Пути формирования творческой деятельности учащихся на уроках математики (стр. 2 )

Выполнению мыслительных операций и их развитию способствует решение занимательных задач, задач – головоломок, задач на смекалку. При выполнении таких заданий учащимся чаще всего приходится пользоваться методом проб и ошибок. Это развивает интуицию, творчество, способность отказаться от ложного пути и искать другой способ решения, который приведёт к положительному результату. Кроме того, воспитывает усидчивость, внимание, развивает различные виды памяти, пространственное и образное мышление.

2.6.Развитие творческого воображения.

Воображение – это психический процесс создания образов, предметов, ситуаций, обстоятельств путем проведения имеющихся у человека знаний в новое сочетание.

­  Для развития творческой фантазии нужна система упражнений соответствующее обучение приемам фантазирования.

Рассмотрим некоторые упражнения такого порядка. Упражнение «Примеры». Придумывайте как можно больше вещей, отвечающим следующим условиям;

1.Назовите круглые вещи.

2.Назовите квадратные вещи.

3.Назовите вещи, которые могут передвигаться на колесах.

4.Назовите вещи, которые имеют вид прямоугольного параллелепипеда. С помощью данного упражнения можно примерно определить кругозор учащегося и скорость его мышления. Оно позволяет в какой-то мере развивать и ассоциативное воображение учащегося. Каждый пункт оценивается по трем показателям: общее количество названных предметов; количество необычных, нестандартных ответов; затраченное время.

3.Нестандартные задачи. Нетрадиционные методы решения задач.

«Творческим считается любое действие, которое эффективно и вызывает удивление»

Дж. Брунер

3.1.Решение нестандартных задач.

Решение математических задач лишь тогда будет развивать творческую инициативу, совершенствовать и поднимать на новый качественный уровень способности, когда деятельность учащихся мотивируется живым детским интересом, когда её результаты, выраженные символами, знаками, образами или моделями, личностно или общественно значимы для ребенка, вызывают у него потребность общения с товарищами, чувство удивления, восторга. Наиболее пригодными для эффективной реализации творческого потенциала детей являются нестандартные задачи. привлекательные по форме предъявления, интригующим сюжетом, необычным способом решения, с непредсказуемым ответом. Большие возможности для развития творческой инициативы учащихся заложены в задачах, имеющих несколько различных способов решения. Поиск рациональных способов решения сопряжен с разрушением стереотипов мышления, преодолением шаблонности в организации умственной деятельности, развитием таких её качеств, как критичность, гибкость, самостоятельность, и, следовательно, по всей своей сути формирует творческую направленность личности. Сама возможность существования других способов решения подталкивает ребенка к поиску, создает благоприятные условия для её самоутверждения, самовыражения.

Необычное (нестандартное) решение стандартной задачи напрямую связано с работой творческого воображения, фантазии. Красивое решение невозможно без активного участия эмоциональной сферы человеческой психики (установок, переживаний, ожиданий и т. п.). Рациональное решение невозможно без мысленного (свернутого или развернутого) перебора альтернатив каждого шага построения, преобразования, или рассуждения. Упражнения учащихся в поисках рациональных решений и есть один из действенных способов привития им вкуса, потребности к творческой деятельности.

Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учебы в школе. Да еще не всегда мы можем пользоваться калькулятором, потому, что он не всегда имеется под рукой. На экзаменах не разрешают пользоваться калькулятором. Поэтому учащиеся должны вооружаться приемами рациональных вычислений.

Ошибки в расчетах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с вычислениями. Поэтому учащиеся должны знать разные методы промежуточного контроля и проверки результата вычислений, т. е. вычислять разными методами, уметь выбрать наиболее подходящие способы получения результата, пользоваться алгоритмами вычислений.

Рационализация решения задач, рационализация вычислений является самым важным для успешной подготовки к сдаче ЕГЭ. При вычислении всегда сначала планировать ход вычислений. Полезно задавать себе вопрос: «Как проще вычислить?», «Есть ли другие, более легкие методы решения той или иной задачи?», «Нельзя ли выполнить вычисления по-другому?», «Существуют ли более удобные способы решения?».

3.2.Рациональные приемы решения квадратных уравнений.

