Учебно-методический комплекс по дисциплине Начертательная геометрия (стр. 3 )

Решение задачи следует начинать с определения опорных (характерных) точек.

1. Точки, лежащие на очерковых образующих.

Для определения точек (или точки), лежащих на очерковых образующих, введём посредник – фронтальную плоскость уровня, проходящую через оси заданных поверхностей (рис. 1.1). Занимая частное положение, а именно β ׀׀ П2, плоскость β (i ׀׀ j) рассечёт конус по двум образующим AS и BS, а поверхность полусферы по полуокружности n. Фронтальные проекции A2S2 и S2B2 образующих AS и SB – крайние (очерковые) образующие конуса. Фронтальная проекция n2 полуокружности n – очерк полусферы на плоскости П2.

Анализируя чертёж, заметим, что левая очерковая образующая конуса A2S2 не имеет общих точек с очерковой полуокружностью n2, а правая очерковая образующая S2B2 пересекает очерковую полуокружность n2 в точке 12.

2. Высшая точка линии пересечения должна лежать в общей плоскости симметрии. Напомним, что эта плоскость включает в себя оси заданных поверхностей. В данном примере (рис. 1.1) такой плоскостью является плоскость β (i ׀׀ j) ׀׀ П2, поэтому найденная точка 1(11, 12) будет наивысшей точкой. Координата Z1=Zmax.

3. Низшие точки сечения.

Для определения таких точек введём посредник – горизонтальную плоскость уровня, проходящую через основания заданных поверхностей – плоскость αÎП1 (рис. 1.1). Эта плоскость пересекает конус по окружности k(k1, k2), а полусферу – по окружности h(h1, h2). На фронтальной плоскости проекций эти окружности, проецируясь в прямые линии, совпадают, а на горизонтальной – окружность k(k1) пересекается с окружностью h(h1) в точках 21 и 31 (h1∩k1=(:)21≡31). Эти точки – низшие точки сечения Z2=Z3=Zmin.

После выполнения пунктов 2 и 3, становится ясно, что нижний предел вспомогательной секущей плоскости равен Z2, а верхний – Z1, то есть

(1.1)

Особыми точками в данном примере будут точки 6 и 7 (рис. 1.2), в которых полусфера касается образующих конуса.

4. Точки касания образующих конической поверхности с поверхностью полусферы.

Для нахождения точек касания полусферы и конической поверхности

необходимо выполнить следующие построения:

а) построить вспомогательную коническую поверхность ψ, образующие которой представляют собой множество прямых, проходящих через (·)S (S2) – вершину заданного конуса (Ф1) и касающуюся поверхности полусферы Ф2 () по окружности p радиуса r (рис. 1.2);

б) определить линию пересечения двух конических поверхностей с общей вершиной в точке S, то есть определить общие образующие, принадлежащие вспомогательному конусу (ψ) и заданному (Ф1): ψ ∩ Ф1 = SE, SF.

Для нахождения образующих SE и SF пересечём поверхности Ф1 и ψ сферой произвольного радиуса R с центром в точке S2, (рис. 1.2). Являясь соосной* с каждой из конических поверхностей, сфера пересечёт их по окружностям t и t′. На плоскость П2 эти окружности спроецируются в виде прямых, перпендикулярных к осям поверхностей Ф1 и ψ. Искомые образующие пройдут через точки пересечения окружностей t ∩ t′ = (:) E, F. Построив образующие SE и SF (E2= t2 ∩ t′2; E2≡F2) на плоскости П2, перейдём к построению горизонтальных проекций (E1, F1) точек E и F. Искомые точки принадлежат окружности t, которая находится в плоскости δ, параллельной плоскости П1. Радиус окружности =│M2N2│ определяется расстоянием от оси конуса (точка M2) до точки пересечения плоскости δ (δ2) с его очерковой образующей (точка N2). Спроецировав точки E2 и F2 на горизонтальную проекцию окружности t1 (), получим горизонтальные проекции точек E1 и F1. Далее, соединяя эти точки с вершиной S1, получим горизонтальные проекции искомых образующих S1E1 и S1F1;

