Теория математической обработки геодезических измерений (стр. 6 )

Установление допустимости поправки начинается с проверки нулевой гипотезы о равенстве нулю её МО:

H0 = {E() = 0} (П.60)

против альтернативной гипотезы

HA = {E() ≠ 0}. (П.61)

Нулевая гипотеза (П.60) проверяется с помощью теста

tЭ = | |/, (П.62)

который сопоставляется на уровне значимости α с квантилью tT распределения Стьюдента, характеризующегося n – k степенями свободы:

tT = arg(FСт.(n-k)= (1–α/2)). (П.63)

Воспользовавшись неравенством альтернативной гипотезы (П.61), получаем такое выражение для допустимого значения МНК-поправки в i-ое измерение:

tЭ = | |/ = tT → доп = tT* = tT*. (K.79)

Квантиль распределения Стьюдента может быть заменена квантилью нормального распределения на том же уровне значимости:

t0.05 = 1.96 ≈ 2; t0.01 = 2.58 ≈ 2.6; t0.003 = 3. (П.80)

Данный контроль позволяет нам локализовать измерения, содержащие «промахи» и может сыграть положительную роль в анализе качества измерений.

6. МНК-оптимизация (уравнивание)

Данный этап является заключительным шагом процедуры уравнивания, выполняемой с целью нахождения НДЗ измерявшихся величин и приближённых значений параметров. С вычислительной точки зрения он элементарен:

= xk1 + , (П.18)

. (П.19)

Каждый параметр и каждое измерение получают соответствующие МНК-поправки:

(П.81)

. (П.82)

В качестве контроля необходимо сверить уравненные значения измерений, вычисленные по формуле (П.19), со значениями этих же величин, полученными по исходным ПУС (П.1):

= Fn1(;ZT1q). (П.83)

Уравнения (П.83) должны быть удовлетворены с той точностью, с которой вычислялись свободные члены Ln1.

Выполнение контроля (П.83) зависит от степени близости приближенных значений параметров xk1 к их истинным значениям Xk1. Электронные пакеты прикладных геодезических программ обеспечивают близость, эквивалентную близости результатов измерений yn1 к истинным значениям измеряемых величин Yn1. При ручной обработке данных приближённые значения параметров xk1 могут оказаться «грубыми» и разложение исходных ПУС пройдёт «не гладко». В таком случае потребуются итерации, в которых за новые приближённые значения параметров принимают их только что уравненные значения:

(xk1)нов = . (П.84)

После этого вновь повторяются все шесть первых этапов, и проверяется контроль (П.83). Если контроль удовлетворён, то МНК-оптимизация (уравнивание) завершается. При очень грубых начальных значениях параметров процесс итерации может оказаться расходящимся.

7. Показатель точности

Апостериорное значение МПТ

, (П.24)

содержит в числителе квадратичную форму, получение которой необходимо проконтролировать. Следующие матричные преобразования дают необходимые контрольные соотношения (использованы выражения (П.10) и (П.15):

=, (П.85)

=, (П.86)

Для случая независимых наблюдений формулы (П.24), (П.85) и (П.86) имеют алгебраические эквиваленты, представленные в символах Гаусса:

, , . (П.87)

Вычисление величины m2 по формуле (П.24) или (П.87) не контролируется.

8-9. Априорные ковариационные матрицы векторов , и .

При рассмотрении статистических свойств (см. 9-ую строку 4-го столбца 1) получена априорная ковариационная матрица уравненных значений параметров:

. (П.88)

Эта матрица задействована в вычислениях МНК-поправок к приближённым значениям параметров xk1. Следовательно, контроль её получения – это контроль решения параметрических НУ:

Nkk*k1 = Gk1. (П.57)

Вычисление априорной ковариационной матрицы уравненных измерений (см. 10-ую строку 4-го столбца 1)

(П.89)

контролируется тождеством

= k, (K.89)

Докажем это тождество повторно, используя алгоритм параметрической версии. Во-первых, по прежнему

= tr(*K-1), (K.90)

а, во-вторых,

= k. (П.90)

Вычисление ковариационной матрицы МНК-поправок в измерения является дополнительной операцией (см. 8-ую и 10-ую строки 4-го столбца 1):

= K – = K – AN-1AT

Оно может быть проконтролировано тождеством

= r. (K.84)

