Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Математика» (для всех специальностей) (стр. 2 )

·  приобретение навыков самоконтроля и самооценки знаний;

·  наличие правильных ответов.

Задание для индивидуальной, самостоятельной работы

и комментированного решения:

Вычислите пределы функций в заданной точке:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	*13.
5.	14.
6.	*15.
7.	*16.
8.	17.
9.	18.

Вычислите пределы функций на бесконечности:

1.	6.
2.	*7.
3.	*8.
4.	*9.
5.	10.

Вычислите пределы функций, используя «замечательные»:

1.	6.
2.	7.
3.	*8.
4.	*9.
5.	10.

ПрактическАЯ РАБОТА № 2

Тема: Исследование функций на непрерывность,

определение точек разрыва и их характера

Цели:

-  закрепление знания основных теоретических положений об исследовании функций на непрерывность, определение точек разрыва и исследование их характера;

-  приобретение и развитие навыков исследования функций на примерах выполнения конкретных упражнений.

Комплексно-методическое оснащение:

-  варианты заданий 1-4;

-  схема «Основные виды разрывов функций»;

-  формулы сокращенного умножения;

-  микрокалькуляторы.

Указания к выполнению работы

1) При исследовании функций на непрерывность следует помнить:

а) функция непрерывна в точке x0 , если предел функции при х → х0 равен значению функции от аргумента х0 ,т. е. выполняется равенство:

 

 

б) функция непрерывна, если бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции, т. е. выполняется равенство:

 

 

Замечания:

- равносильность 2-ой формулировки той, что дана выше, (т. е. 1-ой), ясна из последнего рисунка. Вторая формулировка заслуживает внимание своей краткостью, но не вполне точна, т. к. в ней не указано, при каком значении аргумента непрерывна функция;

- если говорят, что функция непрерывна и при этом не указывают, какое значение аргумента имеют в виду, то подразумевают непрерывность при всех значениях аргумента, при которых функция определена.

2) При определении точек разрыва и исследовании их характера следует помнить:

- если функция f(x) непрерывна в точке х0 , то точка х0 является точкой непрерывности функции f(x). В противном случае, т. е. когда предел функции f(x) в точке х0 не существует, или существует, но не равен f(x0), то функция f(x) является разрывной в точке х0, а точка х0- точкой разрыва;

- если f(x) определена во всех точках интервала (а; в), кроме точки х0 Î (а; в), то х0 также является точкой разрыва функции f(x);

- точками разрыва дробно-рациональной функции у = могут быть лишь те точки, в которых знаменатель обращается в 0, т. е. корни уравнения: в0хm + в1хm-1 +…+ вn;

- для выяснения видов разрывов функций используйте схему: «Основные виды разрывов функций».

Задание 1

.Проверьте, что область непрерывности заданной функции f(x) совпадает с областью ее определения.

Вариант	1	2	3	4
f(x)	х3 – 2х	2х2 – х3	3х – 0,5х3	х3 –

Замечание:

- при выполнении задания используйте формулы сокращенного умножения.

Задание 2.

Найдите точки разрыва заданной функции и исследуйте их характер.

Вариант	1	2	3	4
f (x)

Задание 3.

Исследуйте функцию на непрерывность в заданной точке.

Вариант	1	2	3	4
f(x)	х3 –3х2 –4х, х0=1	-х3 – 1, х0 = 2	5х3 - 4х + 2 х0 = -1	х3 – 8, х0 = -2

Задание 4.

Дана функция, найдите приращение функции при заданных значениях аргумента и приращения аргумента.

Вариант	1	2	3	4
f(x)	, х = 1, ∆х = 0,2	х= 4, ∆х = 0,1	, х = 1, ∆х = – 0,002	, х = 1, ∆х=0,01

Контрольные вопросы по теме:

1.  Как вы считаете, всякий ли многочлен является непрерывной функцией?

2.  Любая ли рациональная функция является непрерывной?

3.  Приведите примеры функций, разрывных только в одной точке.

4.  Приведите примеры всюду разрывных функций.

5.  Какое задание воспринималось вами, как самое трудное? Почему?

Результаты деятельности студентов:

·  приобретение навыков исследования функций на непрерывность, на определение точек разрыва и исследования их характера;

·  письменное оформление работы;

·  наличие правильных ответов.

Задания для индивидуальной, самостоятельной работы и

комментированного решения:

Найдите точки разрыва заданных функций, если они существуют, и исследуйте их характер.

1. f (x) =	* 5. f(x) =
* 2. f(x) =	6. f(x) =
3. f(x) =	7. f(x) =
4. f(x) =	8. f(x) =

Исследуйте функцию на непрерывность:

1.  у = 1 –х3

2.  у = 3х2 – х

3.  у = х3 – 6х2 + 2х – 6 в точке х = –1

4.  у = х4 – 10х3 + 36х2 – 1 в точке х = 1

5.  у = х3 – 0,5х2

Для заданных функций найдите приращение, если заданы значения аргумента и приращения аргумента:

1.  f(x) = , х = 4, ∆х = 0,01.

2.  у = , х = 2, ∆х = 0,1.

3. f(x) = , х = 10, ∆х = 0,3, с точностью до 0,01.

4. f(x) = , х = 2, ∆х = 0,2.

5. у = , х = 9, ∆х = 0,02 с точностью до 0,0001.

ПрактическАЯ РАБОТА № 3

Тема: Нахождение производных функций

Цели:

-  приобретение умения использования таблицы дифференцирования;

-  закрепление знания формул и правил дифференцирования;

-  развитие навыков дифференцирования на примерах выполнения конкретных упражнений;

-  осуществление студентами самоконтроля и самооценки знаний.

Комплексно-методическое оснащение:

-  тестовые варианты заданий 1-4;

-  опорный конспект по теме: «Производная функция».

Указания к выполнению работы

Практически производные элементарных функций находятся по формулам дифференцирования (таблица производных). При нахождении производных заданных функций следует помнить, что табличный способ дифференцирования предполагает возможность дифференцирования простых и сложных функций. При этом обратите внимание на следующие моменты:

1. существуют функции, для которых с целью упрощения дифференцирования требуется непосредственно перед дифференцированием предварительная подготовка. В этом случае для преобразования вводятся дробные и отрицательные показатели, т. е. используются формулы:

;

2. если функция у = f(u), где u = φ (х), т. е. у зависит от х через посредство промежуточного аргумента u, то у является сложной функцией от х. При дифференцировании сложных функций обратите внимание на два момента:

- если промежуточный аргумент представлен в виде линейной функции, то с целью упрощения дифференцирования выделите коэффициент к и умножьте производную данной функции по промежуточному аргументу на коэффициент к;

- если промежуточный аргумент представлен в виде других элементарных функций, то производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной.

Задание 1.

Найдите производные заданных функций (см. тесты).

Тест 1

Задание: найдите производные функций f (x)
	Коды Ответ
№	f (x)	A	B	C
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.	*
12.
13.
14.
15.	*

Тест 2