Критерии оценки выполненной работы:
Всего предлагается 12 заданий, выбор заданий осуществляется произвольно, 12 верно выполненных заданий оценивается отметкой «5», 9 заданий - «4», 7 заданий - «3».
Замечание: эталон ответов прилагается.
Контрольные вопросы по теме:
1. Как вы полагаете, полную ли возможность решения предложенных заданий дают таблицы интегрирования? Ответ обоснуйте.
2. Какие преобразования подынтегральной функции или методы интегрирования вы использовали при выполнении заданий?
3. Объясните, какие условия вы учитывали при выполнении заданий на интегрирование сложной функции.
4. Какое задание воспринималось вами, как самое трудное? Почему?
5. Насколько ваши результаты работы по тестам совпали с вашими собственными ощущениями желательного результата?
Результаты деятельности студентов:
• приобретение умения использования таблицы интегрирования;
• приобретение навыков интегрирования функций;
• приобретение навыков самоконтроля и самооценки знаний;
• письменное оформление работы;
• наличие правильных ответов.
Задания для индивидуальной, самостоятельной работы и
комментированного решения:
Найдите неопределённый интеграл методом непосредственного интегрирования.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Найдите неопределённый интеграл методом замены переменной.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
Найдите неопределённый интеграл, используя метод интегрирования по частям.
1. ∫ x cosx dx
2. ∫ (2 + x)·sinx dx
3. ∫ x × e-x dx
4. ∫ arcsinx dx
*5. ∫ x arctgx dx
*6. ∫ e-x cos 
dx
ПрактическАЯ РАБОТА № 8
Тема: Нахождение интегралов
Цели:
- закрепление и углубление знаний основных теоретических положений о нахождении и вычислении неопределённых и определённых интегралов;
- развитие навыков интегрирования и вычисления определённых интегралов на примерах выполнения конкретных заданий.
Комплексно-методическое оснащение:
- варианты заданий 1–4;
- таблица интегралов;
- таблица значений тригонометрических функций некоторых углов.
Указания к выполнению работы
1. Для вычисления определённого интеграла, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл, применяйте формулу Ньютона- Лейбница:
 |
Определённый интеграл равен разности значений неопределённого интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
|
|
3. Для вычисления определённых интегралов методом по частям используйте следующую формулу:
|
|
|
|
|
|
Задание 1.
1 вариант. Найдите 
, если при х = 
значение первообразной равно 2.
2 вариант. Найдите 
, если при х = значение первообразной равно 2.
3 вариант. Найдите 
, если при х = π , F(π) = 0.
4 вариант. Найдите 
, если при х = π , F(π) = 1.
Задание 2.
Найдите заданный интеграл ∫ f(x) dx по данному выражению его подынтегральной функции.
Вариант | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) | xsinx |
| (1 – x) · cosx | x2 ∙ ex |
Задание 3.
Вычислите заданный интеграл по данному выражению его подынтегральной функции и данному значению пределов интегрирования.
Вариант | 1 | 2 | 3 | 4 |
f(x) |
a = – 1, b = |
a = 0, b= | x cosx a = 0, b = |
a = 0, b = 1 |
Задание 4.
Найдите общее решение дифференциального уравнения.
Вариант | Заданное уравнение |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
Контрольные вопросы по теме:
1. В чем заключается алгоритм вычисления определённого интеграла?
2. Как вы считаете, какой из известных вам методов вычисления определённых интегралов, требует выполнения замены переменной?
3. Каких дополнительных изменений требует указанный метод?
4. Какую возможность для упрощения интегрирования дают эти дополнительные изменения?
5. Для определённого и неопределённого интегралов какая разница отмечается в записи формулы интегрирования по частям?
6. Какое задание воспринималось вами, как самое трудное? Почему?
Результаты деятельности студентов:
· закрепление умения использования таблицы интегрирования;
· закрепление навыков интегрирования функций;
· приобретение навыков вычисления определённых интегралов;
· письменное оформление работы;
· наличие правильных ответов.
Задания для индивидуальной, самостоятельной работы
и комментированного решения:
Найдите интегралы.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Вычислите интегралы.
