Теория математической обработки геодезических измерений (стр. 2 )

Xi = E(Xi) = E(Xí)– предположение об отсутствии постоянных ошибок в каждой из технологий;

– ковариационные матрицы измерений, отражающие некоррелированность и равноточность данных внутри каждой технологии.

Найти:

1) - НДЗ измеряемых величин;

2) - ОТ измерений и проверить гипотезу о незнàчимости различия технологий первичных и повторных измерений;

3) - ОТ НДЗ измеряемых величин.

Решение:

1. Нахождение НДЗ измеряемых величин.

Каждая величина Xi измерялась дважды: xi и xí́. Эти измерения не коррелированы и равноточны. Следовательно, НДЗ результатов таких измерений будет среднее арифметическое соответствующей пары:

. (D.1)

2. ОТ измерений и ПГ о незнàчимости различия технологий.

Оценка точности измерений производится по их разностям

di = xi - xí́ , (D.2)

совокупность которых

d1, d2, …, dn (D.3)

образует ряд некоррелированных равноточных величин.

На основании формулы оценки точности ряда некоррелированных равноточных величин (Q.5), мы можем сразу найти СКО разностей:

md , (D.4)

где d΄ = d - - это разности, исправленные на величину

= [d]/n, (D.5)

являющуюся средним арифметическим всех разностей обеих технологий и представляющей собой ОФ математического ожидания разностей

E(Dn1) = E(Xn1) – E(X΄n1). (D.6)

Предположив отсутствие постоянной разности технологий, что отражено в «Теоретических посылках», получим предположение

E(Dn1) = 0, (D.7)

гипотезу о котором

H0 = { E(Dn1) = 0} (D.8)

необходимо проверить против альтернативной

HA = { E(Dn1) ≠ 0}. (D.9)

Проверка гипотезы (D.8) осуществляется по методике, рассмотренной в разделе «Вероятностное моделирование ошибок измерений», где проверялась гипотеза о равенстве среднего арифметического значения стохастически не связанных, равноточных измерений номиналу эталона.

В качестве теста вычисляется величина

tЭ = . (D.10)

СКО среднего значения разностей – это СКО среднего арифметического:

(D.11)

Критическая область проверяемой гипотезы находится за пределами интервала tT = [tH; tB], нижняя tH и верхняя tB границы которого – это квантили распределения Стьюдента, определяемые при (n – 1) степени свободы на уровне значимости a:

tH = tn-1;1-a/2; tB = tn-1;a/2 = - tH. (D.12)

Когда tЭ tT, нулевая гипотеза отвергается, т. е. среднее значение разностей (D.5) признаётся знáчимым и должно учитываться в формуле оценки точности разностей (D.4).

Отвергая нулевую гипотезу, мы признаём знáчимой разницу используемых технологий и должны принять соответствующее решение о них как в точностном, так и в стоимостном отношении.

Если же tЭ tT, то нулевая гипотеза не отвергается, а формула (D.4) изменяется и принимает вид

md. (D.13)

В такой ситуации разности di = xi - xí́ – это уклонения от E(Dn1) = 0 и знаменатель формулы для m d не должен учитывать потерю информации, связанную с оценкой среднего значения разностей.

Итак, оценив точность разностей по формулам (D.4) или (D.13), мы можем приступить к оценке точности измерений xi и xí́, используя соотношение (D.2), из которого следует (в силу предполагаемой равноточности технологий), что

md2 = mx2 + mx2 = 2mx2. (D.14)

Далее получаем обратное соотношение

. (D.15)

Окончательно, используя выражения (D.4), (D.13) и (D.15), имеем два варианта оценки точности измерений по их разностям:

с учётом среднего значения разностей - (D.16)

и без учёта среднего значения разностей - . (D.17)

3. ОТ НДЗ измеряемых величин.

Поскольку НДЗ измеряемых величин – это средние арифметические двойных некоррелированных, равноточных результатов, то, опираясь на соотношения (D.1) и (D.15), мы можем сразу записать общее решение

, (D.18)

а с учётом (D.16) и (D.17) два различных:

с учётом среднего значения разностей - (D.19)

и без учёта среднего значения разностей - . (D.20)

1.2.2.Математическая обработка двойных, некоррелированных, неравноточных измерений ряда «n» различных величин.

