Теория математической обработки геодезических измерений (стр. 5 )

rank(Nk k) = k. (П.16)

Это означает, что det(N) ≠ 0 и существует обратная матрица N-1. Тогда решение нормальных параметрических уравнений даст корни системы (П.13):

, (П.17)

являющиеся МНК-поправками к приближённым значениям параметров xk1. Поправки становятся случайными величинами, будучи функциями свободных членов (П.15), в которые вошли погрешности измерений.

Подставляя МНК-поправки в ЛПУС (П.10), получаем МНК-поправки в измерения:

= Ank * – Ln1. (П.10)

Последний шаг, МНК-оптимизация или «уравнивание», выполняется путём введения найденных МНК-поправок в приближённые значения параметров и в измерения:

= xk1 + , (П.18)

= yn1 + . (П.19)

Итак, алгоритм МНК-оптимизации или уравнивания результатов измерений и параметров получен.

Статистические свойства векторов-оценивателей алгоритма

параметрической версии

Для решения задачи оценки точности измерений необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические аспекты, связанные с числовыми характеристиками промежуточных и окончательных значений случайных векторов, задействованных в алгоритме параметрической версии.

Числовые характеристики случайных векторов, реализующих алгоритм параметрической версии, – это их математические ожидания (МО) и ковариационные матрицы (КМ). Математические ожидания позволяют проверять гипотезу о несмещённости оценивающих функций (ОФ), каковыми являются полученные векторы алгоритма. Ковариационные матрицы содержат на диагоналях квадраты СКО компонентов векторов и позволяют судить об их точности. Получаемые данные сведены в 1.

1.

Вектор	Математические ожидания	Ковариационные матрица
1	2	3	4
1	yn1	E(y) = Y	Ky = K
2	xk1	E(x) = x
3	Хk1	E(Х) = Х
4	vn1	E(v) = 0	Kv = K
5	Ln1	E(L) = A*X	KL = K
6	Gk1	E(G) = N*X	KG = N
7	k1	E() = X	= N-1
8	n1	E() = 0	=K–AN-1AT
9	k1	E() = X
10	n1	E() = Y

Статистические свойства векторов-оценивателей параметрической

версии МНК-оптимизации

2.  Оценка точности измерений

Оценка точности измерений, как и прежде, заключается в нахождении апостериорного значения m2 МПТ:

, (K.28)

априорное значение которого s02 полагается равным единице, т. к. E(σ2) = 1:

. (K.29)

Вывод необходимой формулы вновь использует «след» квадратной матрицы и аналогичен выводу, сделанному в разделе «Коррелатная версия МНК-оптимизации геопространственных данных».

Выражения для истинных «v» и МНК-поправок «» к измерениям содержат одни и те же свободные члены «L»:

vn1 = Ank*xk1 – Ln1

. (П.20)

Соотношения (П.20) позволяют установить связь между этими поправками:

v = – A*( – x). (П.21)

Практически мы будем иметь лишь МНК-поправки к измерениям . Следовательно, можно будет вычислить лишь квадратичную форму , математическое ожидание которой и позволит оценить апостериорное значение показателя точности m2.

С помощью формулы (П.21) приходим к зависимости квадратичных форм:

vTK-1v = + (–x)T*ATK-1A*(–x).

Отсюда, учитывая, что ATK-1A = N, получаем обратную зависимость:

= vTK-1v – (–x)T*N*(–x). (П.22)

Поскольку квадратичная форма (П.22) является скаляром, то, используя свойства следа квадратной матрицы, мы получаем такой результат:

E() = E(tr()) = E(tr(vTK-1v)) – E(tr((–x)T*N*(–x))) =

=E(tr(vvTK-1)) – E(tr((–x)(–x)T*N)) = tr(E(vvT)K-1) – tr(E((–x)(–x)T)*N) =

=tr(Kn nKnn-1) – tr(KX*Nk k) = tr(In n) – tr(Nk k-1*Nk k) = tr(In n) – tr(Ik k) = n – k. (П.23)

Фактически апостериорное значение МПТ измерений будет оцениваться по той же формуле, что и в коррелатной версии, так как n – k = r:

. (П.24)

Естественно, что математическое ожидание m2 тождественно равно единице:

. (П.25)

Практически дробь (П.25) будет отличаться от единицы. Вновь, как это было сделано в коррелатной версии, проверяем на уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве параметра s2 его априорному значению:

. (П.26)

Технология проверки нулевой гипотезы (П.26) реализуется так, как это было выполнено в случае коррелатной версии с использованием того же теста

(П.27)

и той же квантили χ2-распределения с (n – k) степенями свободы:

, (П.28)

где

, а . (П.29)

Если cэ2 Ï cТ2, то нулевая гипотеза Н0 – отвергается.

3.  Оценка точности уравненных параметров

и функций от них

Оценка точности уравненных параметров и функций от них, допускающих оценку, заключается в построении соответствующих ковариационных матриц.

