Теория математической обработки геодезических измерений (стр. 1 )

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

1Теория ошибок

1.1.  Обработка и анализ измерений одной величины

1.1.1.Вероятностное моделирование ошибок измерений

Пусть X – реальное значение измеряемой величины, остающееся неизменным в процессе измерений (нахождение числовой модели этого значения представляет собой цель измерений);

Х – случайная величина (СВ), представляющая собой вероятностную модель измерительной технологии;

xi – результаты измерений, являющиеся элементами спектра СВ «X», зафиксированные экспериментатором, т. е. ;

i = 1, 2, ... , n – индекс измерения;

n – количество измерений;

E(X) – математическое ожидание (МО) СВ «X»;

– дисперсия СВ «X».

В такой ситуации можно определить следующие неопределённости (ошибки):

Qi = xi – X – истинная ошибка i-го измерения; (Т.1)

Di = xi – E(X) – случайная ошибка i-го измерения; (Т.2)

d = E(X) – X – постоянная ошибка технологии измерений. (Т.3)

Очевидно, что

Qi = Di + d, (Т.4)

т. е. истинная ошибка представляет собой сумму случайной и постоянной ошибок.

Определения (Т.1) – (Т.4) иллюстрируются (Рис. Т.1) на совмещенных числовых осях X и Q (индекс «i» опущен):

–X 0 d D Q Q

| | | |

0 X E(X) x X

Рис. Т.1. Истинная, случайная и постоянная ошибки.

(Известен только результат измерений x!)

Представим основные числовые характеристики – математические ожидания (МО), дисперсии и начальные моменты второго порядка – каждого вида ошибок, опираясь на определения (Т.1) – (Т.3) и известную взаимозависимость между числовыми характеристиками a2 = σ2 + a12:

Постоянная ошибка d: E(d) = d; D(d) = 0; a2(d) = d2.

Случайная ошибка D: E(D) = 0; D(D) = ; a2(D) = .

Истинная ошибка Q: E(Q) = d; D(Q) = ; a2(Q) = + d2.

Убедитесь в результатах в качестве Упражнения, помня что:

E(D) = ≡ 0; E(X) = , D(X) = , а a2(X) = + ()2.

Все приведённые числовые характеристики ошибок связаны между собой так же, как и сами ошибки (Т.4):

E(Q) = E(D) + E(d) = d (Т.5)

D(Q) = D(D) + D(d) = (Т.6)

a2(Q) = a2(D) + a2(d) = + d2. (Т.7)

Постоянная ошибка, будучи детерминированной величиной, не является объектом вероятностного моделирования. Её значения определяют из специальных исследований, а в среднее арифметическое результатов измерений вводят соответствующую поправку. Это – один путь учета влияния постоянных ошибок. Другой путь борьбы с ними заключается в надлежащей организации технологии измерений, компенсирующей эти ошибки в окончательных результатах xi. Дело в том, что результат измерений xi обычно является функцией нескольких отсчетов (операций), по которым он вычисляется. Например, углы при геодезических и астрономических измерениях определяют при альтернативных положениях вертикального круга и на разных участках лимба. Если результаты xi не содержат постоянной ошибки, т. е. d = E(X) – X = 0, то

E(X) = X. (Т.8)

Выражение (Т.8) эквивалентно условию отсутствия постоянной ошибки в измерениях.

Специальные исследования, направленные на определение постоянной ошибки, могут представлять собой процедуру, подобную эталонированию. Эталон – это некоторая мера, числовая модель которой известна с высокой степенью точности.

Обозначим числовое значение эталона как YЭ. Процедура эталонирования обычно заключается в измерении величины YЭ путём реализации некоторой технологии, вероятностная модель которой – это СВ «Y». В результате мы получаем выборку y1, y2, …, y k. Пусть эта выборка простая, т. е. стохастически не связанная и равноточная. Полагая, что выборка принадлежит генеральной совокупности (ГС) «Y», она же СВ «Y», мы можем оценить её МО. В курсе ТВ и МС показано, что оптимальной оценкой МО ГС «Y» по данным простой выборки является среднее арифметическое, представляющее собой состоятельную и несмещённую оценивающую функцию (ОФ) с минимальной дисперсией:

. (Т.9)

Разность между оценкой (Т.9) и значением эталона YЭ позволит оценить постоянную ошибку:

– YЭ. (Т.10)

Естественно, что должна быть проверена нулевая гипотеза о незнáчимости найденной постоянной ошибки

H0 = {E(Y) = YЭ } (Т.11)

против альтернативной

HA = {E(Y) ≠ YЭ }. (Т.12)

Нулевая гипотеза (Т.11) проверяется с помощью теста

tЭ = , (Т.13)

где

, а . (Т.14)

Критическая область проверяемой гипотезы находится за пределами интервала tT = [tH; tB]. Нижняя tH и верхняя tB границы интервала – это квантили распределения Стьюдента, определяемые при (k – 1) степенях свободы на уровне значимости a:

t H = t k-1;1-a/2; tB = t k-1;a/2 = - tH.