Вновь выполним постановку задач, определённых выше.

Дано:

Числовая информация:

x1, x2, … , xn – ряд первичных измерений;

x´1, x´2, … , x´n – ряд повторных измерений тех же величин;

p1, p2, … , pn – веса первичных и повторных измерений (одинаковые!).

Теоретические посылки:

Хi – реальные значения измеряемых величин; i = 1, 2, …, n;

Хi и Xí – случайные величины (СВ), представляющие собой вероятностные модели первичной и повторной измерительных технологий, некоррелированных между собой (= 0nn);

xiXi и xíXí - i-ые результаты первичных и повторных измерений, трактуемые как элементы спектров СВ Xi и Xí, каждая из которых является компонентом своего вектора «Хn1» или «X΄n1́»;

E(Xi) и E(X΄i) – МО вероятностных моделей Хi и Хi΄;

Xi = E(Xi) = E(X΄i)– предположение об отсутствии постоянных ошибок в каждой из технологий;

– ковариационные матрицы измерений, отражающие некоррелированность и неравноточность данных внутри каждой из технологий.

Найти:

1) - НДЗ измеряемых величин;

2) - ОТ измерений и ПГ о незнàчимости различия технологий первичных и повторных измерений;

3) - ОТ НДЗ измеряемых величин.

Решение:

1. Нахождение НДЗ измеряемых величин.

Каждая величина Xi измерялась дважды: xi и x΄i. Оба измерения не коррелированные, но не равноточные с весами pi. Следовательно, НДЗ результатов таких измерений будет среднее арифметическое соответствующей пары:

, (D.21)

характеризующееся своим весом = 2pi . (D.22)

2. ОТ измерений и ПГ о незнàчимости различия технологий.

Оценка точности измерений производится по их разностям

di = xi - x΄i , (D.23)

совокупность которых

d1, d2, …, dn (D.24)

образует ряд некоррелированных неравноточных величин с весами

pd = px / 2. (D.25)

На основании формулы оценки точности ряда некоррелированных неравноточных величин (S.5), мы можем сразу найти СКО единицы веса (ЕВ) разностей:

μd , (D.26)

где d΄ = d - - это разности, исправленные на величину

= [pd]/[p], (D.27)

являющуюся средним весовым всех разностей обеих технологий и представляющей собой ОФ математического ожидания разностей

E(Dn1) = E(Xn1) – E(X΄n1). (D.28)

Однако нас интересует не СКО ЕВ разностей d, а СКО ЕВ измерений, т. е. μx = μ = . Переход от первой ко второй осуществляется путём подстановки в формулу (D.26) выражения для pd из (D.25):

μ , (D.29)

Предположив отсутствие постоянной разности технологий, что отражено в «Теоретических посылках», получим предположение

E(Dn1) = 0, (D.30)

гипотезу о котором

H0 = { E(Dn1) = 0} (D.31)

необходимо проверить против альтернативной

HA = { E(Dn1) ≠ 0}. (D.32)

Проверка гипотезы (D.31) осуществляется по методике, рассмотренной в предыдущем разделе.

В качестве теста вычисляется величина

tЭ = . (D.33)

СКО среднего весового значения разностей – это СКО среднего весового:

(D.34)

Критическая область проверяемой гипотезы находится за пределами интервала tT = [tH; tB], нижняя tH и верхняя tB границы которого – это квантили распределения Стьюдента, определяемые при (n – 1) степени свободы на уровне значимости a:

tH = tn-1;1-a/2; tB = tn-1;a/2 = - tH. (D.35

Когда tЭ tT, нулевая гипотеза отвергается, т. е. среднее весовое значение разностей (D.23) признаётся знáчимым и должно учитываться в формуле СКО ЕВ измерений (D.29).

Отвергая нулевую гипотезу, мы признаём знáчимой разницу используемых технологий и должны принять соответствующее решение о них.

Если же tЭ tT, то нулевая гипотеза не отвергается, а формула (D.29) изменяется и принимает вид

μ . (D.36)

В такой ситуации разности di = xi - x΄i – это уклонения от E(Dn1) = 0 и знаменатель формулы для «μ» не должен учитывать потерю информации, связанную с оценкой среднего значения разностей.

3. ОТ НДЗ измеряемых величин.