в) найти точки 6 и 7, в которых образующие конической поверхности SE и SF касаются полусферы, то есть определить точки пересечения образующих SE и SF с окружностью p радиуса r (см. рис. 1.2), по которой вспомогательный конус ψ касается поверхности полусферы. Итак, точка 6(62)=S2E2∩p2; (62≡72). По линиям проекционной связи строим горизонтальные проекции (×) 61ÎS1F1, а (×) 71ÎS1E1. В этих точках образующие заданной конической поверхности Ф1 касаются полусферы Ф2. Особенность этих точек заключается в том, что именно в них образующие конической поверхности на развёртке касаются линии пересечения.

Определив все характерные точки, перейдём к построению промежуточных точек.

5. Определение промежуточных точек.

Напомним, что для их построения будем использовать в качестве по-

средника – горизонтальные плоскости уровня. Введение таких плоскостей должно выполняться с учётом неравенства (1.1). На рис. 1.1 показаны две плоскости уровня α' и γ. Каждая из них определяет пару точек на будущей линии пересечения. Рассмотрим плоскость γ. Она пересекает конус по окружности e. Радиус окружности Re. Эта же плоскость пересекает полусферу по окружности f радиуса Rf. Центр окружности Re лежит на оси i,

а центр окружности Rf – на оси j. На плоскости П2 эти окружности принадлежат вспомогательной плоскости γ ׀׀ П1, то есть совпадают со следом γ2, а на П1 они проецируются в натуральную величину. Построив проекции окружностей на П1, получим точки 41 и 51, в которых эти окружности пересекаются. Фронтальные проекции (42≡52) точек 4 и 5 принадлежат фронтальной проекции γ2 плоскости γ, см. рис. 1.1. Таким же образом строят и другие промежуточные точки, используя в качестве посредников горизонтальные плоскости уровня.

Далее, последовательно соединяя все полученные точки, с учётом видимости строят искомую линию m=∩. Точность построения будет зависеть от количества использованных посредников. Окончательное решение задачи приведено на рис. 1.3.

Пример 2. Построить линию пересечения поверхности конуса Ф1 с поверхностью полусферы Ф2.

Оси заданных поверхностей расположены на разном расстоянии от плоскости П2, то есть Yi¹Yj (рис. 1.4). Прежде чем начать определение точек, принадлежащих линии пересечения заданных поверхностей m=∩, рассмотрим более подробно, как следует определять характерные точки этой линии.

Определение низших точек. Введём в качестве посредника (рис. 1.4) плоскость α (α2). Плоскость α, принадлежащая плоскости П1 и проходящая через основание конуса и полусферы, рассечёт, соответственно, поверхности Ф1 и Ф2 по окружностям k и h, горизонтальные проекции которых пересекутся в точках 11 и 21. По линиям проекционной связи строим их фронтальные проекции 12 и 22 (см. рис.1.4). Точки 1 и 2 определяют нижний предел вспомогательной секущей плоскости α, то есть Z1,2=Zmin.

Определение высшей точки сечения. Для того, чтобы установить область поиска общих точек заданных поверхностей, необходимо определить верхний предел использования вспомогательных секущих плоскостей, параллельных плоскости П1, то есть определить координату Z высшей точки. Высшая точка

линии пересечения должна лежать в общей плоскости симметрии β поверхностей, которая пройдёт через ось конуса и ось сферы

(рис. 1.5). Плоскость β пересекает конус по образующим SA′ и SB′, а полусферу по полуокружности n′. Для нахождения точки 3 пересечения образующей SB′ с полуокружностью n′ необходимо выполнить следующие построения (см. рис. 1.5):

1) преобразовать чертёж так, чтобы плоскость β стала параллельной новой плоскости П4 и тогда полуокружность n′ спроецируется на П4 без искажения. Для этого необходимо выполнить замену плоскости П2 на плоскость П4 (β׀׀П4), а это значит, что от системы П2/П1 надо перейти к системе П4/П1. Ось X14 должна быть параллельна следу β1 (X14׀׀β1);