Когда tЭ tT, нулевая гипотеза отвергается, т. е. постоянная ошибка δЭ признаётся знáчимой и должна вводиться в результат , с целью нахождения наиболее достоверного значения (НДЗ) измеряемой величины X:

X = – δЭ. (Т.15)

В случае незнàчимости постоянной ошибки dЭ, НДЗ величины X принимается равным СА . В такой ситуации истинная Q и случайная D ошибки совпадают: Q = D.

Далее обращаемся к случайным ошибкам D и определим их основные свойства, полагая распределение этих ошибок нормальным. Данное предположение основывается на том, что технологии геодезических измерений соответствуют условиям «Центральной предельной теоремы». Нормальное распределение СВ «X» характеризуется двумя параметрами: a = E(X) и b = sX. Для случайной ошибки D = x – E(X) они будут равны следующим значениям: a = E(D) = 0 и b = sΔ = sX. Тогда плотность нормальной случайной ошибки будет иметь вид:

f(D) =e -. (Т.16)

Этой функции соответствует следующий график (рис. Т.2):

f(X) f(D)

P(D > 0) = P(D < 0)

0 D

 

0 E(X) X

Рис. Т.2. Плотность распределения нормальной случайной ошибки.

Нормальную случайную ошибку D можно стандартизировать и перейти к стандартному значению случайной ошибки t, вычисляемому по формуле:

t = D / sX. (Т.17)

Уравнение плотности (Т.16) определяет, а Рис. Т.2 иллюстрирует основные свойства случайных ошибок, распределенных по нормальному закону.

1. Случайные ошибки имеют нулевое МО (При любом законе распределения!):

E(D) = 0. (Т.18)

2. Положительные и отрицательные случайные ошибки равновероятны (Для симметричных распределений!):

P(D > 0) = P(D < 0) = 1/2. (Т.19)

3. Малые по абсолютной величине случайные ошибки более вероятны, чем большие, т. е.:

P(0 < |D| < sX) 0.68 > P(sX < |D| < 2sX) 0.27. (Т.20)

В последней формуле (Т.20) конкретные значения вероятностей 0,68 и 0,27 как раз и соответствуют нормальному распределению.

Показателем точности случайных ошибок измерений чаще всего служит их средняя квадратическая ошибка (СКО), представляющая собой оценку стандарта измерений, который одновременно является стандартом случайных ошибок:

. (Т.21)

1.1.2.СКО функции измеренных величин

Задача по установлению связи между СКО функции измеренных величин, ковариационная матрица которых оценена, и показателями точности и коррелированности её аргументов решена в курсе «ТВ и МС». Имея в своём распоряжении упомянутую формулу связи, мы можем решать две задачи: «прямую» и «обратную». В свою очередь, в рамках «прямой задачи» можно либо предвычислять СКО функции по предполагаемым (предписываемым) СКО аргументов σi и соответствующим ковариациям Kij, либо оценивать СКО функции по полученным из результатов наблюдений оценкам СКО аргументов mi и ковариаций Kij. Прямая задача имеет частный случай, когда аргументы функции не коррелированны. В пределах этого ограничения и рассматривается «обратная задача» по предвычислению СКО стохастически не связанных аргументов по требуемой СКО их функции.

Прямая задача.

Дано:

z = f(x1, x2, …, xn), (R.1)

произвольная функция случайного вектора, аргументы которого получены по результатам измерений, характеризующимся некоторой оценкой ковариационной матрицы вектора измерений X1nT = (x1, x2, …, xn)

. (R.2)

Предполагается, что оценки дисперсий mi2 и корреляционных моментов «Kij» найдены по данным соответствующих наблюдений по формулам

= , (R3)

где v = - x, ni – объём наблюдений, выполненных для оценивания i-ой СВ, и

Kij = . (R4)

Найти: mZ - ?

