Предисловие (стр. 1 )

ПРЕДИСЛОВИЕ

Раздел «Физические основы механики» занимает особое место в курсе общей физики, потому что именно с него начинается изучение этого курса. Именно здесь вводятся основные понятия (за исключением, пожалуй, только понятия электрического заряда) и определения, формулируются фундаментальные физические законы. Знание этих законов совершенно необходимо для изучения дальнейших разделов курса и понимания различных природных явлений.

Нужно отметить, что уже при изучении механики становится видна колоссальная роль математики в познании и понимании окружающего нас мира. (Не в последнюю очередь именно столь широкое использование различных математических методов и привело к тому, что современная физика может так много).

Фактически при изучении механики студенты впервые начинают столь систематически использовать свои математические познания. Поэтому в учебном пособии даются (там, где это не приводит к излишней громоздкости) подробные пояснения проводимых математических расчетов. Разумеется, не в ущерб пониманию физического смысла анализируемых явлений. Математика, конечно, важна, но она не должна заслонять физическую суть явлений.

Не включены (в связи с ограниченностью объема) в пособие исторические обзоры, описания экспериментальных установок и лекционных демонстраций.

Автор выражает глубокую признательность доценту кафедры физики – научному редактору этого издания.

Глава 1

КИНЕМАТИКА

§ 1.1. Механическое движение

Основным понятием механики является понятие механического движения. Мы говорим, что тело движется, если само оно целиком или отдельные его части с течением времени изменяют свое положение относительно окружающих предметов. Приходится говорить «или отдельные части», потому что возможны случаи, когда при движении тела некоторые его точки остаются неподвижными; например, точки, лежащие на оси вращающегося вала, будут оставаться на одном и том же месте, как бы быстро ни вращался вал. Мы говорим «изменяют свое положение относительно других предметов», потому что положение тела можно определить только относительно других тел, например, задав его расстояние от другого тела и направление, по которому это расстояние откладывается, задав расстояние от двух каких-нибудь неподвижных тел и т. д. Поэтому чтобы узнать движется ли конкретное тело и как оно движется, необходимо указать, относительно каких тел рассматривается это движение.

Движение происходит как в пространстве, так и во времени. Время определяется с помощью часов. Совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение, и отсчитывающих время часов образует систему отсчета. Систему отсчета можно выбирать произвольно бесчисленным множеством способов. При этом движение какого-либо тела в разных системах отсчета будет выглядеть, вообще говоря, различно. В частности, если система отсчета совпадает с самим телом, то в ней тело будет покоиться. Выбор той или иной системы отсчета обычно определяется соображениями удобства с точки зрения решения данной конкретной задачи.

Мир, окружающий нас, очень сложен. Огромное количество тел в нем как-то воздействуют друг на друга и учесть все эти взаимодействия практически невозможно. Поэтому приходится изучать не движение реальных тел, а модель этого движения. Иными словами, мы отбрасываем все несущественные (на наш взгляд) факторы и оставляем только те, влияние которых наиболее значительно. В реальных условиях это обычно означает, что мы рассматриваем движение небольшого количества тел, пренебрегая присутствием всех остальных. Такая совокупность выделенных для рассмотрения тел называется механической системой. Насколько точно построенная модель соответствует рассматриваемому явлению, решается, конечно, сравнением результатов расчета с экспериментальными данными.

Выбор системы отсчета и механической системы позволяет однозначно решить основную задачу механики – описать движение рассматриваемых тел, т. е., зная состояние системы в начальный момент времени и зная законы движения, определить ее состояние в любой произвольный момент времени.

Механику обычно делят на три основные части: кинематику, динамику и статику. Кинематика занимается пространственным описанием движения, не изучая его причины. Динамика, напротив, изучает движение тел в связи с теми причинами, которые обусловливают тот или иной его характер. Наконец, в статике рассматривается частный случай движения тел, а именно – их равновесие.

Движение тел принято разделять на несколько простых видов: поступательное, вращательное и колебательное.

При поступательном движении прямая, соединяющая две произвольные точки тела, переносится параллельно себе самой (рис. 1). Для изучения поступательного движения тела достаточно изучить движение какой-либо одной из его точек, т. к. все точки тела движутся совершенно одинаково.

При вращательном движении тела все его точки описывают окружности в параллельных плоскостях, причем центры этих окружностей лежат на одной прямой, называемой осью вращения (рис. 2).

Колебаниями называются ограниченные движения, полностью или частично повторяющиеся во времени, в окрестности некоторого среднего положения (положение равновесия). Например, если мы подтолкнем шарик, висящий на нити, то он будет совершать колебания около своего первоначального отвесного положения (рис. 3).