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных, трансцендентных (показательных) уравнений и неравенств. Часто при решении одной задачи встречаются несколько квадратных уравнений, а иногда учащиеся сталкиваются с уравнениями, где коэффициенты – слишком большие числа, и при нахождении дискриминанта в уравнении учащиеся получают такие числа, из которых трудно извлечь квадратный корень.

Например: Уравнение вида При решении традиционным методом получается очень большие числа.

D=b-4ac=2007- 4*(-2008)*4015 = 4 028 049 +=36 276 529

Это уравнение можно решить устно, применяя особый прием. Корни этого уравнения: х=1, можно найти сразу, без громоздких вычислений.

Решение: т. к. , то Ответ:1;.Оказывается, есть другие способы решения квадратных уравнений, кроме традиционных методов по формулам, позволяющих очень быстро и рационально решать многие уравнения, учащимся помогают экономить время и действовать самостоятельно, выбирая тот или иной метод.

Наиболее распространенное устное решение приведенных квадратных уравнений, но и оно у многих учащихся вызывает затруднения из-за отсутствия жесткого алгоритма действий, особенно в тех случаях, когда корни имеют разные знаки. Поэтому знание алгоритма их решения имеет для учащихся важное значение.

Решение неприведенных квадратных уравнений методом «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение , где. Умножив обе его части на , получим уравнение . Пусть , откуда ; тогда придём к уравнению , равносильному данному. Его корни и найдем с помощью теоремы Виета. Отсюда окончательно получим и . При этом способе коэффициент умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения с помощью теоремы Виета, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример: Решить уравнение:

«перебросив» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение . Согласно теореме Виета,

Ответ: 2,5; 3

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

При решении некоторых квадратных уравнений, оказывается, немаловажную роль играет сумма коэффициентов. Если рассмотреть внимательно на некоторые квадратные уравнения, например:

Корни Сумма коэффициентов

v  1, 5+(-8)+3=0

v  1, 11+(-18)+7=0

v  1, 7+2+(-9)=0

Посмотрев на эти уравнения и их корни, я попробовала найти такую закономерность:

1)  в корнях этих уравнений;

2)  в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями;

3)  в сумме коэффициентов.

Вывод:

1)  Первый корень всегда 1.

2)  Второй корень равен или

3)  Сумма коэффициентов равна нулю.

Вообще, справедлива следующие свойства коэффициентов квадратного уравнения

, где.

1.  Если, (т. е. сумма коэффициентов квадратного уравнения равно 0), то корни .

2.  Если , то

Доказательство. 1. Разделив обе части уравнения на , получим приведенное квадратное уравнение . Согласно теореме Виета,

По условию , откуда . Значит,

,

получаем , что и требовалось доказать.

1.  Если , то

Доказательство. По теореме Виета,

По условию, , откуда .

Таким образом,

получаем , то и требовалось доказать.

Примеры:

1.  Решить уравнение

Решение: то

Ответ: 1 и

Зная методы решения квадратных уравнений по этим свойствам или методом «переброски» каждый сможет сам придумать квадратные уравнения, имеющие рациональные корни, может самостоятельно выбрать самый оригинальный метод решения.

Зная свойство коэффициентов квадратного уравнения можно составлять бесконечно много уравнений, имеющих решение с большими коэффициентами. Например:.

v  . ()

v  ()

v  ()

Эти уравнения традиционными способами не решишь, так как получаются при вычислении дискриминанта очень большие числа. Даже калькулятором невозможно извлечь точный квадратный корень. А используя свойство коэффициентов квадратного уравнения сразу можно найти корни. Например:

( )

Эти уравнения традиционными способами не решишь, так как получаются при вычислении дискриминанта очень большие числа. Даже калькулятором невозможно извлечь точный квадратный корень. А используя свойство коэффициентов квадратного уравнения сразу можно найти корни.

3.3 Алгоритм извлечения квадратного корня из числа

v  Алгоритм извлечения квадратного корня из натурального числа.

