Предисловие (стр. 5 )

А12 = U1 – U2 + .

Суммарная работа всех приложенных к частице сил идет на изменение кинетической энергии частицы (74)

= U1 – U2 + .

Откуда следует, что

+ U2 – ( + U1) = . (86)

Величину Е, равную сумме кинетической и потенциальной энергии частицы, называют механической энергией частицы. Выражение (86) теперь запишется так:

Е2 – Е1 = . (87)

Работа неконсервативных сил затрачивается на изменение механической энергии, т. е. механическая энергия не сохраняется. Если неконсервативные силы отсутствуют, то = 0 и Е2 = Е1. Это утверждение называют законом сохранения механической энергии для одной частицы: механическая энергия частицы, находящейся в поле консервативных сил, сохраняется.

В случае если в конечном и начальном положениях кинетическая энергия частицы одинакова (т. е. ), то работа неконсервативных сил идет на изменение потенциальной энергии частицы

U2 – U1 = . (88)

Такая ситуация возникает, например, когда шарик, вначале покоящийся в точке В1, скатывается с горки и останавливается у ее подножия в точке В2 (рис. 41). В начальной В1 и конечной В2 точках шарик покоится. Следовательно, = = 0 и из уравнения (86) следует уравнение (88).

Если в конечном и начальном состояниях потенциальная энергия частицы одинакова (т. е. U1 = U2), то работа неконсервативных сил идет на изменение кинетической энергии тел. Например, поезд, идущий со скоростью , на горизонтальном участке пути тормозит и останавливается. В этом случае потенциальная энергия его не меняется, и из уравнения (86) следует, что

– = . (89)

Итак, постоянное силовое поле является полем консервативных сил. В этом поле можно ввести понятие потенциальной энергии. И в этом поле в случае отсутствия неконсервативных сил выполняется закон сохранения механической энергии частицы. Посмотрим, о какой ситуации фактически идет речь. Силовое поле, в котором движется частица, создается какими-то другими телами. Для того, чтобы поле было постоянным, эти тела должны быть неподвижными. Таким образом, закон сохранения полной механической энергии (87) относится к простейшему случаю, когда одна частица движется, а все остальные тела, с которыми она взаимодействует, покоятся.

Рассмотрим теперь систему частиц.

Для любой системы тел механическая энергия определяется как сумма всех видов энергии: надо сложить кинетические энергии всех тел, потенциальные энергии взаимодействия всех пар частиц системы и потенциальную энергию, обусловленную наличием внешних сил (например, силы тяжести).

Работа, производимая внутренними силами, вполне может быть не мала. Но она не приводит к изменению механической энергии, а только к перераспределению между ее видами. Например, пусть имеются два тела массы m, между которыми помещена сжатая пружина. Пружина, распрямляясь, разгонит тела, придаст им кинетическую энергию. Потенциальная энергия пружины при этом уменьшится. И в увеличении кинетической энергии тел, и в уменьшении потенциальной энергии пружины участвуют одинаковые по величине и противоположные по направлению силы взаимодействия пружины и тел. Суммарная энергия при этом не изменится. Потому механическая энергия замкнутой системы тел сохраняется. Это – закон сохранения механической энергии для системы тел.

В качестве примера рассмотрим камень, брошенный вертикально вверх со скоростью v0. Пусть сопротивлением воздуха можно пренебречь. В данном случае замкнутой будет система, включающая камень и Землю. Обозначим высоту положения камня, отсчитываемую от точки вылета, через h. Механическая энергия системы выразится формулой

.

Кинетической энергией Земли можно пренебречь, т. к. из-за большой массы Земля практически неподвижна. Начальная энергия системы равна , и из закона сохранения механической энергии имеем

.

Отсюда можно найти, например, скорость камня на любой высоте

или максимальную высоту подъема hmax, соответствующую значению v = 0. Имеем .

Если в замкнутой системе тел, кроме консервативных, действуют также неконсервативные силы, например, силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Рассматривая неконсервативные силы как внешние, можно опять написать уравнение (86), где под Е2 и Е1 понимают механические энергии системы частиц в конечном и начальном состояниях соответственно.

Ранее уже говорилось, что работа силы трения всегда отрицательна. Поэтому при наличии в системе сил трения механическая энергия системы уменьшается, переходя в немеханические виды (например, во внутреннюю энергию тел или, как принято говорить, в тепло). Такой процесс называется диссипацией энергии, а силы, приводящие к диссипации, – диссипативными. Сила трения, таким образом, является диссипативной.