Изучение поведения тел в механике основано на двух основных моделях тел: материальной точке и абсолютно твердом теле.

Тело размерами (т. е. объемом) которого в условиях данной задачи можно пренебречь, называется материальной точкой.

Тело конечных размеров называется абсолютно твердым, если в условиях данной задачи можно пренебречь его деформацией.

§ 1.2. Элементы векторной алгебры. Сложение векторов.

Проекция вектора на заданное направление

Многие законы физики удобнее записывать в векторном виде. Для векторов разработана специальная векторная алгебра. Определим понятие «вектор» и некоторые действия с векторами.

Вектор – это направленный отрезок прямой. Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинской буквой со стрелкой наверху, например, , , , и т. д.

Так как у всякого отрезка есть две граничные точки, то имеет их и вектор; одна из граничных точек является его началом, а другая – концом. Направление вектора задается от начала к концу, причем на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка А является началом вектора , то говорят, что вектор приложен к точке А (рис. 4).

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например, модулем вектора является число v. Часто для обозначения модуля вектора используют знак абсолютной величины и пишут .

Векторы называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. На рис. 5, например, векторы , и коллинеарны. Символически пишут так: ­­;­¯.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Определим правило сложения векторов. Пусть заданы два вектора и . Перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора и соединим начало первого вектора с концом второго (рис. 6). Полученный вектор и называется суммой векторов

= + .

Это – правило треугольника. Очевидно, что + = + . Последовательно применяя это правило, можно складывать любое число векторов (рис. 7).

Другой способ построения вектора + называется правилом параллелограмма. По этому правилу нужно с помощью параллельного переноса совместить начала векторов, а затем построить параллелограмм, используя векторы и в качестве сторон. Диагональ параллелограмма и даст вектор (рис. 8). Легко убедиться в эквивалентности определения суммы двух векторов по правилам треугольника и параллелограмма. Для определения модуля вектора = + можно использовать теорему косинусов, согласно которой (рис. 6 и рис. 8)

= + – 2аb cosa.

Правило параллелограмма позволяет понять еще одну операцию с векторами, а именно: разложение вектора по различным направлениям. В физике это соответствует, например, разложению скорости или силы на составляющие.

Пусть надо заменить вектор (рис. 8) двумя векторами, направленными по направлениям Ох и Оу (т. е. разложить вектор по осям Ох и Оу). Для этого достаточно построить параллелограмм, у которого диагональю был бы отрезок с, а две стороны были направлены по прямым Ох и Оу. Такой параллелограмм получается, если из точки D провести (рис. 8) отрезки DК || Ox и DL || Oy. Тогда стороны OL и ОК будут соответствовать векторам и , на которые в данном случае раскладывается вектор = + .

Отметим, что разложение вектора однозначно, если заданы направления Ох и Оу.

Разностью векторов и называют такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Иными словами, если = – , то справедливо соотношение (рис. 9) + = .

В связи с операцией сложения (или вычитания) векторов надо отметить одно обстоятельство. Многие физические величины (например, скорость, сила, момент силы…) являются векторами. Но складывать (и вычитать) можно только такие величины, размерности которых одинаковы, т. е. скорость складывается со скоростью, сила с силой и т. д. Складывать или вычитать величины с разной размерностью нельзя.

Теперь рассмотрим понятие проекции вектора на заданное направление. Пусть заданы два вектора и . Приведем эти векторы к одному началу О (рис. 10). Угол a, образованный лучами, исходящими из точки О и направленными вдоль векторов и , называют углом между векторами и . Число аb = a cosa называется проекцией вектора на направление вектора . Проекция вектора получается, если из его конца опустить перпендикуляр на направление вектора (рис. 10). Тогда расстояние от общего начала векторов – точки О до точки С пересечения указанного перпендикуляра с прямой, на которой лежит вектор , будет равно модулю проекции вектора на направление вектора .

Угол a может принимать значения от 0 до 3600, поэтому в зависимости от значения cosa проекция может принимать положительные, отрицательные значения или нуль.

Рассмотрим умножение вектора на скаляр. Зададим некоторый вектор и число b > 0. Тогда вектор = b будет совпадать по направлению с вектором . А для модулей этих векторов выполнится соотношение b = bа. При b < 0 направление вектора изменится на противоположное. Для проекций вектора также выполняются подобные соотношения (каждая проекция вектора , умноженная на b, дает соответствующую проекцию вектора ).

