий на оси вращения Оz. Поэтому

.

Вектор перпендикулярен вектору и, следовательно, его составляющая вдоль оси Оz равна нулю. Векторы и (см. формулу (37)) взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому вектор численно равен Rimivi = miRi2w и направлен вдоль оси Оz вращения тела в ту же сторону, что и вектор .

Таким образом,

и

. (121)

Сумма произведений массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси вращения (например, Оz) называется моментом инерции тела относительно этой оси и обозначается буквой Jz. Индекс z снизу указывает, что момент инерции тела вычисляется относительно оси Оz

. (122)

Выражение (121) теперь принимает вид

. (123)

(Отметим, что эта формула справедлива, только если ось вращения совпадает с осью симметрии, проходящей через центр масс тела).

Подставив формулу (123) в основное уравнение динамики вращения (120), получим

.

Если тело абсолютно твердое, то его момент инерции Jz = const, т. е. не зависит от времени. Поэтому

. (124)

Уравнение (124) является вращательным аналогом второго закона Ньютона () для поступательного движения при m = const. Момент инерции «играет роль массы» и является мерой инертности тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Вращательным аналогом силы является момент силы . Сравнение уравнений (119) и (120) со вторым законом Ньютона в виде показывает, что вращательным аналогом импульса является момент импульса . Это подтверждается и равенствами

; , (125)

т. к. при переходе от поступательного движения к вращению аналогом линейной скорости является угловая скорость (см. гл. 1 «Кинематика»).

Рассмотрим подробнее введенное равенством (122) понятие момента инерции системы частиц. Его можно обобщить на случай сплошного макроскопического тела, которое можно рассматривать как непрерывное распределение массы. При вычислении момента инерции тела его мысленно разбивают на бесконечно большое число бесконечно малых элементов с массами dm. Поэтому в формуле (122) сумму заменяют интегралом

, (126)

где R – расстояние от элемента dm до оси Оz.

Выражения для моментов инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы приведены в табл. 2.

Таблица 2

Тело	Положение оси Оz	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R, имеющий массу m	Ось симметрии
Сплошной цилиндр (или диск) радиуса R, имеющий массу m	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень, имеющий длину l и массу m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину
Тот же стержень	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
Шар радиуса R, имеющий массу m	Ось проходит через центр шара
Тот же шар	Ось проходит на расстоянии d от центра шара

Момент инерции тела относительно некоторой оси фактически описывает распределение массы тела относительно этой оси. Поэтому он существенно зависит от того, вокруг какой оси рассматривается вращение и как распределена масса тела относительно этой оси. Это хорошо видно по данным табл.2 в случаях стержня и шара. Например, момент инерции тонкого прямого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, в 4 раза больше, чем момент инерции этого же стержня относительно его оси симметрии.

При вычислениях моментов инерции часто бывает полезной теорема о переносе осей инерции (теорема Штейнера): момент инерции J тела относительно произвольной оси ОО1 равен сумме момента инерции Jс тела относительно оси, проведенной через центр инерции С тела параллельно ОО1, и произведения массы m тела на квадрат расстояния d между этими осями (рис. 51):

J = Jc + md2. (127)

Из табл. 2 видно, что для стержня . Тогда момент инерции стержня относительно оси, параллельной оси Оz и проходящей через конец стержня, согласно теореме Штейнера, равен

,

т. к. в данном случае d = l/2 (рис. 52).

Момент инерции любого тела относительно произвольной оси можно найти экспериментально посредством измерения момента силы Mz, необходимого для сообщения телу углового ускорения e. При этом из формулы (127) имеем

.

В качестве иллюстрации применения соотношений динамики вращательного движения рассмотрим машину Атвуда, состоящую из двух тел с массами m1 и m2, подвешенными на невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через блок (рис. 53). Найдем ускорение тел m1 и m2, если радиус блока равен R0, а его момент инерции относительно оси z вращения (ось z перпендикулярна плоскости рисунка) равен Jz и сравним полученный результат со значением ускорения, когда моментом инерции блока пренебрегают.

Вычислим момент импульса системы относительно оси z, проходящей через центр блока (точка О). Момент импульса блок равен Jzw, где w = v/R0 и v – скорость тел m1 и m2 в любой момент времени. Моменты импульса тел m1 и m2 равны соответственно R0m1v и R0m2v. Полный момент импульса системы записывается в виде

.

Результирующий момент внешних сил дается выражением

,

в котором учтено, что момент внешней силы реакции, действующей на блок со стороны оси, равен нулю, т. к. плечо этой силы относительно оси вращения равно нулю. Используя формулу (120), находим, что

.

