Учебно-методический комплекс по дисциплине Начертательная геометрия (стр. 2 )

Для этого выполним анализ видимости сторон одного треугольника относительно плоскости другого. Для определения видимости стороны QF относительно плоскости треугольника MNR, выделим на QF и MN конкурирующие точки 7 и 8 (рис. 4.5). Если смотреть на QF и MN спереди (по направлению стрелки S), то из двух точек 7 и 8, видна будет (•)8, удаление которой от плоскости П2 больше, так как Y8>Y7. Точка 8 принадлежит стороне QF, следовательно, на плоскости П2 сторона QF окажется видимой в окрестности этой пары точек, а MN – невидимой. Обозначим эту сторону на П2 видимым штрихом (рис. 4.5).

Аналогично определяется видимость сторон QF и NR в окрестности второй пары конкурирующих точек 5 и 6. Из рис. 4.5 видно, что точка 6 на плоскости П2 будет видимой (Y6>Y5), а следовательно, и сторона QF, которой принадлежит точка 5 будет невидимой. Выполненный таким образом анализ показывает, что в окрестности точек 6 и 5 сторона QF поменяла свою видимость (на рис. 4.5 этот факт зафиксирован невидимым штрихом). Это значит, что сторона QF пересекает плоскость треугольника MNR в пределах его контура, а потому первую плоскость-посредник δ следует проводить через сторону QF.

На рис. 4.5 сторона QE между парами точек 3,4 и 1,2 не меняет своей видимости, поэтому сторону QE можно исключить из списка претендентов на заключение в плоскость-посредник. Так же из рис. 4.5 следует, что сторона NR между парами точек 5,6 и 1,2 меняет свою видимость и это позволяет провести через сторону NR вторую вспомогательную плоскость-посредник τ.

Следует отметить, что плоскости-посредники можно задавать как через стороны одного треугольника, так и через стороны другого. Возможно использование двух горизонтально-проецирующих или двух фронтально-проецирующих плоскостей, либо одну плоскость-посредник брать перпендикулярно плоскости П1, а вторую – перпендикулярно плоскости П2.

Так, при решении данного примера (см. рис. 4.6) точка L линии пересечения определена с помощью посредника – фронтально-проецирующей плоскости τ, проведённой через сторону NR треугольника MNR. Плоскость

τ пересекает плоскость треугольника QEF по прямой 1-5, а плоскость треугольника MNR по стороне NR, через которую плоскость τ проходит и, следовательно, NR строить не надо.

Покажем построение прямой (1-5). Точки 1 и 5 определятся, как точки пересечения сторон QE и QF треугольника QEF с проецирующей плоскос-тью τ. Их фронтальные проекции 12 и 52 строятся как точки пересечения τ2 с Q2E2 и Q2F2, то есть (•)12=τ2∩Q2E2, а (•)52=τ2∩Q2F2. Горизонтальные проекции 11 и 51 находим по линиям проекционной связи на горизонтальных проекциях Q1E1 и Q1F1.

Построенная прямая (1-5) и сторона NR треугольника MNR, как прямые, лежащие в плоскости посредника τ, пересекутся между собой в точке L, принадлежащей линии пересечения (L1=(11-21)∩N1R1), а L2 находится по линии связи на прямой N2R2. Аналогично, заключая сторону QF в горизонтально-проецирующую плоскость δ(δ1≡Q1F1), определяется точка L¢.

Точки L и L¢ являются точками пересечения сторон одного треугольника с плоскостью другого, то есть линия LL¢ есть линия пересечения заданных плоскостей α∩β=LL¢. Заметим, что точки L и L¢, могут быть определены и как точки пересечения прямых NR и QF, соответственно, с плоскостями треугольников QEF и MNR, для чего необходимо реализовать следующий алгоритм.

Например, для определения точки L=NR∩QEF: 1) NRÎτ (τ ^ П2, τ2≡N2R2); 2) τ∩α=(1-5); 3) NR∩(1-5)= (•)L.