§ 1.3. Система координат, траектория движения

Изучение законов движения естественно начать с самой простой модели. Ранее мы назвали материальной точкой тело, размерами которого в условиях данной задачи (т. е. по сравнению с другими характерными размерами в задаче) можно пренебречь. Например, изучая движение Луны вокруг Земли, можно считать Луну материальной точкой, т. к. линейные размеры Луны пренебрежимо малы по сравнению с линейными размерами ее орбиты. Но этого нельзя делать, рассматривая движение лунохода по Луне.

Движение материальной точки происходит наиболее просто, т. к. в этой модели нет объема, а значит, нет вращения тела и перемещения его частей (их нет) друг относительно друга. Поэтому материальная точка является одним из основных объектов механики. Далее мы часто будем говорить о ней как о частице.

Для описания положения частицы в пространстве надо как-то отличать одну точку пространства от другой. С этой целью вводится система координат, однозначно сопоставляющая каждой точке пространства некоторый набор чисел, определяющих адрес каждой точки. Далее мы будем пользоваться декартовой системой координат.

Произвольной точке А (рис. 11) здесь соответствует радиус-вектор , проведенный из начала координат О в точку А. В свою очередь радиус-вектор можно разложить по координатным осям

, (1)

где х, у, z – это проекции вектора на координатные оси Ох, Оу, Оz соответственно, а – единичные () векторы вдоль этих осей. Величины х, у, z называются координатами точки А.

Подчеркнем, что модуль (длина) радиуса-вектора

(2)

не зависит от системы координат. При выборе других осей меняются его проекции (х, у, z ®х/, у/, z/), но не модуль.

При движении материальной точки ее радиус-вектор и координаты изменяются с течением времени t. Поэтому описать движение материальной точки – значит указать либо вид зависимости ее радиуса-вектора от времени

, (3)

либо зависимость от времени ее координат.

х = х(t), у = у(t), z = z(t). (4)

Векторное уравнение (3) или эквивалентные ему три скалярных уравнения (4) называют кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Линия, описываемая в пространстве материальной точкой при движении, называется траекторией. Уравнения (3) и (4) задают траекторию в так называемой параметрической форме. Роль независимого параметра играет время t. Решая уравнение (4) совместно и исключая из них параметр t, можно найти уравнение траектории, указывающее связь между тремя координатами любой точки траектории.

В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Если все участки траектории движения лежат в одной плоскости, то движение точки называют плоским. Пусть частица, находящаяся в точке 1, характеризующейся радиусом-вектором , переместилась в точку 2 с радиусом-вектором (рис. 12). Назовем вектором перемещения тела вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением. Из правила сложения векторов видно, что перемещение определяется выражением

.

Здесь и дальше знак D (греческая буква дельта) будет означать приращение величины, стоящей за ним; в данном случае – конечное значение радиуса-вектора минус его начальное значение.

Разумеется, частица не обязательно двигалась вдоль вектора перемещения. Траектория движения частиц из точки 1 в точку 2 может быть произвольной (рис. 13). Траектория характеризует движение более детально, чем перемещение, которое определяет лишь результат – конечное положение. В частности, длина траектории от точки 1 до точки 2 – это путь S, пройденный телом при перемещении из точки 1 в точку 2.

Задавая путь S, мы задаем расстояние, пройденное телом, но не знаем направление движения (начало, конец), а задавая , мы знаем, где начало и конец. Например, при движении по траектории на рис. 13 туда и обратно получаем результирующий путь, равный 2S, а = 0.

§ 1.4. Геометрический смысл производной и интеграла

Кинематическими характеристиками движения являются путь, пройденный телом, перемещение тела, скорость и ускорение тела. Определение понятий скорости и ускорения тела, а также взаимосвязь между этими характеристиками и путем основаны на использовании математических операций дифференцирования и интегрирования функций. Поэтому напомним некоторые свойства производной и интеграла, ни в коей мере не претендуя на математическую строгость и полноту. По определению производной некоторой функции f(t) по t является предел отношения

при Dt, стремящемся к нулю. Математически это записывается так:

.

Пусть, например, график зависимости f(t) имеет вид, изображенный на рис. 14. Тогда отношение – это фактически tga1. При стремлении Dt к нулю угол a1 стремится к углу a наклона касательной к графику f(t) относительно оси t.

Следовательно,

. (5)

Зная это, можно, например, сказать, что (производная при t = t1) меньше производной (рис. 15), т. к. a < b. Из определения производной также следует, что если функция f постоянна (f = const), то f(t + Dt) = f(t) и, следовательно, = 0. Иными словами, производная постоянной функции равна нулю.