1. | 6. |
2. | 7. |
3. | 8. |
4. | 9. |
5. | 10. |
ПрактическАЯ РАБОТА № 9
Тема: Классические приложения определённого интеграла
Цели:
- закрепление и углубление знаний основных теоретических положений о классических приложениях определённого интеграла;
- развитие навыков интегрирования и вычисления определённых интегралов на примерах выполнения конкретных заданий.
Комплексно-методическое оснащение:
- варианты заданий 1-4;
- таблица интегралов;
- таблица значений тригонометрических функций некоторых углов;
- микрокалькуляторы;
- чертёжные принадлежности.
Указания к выполнению работы
Понятие определённого интеграла вследствие его абстрактности широко применяется для вычисления различных величин.
Классические приложения для вычисления геометрических величин:
1. Вычисление площадей криволинейных трапеций.
a) Если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями х = а, х = в, у = 0, у = f(x), где у > 0, используйте следующую формулу:
(1)
Формулу (1) можно записывать в виде:
 |
(2)
При этом следует помнить, что формулой (2) надо пользоваться только тогда, когда кривая y = f(x) лежит выше оси ох, т.е. когда f(x) > 0. Если же f(x) < 0 (см. рис.1), то площадь заштрихованной фигуры будет равна: ds = - ydx (т. к. площадь положительна, а у < 0), откуда имеем:
|
(3) |
|
б) Если требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями х = а, х = в, у = 0, у = f(x), причем кривая y = f(x) пересекает ось ох, то отрезок [а; в] следует разбить на части, в пределах которых y = f(x) знака не имеет, и к каждой такой части применить ту из формул (2) или (3), которая ей соответствует.
2. Вычисление объёмов тел вращения.
а) Если фигура, ограниченная линиями х = а, х = в, у = 0, у = f(x) вращается вокруг оси Ох (см. рис.2), то для выполнения объёма полученного при этом тела вращения используйте формулу (1):
|
(1) |
Рис.2
б) Если фигура, ограниченная линиями х = а, х = в, у=0, у = f(x) вращается вокруг оси Оу (см. рис. 3), то для вычисления объёма полученного при этом тела вращения используйте формулу:
|
(2) |
|
Классические приложения для вычисления физических величин:
Определённый интеграл находит широкое применение при решении физико-технических задач различного характера. С его помощью можно вычислить работу, производимую силой; давление жидкости; путь, пройденный телом; центр тяжести фигуры и многие другие величины. Рассмотрим некоторые из них.
1. Вычисление работы, производимой переменной силой.
Пусть материальная точка под действием силы F движется по прямой линии. Если действующая сила постоянна, а пройденный путь равен S, то, как известно из физики, работа A этой силы равна произведению силы F на пройденный путь S, т. е.
A = F × S
Теперь заинтересуемся формулой для подсчета работы, выраженной через интеграл, и совершаемой силой F. Пусть точка движется по оси ох под действием силы F, проекция которой на ось ох есть функция от х, обозначим её через f(x), т. е.
F = f(x)
Из физики известно, что по закону Гука сила вычисляется по формуле:
 |
Тогда, если под действием этой силы материальная точка переместилась из точки М(а) в точку М(в) (см. рис.4), то для выполнения работы используйте следующую формулу:
 
|
|
2. Вычисление пути, пройденного точкой.
а) Если точка движется по некоторой линии и известно, что её скорость υ = f (t) есть данная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t1, t2], вычисляйте по формуле:
 |
б) Если материальная точка движется по прямой линии со скоростью υ(t), то её координату x(t) можно найти по формуле:
 |
, где
х0 = х (t0) – начальная координата точки.
в) Если материальная точка движется по прямой линии с ускорением a(t), то её скорость υ(t) можно найти по формуле:
, где
υ0 = υ(t0) – начальная скорость точки.
Задание 1.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
Вариант | Заданные линии |
1 | у = 1 – х, у = 3 – 2х – х2 |
2 | у = 6х – 3х2, х = 3, у = 0 |
3 | 4у = 8х – х2, 4у = х + 6 |
4 | у = х2 + 4х, х = 2, у = 0 |
Задание 2.