Решение:

Опираясь на теорему о дисперсии произвольной функции случайного вектора, мы считаем допустимым существование аналогичных связей между несмещёнными оценками этих же параметров:

. (R.5)

Когда аргументы случайного вектора измерений стохастически не связаны попарно, формула R.5 упрощается, теряя слагаемые второй суммы, содержащие нулевые множители Kij=0, :

(R.6)

В дальнейшем вместо выражения «результаты измерений, стохастически не связанные попарно», будем использовать более короткий вариант: «не коррелированные результаты измерений».

Обратная задача (для некоррелированных аргументов!).

Дано :

z = f(x1, x2, …, xn) –

произвольная функция СВ, аргументы которого не коррелированы,

а mZ – СКО этой функции, которую необходимо гарантировать, организовав измерения X1nT = (x1, x2, …, xn) с неизвестными СКО mi.

Найти:

mi – ? .

Решение:

Воспользуемся связью R.6: .

Одно уравнение R.6 содержит «n» неизвестных. Следовательно, оно имеет бесчисленное множество решений. Для выбора некоторого определённого варианта прибегают к дополнительным ограничениям, накладываемым на искомые неизвестные (СКО mi).

3)  Принцип равных СКО.

mi = mj = m (R.7)

Решая R.6 под условием R.7, получаем такой вариант ответа:

(R.8)

2) Принцип равных влияний.

(R.9)

Решая R.6 под условием R.9, получаем другой вариант:

(R.10)

3) Принцип имеющихся возможностей.

Пусть, кроме заданной СКО функции mZ, мы имеем возможность измерить «k» аргументов с известными СКО mi. Тогда, оставшиеся (n – k) аргументов mj, можно определить, исходя из следующих преобразований:

(R.11)

. (R.12)

Далее, если , то задача решается либо по принципу равных СКО (R.8), либо по принципу равных влияний (R.10). Когда же , то имеющиеся возможности mi не позволяют решить задачу, т. е. инструментальный парк, которым располагает исполнитель, не обеспечивает выполнение поставленной задачи. Отметим, что и в первом случае при , найденные СКО mj могут оказаться слишком малыми величинами, не поддерживаемыми реальной аппаратурой.

1.1.3.Вес. Средняя квадратическая ошибка единицы веса.

Существует ещё один обобщённый показатель точности измерений, широко распространённый в геодезических и астрономических вычислениях. Он называется «вес» и представляет собой величину, обратно пропорциональную дисперсии:

P = c / s2. (P.1)

Коэффициент пропорциональности «с» – это дисперсия измерений, вес которой принимается равным единице, или, более кратко, дисперсия единицы веса (ДЕВ). Таким образом

с = . (Р.2)

Величина s0 – это стандарт, с весом равным единице.

Практически мы всегда имеем дело не с дисперсиями, а с их оценками, квадратами СКО:

P = c / m2. (P.3)

с = μ2 = (Р.4)

Положительное значение квадратного корня из коэффициента пропорциональности «с» называют «средней квадратической ошибкой (СКО) измерений, вес которых принят за единицу» или более лаконично – «СКО единицы веса».

Веса могут быть безразмерными, если мы имеем дело с однородными величинами. Когда же совокупность измерений – разнородный массив, то одна группа весов будет безразмерной, а другие – размерными, что необходимо учитывать при вычислениях.

Из формулы (Р.3) следует, что веса измерений, определяемые в едином масштабе «с», обратно пропорциональны квадратам соответствующих СКО:

. (Р.5)

Формула (Р.3), учитывающая введённое обозначение (Р.4), позволяет выразить СКО измерений «m» через СКО единицы веса «m» и вес этих измерения «Р»:

m = m* . (P.6)

1.1.4.Вес функции некоррелированных измерений

Дано: z = f(x1, x2, …, xn), произвольная функция случайного вектора, аргументы которого получены по результатам некоррелированных измерений, характеризующихся некоторыми весами p1, p2, … , pn в масштабе «m».

Прямая задача.

Эта задача состоит в нахождении веса функции «z». Для решения этой задачи достаточно разделить левую и правую части формулы (R.6) на квадрат СКО единицы веса «m2». В результате получим соотношение между обратным весом функции и обратными весами её не коррелированных аргументов:

. (Р.7)

Обратная задача.

Пусть z = f(x1, x2, …, xn) – произвольная функция случайного вектора, аргументы которого не коррелированны, а PZ – вес этой функции, который необходимо обеспечить, выполнив измерения X1nT = (x1, x2, …, xn) с неизвестными весами pi.

Уравнение P.7 содержит «n» неизвестных. Следовательно, оно имеет бесчисленное множество решений. Для выбора некоторого определённого варианта прибегают к дополнительным ограничениям, накладываемым на искомые неизвестные (веса pi).