Для определения относительной видимости заданных треугольников после построения линии их пересечения, достаточно установить расположение одной из сторон треугольника относительно скрещивающейся с ней стороной другого треугольника, другими словами, вопрос об относительной видимости плоскостей сводится к установлению видимости

двух скрещивающихся прямых. Видимость на каждой проекции определяется отдельно путём сопоставления положения конкурирующих точек, в которых проецирующий луч пересекает каждую из рассматриваемых скрещивающихся прямых относительно плоскостей проекций.

Так, для определения видимости на фронтальной проекции, луч зрения (см. рис. 4.6 и 4.7) проведён перпендикулярно к плоскости П2 через две конкурирующие относительно П2 точки скрещивающихся прямых QE и NR, то есть, соответственно, через точки 1 и 2. Так как по направлению луча сначала встретим точку 1, принадлежащую прямой QE (Y1>Y2), то на фронтальной плоскости проекций прямая QE будет видима, а прямая NR на участке от точки 22 до точки L2 – невидима.

Для определения видимости на горизонтальной проекции, луч зрения следует провести перпендикулярно к плоскости П1 через две конкурирующие относительно П1 точки скрещивающихся прямых (например, луч, проходящий через точки 10 и 11, соответственно, принадлежащие прямым MR и QF, см. рис. 4.6). Анализ показывает, что горизонтальная проекция Q1F1 видима до точки , так как луч на фронтальной проекции сначала встретит фронтальную проекцию 112 точки 11 (Z11>Z10), принадлежащей прямой QF, а затем фронтальную проекцию 102 точки 10, принадлежащей прямой MR. (Для большей наглядности одну из заданных плоскостей рекомендуется заштриховать).

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим алгоритм решения задачи.

1. Из заданной точки P провести перпендикуляр t к плоскости α (плоскость α – плоскость фигуры, построенной в задаче №1); (·)PÎt; t ^ α (см. пример 5.1).

2. Определить точку пересечения (точку T) перпендикуляра с плоскостью α; t ∩ α = (·) T (см. пример 5.2).

3. Определить натуральную величину │PT│ расстояния от точки P до плоскости (см. пример 5.3).

Рассмотрим более подробно каждый пункт приведённого выше алгоритма на следующих примерах.

Пример 1. Из точки P провести перпендикуляр t к плоскости α, заданной тремя точками α (ABC), (рис. 5.1).

Из теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости известно, что если прямая t ^ α, то на эпюре её горизонтальная проекция t1 перпендикулярна одноимённой проекции горизонтали плоскости, то есть t1 ^ h1, а её фронтальная проекция t2 перпендикулярна одноимённой проекции фронтали, то есть t2 ^ f2. Поэтому решение задачи необходимо начать с построения горизонтали и фронтали плоскости α, если они не входят в заданную плоскость. При этом необходимо помнить, что построение любой горизонтали надо начинать с фронтальной проекции, так как фронтальная проекция h2 горизонтали h всегда параллельна оси ОХ (h2││OX). А построение любой фронтали начинают с горизонтальной проекции f1 фронтали f, которая должна быть параллельна оси ОХ (f1││OX ). Так, на рис. 5.1 через точку C проведена горизонталь C-1 (С2-12; С1-11), а через точку A проведена фронталь A-2 (A1-21; A2-22). Фронтальная проекция t2 искомого перпендикуляра t проходит через точку P2 перпендикулярно к A2-22, а горизонтальная t1 – через точку P1 перпендикулярно к C1-11.

Пример 2. Определить точку пересечения перпендикуляра t с плоскостью α (то есть определить основание перпендикуляра).

Пусть плоскость α задана двумя пересекающимися прямыми α (h ∩ f). Прямая t перпендикулярна плоскости α, так как t1 ^ f1, а t2 ^ f2.