Часто при решении квадратных уравнений требуется извлечь квадратный корень из числа без таблиц и калькулятора из многозначных чисел. Приведу алгоритм извлечения квадратного корня для случая, когда число, стоящее под знаком корня, является квадратом натурального числа. Пусть требуется вычислить .Число 33. Числоразобьем на группы цифр (по две цифры), двигаясь, справа налево: 3

Ищем наибольшее число, квадрат которого не превосходит числа 3, стоящего в первой группе цифр. Этим числом будет число 1. Записываем его в ответ. Возводим 1 в квадрат и вычитаем из числа три. К полученной разности приписываем вторую группу чисел. Получаем число 234.

Удваиваем число, которое было записано в ответ (в нашем случае 1), и приписываем к полученному числу справа такую наибольшую цифру, чтобы произведение полученного двузначного числа на эту цифру не превосходило234. В нашем случае этой цифрой будет цифра 8; 28*8=224<234.

Пишем цифру 8 вслед за цифрой 1 в ответ. Из числа 234 вычитаем число 224 и к полученной разности приписываем последнюю группу цифр. Получаем число1089.

Удваиваем число, которое было записано в ответ (в нашем случае 18), и приписываем к полученному числу (в нашем случае числу 36) справа такую наибольшую цифру, чтобы произведение полученного трехзначного числа на приписанную цифру не превосходило числа 1089. В нашем случае этой цифрой будет цифра 3:

363*3=1089.

Записываем цифру 3 в ответ. Процедура извлечения квадратного корня завершена. =183.

Описанную процедуру записываю в виде следующей схемы:

=183.

1

28 234

8 224

363 1089

3 1089

0

По этому алгоритму можно извлечь квадратный корень из любого рационального числа с любой точностью приближения. Рассмотрим этот алгоритм на примере.

Пример: Вычислить =

1) Число под корнем разбиваем на грани по две цифры справа налево

2) Ищем наибольшее число, квадрат которого не превосходит числа 65 в первой грани. Получаем число 8 .Под первой гранью пишем квадрат числа 8 и вычитаем. К остатку приписываем вторую грань (59).

3) Удваиваем число, которое было записано в ответ, то есть 8, и приписываем к полученному числу справа такую наибольшую цифру, чтобы произведение полученного двузначного числа на эту цифру не превосходило159. Такой цифры, кроме 0, нет. Поэтому в ответе пишем 0 после 8). Итак, в частном получили число 80

4) Число 80 опять удваиваем, и сносим следующую грань (01).

Отделяем во втором остатке одну цифру справа и полученное число 1590 делим на 160. Результат (цифру 9) записываем к числу 160. Полученное число 1609 умножим на 9, находим следующий остаток

=809,87…

64

1609 1 59 01

16188 14 20 00

8

161967 1

В дальнейшем действия выполняются в той последовательности, которая указана в алгоритме (корень можно извлечь с нужной степенью точности).

v  Алгоритм извлечения квадратного корня из десятичных дробей.

Если подкоренное выражение – десятичная дробь, то ее целую часть данного числа, разбивают на грани по две цифры справа налево и извлекают корень по указанному алгоритму.

Пример:

=3, 4 61

9

6 4 2 97

4 2 56

68 6 41 85

6 41 16

6921 69 21

1 69 21

0

v  Устное извлечение квадратного корня из полных квадратов

Учитывая то, что полные квадраты оканчиваются только цифрами: 1; 4; 9; 6 и 5, можно устно извлечь квадратный корень из полных квадратов без таблиц и калькулятора.

Примеры.

1. =73

1)  7=49<53;

2)  75=5625>5329, следовательно, из тройки и семерки на конце берем 3.

А числа, оканчивающиеся цифрами 5, возводятся устно так как:

(10а +5) =100а+100а+25, а(а+1) – число сотен искомого квадрата; 25 – две последние цифры. Например:

v  35=12=3*4),

v  95=90=9*10).

2. =74

1) 7=49<54;

2) 75=5625>5476, значит, последней цифрой является не 6 , а 4, поэтому в конце берем 4.

v  Алгоритм извлечения кубического корня без таблиц и калькулятора

Если рассмотреть кубы чисел от 1 до 9, то можно заметить некоторую закономерность:

Кубы чисел 1; 4; 5; 6; 9 оканчиваются теми же цифрами, что и сами числа. Поэтому можно сделать вывод:

Кубический корень из числа, на конце которого 1; 4; 5; 6; 9 имеет число единиц также 1; 4; 5; 6; 9 .