2) построить новые проекции образующих SA′, SB′ и полуокружности n′ на плоскости П4 (см. рис. 1.5). При этом необходимо помнить, что при переходе от одной системы к другой, расстояние от новой проекции точки (например, S4) до новой оси X14, равно расстоянию от преобразуемой проекции (S2) до предыдущей оси X12, то есть │S4 X14│=│S2 X12│. Точка O4 в новой системе должна принадлежать оси X14, так как точка O2 принадлежит оси X12;

3) в пересечении образующих и определится высшая точка 3(34). Её горизонтальная проекция 31 должна принадлежать горизонтальному следу β1 (см. рис. 1.5). Для определения фронтальной проекции 32 высшей точки 3 следует использовать координату Z точки 3. После выполнения таких преобразований видно, что верхний предел Zmax вспомогательных секущих плоскостей равен Z3.

Для определения промежуточных точек в интервале необходимо провести некоторое количество секущих плоскостей-посредников, параллельных плоскости П1. Но прежде чем перейти к построению промежуточных точек линии пересечения заданных поверхностей, необходимо найти точки, в которых образующие конической поверхности касаются полусферы. При этом следует помнить, что эти точки сначала надо найти в системе П4/П1, а далее, определив координаты Z этих точек, перейти в систему П2/П1.

Эпюрное решение, связанное с определением точек 6 и 7, в которых образующие конической поверхности касаются сферы, приведено на рис. 1.6. Метод, используемый при нахождении таких точек, подробно описан на стр. 10, рис. 1.2. На следующем рис. 1.7 показаны построения точки 4, в которой линия пересечения заданных поверхностей m касается правой очерковой образующей конуса. Заметим, что левая образующая конической поверхности с поверхностью полусферы не пересекается. Итак, для того чтобы определить точку 4, необходимо ввести плоскость-посредник γ, проходящую через ось конуса i и расположенную параллельно плоскости П2 (рис. 1.7).

Эта плоскость пересечёт конус по образующим SA и SB, а поверхность полусферы по окружности k радиуса r¢. В пересечении фронтальной проекции S2B2 образующей SB с фронтальной проекцией k2 окружности k (r¢) получим фронтальную проекцию 42 точки 4. Учитывая, что точка 4 принадлежит плоскости γ, по линии проекционной связи определяем её горизонтальную проекцию 41Î γ1.

Там же на рис. 1.7 показано построение промежуточных точек 5 и 8 линии m посредством плоскости-посредника. Плоскость , параллельная плоскости П1, пересечёт поверхность конуса по окружности f радиуса , а поверхность полусферы по окружности e радиуса .

На плоскости П2 их проекции совпадут с фронтальной проекцией плоскости, а на горизонтальной плоскости проекций окружности спроецируются в натуральную величину. В пересечении горизонтальных проекций f1 и e1 окружностей f и e получим точки 51 и 81, принадлежащие линии пересечения заданных поверхностей: f1 () ∩ e1 () = (:) 51, 81. Их фронтальные проекции 52 и 82 находим по линии проекционной связи на .

Многократно повторяя вышеописанные действия по определению промежуточных точек для различных плоскостей-посредников и с учётом интервала , получаем набор точек, принадлежащих искомой линии m=∩.

На рис. 1.8 показано окончательное решение задачи. Ранее найденные точки последовательно соединены плавной кривой (без особых точек) с учётом их относительной видимости.