Для того чтобы найти основание перпендикуляра, необходимо осуществить следующие построения: 1. tÎb (b – вспомогательная проецирующая плоскость). Если b – горизонтально-проецирующая плоскость, то её вырожденная гори-зонтальная проекция (горизонтальный след b1) совпадает с горизонтальной проекцией t1 прямой t, то есть b1≡t1. Если b – фронтально-проецирующая плоскость, то её вырожденная фронтальная проекция (фронтальный след b2) совпадает с фронтальной проекцией t2 прямой t, то есть b2 ≡ t2. В данном примере использована фронтально-проецирующая плоскость (см. рис. 5.2).

2. α ∩ b = 1-2 – линия пересечения двух плоскостей;

3. определяем точку T – основание перпендикуляра; (·)T= t ∩ 1-2.

Пример 3. Определить расстояние от точки P до плоскости.

Расстояние от точки P до плоскости определяется длиной отрезка перпендикуляра PT. Прямая PT в пространстве занимает общее положение, поэтому порядок определения натуральной величины отрезка см. на стр. 7, 8 (рис. 3.4 и 3.5).

Эпюрное решение задачи №3 по определению расстояния от точки P до плоской фигуры, а именно до плоскости квадрата, построенного по заданным условиям*, приведено на рис. 5.3. Следует напомнить, что проекции точки P должны быть построены по заданным координатам (см. вариант своего задания).

3. ГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

СПОСОБЫ ПРЕОРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ

3.1 Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что одну из основных плоскостей проекций (П1 или П2) системы П2^П1 заменяют

новой плоскостью, перпендикулярной незаменяемой. Последовательное введение новых плоскостей проекций позволяет получить такую систему ортогональных плоскостей, относительно которой неподвижная геометрическая фигура займёт требуемое частное положение, что значительно упростит решение задачи на чертеже.

При решении большинства задач приходится вводить одну или последовательно две плоскости проекций. На рис. 1.1 представлена точка А, заданная в системе плоскостей П2/П1 своими проекциями А1 и А2. Возьмём новую плоскость проекций П4, перпендикулярную к плоскости П1, то есть перейдём от заданной системы П2/П1 к новой системе П4/П1 и построим ортогональную проекцию А4 точки А на этой плоскости.

Из рис. 1.1 видно, что если точка А в исходной системе плоскостей (П2/П1) определялась своими проекциями А1 и А2, то в новой системе (П4/П1) она будет определятся проекциями А1 и А4. Так как горизонтальная плоскость является общей для исходной и новой систем, то координата ZА точки А останется неизменной. Следовательно, расстояние от новой фронтальной проекции А4 до новой оси X14 должно быть равно расстоянию от заменяемой проекции А2 до оси X12, то есть:

│А2А12│=│А4А14│= ZA (1.1)

На рис. 1.2 показано эпюрное решение замены плоскости П2 на плоскость П4.

При переходе от первоначальной системы к новой и с учётом (1.1) необходимо выполнить следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно быть равно расстоянию от преобразуемой проекции точки до предыдущей оси.

На рис. 1.3 показано эпюрное решение последовательной замены двух заданных плоскостей проекций, а именно: сначала от системы П2/П1 перешли к промежуточной системе П4/П1, а далее от системы П4/П1 перешли к системе

П4/П5. Отметим, что новые оси X14 и X45 могут быть проведены на произвольном расстоянии при первой замене от горизонтальной проекции точки А1, а при второй – от новой фронтальной проекции точки А4 (эти расстояния могут равняться и нулю).

Особо следует обратить внимание на то, что при переходе от системы П4/П1 к системе П4/П5 и с учётом вышеизложенного правила, расстояние lA от новой проекции А5 точки А до новой оси X45 равняется расстоя-

нию от заменяемой горизонтальной проекции А1 точки до предыдущей оси.

Применение способа замены плоскостей проекций для решения позиционных и метрических задач начертательной геометрии основывается на решении четырёх основных задач.