2=8 ;3=27; 7=343; 8=512

Кубы чисел 2; 3; 7; 8 оканчиваются теми цифрами, которые оканчиваются цифрами, являющимися дополнениями этих цифр до десяти, т. е. 2; 3; 7; 8. Поэтому можно сделать такой вывод:

Кубический корень из числа, на конце которого 2; 3; 7; 8, имеет число единиц дополняющие эти цифры до 10, то есть 8; 7; 3; 2.

v  Алгоритм извлечения корня кубического из числа такова:

1) Первую цифру результата извлечения кубического корня находим следующим образом:

Отбросим последние три цифры заданного числа и рассмотрим оставшееся число – между кубами каких чисел оно располагается в таблице кубов. Меньшее из них дает первую цифру искомого числа.

2) Найдем последнюю цифру, используя закономерность:

·  Кубический корень из числа, на конце которого 1; 4; 5; 6; 9 имеет число единиц также 1; 4; 5; 6; 9 .

·  Кубический корень из числа, на конце которого 2; 3; 7; 8, имеет число единиц, дополняющие эти цифры до 10, то есть 8; 7; 3; 2.

Пример: =73

Так как последняя цифра заданного числа 7 и 10-7=3, то цифры заданного числа, получим число 389; оно располагается в таблице кубов между кубами чисел 7 и 8. Меньшее из этих чисел 7 и есть первая цифра искомого числа. Поэтому ответом будет число 73.

Некоторые приемы устных вычислений помогают мне при решении задач со степенями и корнями, и найти свои ошибки при вычислениях, контролировать свои действия при решении задач.

Старинный способ решения задач на сплавы и смеси.

Очень часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, а иногда газообразные и твердые вещества, разбавлять что – либо водой или наблюдать испарение воды, то есть усыхание. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчеты.

Задача 1. От полного стакана черного кофе отпили половину и долили столько же молока. Затем отпили третью часть получившегося кофе с молоком и долили столько же молока; затем отпили шестую часть получившегося кофе с молоком и долили столько же молока. Только после этого выпили все до конца. Чего в итоге выпили больше: молока или черного кофе?

Решение. Удобнее вести расчет молока: его было долито стакан, кофе с самого начала -1 стакан, значит, кофе и молока было поровну.

Задачи на сплавы и cмеси, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание, «проба», «влажность» являлись для меня трудными. Поэтому я стала искать в задачниках более простые способы их решения и нашла старинные способы их решения. Они оказались для меня доступными.

При составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь одного вещества из тех, которые смешиваются или сплавляются. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (в растворе, сплаве).

Задача 2. При смешивании 5% - ого раствора кислоты с 40% раствором кислоты получили 140 г 30% - ого раствора. Сколько процентов каждого раствора было для этого взято?

Решение: Первый способ - алгебраический. Данные задачи расположим в таблице.

	Общее Количество ( г )	Чистое вещество	Вода
%	г	%	г
Первый раствор		5	0, 05	95	0, 95
Второй раствор		40	0, 40	60	0, 60
Новый раствор	140	30	0, 30*140	70	0, 70*140

Проследим за содержанием кислоты в растворах. Составляем системы уравнений.

Решаем систему уравнений: = 140-, подставляем во второе уравнение и получим

0, 05(140-)+0, 4=42,

7- 0, 05+0, 4=42,

0, 35=35, =100, =40.

Для получения 140 г 30% - ого раствора нужно взять 5%-ого раствора 40 г, а 40% - ого раствора – 100 г.

Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» .

Вот старинный способ решения только что решенной задачи.

Второй способ - арифметический (старинный).

Друг под другом пишется содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержания кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

5

30

40

Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большого числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится такая схема:

5 10

30

40  25

Из неё делается заключение, что 5% - ого раствора следует взять 10 частей, а 40%-ого раствора - 25 частей, т. е. для получения 140 г 30% - ого раствора нужно взять 5%-ого раствора 40 г, а 40% - ого – 100г, так как 140:(10+25)=4, 10*4=40, 25*4= 100.