(60)
Здесь были учтены выражение (57), определение скорости частицы 
и тот факт, что масса частицы постоянна, т. е. mi = const.
Выражение (60) показывает, что уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона) системы частиц можно записать в таком же виде, как и уравнение движения для одной частицы массой М, движущейся с ускорением 
. Масса М этой частицы сосредоточена в точке с радиусом-вектором
(61)
Эта точка и называется центром масс или центром инерции системы частиц. Три проекции 
на оси координат – это компоненты центра масс, например:
.
Итак: если всю массу системы частиц (или в частном случае твердого тела) сосредоточить в ее центре масс, то импульс этой воображаемой частицы будет равен полному импульсу системы. Второй закон Ньютона для системы частиц также может быть записан, как второй закон Ньютона для этой воображаемой частицы.
Скорость 
естественно назвать скоростью центра масс, а производную 
– ускорением центра масс. Именно это ускорение и входит в формулу (60)! При этом не имеет значения, к каким именно точкам приложены внешние силы – уравнение (57) и все последующие выводы от этого не зависят. Результирующая внешняя сила вовсе не обязана также проходить через центр масс. Таким образом, если отвлечься от вращения, движение системы частиц (или твердого тела) сводится к движению материальной точки массой М с радиусом-вектором .
Рассмотрим два примера, касающихся изменения импульса системы тел и нахождения координаты центра масс.
1. Пусть два шарика, связанные невесомой нерастяжимой нитью, движутся в поле тяжести. Внешние силы здесь – это силы притяжения к Земле m1g и m2g, а внутренние – силы взаимодействия шаров с нитью и нити с шарами. Сумма внутренних сил равна нулю и не влияет на полный импульс системы, хотя движение каждого шарика в моменты, когда нить натянута, конечно, зависит от силы натяжения. Изменение полного импульса за время Dt
.
2. 
Пусть имеются две массы – m1 и m2 на расстоянии l друг от друга. Поместим начало координат в точку расположения массы m1 (рис. 34), тогда центр масс окажется в точке с координатой
.
Центр масс двух материальных точек находится на линии, их соединяющей, ближе к большей массе.
Можно показать, что положение центра масс не зависит от выбора начала координат О.
Центром тяжести тела, находящегося в поле тяготения, называют точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на все части тела. Эта сила называется силой тяжести, действующей на тело.
В однородном поле тяжести (например, вблизи поверхности Земли) центр тяжести тела совпадает с его центром масс. Однако центр масс существует независимо от поля тяжести, в то время как о центре тяжести имеет смысл говорить только при наличии такого поля.
В приведенном выше примере центр масс и центр тяжести гантели, представляющей собой два шарика с массами m1 и m2, соединенными жестким невесомым стержнем длины l, совпадают. В отсутствии поля тяжести центр масс гантели остается в прежней точке, тогда как понятие центра тяжести теряет смысл.
Еще раз подчеркнем, что центр масс системы движется так, как будто в нем сосредоточена вся масса системы и к нему приложены все внешние силы. Именно внешние, поскольку внутренние силы системы вообще не влияют на движение ее центра масс. Поэтому движение этой точки во многих случаях оказывается достаточно простым. В частности, из выражения (60) следует постоянство скорости движения центра масс замкнутой системы, в то время как отдельные частицы, входящие в состав этой системы, могут двигаться со скоростями, изменяющимися с течением времени.
Рассмотрим еще пример. Однородная тонкая палочка длиной l стоит вертикально на гладком полу (рис. 35). Ее отпускают, после чего она падает плашмя. На сколько сдвинется нижний конец палочки к моменту падения? Одна палочка (находящаяся в поле тяготения Земли) не является замкнутой системой. Но раз на нее действуют только вертикальные силы, горизонтальная проекция ее импульса не меняется (по закону сохранения проекции импульса системы). Начальное значение горизонтальной составляющей импульса было равно нулю. Значит, и конечное ее значение тоже равно нулю. Но так как импульс тела может быть представлен как произведение полной массы тела на скорость его центра масс (59), то по закону сохранения горизонтальной проекции полного импульса тела фактически сохраняется горизонтальная проекция скорости центра масс. И начальное, и конечное ее значения равны нулю.
Следовательно, центр масс не смещается в горизонтальном направлении и упадет в то место, где стояла палочка, а ее нижний конец сместится на l/2.