1) Принцип равных весов:

pi = pj = p (P.8)

Решение (P.7) под условием (P.8) даёт такую формулу для равных весов «p»:

p = Pz* (P.9)

2) Принцип равных влияний:

(P.10)

Решение (P.7) под условием (P.10) даёт такую формулу для «pi»:

pi = n*Pz*. (P.12)

1.1.5.Обработка ряда прямых, некоррелированных, равноточных измерений одной величины.

Математическая обработка результатов измерений некоторой величины подразумевает решение трёх основных и нескольких вспомогательных задач. Основных задач три:

ü  нахождение НДЗ измеряемой величины;

ü  оценка точности (ОТ) измерений;

ü  ОТ НДЗ измеряемой величины.

Вспомогательные задачи связаны с построением доверительных границ для первой и второй основных задач, отбраковкой сомнительных результатов.

Выполним постановку основных задач, определённых выше.

Дано:

Х – реальное, объективно существующее значение измеряемой величины;

x1, x2, … , xn – ряд (результатов) измерений (простая выборка);

Х – случайная величина (СВ), представляющая собой вероятностную модель измерительной технологии;

– i-ый результат измерений – элемент спектра СВ «Х»;

E(X) – МО вероятностной модели – Х;

X = E(X) – условие отсутствия постоянной ошибки;

– ковариационная матрица измерений, отражающая некоррелированность и равноточность измерений;

Определить:

1) - НДЗ измеряемой величины;

2) - ОТ измерений;

3) - ОТ НДЗ измеряемой величины.

Решение:

1. Нахождение НДЗ измеряемой величины.

В условиях отсутствия постоянной ошибки δ, т. е. когда X = E(X), НДЗ измеряемой величины будет служить МНК-оценка МО СВ «Х», являющаяся параметром «a», для которого строится оценивающая функция (ОФ). Итак, == .

Построим ОФ для =, применив метод наименьших квадратов (МНК). Функционал МНК в данном случае будет иметь вид:

= min. (Q.1)

Необходимым условием существования данного экстремума является равенство нулю производной функционала Ψ по параметру :

. (Q.2)

Из (Q.2) следует

, (Q.3)

откуда получаем искомую МНК-оценку реального значения измеряемой величины в форме среднего арифметического:

= (Q.4)

Итак, НДЗ измеряемой величины является среднее арифметическое результатов прямых, некоррелированных, равноточных наблюдений.

2. ОТ измерений.

Оценка точности измерений заключается в нахождении оценки стандарта наблюдений, каковой служит выборочный стандарт «s», называемый в геодезии и астрономии средней квадратической ошибкой наблюдений:

= m . (Q.5)

Эта формула носит имя Бесселя, впервые получившего её.

3. ОТ НДЗ измеряемой величины.

Показателем точности среднего арифметического (НДЗ) является его средняя квадратическая ошибка, вывод выражения для которой опирается на формулу (R.6):

. (Q.6)

Дополнительным показателем точности среднего арифметического служит его вес, который равен числу наблюдений «n», если m = m, т. е.

. (Q.7)

1.1.6.Обработка ряда прямых, некоррелированных, неравноточных измерений одной величины.

Дано:

Х – реальное, объективно существующее значение измеряемой величины;

x1, x2, …, xn – ряд некоррелированных, неравноточных измерений;

р1, р2, …, рn – веса этих измерений;

– ковариационная матрица измерений, отражающая некоррелированность и неравноточность измерений;

Х – случайная величина (СВ), представляющая собой вероятностную модель измерительной технологии;

- i-ый результат измерений – элемент спектра СВ «Х»;

E(X) – МО вероятностной модели – Х;

E(X) = X – условие отсутствия постоянной ошибки;

- выражение i-ой дисперсии измерений через ДЕВ и вес i-ого измерения pi.

Найти: 1) - НДЗ измеряемой величины;

2) - ОТ измерений в форме ОТ ДЕВ;

3) - ОТ НДЗ измеряемой величины.

Решение:

1. Нахождение НДЗ измеряемой величины.

= = → Построим ОФ для =, вновь применив метод наименьших квадратов (МНК). Функционал МНК в данном случае будет учитывать веса наблюдений:

= min. (S.1)

→ (S.2)

→ (S.3)

= (S.4)

Итак, НДЗ измеряемой величины является среднее взвешенное (весовое) результатов прямых, некоррелированных, неравноточных наблюдений.

2. ОТ измерений.