Отсюда получим следующее выражение для ускорения:

.

Если пренебречь моментом инерции блока Jz, то ускорение равно а = (m2 – m1)g/(m2 + m1). Видно, что наличие у блока момента инерции приводит к замедлению системы.

§ 3.4. Закон сохранения момента импульса

Основное уравнение динамики вращения системы частиц (120), как уже отмечалось, внешне очень похоже на уравнение второго закона Ньютона для поступательного движения системы частиц в форме (57). Поэтому естественно провести анализ уравнения (120) аналогично тому, как это было сделано в случае уравнения (57).

Предположим, что результирующий момент внешних сил тождественно равен нулю, т. е. = 0. Тогда из соотношения (120) следует, что

.

А отсюда следует (см. § 1.4), что

. (128)

В этом утверждении и состоит закон сохранения момента импульса для вращающегося тела (системы частиц), который можно сформулировать так: если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе относительно какой-либо неподвижной оси, тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно этой оси не меняется с течением времени.

В частности, этот закон справедлив для замкнутой системы, т. е. в отсутствии внешних сил. Но в общем случае требование замкнутости системы не является обязательным. Достаточно равенства нулю суммы моментов внешних сил. При этом сами силы могут присутствовать и даже иметь отличную от нуля результирующую.

Учитывая определение момента импульса (123), выражение (128) можно представить в виде

(129)

или , где индексы 1 и 2 относятся к начальному и конечному моментам времени соответственно.

В качестве примера рассмотрим человека, стоящего на горизонтальной круглой платформе, способной вращаться без трения вокруг оси, проходящей вертикально через ее центр (простейшая модель карусели). Если человек начинает идти вдоль края платформы, последняя приходит в состояние вращения в противоположном направлении. Объяснить это можно на основе закона сохранения момента импульса. Если человек начинает идти против часовой стрелки, то его момент импульса направлен вверх вдоль оси вращения (вспомните в связи с этим определение вектора в § 1.7). Величина момента импульса, связанного с движением человека, равна Lz = Jzw = (mR2) (v/R), где v – линейная скорость человека (относительно Земли, а не платформы); R – его расстояние относительно оси вращения; m – его масса. Величина mR2 – момент инерции человека относительно оси вращения, если рассматривать человека как материальную точку. Поскольку платформа вращается в обратном направлении (т. е. по часовой стрелке), ее момент импульса направлен вниз вдоль оси вращения. Если начальный момент импульса был равен нулю (человек и платформы покоились), то он останется равным нулю и после того, как человек начнет свое движение. Это означает, что направленный вверх момент импульса человека в точности компенсируется направленным вниз моментом импульса платформы, т. ч. вектор полного момента импульса остается по-прежнему равным нулю. Несмотря на то что человек действует с определенной силой (и, следовательно, моментом) на платформу, а платформа – на человека, эти силы и моменты являются внутренними (по отношению к системе, состоящей из платформы и человека). Какие-либо внешние моменты сил отсутствуют (если пренебречь трением в подшипниках оси платформы), т. ч. в соответствии с формулой (129) момент импульса сохраняется неизменным.

На основе закона сохранения момента импульса можно объяснить многие интересные явления повседневной жизни. Например, фигурист, выполняющий «волчок» на льду, вращается со сравнительно низкой угловой скоростью, когда его руки разведены в стороны. Прижимая руки к себе, фигурист сразу начинает вращаться со значительно более высокой угловой скоростью.

Вспоминая определение момента инерции (122), легко убедиться, что при приближении рук к оси вращения момент инерции уменьшается. Поскольку момент импульса Jzw остается неизменным (малым моментом сил трения пренебрегаем), то при уменьшении Jz величина w должна возрастать. Так, если момент инерции фигуриста уменьшается в два раза, то во столько же раз увеличивается его угловая скорость.

Аналогичный пример мы имеем в случае с прыгуном в воду (рис. 54). Толчок, испытываемый им в момент отрыва от гибкой доски, «закручивает» его, т. е. сообщает прыгуну начальный запас момента импульса относительно его центра масс (вспомните в связи с этим как движется центр масс брошенной и закрученной палки в § 2.4). Прежде чем прыгнуть в воду, прыгун совершает один или несколько оборотов с большой угловой скоростью. Затем он вытягивает руки, увеличивая тем самым свой момент инерции и, следовательно, снижая свою угловую скорость до совсем небольшой величины перед входом в воду.