Теперь должно быть понятно, почему середина палки, брошенной под углом к горизонту (о которой шла речь на с. 40–41), движется, как и камень, по параболе. В отсутствии трения о воздух внешняя сила равна 
и, значит, ускорение центра масс, как и ускорение камня, равно 
, независимо от того, происходит или нет вращение палки.
До сих пор во всех рассуждениях и вычислениях считалось, что массы движущихся и взаимодействующих тел постоянны. Но есть ряд задач, связанных с движением тел, массы которых меняются со временем. Это, например, движение ракеты. В начальный момент времени (перед включением двигателя) ракета покоится, т. е. ее начальная скорость v0 равна нулю. Обозначим начальную массу ракеты вместе с топливом через m0. Во время движения ракеты ее масса меняется (уменьшается) вследствие сгорания топлива. После того, как все топливо сгорит, ракета будет иметь некоторую массу, которую обозначим через m1. Допустим, что за время dt масса ракеты уменьшилась на dm и стала m – dm, а ее скорость увеличилась на 
и стала равной 
+ .
Изменение импульса системы за время dt равно
.
Здесь учтено, что скорость газов относительно Земли равна сумме скорости ракеты относительно Земли и скорости 
газов относительно ракеты.
Раскрыв скобки и пренебрегая членом dm d, малым по сравнению с остальными слагаемыми, получаем
.
Согласно второму закону Ньютона
.
Член 
называется реактивной силой 
. Следовательно,
.
Это – уравнение движения тела с переменной массой (уравнение Мещерского). Если внешние силы отсутствуют (
= 0), то 
,
откуда
.
Это соотношение называется формулой Циолковского.
§ 2.5. Работа
Если на частицу в каждой точке пространства действует определенная сила, то всю эту совокупность сил в пространстве называют силовым полем. Силовое поле называется однородным и постоянным, когда силы поля имеют повсюду одинаковую величину и неизменное направление и не зависят от времени. Таково, например, поле притяжения Земли на участках, малых по сравнению с ее радиусом вблизи поверхности. В общем случае силы поля могут меняться от одной точки пространства к другой и зависеть также от времени.
Рассмотрим движение материальной точки в некотором силовом поле . Если под действием силы материальная точка прошла бесконечно малый путь d
, то величина
dA = F cosa dS, (62)
где a – угол между векторами и d (рис. 36), называется работой силы при перемещении d.
Произведение абсолютных величин двух векторов 
и 
на косинус угла между ними называется скалярным произведением этих векторов и обозначается или (). Поэтому работу можно определить как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения частицы d:
dA = d = d
, (63)
т. к. d = d ((7) и рис. 17).
Это выражение можно также записать в виде
dA = 
dS, (64)
где – проекция силы на направление перемещения частицы d (или касательная составляющая )
Работа, совершаемая силой на конечном пути S, равна сумме работ на отдельных бесконечно малых участках пути; эта сумма приводится к интегралу:
. (65)
Вспоминая геометрический смысл интеграла (см. § 1.4), получаем, что работа А численно равна площади криволинейной фигуры ОВСS на графике зависимости от S (рис. 37). В частном случае перемещения частицы по прямолинейному участку пути под действием постоянной силы выражение (65) дает хорошо известную со школы формулу
A = FS cosa. (66)
Место криволинейной фигуры ОВСS на рис. 37 в этом случае будет прямоугольник. Из выражений (62)–(66) видно, что если сила и перемещение образуют острый угол (cos a > 0), то работа положительна. В этом случае составляющая 
силы совпадает по направлению с вектором d. Поэтому силу называют движущей. Например, тяжелое тело падает вниз; сила тяжести здесь направлена в сторону перемещения; работа силы тяжести положительна.
Если угол a тупой (cosa < 0), работа отрицательна. В этом случае и d противоположны по направлению, поэтому силу называют силой сопротивления (например, сила трения скольжения). При a = p/2 работа равна нулю. В этом случае сила лишь искривляет траекторию движущегося тела. Таково, например, действие центростремительной силы на материальную точку, равномерно движущуюся по окружности.
Если на тело одновременно действуют несколько сил 
, 
, …, 
, то под силой в выражении (62) понимается их равнодействующая
( = 
), а под углом a – угол, который она составляет с направлением перемещения. Иными словами: работа результирующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил.