Обратимся к заданному условию задачи (рис. 1.4). Из чертежа видно, что Yj больше Yi. Следовательно, поверхность полусферы находится ближе к наблюдателю, а это значит, что все точки линии пересечения, которые будут находится перед плоскостью δ (δ1) (δ – плоскость главного меридиана полусферы, расположенная параллельно плоскости П2 и проходящая че-

рез центр сферы), будут видимы на П2, а точки, которые находятся за плоскостью δ, на П2 будут невидимы. Границей раздела видимости для линии пересечения будет точка 9 (рис. 1.8). Но она не может быть найдена точно, так как плоскость δ пересекает полусферу по окружности n (n1; n2), а конус – по гиперболе. Поэтому, на рис.1.8 эта точка построена приближённо, как точка пересечения линии m с плоскостью δ, то есть на П1 мы имеем

91=m1∩ δ1.

4.2. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР

4.2.1. Пересечение соосных поверхностей

Соосными поверхностями называют поверхности, имеющие общую ось. Две соосные поверхности вращения пересекаются друг с другом по окружностям (рис. 2.1). Причём, число окружностей равно числу точек пересечения очерковых меридианов поверхностей. При этом, если общая ось поверхностей вращения параллельна какой-нибудь плоскости проекций, то эти окружности будут проецироваться на данную плоскость в виде отрезков прямых (например, на плоскость П2), а на плоскость П1 – в виде окружностей.

В случае (рис. 2.2), если одной из соосных поверхностей вращения является сфера, а центр сферы находится на оси какой-нибудь поверхности вращения, то в их пересечении получается окружность – общая параллель. Это свойство сферы с центром на оси какой-либо поверхности вращения и положено в основу способа концентрических* сфер.

4.2.2. Способ концентрических сфер

Способ концентрических сфер можно применять для построения линии пересечения двух поверхностей, каждая из которых содержит семейство окружностей, по которым её могут пересекать концентрические сферы,

общие для двух поверхностей, то есть заданные поверхности должны быть поверхностями вращения.

Кроме того, заданные поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, расположенную параллельно одной из плоскостей проекций. И, наконец, третье – оси заданных поверхностей должны пересекаться. Точка пересечения осей будет центром всех вспомогательных секущих сфер-посредников.

Пример 1. Построить линию пересечения m поверхностей конуса

и тора, оси которых i и j пересекаются в точке O и параллельны плоскости проекций П2 (рис. 2.3).

Убедимся в том, что предлагаемая задача не может быть решена посредством вспомогательных параллельных плоскостей уровня, рассмотренных нами ранее (см. рис. 1.1). Действительно, в горизонтальных плоскостях уровня на поверхности конуса будем иметь семейство окружностей, а на поверхности тора – семейство кривых четвёртого порядка. Во фронтальных плоскостях уровня на поверхности конуса будем иметь семейство гипербол, а на поверхности тора – кривые четвёртого порядка. Поскольку в рассматриваемых плоскостях уровня поверхности не содержат одних только простейших линий (прямые и окружности), то эти плоскости нельзя использовать в качестве плоскостей-посредников.

Однако, две плоскости при решении данного примера могут и должны быть использованы. Одной из таких плоскостей будет плоскость, проходящая через оси заданных поверхностей, то есть общая плоскость симметрии α (α1), параллельная плоскости П2 (рис. 2.3).

Плоскость α, являясь плоскостью главного меридиана заданных поверхностей, рассечёт обе поверхности по очерковым образующим: конус – по образующим SQ и ST, а тор – по линиям k и k’. Пересечение главных меридианов поверхностей определяет опорные точки линии пересечения C и D: S2T2∩k2=(×)D2; S2T2∩=(×)C2. Напомним, что точки C и D принадлежат плоскости главного меридиана, а это значит что горизонтальные проекции точек C(C1) и D(D1) должны принадлежать горизонтальной проекции плоскости α (α1), то есть (:) C1, D1Îα1.

Вторая плоскость уровня, которую можно использовать при решении задачи, будет плоскость β (β2), параллельная плоскости П1 и проходящая через ось j. Такая плоскость пересечёт тор по линиям n и n′ – очерковым образующим тора на плоскости П1, а конус – по окружности e. Радиус окружности – re. Горизонтальные проекции K1 и L1 точек K и L получены в местах пересечения горизонтальной проекции окружности e1 (re) с горизонтальными проекциями линий n1 и : e1∩=(×)K1; e1∩n1=(×)L1. В точках K1. Легко увидеть, что в предлагаемой задаче исходные поверхности удовлетворяют всем требованиям, которые позволяют использовать сферы-посредники для построения линии пересечения конуса и тора, а именно, конус и тор – поверхности вращения, их оси пересекаются и параллельны плоскости проекций П2.