3.2. Решение четырёх основных задач

Задача №1. Преобразовать чертёж так, чтобы прямая общего положения стала параллельной одной из плоскостей проекций новой системы, то есть стала прямой уровня.

На рис. 1.4. показан эпюр прямой общего положения, заданной отрезком AB (A1B1; A2B2). Известно, что если прямая параллельна одной плоскости проекций, то на другой плоскости проекций она изображается прямой,

параллельной оси проекций. Поэтому, чтобы AB стала линией уровня, например, фронталью, относительно новой плоскости проекций, проведём горизонтально-проецирующую плоскость П4 параллельно АВ и перейдём от системы П2/П1 к системе П4/П1. На эпюре этому выбору плоскости проекций соответствует построение новой оси X14, проведённой параллельно горизонтальной проекции А1В1 отрезка АВ. На рис. 1.4 новая ось X14 проведена на произвольном расстоянии от проекции А1В1. В соответствии с приведённым выше правилом (│А4А14│= ZA; │B4B14│= ZB), построена новая фронтальная проекция А4В4 отрезка АВ. Длина проекции А4В4 равна длине отрезка АВ.

Задача №2. Преобразовать чертёж так, чтобы прямая общего положения в новой системе плоскостей проекций стала проецирующей прямой, то есть прямой, перпендикулярной одной из плоскостей проекций.

В рассматриваемой задаче прямая АВ (А1В1; A2B2) является прямой общего положения (см. рис. 1.4), и новая плоскость, перпендикулярная этой прямой, в заданной системе П2/П1 будет плоскостью общего положения и не может быть принята за плоскость проекций. Поэтому, необходимо выполнить последовательную замену двух (П1 и П2) плоскостей проекций.

Первая новая плоскость проекций, например П4, выбирается параллельно данной прямой АВ, при этом решается первая задача, рассмотренная выше (см. рис. 1.4). А далее, от системы П4/П1 необходимо перейти к новой системе П4/П5, то есть вторую новую плоскость проекций П5 выбирают перпендикулярно плоскости П4, и кроме того, перпендикулярно прямой АВ, добиваясь того, чтобы прямая АВ стала проецирующей в системе П4/П5 (АВ^П5).

Откладывая на линии связи от новой оси X45, проведённой перпендикулярно к проекции А4В4 прямой АВ, отрезок, равный расстоянию lA=lB, и с учётом правила замены плоскостей проекций, получим проекцию заданной прямой на плоскости П5 в виде точки А5≡В5.

Задача №3. Преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей в новой системе плоскостей проекций.

Пусть плоскость общего положения α задана на чертеже треугольником АВС (А2В2С2; A1B1C1) в системе П2/П1 (рис. 1.5). Поставленная задача будет иметь решение, если новую плоскость проекций П4 расположить перпендикулярно треугольнику АВС и одной из плоскостей проекций. Это значит, что плоскость треугольника АВС должна содержать прямую, перпендикулярную к плоскости П4. Поскольку стороны треугольника являются прямыми общего положения, то как было показано во второй задаче, их нельзя сделать проецирующими заменой одной из плоскостей проекций. Поэтому, в плоскости треугольника АВС необходимо построить одну из его линий уровня (линию, параллельную одной из плоскостей проекций) и выбрать новую плоскость П4 перпендикулярно к этой прямой уровня, а значит перпендикулярно и к незаменяемой плоскости проекций. Тогда построенная прямая уровня, а вместе с ней и плоскость α(АВС) станут проецирующими относительно плоскости П4.