1 вариант
Точка движется прямолинейно с ускорением a(t) = 6t + 6. Найдите закон движения точки, если S=0 в момент времени t = 0. А в момент времени равный 3секундам скорость V = 40
.
2 вариант
Скорость прямолинейного движения точки задается уравнением
V = 3t2 + 6t – 4. Найдите закон движения точки, если за время t = 2сек точка прошла путь равный 8м.
3 вариант
Тело брошено вертикально вверх со скоростью, которая изменяется по закону V(t) = 29,4 – 9,8 (). Найдите наибольшую высоту подъёма тела.
4 вариант
Найдите длину пути, пройденного телом от начала движения до остановки, если скорость тела изменялась по закону V(t) = 4t – t2().
Задание 3.
1 вариант
Пружина растягивается на 0,02м. под действием силы 60Н. Какую работу производит эта сила, растягивая пружину на 0,12м?
2 вариант
Под действием силы в 80Н пружина растягивается на 0,02м. Первоначальная длина пружины равна 0,15м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину до 0,2м?
3 вариант
Сила в 10Н растягивает пружину на 2см. Какую работу она при этом совершает?
4 вариант
Для сжатия пружины на 0,02м. необходимо совершить работу равную 16Дж. На какую длину следует сжать пружину, совершая работу в 100Дж?
Контрольные вопросы по теме:
1. Перечислите известные вам классические приложения определенного интеграла для вычисления геометрических величин.
2. По какой формуле вычисляется площадь криволинейной трапеции?
3. По какой формуле вычисляется объём тела вращения?
4. Перечислите известные вам классические приложения определенного интеграла для вычисления физических величин.
5. По какой формуле вычисляется работа, производимая переменной силой?
6. По какой формуле вычисляется путь, пройденный точкой? (скорость?)
7. Какое задание воспринималось вами как самое трудное? Почему?
Результаты деятельности студентов:
· закрепление знания формул классических приложений определённого интеграла;
· приобретение навыков решения задач и выполнения отдельных заданий по вопросам приложений определённого интеграла;
· письменное оформление работы;
· наличие правильных ответов.
Задания для индивидуальной, самостоятельной работы
и комментированного решения:
1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1. у = х2 + 4х, х – у + 4 = 0
2. f(x) = – x2 + 9 , у = х + 3
3. у = 0,5х2, у = х + 4
* 4. у = (х + 2)2 , у = (х +3)2, М(–1; 1), К(1; 4), у = 0
5. у = х2, у = 1 – х2
6 f(x) = – х2 , f(x) = х2 – 2х
7. у = х3, у = 
х
* 8. f(x) =(х – 2)2 , у =
, у = 0 (ось ох)
* 9. y = sinx, y = 
, [0; π ]
10. y = sinx, y =cosx, [0; 
]
2. Решите физические задачи, связанные с понятием определённого интеграла:
1. Пружина имеет длину 20см. Сила в 10кг растягивает её на 2см. Определите работу, затраченную на растяжение пружины от 25см до 35см.
Замечание: а) F =10кг = 98,1Н
б) 25см = 0,25м (остальные данные – аналогично)
2. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,01 м. Сила в 20Н растягивает её на 0,01м. Какую работу следует совершить, чтобы растянуть её от 0,12м до 0,14м?
3. Для сжатия пружины на 0,02м необходимо произвести работу в 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу, равную 100Дж?
4. Скорость движения точки υ(t) = (2t + 8t -2) . Найдите её путь за 2-ю секунду.
5. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью υ(t) = 3t2 , второе – со скоростью υ(t) =(6t + 10) . На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10секунд?
ПрактическАЯ РАБОТА № 10
Тема: Прикладное применение определённого интеграла
«Математикой нужно заниматься не только ради её приложения,
но и во имя той духовной прибыли, которая связана с ней»
Платон
Цели:
- закрепление и углубление знания основных теоретических положений по вопросу приложения определённого интеграла;
- развитие навыков применения теоретического материала при решении задач и выполнении практической работы;
- применение принципа профессиональной направленности.