Вспомогательные сферы-посредники переменного радиуса будут иметь общий центр – точку O пересечения осей i и j заданных поверхностей ((×) O = i ∩ j ). На каждой из этих сфер будут располагаться окружности – простейшие линии каркаса тора и конуса.

Определим границы изменения радиусов сфер-посредников, если область их значений выражается неравенством: .

Определение сферы минимального радиуса. Сфера минимального радиуса (Rmin) должна быть вписанной в одну поверхность и пересекать другую. Обратимся к рис. 2.3. Из чертежа видно, что в данном примере сфера минимального радиуса будет вписана в поверхность конуса. Для того чтобы определить радиус сферы, необходимо из точки O2 провести нормаль к образующей конуса. Отрезок│O2N2│ – радиус минимальной сферы, которая может быть использована при решении задачи. Прямая t2 представляет собой фронтальную проекцию окружности t радиуса rt – линии касания поверхности конуса Ф1 со сферой минимального радиуса. Очерком сферы минимального радиуса на плоскость П2 будет окружность. Сфера минимального радиуса, как соосная с поверхностью тора, пересечёт тор по окружности a, которая проецируется на П2 в отрезок a2. В пересечении окружностей t и a определим точки A и B, принадлежащие заданным поверхностям: t2∩a2=(:)A2, B2, (A2≡B2).

Определение сферы максимального радиуса. В общей плоскости симметрии α׀׀П2 (рис. 2.3) расположены фронтальные очерковые линии поверхностей тора и конуса, которые на П2 пересекаются в точках C2 и D2. Расстояние от точки O2 до наиболее удалённой точки пересечения очерковых образующих, в данном примере точка C2, будет радиусом наибольшей сферы – Rmax, так как │O2C2│$│O2D2│, то есть Rmax=│O2C2│.

Для определения промежуточных точек и с учётом неравенства проведём вспомогательную сферу Фi произвольного радиуса Ri с центром в точке O2 = i2 ∩ j2, которая спроецируется на П2 в окружность l2. Будучи соосной с каждой из двух заданных поверхностей, вспомогательная сфера Фi пересечёт поверхность тора Ф2 по окружности b(Ф2∩Фi=b), а поверхность конуса Ф1 – по окружности f (Ф1∩Фi=f). Окружности b и f спроецируются на плоскость П2 в отрезки прямых линий b2 и f2,, перпендикулярные соответствующим осям поверхностей вращения.

Искомые точки E и F линии пересечения поверхностей будут находится в местах пересечения окружностей b и f, то есть на П2 в пересечении отрезков прямых b2 и f2 ((:)E2F2=b2∩f2). Построение горизонтальных проекций промежуточных точек не вызывает затруднений и осуществляется посредством горизонтальных проекций окружностей (линий каркаса) поверхности конуса Ф1 (см. рис. 2.3 – построение горизонтальных проекций точек A(A1), B(B1), E(E1) и F(F1)). Искомая линия пересечения m=∩ заданных поверхностей вращения представляет собой пространственную кривую, не имеющую особых точек. Поэтому, полученные точки должны быть последовательно соединены плавной кривой линией с учётом видимости заданных поверхностей. Все точки линии m=∩, которые на плоскости П2 находятся выше плоскости β (β2) будут на плоскости П1 видимыми, а точки, которые находятся ниже плоскости β (β2), на плоскости П1 будут невидимыми. На рис. 2.4 показано наглядное изображение задачи 2.1.

В тех случаях, когда оси поверхностей вращения не параллельны плоскости проекций, применению способа концентрических сфер должно предшествовать преобразование эпюра.