Сначала в системе П2/П1 построим в заданной плоскости α(АВС) любую линию уровня, например, горизонталь h, проходящую через точку А (см. рис. 1.5). Эта горизонталь нужна для ориентировки новой плоскости проекций П4. Расположив П4^h, мы обеспечим выполнение сразу двух условий: новая плоскость П4 будет перпендикулярна плоскости П1 и заданной плоскости треугольника АВС. Новую ось X14 проведём под прямым углом к h1. Далее, через горизонтальные проекции А1, В1, С1 вершин треугольника АВС в системе П4/П1 перпендикулярно новой оси проведём линии связи, и с учётом правила замены плоскостей проекций, отложим на этих линиях от оси X14 отрезки, равные ZA, ZB и ZC.

На плоскости П4 получим новые проекции А4, В4 и С4 точек А, В и С, которые располагаются на одной прямой α4 – новой проекции плоскости α, перпендикулярной плоскости П4.

Задача №4. Преобразовать чертёж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня в новой системе плоскостей проекций.

Решить эту задачу заменой одной плоскости проекций невозможно, поскольку новая плоскость проекций, параллельная треугольнику АВС, не образует с плоскостями проекций П1 и П2 ортогональной системы. Поэтому, решая задачу, необходимо выполнить последовательно две замены, то есть сначала от системы П2/П1 перейти к системе П4/П1, а далее от системы П4/П1 перейти к системе П4/П5. Первой заменой, переходя от системы П2/П1 к системе П4/П1, преобразуем заданную плоскость α в проецирующую α¢, перпендикулярную плоскости П4 (см. задачу №3, рис. 1.5).

Далее, для преобразования плоскости α¢ в плоскость уровня, перейдём от системы П4/П1 к новой системе П4/П5, то есть заменим плоскость П1

новой плоскостью П5, расположенной параллельно плоскости α¢. Для этого проведём новую ось X45 параллельно следу и через точки А4, В4 и С4, принадлежащие следу , проведём линии проекционной связи перпендикулярно оси X45.

С учётом правила замены плоскостей проекций на линиях проекционной связи откладываем, соответственно, отрезки lA, lB, lC (см. рис. 1.5), получив таким образом горизонтальную проекцию А5В5С5 треугольника АВС на плоскости П5. Так как плоскость треугольника АВС стала плоскостью уровня относительно плоскости П5, то проекция А5В5С5 плоскости α(АВС) является натуральной величиной этого треугольника.

3.3. Метод вращения. Вращение плоскости вокруг линии уровня

Сущность метода состоит в том, что положение плоскостей проекций и направление проецирования не изменяются, а данные геометрические фигуры перемещаются в пространстве до принятия ими частного положения по отношению к данной системе плоскостей проекций.

Рассмотрим в пространстве вращение точки А вокруг оси i и определим элементы вращения, которые необходимо знать, чтобы осуществлять вращение в пространстве и на эпюре (рис. 1.6). 1. Точка А, вращаясь вокруг оси i, опишет окружность, лежащую в плоскости вращения b, проходящей через эту точку и перпендикулярной оси вращения i(b^i). 2. Центр O вращения точки А является центром окружности и поэтому лежит в плоскости b, но в то же время, центр вращения О должен лежать и на оси вращения i. Поэтому, центром вращения точки является точка пересечения оси вращения i с плоскостью вращения b, то есть (×)О=i∩b*. 3. Радиус вращения точки равен расстоянию от центра вращения этой точки до самой точки R=│OA│, причём, решая задачу на эпюре, необходимо находить натуральную величину радиуса вращения.

Элементы, определённые в п. п. 143 настоящего параграфа, составляют основы способа вращения и поэтому должны всегда определяться при

различных положениях оси вращения i по отношению к плоскостям проекций.

Для выполнения домашней работы по начертательной геометрии на тему: «Гранные поверхности» необходимо уметь определять натуральную величину плоскости общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми – горизонталью и фронталью α(h∩f).

Поэтому, далее рассмотрим, как применяются правила, изложенные

в п. п. 143 при вращении плоскости общего положения вокруг оси i, которая занимает частное положение, то есть расположена параллельно плоскости П1, являясь горизонталью заданной плоскости.