С этой точки зрения уравнение (86) описывает переход движения от одной формы (механической) к другой (немеханической). Полная механическая энергия системы в этом случае (при наличии неконсервативных сил), как уже отмечалось, не сохраняется. Для этой ситуации Р. Майер и Г. Гельмгольц сформулировали закон сохранения и превращения полной энергии: в замкнутой системе энергия может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела другому, но ее общее количество остается неизменным. Закон сохранения механической энергии является, таким образом, частным случаем более общего закона сохранения и превращения полной энергии.

Закон сохранения и превращения полной энергии является одним из фундаментальных законов природы, справедливых как для систем макроскопических тел, так и для систем элементарных частиц. В теоретической физике доказывается, что этот закон вытекает из однородности времени, т. е. независимости законов физических явлений от выбора начала отсчета времени.

§ 2.9. Удары

Законы сохранения импульса и энергии являются одними из важнейших законов механики. В силу своего общего характера они применимы ко многим явлениям. Особенно плодотворным оказывается совместное применение этих законов. Часто, не зная деталей процесса, только исходя из этих законов, можно сделать важные выводы.

Рассмотрим применение закона сохранения импульса к расчету удара двух тел. Ударом называют явление изменения скоростей тел на конечные величины за очень малый промежуток времени, происходящее при их столкновениях. И хотя при ударе между сталкивающимися телами возникают достаточно большие силы взаимодействия, ввиду кратковременности процесса (удар считается «мгновенным» взаимодействием) они не приводят к значительному изменению импульса системы (см. § 2.4). Поэтому в процессе удара систему соударяющихся тел можно считать замкнутой и применять к ней закон сохранения импульса.

При соударении тел друг с другом они претерпевают деформацию. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением их температуры.

Существуют два предельных вида удара: абсолютно неупругий и абсолютно упругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются двумя условиями – сохранением полной механической энергии и сохранением полного импульса системы тел.

Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается; имеет место закон сохранения суммарной (полной) энергии различных видов – механической и внутренней.

Рассмотрим вначале абсолютно неупругий удар двух частиц, образующих замкнутую систему. Пусть массы частиц равны m1 и m2, а их скорости до удара и . В силу закона сохранения суммарный импульс частиц после удара должен быть таким же, как и до удара:

m1 + m2 = m1 + m2 = (m1 + m2), (90)

где – одинаковая для обеих частиц скорость после удара (частицы слипаются). Из (90) следует, что

. (91)

Для проведения численных расчетов нужно спроектировать соотношение (91) на соответствующим образом выбранные направления.

Полная энергия системы вначале состояла из кинетической энергии частиц

. (92)

После столкновения полная энергия состоит из кинетической энергии получившегося при ударе тела с массой (m1 + m2) и выделившейся при ударе теплоты Q

. (93)

Чисто механическая энергия в этом случае не сохраняется

.

В механических задачах тепло всегда выделяется, увеличивается. Механическая энергия переходит в тепло. В тепло идет, например, излишняя работа механизмов при коэффициенте полезного действия, меньшем 1.

Обратный переход тепла в работу требует довольно сложных устройств – тепловых двигателей – и в механике не рассматривается.

Рассмотрим теперь абсолютно упругий удар двух стальных шаров, также образующих замкнутую систему. Ограничимся случаем «центрального» удара, когда тела все время движутся вдоль одной прямой. Будем также считать, что вращение шаров отсутствует. Обозначим массы шаров через m1 и m2, скорости их до удара и и после удара и соответственно.

Поскольку тела образуют замкнутую систему, а удар абсолютно упругий, сохраняются и полный импульс, и полная механическая энергия системы.

m1 + m2 = m1 + m2

. (94)

Пусть скорости шаров до удара направлены вдоль оси х. Тогда первое уравнение (94) в скалярной форме запишется так:

m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2. (95)

Система уравнений (94), (95) решает задачу. Исключая u2, можно получить очень громоздкое квадратное уравнение для u1. Вместо этого, чтобы упростить вычисления, проведем следующие преобразования. Умножим второе уравнение (94) на 2 и перенесем в обоих уравнениях в левую часть члены, относящиеся к первому телу (с индексом 1), а в правую часть – ко второму (с индексом 2):

m1(v 1 – u 1) = m2(u2 – v2),

.

Поделим нижнее уравнение на верхнее и получим

u1 + v1 = u2 + v2.

Последнее уравнение вместе с законом сохранения импульса (95) образует систему из двух линейных уравнений. Эта система имеет единственное решение

; . (96)

Выражение для u2 получается из u1 заменой индексов 1 на 2 и 2 на 1. Так и должно быть, поскольку исходные уравнения симметричны относительно индексов. Такая проверка на симметрию часто бывает полезной в физике.