Воспользовавшись этим утверждением, можно представить выражение (62) и (65) в ином виде. Разложим силу , действующую в некотором направлении, на составляющие вдоль координатных осей 
, 
, 
. Тогда работа силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил:
dA = Fx cosa1dS + Fy cosa2dS + Fz cosa3dS,
где a1, a2, a3 – соответственно углы между составляющими силы Fx, Fy, Fz и направлением перемещения d.
Но направление составляющих Fx, Fy, Fz совпадает с направлением декартовых осей, откуда
dS cosa1 = dx,
dS cosa2 = dy,
dS cosa3 = dz,
где dx, dy, dz – проекции перемещения d на координатные оси.
Отсюда
dA = Fxdx + Fydy + Fzdz. (67)
Вся работа при конечном перемещении S выразится криволинейным интегралом
, (68)
где В1, В2 – начальная и конечная точки пути S. В качестве единицы работы в СИ принято, согласно определению (62), произведение единицы силы на единицу перемещения, т. е. Н × м. Эта величина называется джоулем (Дж):
Дж = Н × м.
Практически часто важно знать не только работу, свершенную силами, но и то время, за которое работа произведена. Из двух механизмов, совершающих одну и ту же работу, обычно ценнее тот, который совершает эту работу за меньший промежуток времени. Поэтому наряду с работой вводится в рассмотрение величина, называемая мощностью. Мощность N – это работа, производимая в единицу времени.
. (69)
Если сила действует на движущуюся частицу, то 
, а 
.
Размерность мощности в СИ – ватт: 
.
§ 2.6. Кинетическая энергия
Согласно второму закону Ньютона, частица, движущаяся под действием силы, меняет свою скорость. Следовательно, работа приложенной силы связана с изменением скорости тела. Эта связь выражается через физическую величину, называемую кинетической энергией тела.
Напишем уравнение движения частицы
. (70)
Умножив это уравнение скалярно на перемещение частицы 
, получим
. (71)
Учитывая, что 
и что m = const, получим
. (72)
Величина Екин = 
и называется кинетической энергией частицы. Видно, что Екин характеризует движение тела. Если тело движется (скорость отлична от нуля), то и Екин ¹ 0. Если тело покоится (скорость равна нулю), то и Екин = 0. Следовательно, наличие у частицы ненулевой кинетической энергии (т. е. Екин ¹ 0) говорит о том, что частица движется, поэтому можно сказать, что кинетическая энергия – это энергия движения. В случае замкнутой системы (т. е. = 0) из выражения (72) следует, что
и поэтому Екин = const.
Кинетическую энергию можно выразить через импульс 
частицы.
.
(73)
.
Левая часть второго из соотношения (73) представляет собой разность значений кинетической энергии в точках 2 и 1. Правая часть – это работа силы на пути 1 – 2, т. е. А12
. (74)
Таким образом, работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на изменение кинетической энергии частицы.
Размерность кинетической энергии, очевидно, совпадает с размерностью работы.
§ 2.7. Потенциальная энергия
Постоянное силовое поле, т. е. поле, не зависящее от времени, обладает следующим замечательным свойством: если в таком поле материальная точка движется по замкнутому пути (так что в результате движения точка возвращается в исходное положение), то работа, совершаемая при этом силами поля, будет равна нулю. Силы, работа которых удовлетворяет этому свойству, называются консервативными. Из этого свойства следует и другое утверждение: работа консервативных сил при переносе частицы из одного положения в другое не зависит от вида пути, по которому происходит перенос, а определяется только положением (координатами) начальной и конечной точек переноса.
Действительно, рассмотрим две точки 1 и 2 и соединим их двумя кривыми а и b (рис. 38). Предположим, что частица, находящаяся в силовом поле, переводится из точки 1 в точку 2 вдоль кривой а и затем из точки 2 назад в точку 1 по кривой b. Общая работа, которая производится при этом силами поля, равна нулю:
А1а2 + А2b1 =
При изменении направления переноса на обратное работа меняет знак (сила в определении (65) постоянна, а перемещение меняет знак). Поэтому из (75) следует, что
А1а2 = – А2b1 = А1b2, (76)
т. е. работа не зависит от вида кривой, соединяющей начальную и конечную точки перехода 1 и 2.
Независимость работы консервативных сил от траектории переноса позволяет ввести в рассмотрение еще одну важную характеристику силового поля, а именно – потенциальную энергию (энергию взаимодействия).