Поскольку НДЗ измеряемых величин – это средние арифметические двойных некоррелированных, неравноточных результатов с весами 2pi (D.22), то мы можем сразу записать общее решение

. (D.37)

2.  Матрицы и действия с ними

В данном разделе излагаются вопросы матричной алгебры в объёме, минимально необходимом для изложения теоретических вопросов, которые будут посвящены математической обработке систем измерений в геодезических построениях, обеспечивающих координатизацию пространства.

2.1.  Определение матриц

Матрица представляет собой массив чисел или буквенных обозначений, упорядоченных в форме прямоугольной таблицы, состоящей из m строк и n столбцов, которые записываются в виде нижних индексов при имени матрицы:

. (M.1)

Матрица может содержать только одну строку или один столбец. Это будет матрица-строка или матрица-столбец. Часто их называют вектор-строка или вектор-столбец соответственно:

, (M.2)

. (M.3)

Когда число строк равно числу столбцов, матрица становится квадратной:

. (M.4)

Квадратные матрицы, в свою очередь бывают:

а) диагональными

= diag{a11, a22,…,ann}; (M.5)

б) верхними треугольными

; (M.6)

в) нижними треугольными

. (M.7)

Среди диагональных матриц особое место занимает единичная матрица, каждый диагональный элемент которой равен единице:

. (M.8)

Любая матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей: 0mn. В частности, это может быть нулевая строка – 01n или нулевой столбец – 0m1.

Две матрицы Amn и Bpq называются подобными, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов, т. е. если m = p, а n = q одновременно.

Две матрицы Amn и Bpq равны, т. е. Amn = Bpq , если, во-первых, они подобны и, во-вторых, aij = bij ,i, j, т. е. каждый элемент матрицы Amn равен соответствующему элементу матрицы Bpq. Равенство подразумевает:

1) рефлексивность – (A = A);

2) симметричность – (из равенства A = B следует B = A);

3) транзитивность – (из равенств A = B и B = C следует, что A = C).

2.2.  Операции над матрицами

Матрицы являются алгебраическими объектами, допускающими над собой определённые операции. Рассмотрим некоторые из этих операций.

2.2.1.  Сложение матриц

Складываются только подобные матрицы Amn и Bmn. Сложение выполняется поэлементно, т. е. для матрицы-суммы C = A + B каждый из её элементов находится по формуле cij = aij + bij.

Свойства операции сложения:

1)  A + B = B + A;

2)  A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) +B;

3)  A + 0 = A.

2.2.2.  Умножение матрицы на скаляр

Умножение матрицы Amn на скаляр α подразумевает, что каждый элемент aij умножается на этот скаляр:

(M.9)

Свойства операции умножения матрицы на скаляр:

1)  αA = Aα;

2)  α(A + B) = αA + αB.

2.2.3.  Умножение матриц

Запись Cmq = AmnBpq означает, что матрица Cmq представляет собой произведение матриц Amn и Bpq когда число столбцов n левого сомножителя равно числу строк p правого сомножителя. Каждый элемент cij матрицы-произведения Cmq представляет собой скалярное произведение i-го вектора-строки матрицы Amn на j-ый вектор-столбец матрицы Bpq:

cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ ainbpj =. (M.10)

Свойства операции умножения матриц:

1)  AmnBpq ≠ BpqAmn; правое произведение может не существовать по определению, но даже если q = m матрица BpqAmn, во-первых, может не оказаться подобной и, во-вторых, будет состоять из произведений других строк и столбцов;

2)  αAB = AαB = ABα;

3)  A(B + C) = AB + AC;

4)  (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD;

5)  A*I = I*A = A; 6) A*0 = 0.

2.2.4.Транспонирование матриц

Операция транспонирования осуществляет взаимную замену строк и столбцов, имеющих одинаковые номера. Будем обозначать операцию транспонирования литерой T в виде верхнего правого индекса. Нижние индексы, обозначающие число строк и столбцов транспонированной матрицы, будем менять местами:

исходная матрица

, (M.1)

транспонированная матрица

. (M.11)

Свойства операции транспонирования матриц:

1)  (AT)T = A;

2)  (AmnBpq)T = BqpTAnmT при условии, что n = p;

3)  (αA)T = αAT;

4)  (A + B)T = AT + BT.