Решим следующую задачу: дана плоскость α(h∩f). Требуется определить натуральную величину угла при вершине М.

За ось вращения в данной задаче примем горизонталь h (см. рис. 1.7). Для определения натуральной величины угла, необходимо заданную плоскость повернуть вокруг оси i≡h до положения α¢, параллельного плоскости П1, то есть до совмещения с плоскостью уровня, проходящей через h(α¢≡h). Заметим, что все точки горизонтали, включая и заданную точку M, принадлежат оси вращения i и, следовательно, при вращении будут оставаться неподвижными.

Поэтому, для определения нового положения плоскости α¢││П1, достаточно определить новое (повёрнутое) положение любой точки, принадлежащей фронтали f. В рассматриваемой задаче (рис. 1.7 и 1.8) такой точкой будет точка Е (Е2Îf2; E1Îf1).

Определим элементы вращения точки Е вокруг оси i≡h:

1. Построим плоскость вращения точки Е вокруг оси i (b^i; b^П1; b1^h1).

2. Определим центр вращения – точку О. (×)О=b∩h (b1∩i1=(×)О1;

(×)О1↑h2=(×)О2).

3. Определим радиус вращения точки Е вокруг оси i. R=│OE│ (O1E1; O2E2).

Заметим, что решая задачу на эпюре (рис. 1.8), необходимо знать натура-льную величину радиуса вращения. Так как прямая ОЕ является прямой обще-го положения, определим натуральную величину отрезка ОЕ. В данной задаче натуральная величина радиуса ОЕ определена с помощью прямоугольного треугольника Е1О1Е0, где катет О1Е0 равен разности удалений концов отрезка ОЕ от плоскости П1, то есть разности DZ, а гипоенузой Е1Е0 треугольника

Е1О1Е0 будет натуральная величина радиуса вращения точки Е вокруг оси i.

Траектория вращения точки Е вокруг оси i спроецируется на плоскость П2 в виде эллипса, все точки которого будут принадлежать плоскости b(b^П1). Нас же интересует вращение точки Е только до её совмещения с плоскостью уровня α¢(), параллельной плоскости П1 и проходящей через ось i≡h (см. рис. 1.7). При повороте точки Е радиус R займёт положение R¢││П1, точка Е – положение Е¢, а горизонтальная проекция Е1 точки Е займёт положение .

Отрезок , являющийся горизонтальной проекцией R¢, равен натуральной величине . Таким образом, для построения горизонтальной проекции плоскости α¢(││П1), достаточно на b1 отложить отрезок и соединить полученную точку с горизонтальной проекцией М1 неподвижной точкой М. Так определится новое повёрнутое положение фронтали f и, как результат, повёрнутое до частного положения (α¢││П1) новое положение заданной плоскости α.

Так как α¢() займёт частное положение, то все элементы такой плоскости спроецируются на эту плоскость в натуральную величину.

Замечение. Обратимся ещё раз к рис. 1.8 и заметим, что фронталь f, расположенная параллельно плоскости П2, на эту плоскость проецируется в натуральную величину. В новом повёрнутом положении все элементы, принадлежащие заданной плоскости, также проецируются в натуральную величину. Следовательно, натуральной величиной будет и фронталь , а значит, отрезок . Поэтому точку можно построить, не определяя центр и радиус вращения точки Е, а только, сделав из точки М1 радиусом R¢¢=│M2E2│ засечку на следе b1, получим новое совмещённое положение точки Е.

Далее, соединяя точку М1 и точку , получим новое повёрнутое положение заданной фронтали f, а так как горизонталь h≡i была неподвижна, то следовательно, и новое положение α¢(h∩) будет параллельным плоскости П1

4. КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Многие детали представляют собой конструкции из пересекающихся геометрических тел. Общая линия пересекающихся поверхностей называется линией пересечения. Линия пересечения двух поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две и более составляющие. Эти составляющие могут быть как плоскими кривыми, так и прямыми линиями.