Но ведь исходная система уравнений сводилась к квадратному уравнению, имеющему два решения! Второе решение оказалось потерянным при делении уравнений. На нуль делить нельзя, поэтому надо проверить решение

u1 = v1, u2 = v2.

Очевидно, что оно удовлетворяет исходным законам сохранения. Каков его смысл? Частицы сохранили свои начальные скорости и как будто пролетели, не заметив друг друга.

Из законов сохранения никак не следует, что соударение обязательно произойдет. Уравнения пишутся точно так же и в том случае когда скорости направлены вдоль одной оси, но частицы движутся не по одной прямой. Поэтому, действительно, второе решение можно истолковать как промах. Другое истолкование – это начальное состояние (до удара), которое обязательно удовлетворяет законам сохранения.

Вернемся к основному решению (96). Рассмотрим частные случаи. Пусть массы тел равны, m1 = m2. Тогда после удара имеем

u1 = v2, u2 = v1.

При абсолютно упругом соударении одинаковых тел они просто обмениваются скоростями. В частности, если на неподвижный (v2 = 0) бильярдный шар налетает «в лоб» другой шар, то налетающий останавливается, а покоящийся приобретает его скорость. Такая картина легко воспроизводится в эксперименте, несмотря на некоторую неупругость удара и вращение шаров.

Другой частный случай – соударение тела с неподвижной стенкой (которую можно понимать как тело бесконечной массы), т. е. v2 = 0 и m2 = ¥. После удара u1 = – v1, u2 = 0. Возможен обратный случай, когда тяжелая стенка налетает на тело (m1 = ¥, v2 = 0). Тогда получим

u1 = v1, u2 = 2v1.

Легкое тело приобретает после удара тяжелого удвоенную скорость.

Приведенные примеры ударов показывают, что законы сохранения позволяют во многих случаях предсказать результат, не рассматривая сложной динамики. Полезно в любой задаче, прежде всего, прикинуть, не применимы ли здесь законы сохранения.

§ 2.10. Движение в поле тяготения

В 1678 г. Ньютон установил, что любое падение тел вызывается причиной общего характера, что между любыми земными телами, телами Солнечной системы, между любыми частицами, существующими во Вселенной, возникают силы тяготения (гравитационные силы). Закон, которому подчиняются силы тяготения, гласит: любые два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Установленный Ньютоном закон получил название закона всемирного тяготения. Математически он записывается так:

, (97)

где m и М – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между телами; g – гравитационная постоянная, равная 6,67 × 10-11 Н×м2/кг2.

Рассмотрим взаимодействие тела с Землей. Пусть М – масса Земли. Поместим начало координат в центр Земли. Тогда в векторной форме определение (97) можно записать в следующем виде:

, (98)

где r – радиус-вектор тела.

Из этого закона, в частности, следует, что у поверхности Земли все тела должны падать с одинаковым ускорением. Речь идет о свободном падении тел при отсутствии сил сопротивления (также не принимается во внимание зависимость силы тяжести от широты местности). Действительно, ускорение, приобретаемое телом массой m:

. (99)

Здесь ускорение свободного падения обозначено общепринятым символом , а RЗ – радиус Земли. Но т. к. RЗ и М являются величинами постоянными (Земля считается шаром), то получаем, что все тела у поверхности Земли, независимо от их массы, падают с одинаковым ускорением .

Выражение (99) имеет важное значение еще и потому, что позволяет вычислить ускорение силы тяжести на любом небесном теле.

Вернемся к соотношению (98) и рассмотрим малое перемещение тела d. Работа по перемещению тела на расстояние d согласно (63) равна dA = d. Но скалярное произведение d равно rdr (d = rdr) (рис. 42). Поэтому

. (100)

Из выражения (100) следует консервативность гравитационного поля: работа силы тяготения зависит лишь от координат начальной и конечной точек (r1 и r2) траектории, но не от формы пути. Следовательно, в поле силы тяготения можно ввести понятие потенциальной энергии

А12 = U1 – U2 = U(r1) – U(r2) = – gmM.

Удобно принять, чтобы на больших расстояниях потенциальная энергия (энергия взаимодействия) стремилась к нулю:

U(¥) =

Тогда имеем

. (102)

Знак «минус» в формуле (102) соответствует силе притяжения (97), о чем говорилось в § 2.7.