По прежнему, стоящая в левой части формулы (K.84) сумма отношений дисперсий является следом произведения двух матриц: и K-1, т. е.

tr(*K-1) = . (K.85)

Определим интересующий нас след для алгоритма параметрической - версии:

. (П.91)

10. Ковариации и a posteriori

Апостериорная ковариационная матрица уравненных параметров – это результат умножения априорной матрицы на апостериорное значение МПТ μ2 (П.24):

= μ2* (П.92)

Апостериорная ковариационная матрица уравненных значений измерений получается аналогично:

, (K.92)

Диагональные элементы матрицы участвуют в контроле процесса построения предваряющих её ковариационных матриц.

Апостериорная ковариационная матрица уравненных измерений позволяет использовать контроль (K.89), модулированный делением следа произведения *K-1 на апостериорное значение МПТ μ2:

. (K.93)

ЛЕКЦИЯ: НЕСЛУЧАЙНЫЕ ОШИБКИ: ВЫЯВЛЕНИЕ И УЧЕТ.

1. Постановка вопроса.

Параметрическая и коррелатная версии классического алгоритма точностной оптимизации измерений по методу наименьших квадратов (МНК-оптимизация [1]) опираются, во-первых, на математические модели (ММ) измерений в виде параметрических (F) или условных (F) уравнений связи:

, (1)

где Y - вектор истинных значений измеряемых величин;

X - вектор истинных значений параметров;

Z - вектор истинных значений опорных (исходных) координат.

Во-вторых, на их статистическое расширение:

а) априорную ковариационную матрицу измерений:

, (2)

где Kij - ковариации i-го и j-го измерений;

б) условие отсутствия систематических ошибок в измерениях, аналитическая запись которого имеет вид:

E(y) = Y или , (3)

где V = Y – E(y) - истинные случайные поправки к измерениям.

в) априорное значение масштабного показателя точности (МПТ) измерений полагается равным единице, т. е:

.

Это следует из того факта, что

.

После завершения процедуры МНК-оптимизации становятся известными МНК-поправки в измерения yn1:

(параметрическая версия)

, (4)

(коррелатная версия)

по которым вычисляется апостериорное значение МПТ

, (5)

являющееся несмещенной оценкой его теоретического значения .

Получив апостериорную оценку , мы можем проверить гипотезу о равенстве истинного значения показателя его априорному значению против альтернативной гипотезы о неравенстве этих величин, т. е.

(6)

против

.

Нулевая гипотеза проверяется с помощью теста "хи-квадрат":

, (7)

который сравнивается с двухсторонним ДИ, соответствующим уровню значимости a:

. (8)

"Нижняя" и "верхняя" границы этого ДИ представляют собой % и % квантили распределения хи-квадрат[4]:

, (9)

. (10)

Если , то H0 не отвергается, т. е. исходные предположения (1)-(3) не противоречат результатам измерений и все материалы аттестуются как соответствующие заданным требованиям.

В противном случае, т. е. когда нулевая гипотеза отвергнута:

а) либо координаты опорных пунктов "Z" не могут рассматри­ваться в качестве безошибочных констант;

б) либо некорректно сформирована ковариационная матрица измерений K;

в) либо сами измерения yn1 искажены неслучайными погрешностями, например, систематическими ошибками.

2. Анализ материалов и выявление неслучайных ошибок.

Для проверки предположения "а" необходимо обработать измерения повторно, не включая в ММ (1) величины "Z" полностью или частично и пользуясь, быть может, алгоритмом обработки "свободных сетей" [3]. Анализируя результаты обработки различных версий ММ (1), можно прийти к решению о том, какие из элементов вектора "Z" не могут рассматриваться как константы, и исключить их из ММ.

Когда не удается с помощью описанной процедуры идентифицировать "плохую" константу, то переходят к проверке других возможных источников отклонения нулевой гипотезы.

Некорректное формирование K (ковариационной матрицы измерений, предположение "б") происходит чаще всего из-за неправильно определенных априорных значений дисперсий измерений. Это предположение можно выдвинуть, анализируя графики зависимостей МНК-поправок в измерения от их порядковых номеров или каких-то других аргументов: длин ходов, числа станций, времени, продолжительности и т. п. Корректно определенные дисперсии дают картину зависимости МНК-поправок в виде равномерной полосы, шириной не более , в идеале идущей вдоль оси аргументов (величина представляет собой % квантиль распределения Стьюдента). Неравномерность полосы, например ее расширение или сужение, как раз и свидетельствует о зависимости дисперсий от данного аргумента.