Априорная ковариационная матрица уравненных значений параметров – это обратная матрица коэффициентов нормальных параметрических уравнений (см. девятую строку в четвёртой колонке 1:

= N-1kk. (П.27)

Опираясь на этот результат, можно построить априорную ковариационную матрицу любой вектор-функции

Fs1 = Fs1(XT1k), (П.28)

допускающей оценку. Практически в нашем распоряжении будут не истинные X, а оптимизированные (уравненные) значения параметров . Следовательно, мы будем располагать уравненными значениями вектор-функций (П.28):

= Fs1 (), (П.29)

Элементами вектор-функции (П.28) могут быть как измерявшиеся величины Yi, так и не измерявшиеся Fp. В любом случае, априорная ковариационная матрица уравненных значений функции (П.29) определяется через её частные производные

(∂Fs1/∂XT1k) (П.30)

и имеет вид

. (П.31)

Когда речь идёт об измерявшихся величинах Yn1, то их частные производные – это матрица коэффициентов ЛПУС Ank (П.8). Если нас интересует только часть измерений, Yh1, то можно воспользоваться соответствующим блоком Ahk той же матрицы, сохранив в ней необходимые «h» строк.

Полная априорная ковариационная матрица уравненных измерений уже была представлена в десятой строке 1. Тот же результат будет получен, если в формуле (П.31) произвести соответствующие замены:

(∂Fn1/∂XT1k) = Ank, .

Описанная формула примет вид

. (П.32)

Если необходимо оценить точность неизмерявшихся функций Fs1, то, обозначив частные производные этих функций по параметрам Xk1 через fsk, мы можем получить априорную ковариационную матрицу уравненных значений неизмерявшихся функций, сделав соответствующие замены в формуле (П.31):

. (П.33)

Переход к апостериорным значениям всех указанных матриц (П.27), (П.32) и (П.33) выполняется путём умножения их на апостериорное значение МПТ m2 (П.24):

, (П.34)

, (П.35)

. (П.36)

Квадратные корни из диагональных элементов апостериорных ковариационных матриц дают СКО уравненных значений

параметров: , (П.37)

измерений: , (П.38)

неизмерявшихся функций: . (П.39)

В заключение представим традиционный алгоритм параметрической версии МНК-оптимизации и оценки точности геопространственных данных в форме укрупнённой блок-схемы, изображённой на 1.

 

Ковариации a posteriori

9.Ковариации a posteriori

1 – Параметрическая версия МНК-оптимизации, оценка точности данных и ковариации оптимизированных значений данных.

Поэтапная реализация параметрической версии

1. Моделирование

Моделирование – определяющий этап всей процедуры МНК-опимизации и оценки точности. Система ПУС должна опираться на вектор линейно независимых параметров Xk1 и вектор координат опорных пунктов Zq1, т. е.

Yn1 = Fn1(XT1k; ZT1q), (П.1)

Вектор линейно независимых параметров может быть подвектором Xk1 = Yk1 измеряемых величин Yn1. Выбор в качестве линейно независимых параметров части измерений упрощает «k» первых уравнений системы (П.1): они будут простейшими линейными функциями. С остальными r = n–k уравнениями могут возникнуть большие сложности. ГП создаётся с целью координатизации некоторого пространства. В связи с этим удобно и выгодно в качестве линейно независимых параметров выбирать координаты пунктов создаваемого ГП.

В зависимости от вида измерений ПУС представляют собой различные явные функции координат ГТ. Приведём несколько примеров.

1) ПУС измеренного расстояния Sij в пространстве XYZ между пунктами Pi и Pj:

; (П.40)

2) ПУС измеренного дирекционного угла на плоскости αij между пунктами Pi и Pj:

; (П.41)

3) ПУС измеренного плоского угла βikj на пункте Pk между пунктами Pi и Pj:

; (П.42)

4) ПУС измеренного превышения hij между пунктами Pi и Pj:

hij = Xj – Xi = Hj – Hi; (П.43)

5) ПУС измеренной вариации силы тяжести Δgij между пунктами Pi и Pj:

Δgij = Xj – Xi = gj – gi. (П.44)

Количество ПУС всегда равно числу измерений «n».

Производственные пакеты прикладных геодезических программ обычно опираются на алгоритм именно параметрической версии МНК-оптимизации данных в силу её однозначности в смысле ПУС.

Формирование ковариационной матрицы измерений Ky рекомендуется выполнять так, что бы её элементы были числами одного порядка. С этой целью можно прибегнуть к масштабированию СКО измерений, выражая их, допустим, не в радианной мере, а в угловой или не в метрах, а в сантиметрах и т. п. Необходимо помнить об этом при вычислении свободных членов ЛПУС Ln1.

Как отмечалось выше при рассмотрении КВ МНК-оптимизации, геодезические работы организуются таким образом, чтобы их результаты не были коррелированными. Ковариационная матрица измерений становится диагональной, а её элементы можно переобозначить с целью получения дальнейших результатов преобразований в традиционной форме:

Ky = K = diag{m12, m22 … mn2} = diag{π1, π2 … πn}. (K.48)

Величины πi, входящие в ковариационную матрицу некоррелированных измерений (K.48), представляют собой обратные «веса»:

πi = 1/pi,

что было показано ранее.

