Предисловие (стр. 7 )

Закон сохранения момента импульса (128) утверждает, что при равенстве нулю результирующего момента внешних сил момент импульса системы остается неизменным во времени. Но момент импульса тела, вращающегося вокруг оси симметрии, проходящей через его центр масс, направлен вдоль оси вращения. Следовательно, закон сохранения момента импульса фактически утверждает, что при равном нулю результирующем моменте внешних сил сохраняется неизменным и направление оси вращения.

Свойство вращающегося твердого тела сохранять направление оси вращения, а также характер сил, действующих со стороны оси тела на опоры при внешних воздействиях, используется для различных технических целей. Применяемые в технике массивные симметричные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью, носят название волчков или гироскопов.

Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил, стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной к оси его вращения, то он станет поворачиваться около третьей оси, перпендикулярной к первым двум. Пусть, например, гироскоп Д вращается около оси ОО/ в направлении, указанном стрелкой на рис. 56. Пусть к гироскопу приложена пара сил и , перпендикулярных к плоскости рисунка и стремящихся повернуть его около оси АА/. Тогда верхний конец оси гироскопа О/ отклонится вправо, а нижний – влево (указано стрелками и ), т. е. гироскоп повернется около оси ВВ/, перпендикулярной к плоскости рисунка. Это явление получило название гироскопического эффекта.

Из рис. 56 видно, что в результате гироскопического эффекта гироскоп стремится расположить ось своего вращения так, чтобы она образовывала, возможно, меньший угол с осью вынужденного вращения АА/.

Парадоксальное на первый взгляд указанное свойство гироскопа можно понять на основании следующего рассмотрения. Пусть имеется гироскоп, вращающийся в направлении, указанном на рис. 57, и на который действует пара сил и , направленных так же, как и силы, приложенные к гироскопу, изображенному на рис. 56. Тогда вектор угловой скорости направлен вниз, а момент пары сил и (силы лежат в плоскости, перпендикулярной к плоскости рисунка) направлен вдоль прямой АА/ влево. Согласно основному уравнению динамики вращения и угловое ускорение направлено в ту же сторону, что и . Следовательно, за некоторый малый промежуток времени Dt изменение угловой скорости изобразится вектором D, параллельным вектору , т. е. лежащим в плоскости чертежа и направленным налево. Это означает, что ось вращения гироскопа повернется вокруг оси ВВ/ по часовой стрелке, приняв положение .

Вследствие гироскопического эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на подшипники, в которых вращается ось гироскопа. Например, если конец О/ гироскопа, вращающегося в направлении, указанном стрелкой на рис. 58, отодвигается назад за плоскость чертежа, а конец О – вперед, то ось оказывает на подшипники давление в направлении стрелок и .

Гироскопические силы проявляются при движении быстро вращающегося игрушечного симметричного волчка. При вращении волчок опирается острием на горизонтальную плоскость ху в точке О (рис. 59). При наклонном положении волчка составляющая силы тяжести стремится наклонить ось волчка еще больше. Если бы волчок не вращался, он сразу же упал бы на землю. Но вследствие вращения наблюдается гироскопический эффект. Ось волчка ОО/ отклоняется в перпендикулярном направлении (указанном стрелкой ) и начинает двигаться («прецессировать») по конической поверхности, изображенной на рис. 58 штриховыми линиями. В результате прецессии волчок не падает.

Гироскопы находят различное применение. Например, в нарезных орудиях. Винтовые нарезы в стволе орудия сообщают вылетающему снаряду быстрое вращение вокруг оси и превращают его в гироскоп с большим собственным моментом импульса. Благодаря этому момент сил, возникающий вследствие сопротивления воздуха, не ведет к опрокидыванию снаряда, а лишь вызывает прецессию снаряда вокруг направления касательной к траектории.