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ И ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

Контрольная работа № 1 по разделу курса – Начертательная геометрия включает 8 заданий, которые студенты выполняют карандашом на форматах

А3 с помощью простейших чертежных инструментов.

В начертательной геометрии чертежи принято называть эпюрами (рисунками).

Эпюр 1 связан с решением позиционных задач на комплексном чертеже, эпюр 2 – простейших метрических задач, эпюр 3 содержит задачи на взаимопересечение поверхностей.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ (ЭПЮР 1)

Задания 1 – 4 по начертательной геометрии связаны с построением комплексного чертежа Монжа, аксонометрического двух наиболее

простых чертежа (прямоугольной изометрии) и решением позиционных задач на пересечение плоскостей общего положения с плоскостями проекций.

Для решения перечисленных задач используется пирамида, заданная координатами вершин A, B, C, D.

Десять вариантов заданий приведены в табл.1. Номер варианта выбирают по последней цифре учебного шифра.

Задания 1 – 4 выполняются на формате А3 (420Х297) карандашом с помощью чертежных инструментов и компонуются согласно рис. 1.

Если исходные данные затрудняют компоновку всех трех заданий на одном листе, то задания 3 и 4 могут быть выполнены на отдельном

формате А3. Задания 3 и 4 должны быть снабжены пояснениями (см. рис. 1), содержание которых объяснено ниже. Все надписи выполняют чертежными шрифтами А3, 5 либо А5 (наклонным).

1.1.ЗАДАНИЕ 1

Последовательность выполнения задания 1 представлена на рис. 2. Задают систему координат на комплексном чертеже Монжа

[1], рис. 2, а. Буквами X, Y,Z обозначены оси координат.

Если в конкретном варианте задано отрицательное значение, то оно должно быть отложено от нуля в противоположном направлении (X,

Y, Z), рис. 2,а.

На комплексном чертеже по исходным данным строят парные проекции четырех точек – A, B,C, D: (A, A ); (B, B ); (C, C ); (D, D). Индекс «два» используют для обозначения проекций на фронтальную плоскость

П2 (или V), «один» на горизонтальную плоскость П1 (или H).

Точки соединяются попарно тонкими линиями на каждой из проекций (рис. 2, в). Видимость «конкурирующих» ребер пирамиды определяется по принципу «выше ниже», «дальше - ближе».

Видимые ребра обводят сплошной основной линией,

невидимые – штриховой, толщиной s/3 (рис. 2, г).

Рис. 2, г является первым готовым фрагментом листа задания (см. рис.1).

1.2.ЗАДАНИЕ 2

Последовательность выполнения задания представлена на рис. 3.

Задается: изометрическая система координат с осями, направленными друг относительно друга под углом 120 (см. ГОСТ – 2.31769, рис. 3, а [ 1,2].

Строят единственную проекцию каждой точки по схеме, представленной на рис. 3, б.

Построенные проекции A, B, C, D соединяют попарно тонкими линиями (рис. 3, в).

Оценивают видимость «конкурирующих» ребер (AC и BD) по принципу «дальше ближе» с помощью комплексного чертежа (рис. 2, г). Стрелка В показывает направление взгляда в аксонометрии. Легко видеть, что ребро АС расположено на переднем плане и является видимым. Следовательно, ребро BD невидимое и должно

быть показано штриховой линией (рис. 3, г).

Рис. 3, г может быть перенесен на формат в качестве второго задания. Здесь же необходимо показать тонкими линиями координатное построение вершин пирамиды.

1.3.ЗАДАНИЕ 3

Последовательность выполнения задания представлена на рис. 4.

Требуется построить следы плоскости боковой грани АВС заданной пирамиды. Напомним [3], что след плоскости – это прямая пересечения заданной плоскости с

(V), и с горизонтальной П (H) плоскостями проекций, поэтому и следов будет два: α и 1 плоскостью проекций. Плоскоcть общего положения пересекается и с фронтальной П2 α2. Если плоскость занимает особое (частное) положение в пространстве, то она может

иметь единственный след. Например, горизонтальная плоскость имеет единственный след на плоскости проекций П2 (V) в виде горизонтальной прямой.

