Вычислите дифференциал 1-ого порядка.

Вариант

1

2

3

4

f(x)

(x3 – 2)4

x = 1; dx = 0,1

arc tg

x = 0; dx = 0,1

x3 – 3x

x = 1; dx = 0,01

log5 (x + 2)

x = -1; x = 0,02

Контрольные вопросы:

1.  Какие основные теоретические положения вы использовали при дифференцировании сложных функций?

2.  Какими правилами дифференцирования пользовались?

3.  Объясните, в чём заключается отыскание числового значения аргумента.

4.  Какую технику вычисления дифференциала вы применяли?

5.  Приведите примеры вычисления производных сложных функций, включающих в себя логарифмические, показательные, степенные и т. д. функции.

6.  Какое задание воспринималось вами, как самое трудное? Почему?

Результаты деятельности студентов:

• закрепление навыков дифференцирования сложных функций, вычисления числовых значений производных, вычисления дифференциалов;

• письменное оформление работы;

• наличие правильных результатов.

Задания для индивидуальной, самостоятельной работы

и комментированного решения:

Найдите производные сложных функций:

*1. у = ln ;

*2. у = ln , вычислите у ¢(0);

3. f(x) = ;

4. (cos + )′ =

5. f(x) = ln (1 + 2x), вычислите f ¢(2);

6. f(x) = ln sin , вычислите f ¢();

7. у =;

*8. f(x) = tg.

Вычислите дифференциалы заданных функций:

1.  у = х3 – 3х при dx = 0,01 x=1.

2.  у = ln (1+ ) + arc ctg, при х = 0, dx = 0,1.

3.  f(x) = (1 + tgx)5.

4.  у = .

5.  f(x) = (arc sinx)5.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

6.  у = х × (1 – х2) при х = -10, D х = 0,1.

7.  у = sinx + .

Найдите производные указанных порядков:

1. у = ,

2. у = ,

3. f(x) = arc tg2x у¢¢(x)

4. у = lnx у(5)(х)

*5. у = × sinx. Покажите, что заданная функция удовлетворяет уравнению

у¢¢ + 2у¢ + 2у = 0.

ПрактическАЯ РАБОТА № 5

Тема: Исследование функций на экстремумы, направление

выпуклости графиков и существование точек перегиба

Цели:

-  закрепление знаний основных теоретических положений об исследовании функций на экстремумы, направление выпуклости график а и существование точек перегиба;

-  развитие навыков исследования функций на примерах выполнения конкретных заданий.

Комплексно-методическое оснащение:

-  варианты заданий 1-4;

-  схема «Направление выпуклости графика функции»;

-  таблица производных функций;

-  микрокалькуляторы;

-  чертёжные принадлежности.

Указания к выполнению работы

1.  Выполняя задание на исследование функции, обратите внимание на последовательность и применение алгоритма, а именно,

Найдите:

1)  f ′ (x) – первую производную

2)  f ′ (x) = 0 – критические точки

3)  f ²(x) – вторую производную

4)  f ²(x) = 0 – критические точки

5)  исследуйте знак второй производной в каждой критической точке и, если:

f ²(x) < 0 , то , выпуклость направлена вниз на a < х < в.

f ²(x) > 0 , то , выпуклость направлена вверх на a < х < в.

f ² (x) = 0 , то исследование проводите по первой производной.

2.  По вопросу исследования функции на направление выпуклости графика смотрите схему, содержащую в кратком изложении теоретические положения по исследованию на направление выпуклости графика.

3.  Выполняя задание на нахождение точек перегиба, используйте следующие теоретические положения: если критическая точка х =х0 разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то х =х0 является абсциссой точки перегиба. Затем, вычислите значение функции в этой точке, т. е. f(x0). Теперь, зная координаты, обозначьте точку: А (х0; f(x0)).

4.  Обратите внимание, что существуют функции, которые могут иметь только один максимум или только один минимум, либо множество максимумов и минимумов, либо не иметь ни максимума, ни минимума.

Задание 1.

Исследуйте функцию на экстремумы.

Вариант

Функция у = f (x)

1 *

х4 – 2х2 + 1

2

х4 – 2х3 – 12х2 – 24х + 8

3

2х3 – 24х

4 *

х3 – 12х 2 + 8

Замечание: задания 1-ого и 4-ого вариантов предполагают построение графиков.

Задание 2.