Интеграл от функции f(t) обозначается так: . В курсе математики показывается, что численно равен площади криволинейной фигуры (заштрихованной на рис. 16) t1AВt2 под графиком функции f(t) в интервале t1 £ t £ t2.

Таким образом, по графику зависимости f(t) можно анализировать как поведение производной , так и поведение интеграла .

§ 1.5. Скорость

Движение материальной точки характеризуется ее скоростью (от англ. velocity). При равномерном движении ( = const) модуль скорости определяется просто как путь, проходимый частицей в единицу времени. В общем случае, когда движение неравномерно и меняет свое направление ( ¹ const), скорость частицы определяется как вектор, равный частному от деления вектора бесконечно малого перемещения частицы вдоль траектории на соответствующий бесконечно малый интервал времени

.

Результат операции, задающейся этой формулой, называют производной функции S(t) по времени и записывают так:

. (6)

Здесь введено часто использующееся в физике для упрощения записи обозначение (в выражении (6) в качестве f выступает путь ) для первой производной функции f(t) по времени. Вторая производная от f(t) по времени обозначается двумя точками сверху, третья производная – тремя. Выражение (6) определяет мгновенную скорость тел, т. е. его скорость в данный момент времени.

Направление скорости совпадает с направлением , т. е. скорость в каждый момент времени направлена по касательной к траектории частицы в сторону движения. Часто величину называют также линейной скоростью (в отличие от угловой скорости, которая будет введена позже). Размерность скорости равна размерности пути, деленной на размерность времени, т. е. м/с.

На рис. 17 изображена траектория движения некоторой материальной точки и отмечены её радиусы-векторы и + в моменты времени t и t + Dt. Пользуясь правилом сложения векторов, получаем, что бесконечно малое смещение d точки вдоль траектории равно разности радиусов-векторов частицы в начальный и конечный моменты времени (d = d). Поэтому скорость можно представить в виде

, (7)

т. е. скорость можно определить и как производную от радиуса-вектора движущейся частицы по времени.

Вектор , как и , можно разложить по осям соответствующей системы координат. Поскольку компонентами радиуса-вектора являются координаты х, у, z частицы, то компоненты (или проекции) vx, vy, vz скорости на оси координат х, у, z соответственно равны производным

;

; ; . (8)

Из выражения (8) следует соотношение, определяющее модуль скорости

. (9)

Скорость наряду с положением является основной характеристикой состояния движения материальной точки. Состояние частицы определяется, следовательно, шестью величинами: тремя координатами и тремя компонентами скорости.

Определение (6) позволяет вычислить путь, пройденный телом в интервале времени от t1 до t2:

. (10)

В частном случае равномерного (v = v0 = = const) движения отсюда получаем

S = v0(t2 – t

Поскольку численно равен площади криволинейной фигуры t1АВt2 под графиком v(t) (рис. 18, а), то получаем, что путь, пройденный телом со скоростью v(t) в интервале t1 £ t £ t2 также численно равен этой площади. В случае равномерного движения фигура t1АВt2 превращается в прямоугольник (рис. 18, б), площадь которого определяется формулой (11).

С другой стороны, на графике зависимости S(t) скорость в момент времени t = t0, согласно выражениям (6) и (5), дается значением tga (рис. 19), где a – угол наклона касательной к графику S(t) для момента времени t0.

В случае неравномерного движения ( ¹ const) наряду с понятием мгновенной скорости часто пользуются понятием средней скорости ср. Пусть за некоторый промежуток времени Dt частица совершила перемещение D. Тогда вектор средней скорости определяется (по аналогии с равномерным прямолинейным движением) формулой

. (12)

Видно, что вектор ср направлен так же, как и вектор перемещения .

Рассмотрим криволинейную траекторию движения некоторой частицы (рис. 20). Если зафиксировать начальную точку (точка А на рис. 20) и выбрать в качестве конечной точку В, или С, или D, то видно, что направления и, вообще говоря, модули средней скорости, будут различными.

Таким образом, в общем случае средняя скорость зависит от выбора промежутка времени Dt. Поэтому (по сравнению с мгновенной скоростью) она является недостаточной характеристикой неравномерного движения.

В повседневной практике часто под средней скоростью понимают нечто иное. Зададим вопрос: «С какой средней скоростью двигалась машина участника кольцевых автогонок?» Строго говоря, ответ должен быть ср = 0, т. к. перемещение D = 0. Однако имеется в виду, конечно, другое: среднее значение величины скорости, т. е. длина пройденного пути, деленная на соответствующий промежуток времени. В этом понимании «средняя скорость» (ее еще называют средней путевой скоростью или просто средней скоростью неравномерного движения на данном участке траектории) уже не является вектором.