Гироскоп может быть использован и в качестве компаса. Гироскопический компас (гирокомпас) представляет собой быстро вращающийся волчок (дооб/мин), плавающий в сосуде со ртутью. Благодаря суточному вращению Земли, ось гироскопа стремится расположиться параллельно оси вращения Земли, т. е. в меридиональной плоскости, указывая точно на север. Гирокомпас выгодно отличается от компаса с магнитной стрелкой тем, что в его показания не надо вносить поправки на магнитное склонение (угол между магнитным и географическим меридианами) и не надо принимать мер для компенсации воздействия на стрелку расположенных вблизи нее ферромагнитных предметов (например, стального корпуса корабля и т. п.).

Гироскопические эффекты могут оказывать при наличии в механизмах быстро вращающихся массивных частей вредное влияние. Например, турбина при поворачивании корабля оказывает благодаря возникающим гироскопическим силам добавочное давление на подшипники.

§ 3.7. Неинерциальные системы отсчета

До сих пор все физические явления рассматривались в инерциальных системах отсчета. Иногда удобнее перейти в неинерциальную систему, т. е. систему отсчета, движущуюся с ускорением. Но ускоренно движущиеся системы отсчета имеют свои особенности, которые и будут рассмотрены нами в этом параграфе.

Начнем с анализа систем отсчета, движущихся прямолинейно с ускорением. Рассмотрим вагон поезда, двигающийся с постоянным ускорением > 0 по прямолинейному пути (т. е. вагон является неинерциальной системой отсчета). Пусть внутри вагона на нити длиной l подвешен небольшой шарик массой m. При рассматриваемом движении вагона шарик отклонится от вертикали на некоторый угол a (рис. 60). В инерциальной системе отсчета, связанной с перроном, ситуация такова. На шарик действуют две силы: сила тяжести m (со стороны Земли) и сила натяжения нити . Под действием этих двух сил шарик приобретает ускорение . Второй закон Ньютона для шарика имеет вид

m + = m. (136)

Отсюда, в частности, можно найти угол отклонения шарика (рис. 61) по формуле

tga = A/g. (137)

Перейдем теперь в систему отсчета, связанную с вагоном (в которой вагон покоится), т. е. в неинерциальную систему отсчета. С точки зрения пассажира, сидящего в вагоне, силы m и по-прежнему действуют и не меняют величины и направления. Сумма этих сил не равна нулю, но шарик покоится! Да и сам пассажир, ускоряющийся относительно перрона, чувствует добавочное давление кресла и, тем не менее, покоится в собственной системе отсчета. Поэтому пассажир придет к выводу, что в его системе отсчета второй закон Ньютона нарушается. Есть две возможности: либо согласиться, что в ускоренной системе отсчета второй закон Ньютона не действует, либо попытаться как-то изменить его вид, чтобы использовать этот закон.

Удивительно, но модификация второго закона Ньютона оказывается формально очень простой. Если допустить, что в системе отсчета, связанной с вагоном (или пассажиром, если он неподвижен относительно вагона), справедлив второй закон Ньютона, то появление в этой системе ускорения можно формально объяснить действием на шарик некоторой силы . Теперь уравнение (136) в системе «вагон» будет выглядеть так:

m + – m =

Казалось бы, последнее уравнение, практически не отличаясь от уравнения (136), ничего нового не привносит. Но это не так.

Оказывается, что при введении такой фиктивной силы (силы инерции) второй закон Ньютона не меняет своего вида (т. е. выполняется) и при движении тела в неинерциальной системе отсчета. Иными словами, если движение некоторого тела рассматривается в неинерциальной системе отсчета (движущейся с ускорением относительно инерциальной системы), то второй закон Ньютона записывается следующим образом:

– m = m, (139)

где – сумма обычных сил, действующих на тело; – ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчета.

Действительно, ускорение тела в инерциальной системе отсчета будет равно + и второй закон Ньютона в этой системе имеет вид

= m( + ),

что эквивалентно уравнению (139).

Сила инерции = – m обладает почти всеми свойствами обычных сил, за исключением одного – она не имеет источника, т. е. нельзя указать тело, действующее на рассматриваемое тело с такой силой.