Найдите промежутки выпуклости и абсциссы точек перегиба графика заданной функции.

Вариант

Функция у = f (x)

1

х3 + х2 +

2 *

х3 – 4х

3*

х4 + 2х2 + 3

4

х4 – 2х2 + 1

Замечание: задания 2-ого и 3-ого вариантов предполагают построение графиков.

Контрольные вопросы по теме:

1.  Сформулируйте достаточные условия существования экстремума (в терминах значений производной второго порядка).

2.  Сформулируйте достаточное условие выпуклости графика функции.

3.  В чём заключается правило нахождения точек перегиба?

4.  Приведите примеры функций, которые могут иметь только один максимум, только один минимум, множество максимумов и минимумов, либо не иметь ни максимума ни минимума.

5.  Какой из этапов исследования функции воспринимался вами, как самый сложный? Почему?

Результаты деятельности студентов:

·  закрепление знаний основных теоретических положений об исследовании функций на экстремумы, направление выпуклости графиков и существование точек перегиба;

·  приобретение навыков исследования функций;

·  письменное оформление работы;

·  наличие правильных результатов.

Задания для индивидуальной, самостоятельной работы

и комментированного решения:

Исследуйте функцию на экстремумы.

1.  f(x) = 2х2 – 5х – 2

2.  у = х3 – 3х2 + 5х – 5

3. f(x) =

4. у = 4х3 – х4

5. f(x) = х4 + 3х2 – 4

Найдите промежутки выпуклости и координаты точек перегиба графика заданной функции.

1.  f(x) = x3 – 27x – 2

2.  f(x) = x4 – 10x3 + 36x2 – 3

3.  y = 3x5 – 5x4 + 4

Найдите промежутки выпуклости заданной кривой. Исследуйте на направление выпуклости в указанных точках.

1. f(x) = , х1 = –2, х2 = 1.

2. f(x) = , х1 = –1, х2 = 1.

Исследуйте функцию средствами дифференциального исчисления и постройте её график.

1.  f(x) = х3 – 4,5х5

2.  f(x) = х3 – 3х – 2

3.  f(x) = х4 – 2х3 + 1

4.  f(x) = – х2 + 5х – 6

5.  y = – х4 + 8х2 – 16

ПрактическАЯ РАБОТА № 6

Тема: Исследование функций на экстремумы, направление

выпуклости графиков и существование точек разрыва.

Построение графиков заданных функций

Цели:

-  закрепление знаний основных теоретических положений об исследовании функций на экстремумы, направление выпуклости графиков, существование точек разрыва и асимптот;

-  развитие навыков исследования функций и построения графиков на примерах выполнения конкретных заданий.

Комплексно-методическое оснащение:

-  варианты заданий 1-4;

-  схема «Виды асимптот»;

-  таблица производных функций;

-  микрокалькуляторы;

-  чертёжные принадлежности.

Указания к выполнению работы

1.  При исследовании функций, представленных в виде дробей, т. е. разрывных, обратите внимание на область определения функций и существование точек разрыва графиков заданных функций

2.  Эти положения накладывают особые ограничения на построение графиков, а именно, на ось ох наносятся не только стационарные точки, но и точки разрыва.

3.  В этом случае требуется написание уравнений прямых линий, проходящих через точки разрыва и ограничивающих графики функций на участках числовой оси (т. е. асимптот). Определение асимптот и условия существования трёх видов асимптот смотрите в схеме «Виды асимптот».

4.  Выполнение задания на исследование функции и построение графика проводите последовательно, применяя следующую общую схему:

ô  найдите область определения функции, укажите точки разрыва;

ô  выясните, является ли функция чётной, нечётной, периодической;

ô  найдите точки пересечения графика с осями координат;

ô  покажите существование (не существование) асимптот графика функции. В случае существования напишите уравнения этих прямых и постройте их;

ô  найдите первую производную, критические точки, в которых f ′(x) = 0 или терпит разрыв;

ô  найдите вторую производную, критические точки, в которых f ²(x) = 0 или терпит разрыв. Исследуйте по знаку второй производной функцию на экстремум и промежутки выпуклости графика;

ô  используя все полученные результаты исследования, постройте график функции. Если их окажется недостаточно, то найдите ещё несколько точек графика функции, исходя из её уравнения.

Задание 1. Исследуйте функцию и постройте её график.

Вариант

1

2

3

4

f(x)

Контрольные вопросы по теме:

1.  Всякий ли многочлен является непрерывной функцией?