В параметрической версии больше используется обратная ковариационная матрица, которая в случае некоррелированных измерений принимает вид

K-1 = diag{1/π1, 1/π2 … 1/πn} = diag{p1, p2 … pn} = P (П.45)

Все процессы первого этапа контролируются только «во вторую руку».

2. Линеаризация

Линеаризованные ПУС получаются путём разложения в ряд Тейлора исходной системы (П.1):

An k Xk1 – Ln1 = vn 1. (П.8)

Коэффициенты An k, неизвестные Xk1 и vn1 , и свободные члены Ln1 этих уравнений традиционно записываются так:

, (П.46)

X1kT = (X1, X2, …, Xk), (П.47)

L1nT = (l1, l2, …, ln), (П.48)

v1nT = (v1, v2, …, vn). (П.49)

Выполнив матричные операции в (П.8), мы получим линеаризованные ПУС в алгебраической форме:

. (П.50)

Отметим, что ни нахождение элементов матрицы An k, ни вычисление свободных членов li не имеют контрольных соотношений. Выход один – вычисления «во вторую руку». Кроме того, напомним, что свободные члены линеаризованных ПУС li = yi – Fi(xT1k zT1q) не имеют «допусков», так как их математическое ожидание не известно. Практически, тем не менее, они должны быть числами того же порядка, что и «невязки» УУС.

Дополнительно отметим, что матрицы коэффициентов условных и параметрических УС ортогональны: Br n*An k = 0r k, а свободные члены линеаризованных УС связаны между собой соотношением Br n*Ln 1 = Wr 1.

3. Нормализация

Нормальные параметрические уравнения имеют вид:

. (П.13)

Коэффициенты нормальных уравнений представляют собой тройное произведение двух ранее введённых матриц:

Nkk = AnkT Knn-1Ank, (П.14)

а свободные члены равны произведению трёх матриц:

Gk1 = AnkT Knn-1Ln1. (П.15)

Выполнив умножение данных матриц с учётом (П.45) и (П.46), получим алгебраическую запись коэффициентов и свободных членов нормальных параметрических уравнений для случая некоррелированных измерений:

, (П.51)

(П.52)

Вектор неизвестных (МНК-поправок к параметрам), записанный в строку, имеет вид:

(П.53)

Теперь, выполнив умножение матрицы (П.51) на вектор неизвестных (П.53) и вычтя из произведения вектор свободных членов (П.52), получим алгебраическую запись системы параметрических НУ:

. (П.54)

4. Решение НУ

Решение параметрических НУ, предлагаемое в теоретической части изложения материала, осуществляется методом обращения матрицы коэффициентов Nk k системы параметрических НУ (П.13):

. (П.17)

Это возможно, если компоненты вектора Xk1 линейно независимы. Следствием такой независимости будет тот факт, что матрица коэффициентов Ank – это матрица полного столбцового ранга, т. е. rank(A) = k. В таком случае матрица коэффициентов параметрических НУ Nk rk = Ak nTK-1An k будет иметь такой же ранг, и её определитель не будет равен нулю, т. е. det(Nk k) ≠ 0. Это означает, что существует N-1 и решение системы (П.54) в форме (П.17).

В развёрнутом виде уравнения (П.17) можно записать, учитывая тот факт, что обратная матрица коэффициентов нормальных уравнений является ковариационной матрицей её корней, т. е. Nk k-1 = :

. (П.55)

Каждый диагональный элемент Kjj – это квадрат средней квадратической ошибки j-ой поправки к своему параметру.

Отдельно j-ая строка системы (П.55) выглядит следующим образом:

j = Kj 1* [pal] + … +Kj j*[pjl] + … + Kj k*[pkl]. (П.56)

Естественно, что параметрические НУ могут, как и коррелатные, быть решены любым другим способом.

МНК-поправки к параметрам вычисленные методом обращения или методом Гаусса, либо каким-то другим способом, должны быть проконтролированы. Такой контроль осуществляется путём подстановки найденных корней в исходную систему параметрических НУ (П.13):

Nkk*k1 = Gk1. (П.57)

5. МНК-оценивание

Найденные МНК-поправки к параметрам xk1, проконтролированные на 4ом этапе, позволяют вычислить МНК-поправки в измерения yn1:

= Ank * – Ln1. (П.10)

Более подробно система (П.10) записывается так:

. (П.58)

Получена параметрическая система уравнений поправок. Алгебраический эквивалент i-ой строки данной системы имеет вид:

. (П.59)

Вычисление МНК-поправок в измерения контролируется путём использования леммы Гаусса:

. (П.12)

Допустимые значения МНК - поправок.

В статистических свойствах векторов-оценивателей параметрической версии, установлено, что: E() = 0; а =K–AN-1AT. Из последнего факта следует, что , т. е. среднее квадратическое значение i-ой поправки – это диагональный элемент ковариационной матрицы МНК-поправок в измерения, находящийся на пересечении i-ой строки и i-ого столбца этой матрицы.