Последнее предположение "в" о наличии неслучайных ошибок в измерениях выдвигается, когда проверка двух первых не дала положительного эффекта. В такой ситуации можно воздействовать как на вектор параметров X, вплоть до введения такого вектора в коррелатную версию ММ, так и на сам оператор уравнений связи F или Ф. Указанное воздействие заключается в добавлении к одному, нескольким или всем измерениям дополнительных параметров или функций от них, моделирующих влияние предполагаемого систематического фактора.

Например, для параметрической ММ нивелирной сети, i-ое стандартное уравнение связи которой имеет вид hi = xj – xm, где hi – превышение между реперами с отметками xj и xm, i-ая строка матрицы линеаризованных уравнений связи Ank запишется так:

1,2,….,j,.......,m,…..,k – № столбцов,

0 0…..0 – i-ая строка.

Заменив в этой ММ i-ое уравнение связи новым, описывающим предполагаемое воздействие постоянной ошибки "c" в простейшем виде, получим:

hi = xj – xm +c (11)

Теперь i-ая строка матрицы линеаризованных уравнений связи An;k+1 преобразуется следующим образом:

1,2,…..,j,........,m,….,k, k+1 – № столбцов,

0 0.….0 -1 0…..0 1 – i-ая строка.

По "расширенной" таким образом матрице An;k+1 выполняется вновь дальнейшая процедура обработки и анализа измерений, завершающаяся проверкой нулевой гипотезы (6) с помощью изменённого теста (7):

, (12)

где – новая оценка МПТ, полученная по измененной ММ. Этот тест сравнивается с новым двухсторонним ДИ

, (13)

границы которого определяются квантилями

, (14)

. (15)

Если нулевая гипотеза (6) вновь отвергается, то модификация ММ продолжается до тех пор, пока тест (12) не попадет в ДИ (13). При этом рекомендуется внимательно изучать графики зависимости МНК-поправок, о которых выше шла речь, т. к. они не только отражают неправильность априорных значений дисперсий, но и, вообще, показывают, как происходит сглаживание результатов измерений для обсчитываемой в данном цикле модели.

3. Определение значимости систематических параметров.

После получения ММ, содержащей предполагаемые систематические параметры, необходимо проверить гипотезу о незначимости введенных параметров в совокупности:

. (16)

Практически этой гипотезе эквивалентна гипотеза (17) о равенстве дисперсий основной и модифицированной моделей:

. (17)

Если эта гипотеза будет отвергнута, то с целью упрощения ММ можно проверить гипотезы о незначимости каждого из новых параметров:

. (18)

Гипотеза (17) проверяется с использованием статистики Фишера [4]:

, (19)

значение которой сопоставляется с квантилью F-распределения на уровне значимости "a":

. (20)

Она отвергается, когда FЭ > FT.

Гипотеза (18) последовательно проверяется относительно каждого нового параметра с использованием t-теста [2]

, (21)

где - оценка параметра, а - его СКО, определенная по материалам (ковариационной матрице параметров) МНК-оптимизации.

Тест (21) сопоставляется с % квантилью распределения Стьюдента:

. (22)

Гипотеза (18) отвергается, когда tЭ > tT. Это означает, что параметр cq знбчимо отличается от нуля и его следует сохранить.

Окончательный вариант ММ формируется последовательным прохождением всех описанных этапов таким образом, чтобы обязательно одновременно удовлетворялся тест (6) и модель содержала бы только те параметры cq, которые не прошли тест (21). На основании этого можно будет утверждать на уровне значимости "a" о непротиворечивости построенной ММ результатам измерений. При этом необходимо четко представлять себе, что, например, оптимизированное превышение, описываемое уравнением связи (11) и занесенное в каталог, не будет равно простой разности оптимизированных отметок реперов, занесенных в этот же каталог, т. к. форма стандартного каталога не предусматривает наличие в нем информации о предполагаемых систематических параметрах.

Литература

1. М.М. Машимов

2.

3.

4. П. Мюллер, П. Нойман, Р. Шторм