Для определения точек, общих для двух поверхностей, часто используют вспомогательные секущие поверхности. Эти поверхности называют поверхностями-посредниками. Поверхности-посредники пересекают данные поверхности по линиям, которые, в свою очередь, пересекаются в точках, принадлежащих линии пересечения.

Рассмотрим в общем виде использование посредников при решении задачи на построение линии пересечения (m) двух заданных поверхностей Ф1 и Ф2, ∩= m. Из рис. 1 видно, что посредник α пересекает заданную поверхность Ф1 по линии n, а поверхность Ф2 по линии l. Точка K (в действительности точек может быть больше), в которой пересекаются линии n и l, общая для заданных поверхностей Ф1 и Ф2, и следовательно, при-надлежит линии их пересечения – линии m. Многократно повторяя такой приём, получаем ряд точек искомой линии пересечения.

Наиболее часто в качестве поверхностей-посредников используют плоскости или сферы, в зависимости от чего различают следующие способы построения линии пересечения двух поверхностей:

а) способ вспомогательных плоскостей;

б) способ вспомогательных сфер.

Применение того или иного способа зависит как от типа данных поверхностей, так и от их взаимного расположения. Прежде чем перейти к рассмотрению более подробно каждого способа построения линии пересечения следует напомнить, что сначала надо определить так называемые её

опорные (характерные) точки. К ним относятся:

1. Точки, принадлежащие контурным (очерковым) линиям пересекающихся поверхностей, среди которых будут и точки видимости;

2. Точки, координаты которых X, Y и Z имеют экстремальные значения, то есть точки, наиболее и наименее удалённые от плоскостей проекций П1, П2 и П3.

При построении ортогонального чертежа следует учитывать, что проекции линии пересечения всегда располагаются в пределах площади наложения одноимённых проекций пересекающихся поверхностей.

4.1. СПОСОБ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

Этот способ следует применять когда секущие плоскости одновременно пересекают заданные поверхности по графически простым линиям. К таким линиям относятся прямые и окружности. Их возможные сочетания при использовании плоскостей-посредников приведены в табл. 1.1. Анализируя табл. 1.1, необходимо отметить, что в результате использования одного посредника можно сразу получать 1, 2 или 4 точки, принадлежащие линии пересечения – линии m. Рассмотрим на примерах построение линии пересечения двух поверхностей, используя способ секущих плоскостей.

Пример 1. Построить линию пересечения конуса вращения ( Ф1 ) с поверхностью полусферы ( Ф2 ) (рис. 1.1). Рассмотрим возможность применения плоскостей частного положения в качестве посредников (Ф).

Фронтальные плоскости уровня, кроме проходящей через общую плоскость симметрии*, пересекают поверхность полусферы по окружностям, а поверхность конуса по гиперболам. Поэтому их не следует применять в качестве посредников.

Проецирующие плоскости будут давать сложные для построения на чертеже линии, поэтому их также нецелесообразно использовать в качестве посредников.

Горизонтальные плоскости уровня пересекают заданные поверхности по окружностям, которые проецируются на плоскость проекций П1 без искажения, а на плоскость проекций П2 – в прямые, совпадающие с фронтальными следами секущих плоскостей.

Проведённый анализ показывает, что в качестве посредников Ф должны быть использованы горизонтальные плоскости уровня. Их применение даёт наиболее простые и графически точные построения на чертеже, так как в этом случае окружности, по которым будут пересекаться обе поверхности с горизонтальной плоскостью уровня, отобразятся на П1 без искажения, как и основания поверхностей.

№ п/п	∩ = n	∩ = l	n ∩ l = (·) K
1	Прямая	Прямая
2	Прямая	Окружность
3	Окружность	Две прямые
4	Две прямые	Две прямые
5	Окружность	Окружность
6	Окружность	Окружность

Таблица 1.1