Силы инерции обусловлены свойствами той системы отсчета, в которой рассматриваются механические явления.

Сила инерции = – m действует на любое тело, движение которого рассматривается в неинерциальной системе отсчета. Действительно, если посмотреть в окно вагона, то все окружающие предметы (деревья, строения) имеют ускорение = – и второй закон Ньютона запишется в виде

– m = m.

Таким образом, описание движения в неинерциальной системе отсчета сводится к добавлению фиктивной силы инерции, действующей на любое тело. Сила инерции равна произведению массы тела на ускорение системы отсчета, взятое с обратным знаком. При этом форма второго закона Ньютона не меняется.

Аналогичным образом объясняется возникновение инерционных сил во вращающейся системе. Рассмотрим вращение спутника вокруг Земли. Пусть для простоты траектория движения спутника все время лежит в одной и той же плоскости. Для того чтобы спутник двигался по окружности радиусом R (где R – расстояние от центра Земли до спутника), в инерциальной системе отсчета (связанной, например, с Землей), необходимо сообщить спутнику центростремительное ускорение аn = w2R, где w – угловая скорость вращения спутника. Для этого к спутнику должна быть приложена центростремительная сила F = mw2R. Единственная реальная сила, действующая на спутник, – сила притяжения Земли

,

где М – масса Земли, а m – масса спутника.

Земля должна непрерывно притягивать спутник к себе, заставляя его поворачивать. Не будь силы притяжения, спутник начал бы двигаться по касательной к окружности и перестал бы быть спутником. Эта сила притяжения и является в данном случае центростремительной силой.

Таким образом, в инерциальной системе отсчета второй закон Ньютона для спутника имеет вид

. (140)

Во вращающейся с угловой скоростью w системе отсчета, связанной, например, со спутником (т. е. неинерциальной системе отсчета), снова приходим к нарушению второго закона Ньютона. Действительно, в этой системе на спутник действует единственная реальная сила – сила тяготения, но спутник покоится! Способ «спасения» второго закона Ньютона – тот же, что и при прямолинейном движении. Если считать, что на спутник действует сила = – m, все становится на свои места. Ускорение в данном случае численно равно центростремительному ускорению:

А = w2R.

И «модернизированный» второй закон Ньютона запишется во вращающейся системе отсчета в виде

.

В этом случае силу называют центробежной силой. Она направлена вдоль радиуса от центра (или оси) вращения. Если тело движется относительно вращающейся системы отсчета с ускорением , второй закон Ньютона примет вид

, (141)

где, как и ранее, – сумма сил, действующих со стороны других тел.

В повседневной жизни часто приходится встречаться с инерционными силами. Например, когда трамвай начинает резко тормозить или поворачивать на большом ходу, мы оказываемся соответственно отброшенными по отношению к трамваю вперед или в сторону, наружную по отношению к повороту. Это объясняется тем, что мы сохраняем скорость, которую имели раньше, вагон же приобретает ускорение. По отношению же к системе отсчета, связанной с вагоном, эти относительные смещения объясняются действием инерционных сил. Эти инерционные силы приходится учитывать во всякой ускоренной системе как добавочные по отношению к силам, действующим в инерционной системе.

При движении тела относительно вращающейся системы отсчета, кроме центробежной силы инерции, появляется еще одна сила, называемая силой Кориолиса или кориолисовой силой инерции.

Появление кориолисовой силы можно обнаружить на следующем примере. Возьмем горизонтально расположенный диск, который может вращаться вокруг вертикальной оси. Прочертим на диске радиальную прямую ОА (рис. 62, а). Запустим в направлении от О к А шарик со скоростью . Если диск не вращается, шарик будет катиться вдоль прочерченной прямой. Если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик будет катиться по изображенной пунктиром кривой ОВ, причем его скорость относительно диска будет изменять свое направление. Следовательно, по отношению к вращающейся системе отсчета шарик ведет себя так, как если бы на него действовала сила , перпендикулярная к скорости .

Чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиальной прямой, нужно сделать направляющую, например, в виде ребра ОА (рис. 62, б). При качении шарика направляющее ребро действует на него с некоторой силой Fr. Относительно вращающейся системы (диска) шарик движется с постоянной по направлению скоростью. Это можно формально объяснить тем, что сила Fr уравновешивается приложенной к шарику силой инерции , перпендикулярной к скорости . Сила и есть кориолисова сила инерции. Можно показать, что = 2m, где m – масса шарика.

Сила Кориолиса проявляется при движении тела по поверхности земного шара, обладающего определенной угловой скоростью, благодаря суточному вращению. Предположим, например, что поезд идет в северном полушарии в меридиональном направлении на север (точка а на рис. 63). При этом вектор относительной (относительно земной поверхности) скорости составляет острый угол a с вектором угловой скорости , и кориолисова сила направлена касательно к земной поверхности направо, если встать лицом по ходу движения поезда. Поезд оказывает на правый рельс большее давление, чем на левый. В южном полушарии, при движении поезда к югу (точка а/ на рис. 63), составит с тупой угол, и сила Кориолиса направлена налево относительно хода движения. Существованием силы Кориолиса объясняется подмывание реками, текущими на север в меридиональном направлении, в северном полушарии правого (восточного), а в южном – левого берегов. Поэтому правый берег (например Оби, Енисея), как правило, боле крутой (более подмыт).

Другим примером влияния сил Кориолиса на движение тел у поверхности земного шара является отклонение свободно падающих тел к востоку от вертикали и отклонение плоскости качания маятника Фуко. Маятник Фуко представляет собой симметричное тяжелое тело, подвешенное на длинной нити (обычно демонстрируется в высоких соборах). Крепление нити в опоре осуществляется таким образом, чтобы вращение опоры не сказывалось на свободных колебаниях маятника под действием его силы тяжести. Пусть для простоты маятник совершает колебания на северном полюсе. Тогда скорость груза маятника все время перпендикулярна к оси земного шара (при большой длине нити) и, следовательно, ^, где – по-прежнему вектор угловой скорости вращения Земли. В результате на груз маятника действует сила Кориолиса, численно равная Fк = 2mv/w, лежащая в горизонтальной плоскости и направленная вправо по отношению к вектору . Под действием этой силы груз маятника при каждом размахе отклоняется вправо. В результате плоскость качаний маятника будет поворачиваться относительно Земли в направлении часовой стрелки и повернется на угол 2p за сутки. В случае качаний маятника на широте j плоскость качаний повернется в сутки на угол 2p sinj.

Наблюдение отклонения плоскости качания маятника было впервые проведено Фуко в 1851 г. и послужило прямым доказательством существования суточного вращения Земли.

Кориолисова сила закручивает циклоны – тропические ураганы. Для урагана необходимы жаркая погода, вызывающая сильное испарение и поднятие нагретого воздуха, и сила Кориолиса, закручивающая сходящиеся к освободившемуся месту потоки воздуха. Сила Кориолиса в южном полушарии закручивает ураган по часовой стрелке, а в северном – против (отклоняет потоки вправо). На экваторе ее влияние нулевое (возможна только вертикальная составляющая), и поэтому ураганы возникают в сороковых («ревущих») широтах, где еще достаточно жарко.

ГЛАВА 4.

ОСНОВЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ

ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

§ 4.1. Принцип относительности Галилея и преобразования Галилея

Ранее уже говорилось, что в разных системах отсчета одно и то же движение может выглядеть по-разному. Описанием событий в разных системах отсчета занимается теория относительности. Обычно под этими словами подразумевают эйнштейновские специальную и общую теории относительности. Эффекты специальной теории относительности хорошо проявляются, когда тело движется мимо нас почти со скоростью света. Общая теория относительности описывает то, что происходит в системах отсчета, движущихся с ускорением по отношению к нашей (действуют поля тяготения), и здесь рассматриваться не будет.