2.  Как вы полагаете, любая ли рациональная функция является непрерывной?

3.  Какая точка называется точкой разрыва функции?

4.  Сформулируйте условия существования вертикальной, горизонтальной, наклонной асимптот.

5.  В чём вы видите разницу в исследовании непрерывной и разрывной функций?

6.  В чём вы видите разницу в построении графиков непрерывной и разрывной функций?

7.  Какой из этапов исследования функции воспринимался вами как самый трудный? Почему?

Результаты деятельности студентов:

·  приобретение и закрепление навыков исследования функций и построения графиков;

·  закрепление навыков записи уравнений трёх видов асимптот;

·  письменное оформление работы;

·  наличие правильных результатов.

Задания для индивидуальной, самостоятельной работы и

комментированного решения:

Исследуйте заданную функцию и постройте её график.

1. f (x) =

*2. f(x) =

3. f(x) =

4. f(x) =

5. f(x) =

Напишите уравнение вертикальной асимптоты графика заданной функции.

1. f(x) =

2. f(x) =

3. у =

4. у =

5. f(x) =

Покажите существование горизонтальной асимптоты графика заданной функции. В случае существования напишите её уравнение.

1. f(x) =

2. у =

3. f(x) =

4. у =

Напишите уравнение наклонной асимптоты графика заданной функции.

1. f(x) =

2. f(x) =

3. f(x) =

ПрактическАЯ РАБОТА № 7

Тема: Нахождение неопределённых интегралов по данному

выражению их подынтегральных функций

Цели:

-  приобретение умения использования таблицы интегрирования;

-  закрепление знания формул и правил интегрирования;

-  приобретение и развитие навыков интегрирования на примерах выполнения конкретных упражнений;

-  осуществление студентами самоконтроля и самооценки знаний.

Комплексно-методическое оснащение:

-  тестовые варианты заданий 1–4;

-  таблица интегралов.

Указания к выполнению работы

В математике и её приложениях часто приходится решать следующую задачу: по заданной производной функции находить новую функцию, производная которой равна заданной. Нахождение функции по её производной или дифференциалу, т. е. первообразной функции, рассматривается в интегральном исчислении. Практически первообразная элементарных функций аргумента х находится по формулам интегрирования (таблица неопределённых интегралов). Справедливость формул интегрирования (каждый результат интегрирования) можно проверить путём дифференцирования, т. к. интегрирование есть действие обратное дифференцированию.

1. При нахождении первообразных функций помните, что табличный способ предполагает возможность интегрирования простых и некоторых сложных функций. При этом обратите внимание на следующие моменты:

а) существуют функции, для которых с целью упрощения интегрирования требуется непосредственно перед интегрированием предварительная подготовка через простые преобразования. В некоторых случаях для преобразования подынтегральной функции вводятся дробные и отрицательные показатели;

б) при интегрировании сложных функций табличным способом применяйте следующие теоретические положения:

• если промежуточный аргумент представлен в виде линейной функции, то с целью упрощения, выделите коэффициент к и умножьте первообразную данной функции по промежуточному аргументу на величину ;

• если заданный интеграл нельзя привести к табличному, то интегрирование следует произвести методом подстановки или методом по частям.

2. Сущность интегрирования методом замены переменной (способ подстановки) заключается в преобразовании одного интеграла в другой такой, который вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования:

Подпись:

(1)

Подпись:
 

3. Формула интегрирования по частям: (2),

Подпись:
 

получается из формулы дифференциала произведения

интегрированием обеих частей этого равенства. По формуле (2) нахождение интеграла сводится к нахождению другого интеграла . Применение формулы (2) целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл будет проще исходного или когда он будет ему подобен. При применении формулы (2) (интегрирование по частям) обратите внимание на следующую последовательность:

а) под интегральное выражение f(x)dх представьте в виде произведения двух сомножителей u и dv;

б) за dv всегда выбирайте такое выражение, содержащее dх, из которого посредством интегрирования можно найти v; за u в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается, например: х3, lnx, arcsinx, arctg3x и т. д.

Задание 1.

Найдите неопределённые интегралы: по данному выражению их подынтегральных функций (см. тесты).

ТЕСТ 1

Задание: найдите интегралы функций f (x)

Коды

Ответ

№

f (x)

A

B

C

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12*


ТЕСТ 2

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7