Выражение (101) – это стандартный выбор нуля потенциальной энергии для задач, связанных с космическими полетами в поле тяготения Земли. Если же рассматривать тело, все время остающееся вблизи поверхности Земли, разумно договориться, чтобы потенциальная энергия обращалась в нуль на поверхности Земли: U(RЗ) = 0. Это дает другое выражение для потенциальной энергии

. (103)

Разумеется, формулы (102) и (103) применимы только вне Земли при r ³ RЗ. На рис. 43 приведены графики для выражений (102) и (103). Для первого из них это нижняя, а для второго – верхняя кривая. Они отличаются на постоянную . Оба графика, конечно, дадут одинаковые разности U(r1) – U(r2) между любыми двумя точками. Пусть r = RЗ + h, где h – высота над поверхностью Земли. Из формулы (103) имеем

. (104)

При малых высотах (h << RЗ) в знаменателе можно пренебречь h и тогда из (104) получаем, учитывая (99)

,

что согласуется с полученным ранее результатом. На рис. 43 эта зависимость – прямая, касательная к графику выражения (103) вблизи поверхности Земли.

Учитывая, что и = const, можно показать, что выражения для потенциальной энергии (102) и (103) дают правильное выражение (98) для силы.

Действительно, связь между силой и потенциальной энергией дается выражением (81). Вычислим частную производную

Аналогичные выражения получаются для у и z компонент вектора силы. Окончательно получаем

,

т. е. выражение (98).

Вернемся к закону всемирного тяготения. Согласно ему любое находящееся вблизи Земли тело, взаимодействуя с Землей, притягивается к ней и в конце концов падает на Землю. Тем не менее, существуют спутники Земли как естественные (Луна), так и искусственные, которые, двигаясь с определенной скоростью вокруг Земли, не падают на нее. При каких условиях это возможно? Ведь согласно первому закону Ньютона всякое тело стремится двигаться равномерно и прямолинейно. Что же необходимо, чтобы изменить прямолинейное движение тела и заставить его двигаться по окружности?

Рассмотрим полет спутника вокруг Земли по круговой траектории на высоте h над поверхностью. За систему отсчета возьмем Землю. Если не учитывать сопротивление атмосферы, то на спутник действует только сила тяготения . Так как спутник вращается равномерно (иначе он не был бы спутником), то он обладает только нормальным ускорением . Уравнение движения спутника будет тогда иметь вид

. (105)

Отсюда

. (106)

Следовательно, чтобы спутник устойчиво двигался по орбите определенного радиуса, ему необходимо придать скорость, определяемую выражением (106). Численное значение этой скорости, как видно из формулы (106), зависит от расстояния h орбиты до поверхности Земли. Например, если спутник движется по круговой орбите с радиусом, мало отличающимся от радиуса Земли (т. е. h << RЗ), то формулу (105) с учетом (99) можно записать в виде

. (107)

Отсюда следует, что

. (108)

Средний радиус Земли RЗ – 6 378 км, а ускорение свободного падения тела вблизи поверхности Земли равно в среднем 9,81 м/с2. Подставляя численные значения RЗ и g в формулу (108) и произведя вычисления, получаем

.

Скорость v называется первой космической скоростью. Для спутника, вращающегося на любом (не обязательно малом) расстоянии от поверхности Земли, необходимо использовать формулу (106).

Можно ли пойти дальше и заставить тело совсем уйти от Земли? Да. Впервые это удалось сделать второго января 1959 г. (выдающийся день в космонавтике!). В этот день была запущена первая советская космическая ракета, которая, пролетев вблизи Луны, навсегда покинула Землю и стала искусственной планетой. Какую же минимальную скорость надо сообщить ракете в этом случае?

Для вычисления этой скорости воспользуемся законом сохранения полной механической энергии для системы ракета + Земля, утверждающим, что в поле силы тяжести сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий тела, т. е.

Екин + U = const = Eк¥ + U¥, (109)

где Екин и U – значения энергий в момент старта ракеты с Земли, а Eк¥ и U¥ – значения энергий при удалении ракеты в бесконечность (т. е. на бесконечно большое расстояние от Земли). С учетом выражения (102) уравнение (109) в явном виде запишется так:

. (110)

Но при уходе на бесконечно большое расстояние от Земли имеем r = ¥ и, следовательно, U¥ = 0. Для минимальности начальной скорости v0 надо, чтобы конечная скорость v ракеты в бесконечности равнялась нулю: v = 0. Тогда из (110) имеем

.

Откуда получаем

Скорость v0 называется второй космической скоростью.

ГЛАВА 3.