В этой главе мы рассмотрим инерциальные системы отсчета. Как уже говорилось в § 2.1, под инерциальной системой отсчета принято понимать такую систему отсчета, в которой выполняется первый закон Ньютона – закон инерции. По первому закону Ньютона, если на тело со стороны других тел не действует результирующая сила, то оно либо остается в состоянии покоя, либо продолжает двигаться равномерно и прямолинейно. Вращающиеся или ускоряемые любым способом системы отсчета являются неинерциальными системами и здесь не рассматриваются. Землю, поскольку она вращается, нельзя считать инерциальной системой отсчета, но для большинства рассматриваемых в данной главе событий (длительность которых мала по сравнению с сутками) связанную с Землей систему отсчета в достаточно хорошем приближении можно принять за инерциальную.

Система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, также инерциальна.

В классической механике, которая рассматривалась в первых двух главах, справедливо утверждение, называемое механическим принципом относительности или принципом относительности Галилея: во всех инерциальных системах отсчета законы классической механики имеют одинаковую форму.

В справедливости этого принципа убеждает повседневный опыт. Например, в равномерно и прямолинейно движущемся поезде или самолете тела движутся так же, как и на земле (предполагается, что нет ни вибрации, ни качки, т. к. они делают систему отсчета неинерциальной). В вагоне поезда или на борту самолета можно ходить, играть в настольный теннис или ронять на пол карандаш, и при этом все тела движутся так же, как и на земле.

Предположим, что находящийся в движущейся с постоянной скоростью автомашине человек поднимает шар и выпускает его из рук. Как будет падать шар? Отвесно вниз и ударится об пол в точке, расположенной на одной вертикали с той точкой, где он был выпущен из рук (рис. 64, а). Именно так – отвесно вниз – падают предметы на земле. Эксперимент в равномерно движущейся машине протекает в соответствии с принципом относительности.

Надо обратить внимание на то, что с точки зрения наблюдателя, стоящего на земле, предмет, выпущенный из рук в машине, движется по кривой (рис. 64, б). Реальные траектории предмета, таким образом, различны в разных системах отсчета. Это не противоречит принципу относительности, т. к. последний утверждает, что неизменными во всех инерциальных системах отсчета остаются законы механики (а не траектория движения тела). Закон всемирного тяготения и законы движения Ньютона справедливы в обеих системах отсчета. Различие между рис. 64, а и б состоит в том, что в системе отсчета, связанной с землей (рис. 64, б), шар имеет начальную скорость, равную скорости машины. Законы механики предсказывают в этом случае параболическую траекторию движения тела. (Вспомните задачу о свободном падении тела, брошенного горизонтально с башни). В системе отсчета, связанной с машиной (рис. 64, а), начальная скорость равна нулю, и законы механики говорят, что в этом случае тело будет падать вертикально вниз. (Вспомните задачу о свободном падении тела, не имевшего начальной скорости). Таким образом, законы в обеих системах отсчета одинаковы, хотя траектории движения шара различны.

Система отсчета – машина Система отсчета – земля

а б

Рис. 64

Классическая механика основана на допущениях, опирающихся на повседневный опыт. Предполагается, что в различных системах отсчета время течет одинаково (т. е. часы идут одинаково). Пространство и время считаются не зависящими друг от друга и абсолютными! Результаты пространственных и временных измерений не изменяются при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую.

Поскольку законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, следовательно, ни одна инерциальная система отсчета ничем не выделена по отношению к любой другой инерциальной системе отсчета. Поэтому все инерциальные системы отсчета эквивалентны с точки зрения описания механических явлений. Система отсчета, связанная с равномерно движущейся машиной, ничем не уступает системе отсчета, связанной с землей. Поэтому человек, находящийся в такой машине, может с равным основанием утверждать, что он покоится, а земля движется. Не существует эксперимента, с помощью которого можно было бы установить, какая система отсчета «действительно» покоится, а какая – движется. Следовательно, нет способа выделить инерциальную систему отсчета, находящуюся в состоянии абсолютного покоя.