Существуют квадратные матрицы, у которых каждая i-ая строка идентична соответствующему i-му столбцу. Такие матрицы называются симметрическими. Симметрические матрицы не реагируют на транспонирование, т. е. AT = A и, как следствие, aij = aji.

2.2.5.  Обращение квадратных матриц

Матрица Ann-1 называется обратной по отношению к некоторой исходной квадратной матрице Ann, если, будучи умноженной, слева или справа, на эту исходную, она даёт единичную матрицу такого же размера:

A-1*A = A*A-1 = I. (M.12)

Свойства операции обращения квадратных матриц:

1)  (A-1)-1 = A;

2)  (A-1)T = (AT)-1;

3)  (AB)-1 = B-1A-1;

4)  (αA)-1 = 1/α*A-1;

5)  (A + B)-1 ≠ A-1 + B-1.

Матрица, обратная квадратной, строится следующим образом.

1)  Вычисляется определитель исходной матрицы – det(A). Если det(A) ≠ 0, то A-1 существует.

2)  Строится союзная к A матрица, состоящая из алгебраических дополнений Aij = (–1)i+jMij, представляющих собой соответствующие миноры Mij матрицы A, знак перед которыми определяется знаком величины (–1)i+j. Алгебраические дополнения Aij заносятся в союзную матрицу транспонированно.

3)  Все элементы союзной матрицы делятся на определитель det(A) ≠ 0. На этом процедура получения обратной матрицы завершается.

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере построения обратной матрицы для исходной матрицы второго порядка

. (M.13)

Найдём определитель этой матрицы:

det(A) = Δ = a11*a22 – a12*a21≠ 0. (M.14)

Далее получим алгебраические дополнения:

A11 = (–1)1+1*a22; A12 = (–1)1+2*a21; A21 = (–1)2+1*a12; A22 = (–1)2+2*a11.

Теперь сгруппируем алгебраические дополнения в союзную матрицу, разделив их на определитель Δ. Мы получили искомую матрицу, обратную к исходной (M.13):

(M.15)

Разобранный выше теоретически корректный путь построения обратной матрицы на практике далее матриц второго порядка не применяется. Можно найти элементы обратной матрицы с использованием разнообразных алгоритмов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), с которыми мы познакомимся позже.

2.2.6.След квадратной матрицы и его свойства

Квадратная матрица Аnn характеризуется «следом», равным сумме её диагональных элементов: tr(Ann) = åаii.

Оператор следа tr(…) обладает следующими свойствами:

1) tr(a) = a, где a – скаляр; 2) tr(a*А) = a*trА; 3) tr(А+В) = trА + trВ;

4) tr(Аm n*Вn m) = tr(Вn m*Аm n); 5) E(tr(А)) = tr(E(А)).

2.2.7.  Дифференцирование функций векторного аргумента

Функция z, зависящая от n переменных xi, может быть представлена как функция векторного аргумента:

z = f(x1, x2, … xn) = f(X1nT). (M.16)

Частные производные такой функции удобно записать в виде вектора-строки:

∂z/∂X = (∂f/∂x1 ∂f/∂x2 … ∂f/∂xn). (M.17)

Символ ∂/∂X, использованный в формуле (M.17), называется вектором дифференциальных операторов [8].

Используя оператор (M.17), найдём в n-мерном пространстве вектор частных производных гиперплоскости

z = C1n*Xn1 (M.18)

и гиперповерхности второго порядка, называемой в математике квадратичной формой:

z = . (M.19)

Матрица Cnn предполагается симметрической, т. е. .

Следующая последовательность преобразований с применением вектора дифференциальных операторов (M.17) доказывает, что вектор частных производных гиперплоскости (M.18) – это вектор её коэффициентов C1n:

∂z/∂X=. (M.20)

Далее построим вектор частных производных для квадратичной формы, преобразовав предварительно уравнение (M.19) к обычной алгебраической форме;

z = =(x1 x2 … xn)*=

=(c11x12 + c12x1x2 + … + c1nx1xn +

+ c21x2x1 + c22x222 + … + c2nx2xn +

… … … … …

+ cn1xnx1 + cn2xnx2+ … + cnnxnn2). (M.21)