Обратим внимание на то, что в приведенных выше примерах с фигуристом и прыгуном в воду масса их не менялась в процессе движения. Менялось только распределение этой массы относительно оси вращения, т. е. изменение моментов инерции тел происходило за счет изменения только их формы, но не массы. Это еще раз подтверждает высказанное выше утверждение о том, что момент инерции тела, формально являясь аналогом массы при вращательном движении, фактически описывает распределение этой массы относительно оси вращения.

Закон сохранения момента импульса, подобно законам сохранения импульса и энергии, является одним из фундаментальных законов природы. В теоретической физике доказано, что этот закон является следствием изотропности пространства. Изотропность пространства означает, что при повороте в нем замкнутой системы как целого (иначе говоря, при изменении ориентации осей координат) физические свойства замкнутой системы и законы ее движения не изменяются.

§ 3.5. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Работа при вращательном движении

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то говорят, что оно обладает кинетической энергией вращения Екин. вр. Получим выражение для этой величины. Представим, как уже делали это ранее, вращающееся тело, состоящее из очень небольших частиц, каждая из которых имеет массу mi. Если Ri – расстояние по перпендикуляру от оси вращения Оz (см. рис. 50) до любой такой частицы (радиус вращения i-й частицы), то линейная скорость частицы vi = Riw. Полная кинетическая энергия всего тела равна сумме кинетических энергий всех составляющих его частиц:

, (130)

где мы вынесли за знак суммы множители ½ и w2, т. к. они одинаковы для всех частиц. Сопоставление формулы (130) с выражением

для кинетической энергии тела массой m, движущегося со скоростью v, подтверждает уже высказанное ранее утверждение о том, что мерой инертности тела во вращательном движении является момент инерции тела.

Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения твердого тела отличен от нуля, то угловая скорость w и кинетическая энергия Екин. вр тела изменяются, т. е. совершается работа. Из соотношения (72) следует, что дифференциал этой работы равен

.

Отсюда, учитывая основное уравнение динамики вращения (127) и определение (25), получаем

dA = Mzwdt = Mzdj. (131)

Интегрируя выражение (131), получаем формулу для работы по изменению угловой скорости тела от начального значения w1 до конечного значения w2

(132)

Выражение (132) можно интерпретировать и так: работа, совершаемая при вращении тела на угол j2 – j1 вокруг неподвижной оси, равна изменению кинетической энергии его вращательного движения.

Скорость совершения работы или мощность Nвр можно, учитывая определение (69), записать в виде

. (133)

До сих пор в этой главе рассматривалось вращение тела вокруг неподвижной оси (обозначенной Оz). Вращение тела вокруг неподвижной точки в каждый момент времени можно рассматривать как его вращение вокруг некоторой мгновенной оси, проходящей через эту точку. Поэтому кинетическая энергия тела в этом случае

, (134)

где JМ – момент инерции тела относительно мгновенной оси; w – соответствующая угловая скорость. В общем случае положение мгновенной оси вращения по отношению к системе координат, связанной с телом, в процессе вращения изменяется. Следовательно, момент инерции JМ в данном случае зависит от времени.

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью, равной скорости центра масс, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. Но если тело вращается и при этом его центр масс перемещается поступательно (вспомните движение прыгуна в воду в одном из предыдущих примеров), то оно имеет кинетическую энергию как поступательного, так и вращательного движений. Полная кинетическая энергия тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения его центра масс и кинетической энергии его вращения относительно центра масс:

. (135)

Формула (135) применима, в частности, при рассмотрении движущегося в плоскости подобно скатывающемуся с холма колесу твердого тела. В физических задачах эта ситуация моделируется скатывающимися с наклонной плоскости диском или обручем (рис. 55). Ось вращения в этом случае перпендикулярна плоскости, в которой движется тело, и проходит через центр масс тела. Направление ее при движении тела не меняется, хотя она и перемещается (параллельно самой себе) вместе с центром масс. Полная механическая энергия тела на высоте h над основанием наклонной плоскости равна

,

где Jц. м – момент инерции тела относительно оси вращения.

Выше неоднократно подчеркивалась аналогия между описанием поступательного движения материальной точки и плоского вращения твердого тела. Суть аналогии состоит в том, что для описания этих движений используются уравнения одинакового вида, лишь для разных переменных.

Поэтому сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (табл. 3).

Таблица 3

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса	m	Момент инерции	J
Скорость		Угловая скорость
Ускорение		Угловое ускорение
Сила		Момент силы	Мz или
Импульс		Момент импульса	Lz = Jzw
Основное уравнение динамики	;	Основное уравнение динамики вращения	Mz = Jze;
Работа	dA = FsdS	Работа вращения	Mzdj
Кинетическая энергия	mv2/2	Кинетическая энергия вращения	Jzw2/2

§ 3.6. Гироскопический эффект. Гироскоп