Теперь рассмотрим математические соотношения, связывающие величины в одной инерциальной системе отсчета с эквивалентными величинами в другой инерциальной системе отсчета. Пусть два человека, располагающие измерительными приборами, наблюдают одно и то же явление (полет мяча, движение шайбы, столкновение двух тел…). Если два наблюдателя движутся друг относительно друга с постоянной скоростью, какие различия в этом явлении они наблюдают? Чтобы облегчить рассуждения, свяжем с каждым наблюдателем собственную систему координат (т. е. начало этой системы координат в любой момент времени находится в точке нахождения наблюдателя) х, у, z. Одна из них будет двигаться вдоль оси х с постоянной скоростью по отношению к другой. На рис. 65 система х/, у/, z/ движется вправо относительно системы х, у, z. Для простоты условимся считать, что при t = 0 начала систем координат О и О/ совпадают. Не обязательно думать, что система координат х, у, z неподвижна, а система х/, у/, z/ действительно движется. Важно лишь то, что они движутся по отношению друг к другу. Наблюдатель в системе х/, у/, z/ считает, что его система неподвижна, в то время как система х, у, z движется влево со скоростью –. Рассмотрим неподвижную точку В в системе х/, у/, z/.

Чтобы перевести описание движения из одной системы отсчета в другую, надо выписать преобразование координат. Поскольку движение происходит только в направлении оси х, координаты у и z в обеих системах отсчета одинаковы. Так как время в механике Галилея-Ньютона считается абсолютным, то показания часов в этих системах совпадают. Резюмируя, получаем для точки В следующие формулы преобразований Галилея:

х = х/ + vt,

у = у/,

z = z/, (142)

t = t/.

Эти формулы позволяют определить координаты любого события в системе отсчета х, у, z, если известны его координаты в системе х/, у/, z/.

Вернемся теперь к описанному выше опыту с падающим в машине шаром и используем преобразования Галилея для описания этого эксперимента. Свяжем с наблюдателем, стоящим на земле у дороги, нештрихованную систему координат, а штрихованную сопоставим человеку в машине. Падение шара описывается уравнением (см. гл.1)

.

Подставляя сюда выражения для у/ и t/ из преобразования Галилея, получим

.

Но поскольку время связано также с х и v, сделаем вместо t/ другую подстановку:

.

Подставляя это выражение в формулу для у, получаем

.

Выберем движущуюся систему координат так, чтобы камень падал из ее начала, т. е. х/ = 0. Тогда

.

Уравнение траектории в нештрихованной системе координат действительно описывает параболу. Такой и представляется траектория наблюдателю, стоящему у дороги.

Продолжим рассмотрение преобразований Галилея. Если известны координаты события в системе х, у, z, то можно определить координаты этого события в системе х/, у/, z/.

х/ = х – vt,

у/ = у,

z/ = z,

t/ = t.

Предположим теперь, что точка В на рис. 65 – это движущаяся частица. Пусть – компоненты вектора ее скорости в системе отсчета х/, у/, z/. По определению

.

Скорость точки В в системе отсчета х, у, z имеет компоненты . Их связь с компонентами скорости в штрихованной системе координат можно найти, продифференцировав уравнения (142).

(143)

Три скалярных уравнения (143) эквивалентны следующему соотношению между вектором скорости в системе х, у, z и вектором скорости в системе х/, у/, z/:

. (144)

Соотношения (143) или (144) – это галилеевы формулы для преобразования скоростей. Они дают правило сложения скоростей в классической механике.