Комплексно-методическое оснащение:
- таблица интегралов;
- таблица «Формула вычисления объёма тела вращения»;
- таблица «Уравнения некоторых кривых, ограничивающих поверхность вращения»
- мультимедиа-система;
- упаковки товаров и продуктов;
- ёмкости для жидкостей и сыпучих продуктов;
- посуда, инструменты, инвентарь, используемые на производстве;
- набор задач профилированного характера;
- чертёжные и измерительные инструменты;
- микрокалькуляторы.
Указания к выполнению работы
Прикладная математика – этим термином пользуемся, когда говорим о приложении математики для вычисления различных величин и решения практических задач в отдельных областях науки, техники, производства.
1. Рассмотрим некоторые примеры применения формулы вычисления объёма тел вращения:
(1) (см. метод. указания п. р.№9)
a) если в задаче требуется вычислить объём тела, поверхность которого образуется вращением вокруг оси Ох заданной кривой, (т. е. уравнение кривой указано), то, подставляя в формулу (1) данные задачи и, выполняя указанные действия, вы получите требуемый результат;
б) если же уравнение кривой требуется написать самостоятельно, выполняя практическую работу или решая задачу, то для записи подынтегральной функции, следует использовать таблицу «Уравнения некоторых кривых, ограничивающих поверхность вращения».
2. Рассмотрим другие приложения определённого интеграла:
a) если рассматриваются некоторые приложения в экономике, то формулы для вычисления отдельных величин (с применением определённого интеграла) указываются, поэтому ими следует воспользоваться и для получения ответа выполнить требуемые вычисления;
б) во многих задачах практического характера (не классические приложения) используется формула вычисления расстояния за промежуток времени [t1, t2].
(2)
Принцип применения формулы (2) аналогичен рассмотренному в практической работе №9.
Задание 1. Вычислите вместимость ёмкости (упаковки, посуды и т. д.), имеющих форму тел вращения.
Ход работы:
1. Выберите объект для работы.
2. Произведите необходимые измерения.
3. Запишите данные в таблицу, (при необходимости дополните таблицу другими данными).
4. Сделайте рисунок.
5. Напишите формулу объёма тела вращения.
6. Напишите формулу уравнения линии, ограничивающую поверхность фигуры вращения.
7. Подставьте данные в формулу объёма тела вращения.
8. Произведите необходимые вычисления для получения ответа.
9. Запишите ответ в отчетную таблицу.
Отчетная таблица
Высота (глубина) | H, см | |
Диаметр основания | Dосн, см | |
Средний диаметр | Dср, см | |
Длина окружности среднего диаметра | С, см | |
Вместимость (объём) | V, см3 |
Замечание:
1) При выполнении работы возможно использование формулы вычисления длины окружности заданного радиуса: С = 2πR.
2) Результаты произведенных измерений округлите с точностью до 0,1.
Задание 2.
Решите следующие задачи, связанные с понятием определённого интеграла:
1 вариант
Дневная производительность труда повара 5-ого разряда в горячем цехе ресторана задается функцией f(x) = –0,09t2 + 0,28t +10,06 . Сколько продукции (в данном примере – количество порций мясных блюд) сделал повар за 3-ий час рабочего времени? Сколько продукции произведено поваром за весь рабочий день?
2 вариант
Спрос на некоторый товар задается функцией:
, , где
p – цена единицы товара (руб.)
q – количество товара (шт.)
Равновесие на рынке данного товара достигается при условии p = q = 1.
Определите величину потребительского излишка.
Замечание:
1. Состояние рыночного равновесия характеризуют такие цена и количество товара, при которых объём спроса совпадает с величиной предложения.
2. Величина потребительского излишка – это превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение.
3. Формула для вычисления величины потребительского излишка:
, где
Р – цена товара (руб.)
Q – количество товара (шт.)
3 вариант
Скорость движения бактерий в кисломолочных продуктах задается уравнением:
Найдите путь, пройденный бактерией от начала движения до его прекращения.