Примем для этого какую-либо точку пространства, которую обозначим через О, за начало отсчета и рассмотрим работу, совершаемую силами поля при переходе частицы из этой точки в какую-либо произвольную точку 1 (рис. 39). Обозначим эту работу через (– U). Величина U, т. е. взятая с обратным знаком работа при переходе частицы из точки 0 в точку 1, и называется потенциальной энергией частицы в точке 1. Она не зависит от траектории перехода частицы из точки 0 в точку 1 и поэтому является функцией только координат х1, у1, z1, точки 1 (т. к. координаты точки 0 по предположению равны нулю):
U1 = U(х1у1z
Аналогично этому работа по перемещению частицы из точки 0 в какую-либо другую точку 2 (рис. 39) зависит только от координат х2, у2, z2, точки 2, и, следовательно, потенциальная энергия частицы в этой точке равна
U2 = U(х2у2z2).
С другой стороны, в точку 2 частица может попасть не только напрямик из точки 0, но и другим путем – через точку 1. Работа по такому перемещению частицы будет складываться из работы на участке 01 и работы на участке 12:
А02 = А01 + А12.
Отсюда по определению потенциальной энергии
– U2 = –U1 + A12
и окончательно
А12 = U1 – U2 = U(х1у1z1) – U(х2у2z
Следовательно, работа А12 по перемещению частицы из произвольной точки 1 в произвольную точку 2 определяется лишь координатами начальной и конечной точек траектории и вычисляется как разность соответствующих потенциальных энергий. Координаты промежуточных точек, лежащих на траектории, не входят в выражение (78), поэтому работа А12, как и следовало ожидать, не зависит от формы пути, по которому происходит движение.
Рассмотрим теперь две бесконечно близкие точки 1 и 2. Работа сил поля при переходе частицы из точки 1 в точку 2 равна (– dU). С другой стороны, эта работа равна 
, где 
– вектор, проведенный из 1 в 2. Но совпадает с разностью 
радиусов-векторов точек 1 и 2 (см. § 1.5). Таким образом, мы приходим к равенству
= = – dU. (79)
Это соотношение между силой и потенциальной энергией является одним из основных соотношений механики.
Написав = = FSdS, представим соотношение (79) в виде
. (80)
Это значит, что проекция силы на некоторое направление получается делением бесконечно малого изменения dU потенциальной энергии на бесконечно малом отрезке вдоль этого направления на длину dS этого отрезка. Выражение 
называют производной от U по направлению S. Выражение (80) позволяет получить связь между силой и потенциальной энергией U(x, y, z) в декартовой системе координат.
Рассмотрим перемещение частицы параллельно оси х. Тогда dS = dx и формула (80) принимает вид
. (y = const, z = const)
Выражение, стоящее справа, представляет собой производную функции U(x, y, z), вычисленную в предположении, что переменные у и z остаются неизменными, а изменяется лишь переменная х. Подобные производные называются частными и обозначаются, в отличие от производных функций одной переменной, символом 
. Следовательно, компонента силы по оси х равна взятой с обратным знаком частной производной потенциальной энергии по переменной х: Fx = – . Для компонент силы по оси у и z получаются аналогичные выражения. Таким образом,
Fx = – , Fу = – 
, Fz = – 
.
Зная компоненты, можно найти вектор силы:
. (81)
Вектор с компонентами 
, 
, 
, где j – скалярная функция координат х, у, z, называется градиентом функции j и обозначается символом 
либо 
(Ñ называется оператором «набла», читается «градиент фи»). Из определения градиента следует, что
. (82)
Сравнение (82) с (81) показывает, что консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком:
. (83)
Для пояснения этих соотношений определим потенциальную энергию в постоянном однородном поле. Примем направление силы поля за ось z. Тогда 
, откуда, интегрируя, получаем
U = – Fz + const.
Мы видим, что потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной. Это обстоятельство имеет общий характер и связано с произволом в выборе точки начала отсчета О, от которой отсчитывается произведенная над частицей работа. Это не создает трудностей, т. к. в физических расчетах всегда требуются разности значений U в двух точках (78), не зависящие от выбора начала отсчета U.
Из формулы (80) можно сделать заключение о направлении силы. Если в некотором направлении потенциальная энергия возрастает 
, то проекция силы на это направление будет отрицательной, т. е. сила будет иметь то направление, в котором потенциальная энергия убывает. Сила всегда направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.