Продифференцировав по времени формулу (144) и учтя, что = const, получим формулу галилеевых преобразований для ускорений

. (145)

Следовательно, во всех инерциальных системах отсчета тело имеет одно и то же ускорение. Силы, действующие на тело в различных инерциальных системах отсчета, также одинаковы. Это следует из того, что сила зависит от расстояний между данной частицей и действующими на нее телами, а эти расстояния полагаются в ньютоновской механике одинаковыми во всех инерциальных системах. Масса также одинакова во всех системах. Поэтому уравнение второго закона Ньютона также не меняется при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую , что согласуется с принципом относительности.

§ 4.2. Постулаты специальной теории относительности.

Преобразования Лоренца

Классическая (или ньютоновская) механика оказалась справедливой только для тел, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света в вакууме (эту скорость принято обозначать буквой с). Законы классической механики согласовывались с преобразованиями Галилея. Законы электромагнетизма, открытые в XIX в., не согласовывались с этими преобразованиями. Для описания движений, совершающихся со скоростями, сравнимыми с с (например, электромагнитные волны в вакууме распространяются со скоростью с), А. Эйнштейн создал релятивистскую механику, т. е. механику, учитывающую требования специальной теории относительности (СТО).

Эйнштейном в 1905 г. СТО представляет собой физическую теорию пространства и времени для случая пренебрежимо слабых гравитационных полей. Основу этой теории образуют два постулата: принцип относительности Эйнштейна и принцип постоянства скорости света.

Принцип относительности Эйнштейна является распространением механического принципа относительности Галилея на все без исключения физические явления, в том числе и на электромагнитные, оптические. Согласно этому принципу все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Иными словами, при преобразованиях координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к координатам и времени другой инерциальной системе уравнения описывающие физические явления не изменяются.

Принцип постоянства скорости света утверждает, что скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источников и приемников света. Это утверждение, очевидно, противоречит классическому (галилеевскому) закону сложения скоростей (144) и «здравому смыслу». Получается, что наблюдатель, движущийся к источнику или от источника света, получит в результате измерений такую же скорость света, как и наблюдатель, покоящийся относительно источника. Это не согласуется с нашим повседневным опытом, т. к. при приближении наблюдателя к источнику скорость его движения должна была бы прибавляться к скорости света, а при удалении – вычитаться из нее (согласно уравнению (144)). Возникающая проблема отчасти объясняется тем, что в повседневной жизни не приходится измерять скорости, близкие к скорости света. Поэтому не следует ожидать, что «здравый смысл» окажется полезным при рассмотрении столь больших скоростей.

С другой стороны, постулат о постоянстве скорости света согласуется с экспериментальными данными (в частности, данными знаменитого опыта Майкельсона-Морли).

Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на основе сформулированных им постулатов, показал, что т. к. классические преобразования Галилея несовместимы с ними, и, следовательно, должны быть заменены другими преобразованиями, удовлетворяющими постулатам СТО. Такие преобразования были предложены Лоренцем в 1904 г. Они имеют следующий вид (для тех же двух систем координат х, у, z и х/, у/, z/, для которых были написаны преобразования Галилея):

, ,

у = у/, у/ = у,

z = z/, z/ = z, (146)

, ,

где .

Из уравнений (146) видно, что при b << 1 (v << c) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея, являющиеся, таким образом, предельным случаем преобразований Лоренца. При v > c соотношения (146) теряют физический смысл, т. к. становится мнимым. Фактически это означает, что, непрерывно увеличивая скорость v движения системы х/, у/, z/, невозможно сделать ее больше скорости света в вакууме. Иными словами, скорость любого тела не может быть равна скорости света или превышать ее.

Согласно преобразованиям Лоренца пространственные и временные переменные перестают быть независимыми (как у Галилея), т. к. в закон преобразования координат теперь входит время, а в закон преобразования времени – пространственные координаты. Поэтому говорят, что пространство и время оказываются взаимосвязанными. Следовательно, СТО оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство – время.

Релятивистские формулы преобразования скоростей получаются из преобразований (146) дифференцированием координат по времени. Используя правило дифференцирования сложной функции, приходим, наприм