4 вариант
Найдите дневную выработку P за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по формуле:
 |
, где
t – время в часах
p0 – объём продукции в часах (размерность производительности)
t0 – размерность времени в часах
а0 = p0∙t0 множитель, имеющий размерность единицы продукции
Замечание:
1) Эта формула отражает такой реальный процесс работы, при котором производительность сначала растет, достигая максимума при t = 4 часа, затем падает.
2) Если бы в течение всего дня работа велась ритмично и с максимальной производительностью pmax = 6,2p0 , то дневная выработка составила бы pmax = 49,6 a0.
3) Ответ запишите при t0 = 1 и в общем виде с точностью до 0,01.
Контрольные вопросы по теме:
1. Перечислите известные вам классические приложения определенного интеграла для вычисления геометрических величин.
2. По какой формуле вычисляется вместимость (объём) тела, полученного при вращении вокруг оси ОХ поверхности, ограниченной заданными линиями?
3. Назовите другие приложения определённого интеграла, встретившиеся вам при решении задач.
4. Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в отдельные области науки, техники, производства. Приведите дополнительные примеры использования определённого интеграла.
5. Какой этап выполнения практической работы воспринимался вами как самый трудный? Какая задача вызвала затруднение? Почему?
Результаты деятельности студентов:
· приобретение навыков решения задач и выполнения отдельных заданий по вопросам приложений определённого интеграла;
· письменное оформление работы;
· наличие правильных ответов.
Задания для индивидуальной, самостоятельной работы
и комментированного решения:
1. Вычислите объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: 2у = х2, 2х + 2у – 3 = 0.
2. Вычислите объём тела, полученного в результате вращения части синусоиды y = sinx, заключенной между точками с абсциссами х = , х = – .
3. Вычислите объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = 2
, прямой х = 4 и осью абсцисс.
4. Фигура, ограниченная линиями у = х2, х = 2 и осью абсцисс вращается вокруг оси Ох. Вычислите объём тела вращения.
5. Вычислите объём тела, образованного вращением участка параболы f(x) = (2 + x)2, заключенной между точками с абсциссами х = –1, х = 1.
6. Фигура, ограниченная кривой у = и прямой у = 0,5х, вращается вокруг оси Ох. Вычислите объём тела вращения.
7. Фужер для безалкогольных прохладительных напитков имеет форму сегмента параболоида вращения. Вычислите его вместимость, если глубина фужера равна 11,5 см, диаметр 7см.
8. Найдите объём прямого кругового цилиндра, полученного вращением прямой у = R, заключенной между точками с абсциссами х = 0, х = Н.
9. Разливательная ложка имеет форму полушара радиуса 4,2 см. Вычислите вместимость ложки.
10. Для подачи коктейлей используется бокал конической формы. Диаметр бокала 9см., образующая 8см. Вычислите вместимость бокала.
Список рекомендуемой литературы
1. Богомолов : Учебник для средних учебных заведений. – М.: Дрофа, 2002.
2. Богомолов занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2003.
3. , Гробер математика для студентов ВУЗов. – Ростов–на–Дону: «Феникс»,2002.
4. Дадаян : Учебник для студентов образовательных учреждений СПО. – М.: Форум, 2005.
5. Дадаян задач по математике. – М.: Форум – Инфра-М, 2005.
6. Натансон курс высшей математике. – Санкт-Петербург: «Лань», 1999.
7. Пехлецкий : Учебник для образовательных учреждений среднего профессионального образования. – М.: ACADEMA, 2003.
Методические указания к выполнению практических работ по дисциплине «Математика» для специальностей: 080110 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям), 080302 Коммерция (по отраслям), 080402 Товароведение (по группам однородных товаров), 080501 Менеджмент (по отраслям), 260502 Технология продукции общественного питания. |
Рецензенты: , председатель ЦМК естественно-математических дисциплин , руководитель областного МО преподавателей математики |
Компьютерный набор: |
Ответственный за выпуск: |
Подписано в печать: 14.11.07. Формат 60х90/16 |
Бумага офсетная. Печать RISO. |
Усл. печ. л. 3,9. Тираж 25 экз. |
Отпечатано в типографии ОГКТЭиС: г. Омска, ул.24-я Северная, 123Б |
 |
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 |