В качестве примера определим потенциальную энергию частицы в однородном поле силы тяжести и покажем, что эта сила консервативна. Такое поле силы тяжести существует вблизи поверхности Земли, где сила тяжести практически не зависит от высоты над поверхностью Земли (пока высота h мала по сравнению с радиусом Земли). Пусть материальная точка движется по некоторой кривой В1В2 (рис. 40). Разобьем эту кривую на отрезки DS, настолько малые, чтобы каждый из них можно было считать прямолинейным. Тогда работа DА, совершаемая при передвижении по отрезку DS, будет равна
DA = mgDS cosa,
где mg – сила тяжести; a – угол между направлением силы тяжести и направлением перемещения. Но
DS сosa = Dh,
где Dh – изменение высоты при перемещении тела на отрезке DS. Вся работа перемещения из точки В1 в В2 будет
, (84)
где h1, h2 – высоты точек В1, В2 соответственно, отсчитанные от некоторой нулевой высоты.
Выражение (84) показывает, что работа в поле силы тяжести не зависит от формы и длины пути, а определяется тем, насколько выше лежит конечная точка пути по отношению к начальной. Следовательно, сила тяжести консервативна. В соответствии с (78) получаем, что потенциальная энергия частицы на высоте h в этом случае равна mgh. Если тело падает с высоты h, то сила тяжести совершает положительную работу А12 = mgh. При подъеме тела на высоту h работа силы тяжести отрицательна. А21 = – mgh. Следовательно, А12 + А21 = 0 в соответствии с (75).
Рассмотрим также в качестве примера пружину жесткости k. При ее упругой деформации на величину х возникает упругая сила, определяющаяся законом Гука: F = – kx. При изменении деформации от х1 до х2 совершается работа
.
Видно, что работа зависит только от координат начального и конечного состояний пружины, т. е. сила F = – kx является консервативной. Для потенциальной энергии упругодеформированной пружины можно взять выражение
. (85)
Типичными неконсервативными силами являются силы трения, т. к. они направлены против перемещения. Работа силы трения на каждом участке пути отрицательна. Поэтому будет отрицательной и работа на любом замкнутом пути. Следовательно, сила трения действительно неконсервативна. В поле силы трения нельзя ввести понятие потенциальной энергии.
Выше мы определили, что потенциальная энергия тела в поле силы тяжести равна mgh (при h много меньше радиуса Земли). Но по третьему закону Ньютона не только Земля притягивает тело (т. е. действует на него с силой ), но и тело также притягивает Землю. Поэтому не совсем корректно говорить, что mgh – это энергия тела. Правильнее считать, что она не является собственностью ни тела, ни Земли: это энергия их взаимодействия и принадлежит им совместно. Вообще потенциальная энергия взаимодействия тел не делится между телами, а принадлежит взаимодействующим парам. Например, пусть два тела притягиваются друг к другу с потенциальной энергией взаимодействия U. Помещаем такое же третье тело так, что тела образуют равносторонний (т. е. все расстояния между телами равны) треугольник. Всего имеется три пары тел, и потенциальная энергия станет равной 3U. Если бы мы считали, что каждое тело имеет энергию 2U по числу соседей, то получили бы 6U и ошиблись бы в два раза.
Кинетическая энергия есть величина существенно положительная. Потенциальная же энергия взаимодействия частиц может быть как положительной, так и отрицательной. Если потенциальная энергия двух частиц определена так, чтобы она равнялась нулю, когда частицы находятся на большом расстоянии друг от друга, то ее знак зависит от характера взаимодействия частиц: имеет ли оно характер притяжения или отталкивания. Поскольку действующие на частицу силы всегда направлены в сторону уменьшения потенциальной энергии, то сближение притягивающихся частиц приводит к уменьшению потенциальной энергии, которая оказывается, таким образом, отрицательной величиной (потенциальная энергия гравитационного взаимодействия). Потенциальная же энергия отталкивающихся частиц, напротив, положительна (например, энергия взаимодействия одноименных электрических зарядов).
§ 2.8. Закон сохранения механической энергии
Пусть на частицу, кроме консервативных сил , действует также неконсервативная сила 
. Тогда при переходе частицы из точки 1 в точку 2 над ней будет совершаться работа
,
где 
– работа неконсервативной силы. Работу консервативных сил можно представить как U1 – U2. В результате получим, что
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