Теперь квадратичная форма (M.19) готова к дифференцированию по классическим правилам:

∂z/∂X=

=. (M.22)

2.3.  Запись и решение СЛАУ с помощью матриц

Матрицы позволяют вести очень компактную запись систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Обратимся к СЛАУ, представленной в алгебраической форме:

b11v1 + b12v2 + … +b1nvn + w1 = 0

b21v1 + b22v2 + … +b2nvn + w2 = 0

… … … … . (M.23)

… … … …

br1v1 + br2v2 + … +brnvn + wr = 0

Введём прямоугольную матрицу коэффициентов этих уравнений

, (M.24)

матрицу-столбец (вектор-столбец) неизвестных

, (M.25)

вектор-столбец свободных членов

(M.26)

и нулевой вектор-столбец правой части системы (M.23)

. (M.27)

В соответствие с операциями над матрицами, изложенными в предыдущем разделе, мы можем записать матричный эквивалент системы (M.23) кратко

Br n * Vn 1 + Wr 1 = 0r 1 (M.28)

или развёрнуто

*+=. (M.29)

Когда в СЛАУ число уравнений равно числу неизвестных, то матрица коэффициентов становится квадратной. Если определитель такой матрицы не равен нулю, то матрица называется неособенной. В таком случае существует обратная к ней матрица, с помощью которой просто записывается решение системы.

Пусть СЛАУ

An n * Xn 1 = bn 1. (M.30)

характеризуется неособенной матрицей коэффициентов (detA ≠ 0), а ранг расширенной матрицы (Ann | bn1) равен рангу матрицы коэффициентов Ann, т. е. rank(A) = rank(A|b). Такая система называется совместной.

Умножив систему (M.30) слева на обратную матрицу Ann-1, мы получим решение данной СЛАУ в виде вектора неизвестных:

Xn 1 = Ann-1*bn 1. (M.31)

3.3.  Ковариационная матрица случайного вектора

Выражение для ковариационной матрицы можно получить, раскрывая её структуру через упорядоченную совокупность парных корреляционных моментов случайных величин, сгруппированных в случайный вектор:

KX = {Kij} = = {}. (С.1)

Условившись вынести [Шметт.] символ оператора математического ожидания E за скобки матрицы, получим матричную запись определения ковариационной матрицы:

KX={}==

=E=

= E() = E((Xn1 – E(Xn1))*(Xn1 – E(Xn1))T). (С.2)

В курсе ТВ и МС выводятся формулы для нахождения ковариационных матриц результатов линейного и нелинейного преобразований вектора Xn 1.

Когда Ym 1 = Cm n * Xn 1 (линейное преобразование), то

KY = C * KX * CT. (С.3)

Если же Ym1 = Fm1(Xn1) (нелинейное преобразование), то

KY = fm n*KX*fn mT, (С.4)

где fmn = {F/X}m n – матрица частных производных оператора нелинейного преобразования Fm 1 по компонентам вектора Xn 1.

Ковариационная матрица случайного вектора, который был получен в результате некоторых измерений, может иметь более простую структуру, учитывающую независимость и/или равноточность исходных данных. Результаты можно систематизировать, описав четыре комбинации, определяемые соотношениями зависимость-независимость и равноточность-неравноточность.

Виды ковариационной матрицы, обусловленные технологией измерений.

 

Kij ≡ 0

i ≠ j

 

= = s2 = = s2

 

Kij ≡ 0

i ≠ j

3.  Математическая обработка геодезических измерений

3.2.  Преамбула

Геодезия – информационная отрасль деятельности Человека, обеспечивающая координатизацию пространства-времени (П-В). Под пространством-временем будем понимать, следуя концепции , [«Теория развития и метасистемное понимание геодезии», Н-ск,2006] «Землю, околоземное пространство» и существующие в них поля.

Координатизация пространства-времени реализуется путём создания геодезических построений (ГП) и выполнения в них соответствующих измерений и/или наблюдений.

ГП представляет собой пространственно-временную структуру, материализуемую системой стационарных или мобильных геодезических точек (ГТ), объединяемых в единое целое, систему. Каждая ГТ характеризуется положением в П-В, размерность которого d варьируется в зависимости от назначения ГП: высотные сети (d = 1), плановые сети (d = 2), 3d-сети и т. д.