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

§ 3.1. Момент силы. Механика твердого тела

Кинематика вращательного движения, т. е. описание вращательного движения с помощью понятий углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения обсуждалась нами в гл.1. Рассмотрим теперь динамику, т. е. то, что приводит к вращательному движению. Точно так же, как существует аналогия между уравнениями кинематики поступательного и вращательного движений, имеются вращательные эквиваленты и для динамики. Например, первый закон Ньютона для вращательного движения гласит, что свободно вращающееся тело будет сохранять состояние вращения с постоянной угловой скоростью до тех пор, пока на него не действуют какие-либо внешние силы (или, как мы скоро увидим, моменты сил), стремящиеся изменить это движение. Более трудным оказался вопрос об установлении вращательного эквивалента второго закона Ньютона, т. е. вопрос о том, что же приводит к угловому ускорению. Ясно, что для того, чтобы тело начало вращаться относительно оси, необходимо наличие силы. Но каким при этом будет направление силы, а также где приложена эта сила? Рассмотрим пример. Пусть надо открыть тяжелую дверь ОА (рис. 44 с осью вращения О, перпендикулярной плоскости рисунка). Как ее толкать: вблизи петель (точка В) или вблизи ручки (точка А)? Параллельно двери или перпендикулярно к ней? Если приложить силу к двери так, как показано на рис. 44, то видно, что чем больше сила , тем быстрее дверь откроется. Но если теперь приложить силу той же величины, что и в точке В, расположенной ближе к косяку с петлями, то обнаружится, что дверь уже не так быстро открывается: эффект от приложения силы стал меньше.

Таким образом, угловое ускорение двери пропорционально не только величине силы. Если ограничиться рассмотрением только этой силы (пренебрегая силой трения в петлях и т. п.), то угловое ускорение оказывается также пропорциональным расстоянию по перпендикуляру от оси вращения до линии действия силы. Иными словами: если расстояние l1 в три раза больше расстояния l2 на рис. 44, то сила F2 должна быть в три раза больше силы F1, чтобы сообщить двери такое же угловое ускорение. Расстояния l1 и l2 называют плечами соответствующих сил. Таким образом, угловое ускорение пропорционально произведению величины силы на ее плечо. Это произведение называется моментом силы . Следовательно М ~ . Появление момента силы приводит к появлению углового ускорения. Это и есть вращательный аналог второго закона Ньютона F ~ .

Плечо силы было определено как длина перпендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы (воображаемую линию, проведенную вдоль направления действия силы). Это определение позволяет рассмотреть также действие силы, приложенной под углом. Ясно, что сила, приложенная под углом, такая как на рис. 45, приводит к меньшему действию, чем сила той же величины, приложенная под прямым углом, такая как на рис 44. Если же нажимать на край двери так, что сила будет действовать в направлении АО к петлям (т. е. к оси вращения), например, как сила на рис. 45, то дверь вообще не будет двигаться. Это согласуется с тем, что величина (модуль) момента силы , равная F3l^, меньше, чем F1l1 при F3 = F1, а величина момента силы вообще равна нулю, т. к. нулю равно плечо этой силы.

Другой эквивалентный метод определения момента силы состоит в разложении силы на составляющие, одна из которых () параллельна, а другая () – перпендикулярна линии, соединяющей точку приложения силы с осью вращения (рис. 46). При этом величина момента силы равна произведению величины силы на расстояние l1 от оси вращения до точки приложения силы

.

Это, конечно, совпадает с вышеприведенным выражением F3l^, т. к. l^ = l1 sina и F^ = F3 sina.

Поскольку момент силы равен произведению силы на расстояние, единицей его измерения является ньютон-метр (Н×м). Заметим, что эта единица измерения в системе СИ аналогична единице измерения энергии. Но эти величины сильно отличаются друг от друга. Очевидное различие состоит в том, что энергия является скалярной величиной, а момент силы – векторной. Специальная единица джоуль (Дж) используется только для измерения энергии и работы, а не момента силы.

§ 3.2. Основное уравнение динамики вращения

В предыдущем параграфе было отмечено, что вращательным аналогом второго закона Ньютона является пропорциональность ~ между моментом силы и вызываемым им угловым ускорением . Но пропорциональность не позволяет определять численные значения величин. Поэтому необходимо получить точное соотношение между и .

Рассмотрим произвольную механическую систему, состоящую из n материальных точек. Пусть mi – масса i-й точки системы, а i ­– ее радиус-вектор, проведенный в эту точку из начала координат О неподвижной инерциальной системы отсчета. Обозначим через силу (внутреннюю), действующую на i-ю частицу со стороны k-й, а через – равнодействующую всех внешних сил, приложенных к i-й точке.

По второму закону Ньютона уравнение движения этой материальной точки имеет вид

, (111)

где – скорость i-й точки; – ее импульс, а индекс суммирования k пробегает все целочисленные значения от 1 до n, причем Fii = 0, т. к. i-я точка сама на себя не действует.

Умножив обе части уравнения (111) векторно на , получим

, (112)