Итак, зададим плоскость боковой грани АВС проекциями названных точек, рис. 4,а. Чтобы построить след плоскости, достаточно построить следы двух любых

прямых, принадлежащих этой плоскости, и соединить их одноименные проекции. Выбираем прямые АС и ВС.

Строим горизонтальный след прямой АС – точку М1 пересечения указанной прямой с плоскостью П1 (H), рис.4, б. Горизонтальный след прямой ВС совпадает с проекцией В1, поскольку точка В расположена непосредственно на горизонтальной

плоскости проекций. Соединяя проекции М и М `, строим

плоскости боковой грани АВС.

горизонтальный след α Описанные построения могут быть представлены стандартными обозначениям М∈(АС)ΛМ ∈П1,

где ∈ принадлежит; Λ объединение «и».

Запись означает: точка М принадлежит прямой АС и одновременно точка М принадлежит плоскости П1 (Н).

Аналогично читается вторая строка на рис. 1:

М`∈(AB)ΛM`∈П1.

Следующая строка показывает, что прямая (след) включает (⊂) точки М и М` в плоскости П1(Н):

α ⊂(М, М`)⊂П.

Точка пересечения горизонтального следа α1 с осью ОХ обозначена Хα (рис. 4, б). Очевидно, что для построения фронтального следа α2 достаточно построить только один фронтальный след любой из прямых, принадлежащих заданной плоскости боковой грани АВС. Например, прямой АС на рис. 4, б. След N=N2 строят по схеме, приведенной для точки М. Соединяя точки Хα и N , строят искомый фронтальный след α плоскости боковой грани АВС.

1.4. ЗАДАНИЕ 4

Последовательность выполнения задания представлена на рис. 5.

Требуется построить плоскость, параллельную плоскости боковой грани АВС (α1, α2) и проходящую через вершину пирамиды D. Исходные данные для этой задачи представлены на. рис. 5, а

Если искомая плоскость параллельна заданной, то ее следы параллельны следам заданной плоскости (α ,α ).Поэтому достаточно построить единственную точку на пересечении искомой плоскости с любой из плоскостей проекций П (H) либо П (V)) и задача будет решена.

Построим в точке D горизонталь h [3]. Очевидно, что ее проекция h1 будет обязательно параллельна следу α , иначе нарушаются условия параллельности плоскостей (рис. 5, б).

Таким образом, легко строится точка 1(1 ,1 ) пересечения горизонтали h с фронтальной плоскостью проекций П2 (V).

Это и есть искомая точка, через которую должны быть проведены следы β и далее β искомой плоскости: h∋DΛh ||α ; 1 ∈βΛβ ||α , β ||α .

Аналогичные построения могут быть выполнены с помощью фронтали f (f, f ), проведенной через точку D. На рис. 1 приведены оба варианта построений. При выполнении заданий студент должен воспользоваться либо построением горизонтали h, либо фронтали f. Пояснения к рещению задачи 4 даются только для выбранного варианта решения.

1.5. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Как видно из примера рис. 1, задачи 3 и 4 компонуются на одном чертеже. Полученные решения необходимо выделить цветными карандашами. Например, лучи α и α – красным, β и β синим. Измерения координат необходимо выполнять в натуральном масштабе миллиметровой шкалы. В случае необходимости задачи 3 и 4 могут быть представлены на различных

чертежах аналогично рис. 4,б и 5, б.

В отдельных вариантах следы прямых при построениях могут выходить за пределы формата. В этом случае необходимо воспользоваться временно зафиксированным вспомогательным листом писчей бумаги. Оставшиеся на формате линии обводят в соответствии с предложенной схемой.

2. ОСНОВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ

ЗАДАЧИ (ЭПЮР 2)

2.1. Краткие методические указания

к заданиям 5,6,7

На практике очень часто приходится определять величину и форму геометрических объектов, изображенных на чертеже. Задачи, связанные с этим, принято называть метрическими.

Величина и форма геометрического объекта связана с параметрами его формы, которые на чертеже реализуются размерами. Такая реализация возможна при условии отображения на чертеже систем координат, в которых исчисляются размеры линейных протяженностей и углов.

Чертежи, удовлетворяющие этому условию, называются метрически определенными. Примером является чертеж, построенный по схеме эпюра Монжа, аксонометрический чертеж и т. д.

Измерения геометрических элементов в пространстве базируются на оценке длин

Например, для измерения расстояния от точки до прямой необходимо опустить на отрезков, соединяющих пару точек, и на построении взаимноперпендикулярных фигур. прямую из точки перпендикуляр, построить его основание и оценить длину полученного отрезка. Аналогичную технологию применяют для определения расстояния от точки до плоскости, между двумя плоскостями и т. д.

При решении таких задач на чертеже следует опираться на свойства проецирования, а также учитывать искажения фигур в процессе их отображения из пространства на плоскость проекций. При решении таких задач на чертеже следует опираться на свойства проецирования, а также учитывать искажения фигур в процессе их отображения из пространства на плоскость проекций.

При ортогональном проецировании отрезка прямой, параллельной плоскости

проекций, его длина не искажается.

Не искажается также угол наклона этого отрезка ω по отношению к плоскости П2. Отрезок АВ является горизонталью. Аналогичные рассуждения могут быть сделаны относительно фронтали – отрезка параллельного П2. Отрезок общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением длины.

Это видно из рис. 6 на примере отрезка СD, у которого отрезок С1 = С D является катетом в прямоугольном треугольнике С1D. Отрезок СD в этом треугольнике является гипотенузой, которая длиннее катета. На рис 7 показаны треугольные отсеки АВС и DEF плоскостей, перпендикулярных одной из плоскостей проекций.

Из геометрии известен признак перпендикулярности двух плоскостей: плоскость α перпендикулярна плоскости β, если она содержит прямую перпендикулярную к этой плоскости. Из чертежа видно, что АВС⊥П так как она содержит фронталь 1,2⊥П.

Заметим, что плоскость АВС при этом стала горизонтально проецирующей, а ее проекция на П1 «выродилась» в прямую.

Фронталь спроецировалась в точку, рис.7. Аналогичные рассуждения справедливы для плоскости DEF⊥П 2 и ее горизонтали F3, рис. 7.

Перейдем теперь к эпюру Монжа. На рис. 8 в системе координат OXYZ, развернутой в эпюр, показан чертеж отрезка горизонтали АВ и СD общего положения. Проекции отрезка СD на плоскостях проекций П и П не равны по длине самому

отрезку. Поставим задачу определения истинной длин отрезка СD по его проекциям. Используем рис. 6, на котором показан прямоугольный треугольник CD1. В этом треугольнике отрезок СD является гипотенузой, а катетами являются отрезок С1 = С D и отрезок D1 = DD – СС. Этот треугольник можно построить, используя информацию из эпюра отрезка CD на рис. 8. Оба катета на чертеже имеются и треугольник можно построить. На рис. 8 задача решена двумя методами. Во втором случае использована проекция C D, а также разность расстояний от концов проекции C D до оси ОХ (рис. 8). Этот способ построения истинной величины отрезка известен как метод прямоугольного треугольника. В дальнейшем этот метод нам понадобится.

Построение взаимно перпендикулярных фигур на чертеже основывается на теореме о проецировании прямого угла.

Прямой угол ортогонально проецируется без искажения своей величины, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций.

В левой части эпюра задана горизонталь а двумя своими проекциями а, а и точка В (ее проекции В и В ). Требуется определить истинную величину расстояния от точки В до горизонтали а. Для начала необходимо опустить перпендикуляр из В на а. Поскольку а параллельна П1, то прямой угол между искомым перпендикуляром и горизонталью проецируется на П без искажения. Строим перпендикуляр из В на а