Оценка точности измерений заключается в нахождении оценки стандарта единицы веса, каковой служит средняя квадратическая ошибка единицы веса:

= m . (S.5)

Эту формулу называют обобщенной формулой Бесселя.

3. ОТ НДЗ измеряемой величины.

Показателем точности среднего весового (НДЗ) является его средняя квадратическая ошибка, вывод выражения для которой так же опирается на формулы (R.6) и (Р.6):

. (S.6)

Из выражения (S.6), с учётом (Р.6) следует, что

. (S.7)

1.1.7.Дополнительные вопросы обработки рядов измерений одной величины.

1.1.7.1.  Доверительные интервалы.

Построим доверительные интервалы для реального значения измеряемой величины X, которое, по условию отсутствия постоянной ошибки (Т.8), совпадает с математическим ожиданием E(X), и для стандарта ряда измерений одной величины sX. Решим поставленную задачу на уровне значимости “a”.

С вероятностью g = 1 - a доверительный интервал для E(X) = X будет иметь вид:

P(xH < X = E(X) < xB) = g = 1 - a (S.8)

где

, (S.9)

а

. (S.10)

Здесь - значение среднего арифметического (Q.4) или среднего взвешенного (S.4); а - его СКО (Q.6) или (S.6) соответственно; - квантиль распределения Стьюдента с (n-1)-ой степенями свободы на уровне значимости «a».

С такой же вероятностью «g» доверительный интервал для стандарта измерений «sX», опираясь на его точечные оценки «m» (Q.5) или «m» (S.5), можно построить следующим образом:

. (S.11)

Нижняя и верхняя границы этого асимметричного интервала определяются с использованием c2-распределения:

* m (или m), (S.12)

* m (или m). (S.13)

1.1.7.2.  Отбраковка грубого измерения по материалам ряда равноточных измерений одной величины.

Отбраковка грубого измерения выполняется исходя из следующих предположений:

1)  грубое (экстремальное) измерение является элементом спектра альтернативной случайной величины XA, имеющей другое математическое ожидание, но такое же значение стандарта sX;

2)  экстремальное измерение является единственным в анализируемом ряду.

Учитывая указанные предположения, мы можем выдвинуть нулевую гипотезу о том, что экстремальный результат уклонился от среднего арифметического незнáчимо, т. е.

H0 = {E(vextr) = 0}. (S.14)

Альтернативная гипотеза

HA = {E(vextr) ≠ 0}, (S.15)

определяет абсолютное значение границы двухстороннего доверительного интервала, обуславливающее собой следующий тест:

, (S.16)

где

. (S.17)

Допустимое значение теста (S.16) – это квантиль распределения Стьюдента с (n-1)-ой степенями свободы на уровне значимости “a”:

tT = tn-1; a. (S.18)

Нулевая гипотеза (S.14) отвергается, когда tэ > tT, т. е. экстремальное значение xextr признаётся выпадающим из наблюдаемой ГС и должно быть отбраковано.

1.2.  Математическая обработка повторных измерений.

В практической деятельности часто приходится иметь дело с повторными измерениями, выполняемыми с целью контроля качества наблюдений, с целью мониторинга физического состояния объекта, с целью повышения точности окончательных результатов, а чаще всего с целью одновременного решения указанных и подобных этим задач. Такие наблюдения, естественно, разделены во времени. Если такое разделение незначительно, то мы в праве предположить, что наблюдаемые объекты не претерпели изменений своих геометрических параметров. Когда же повторные измерения значительно разделены во времени, мы не можем быть уверены в стабильности наблюдаемых параметров. Кроме того, технологии, использовавшиеся при первичных и повторных наблюдениях, могут отличаться по точности, продолжительности и/или по стоимости. Дополнительно отметим, что материалы первичных и повторных наблюдений могли быть подвергнуты на своём этапе МНК-опимизации (уравниванию).

Всё выше сказанное говорит о том, что проблема математической обработки повторных наблюдений может быть разбита на решение близких, но различных задач, акценты в которых будут варьироваться.

Основных вопросов будет три:

ü  нахождение наиболее достоверных значений (НДЗ) измеряемых величин;

ü  оценка точности (ОТ) измерений и проверка гипотезы (ПГ) о незнàчимости средней разности технологий первичных и повторных измерений;

ü  ОТ НДЗ измеряемых величин.

Для начала рассмотрим два простейших случая обработки и анализа некоррелированных повторных измерений, выполненных для «n» различных величин.

1.2.1.Математическая обработка двойных, некоррелированныхых, равноточных измерений «n» различных величин.

Выполним постановку задач, определённых выше.

Дано:

Числовая информация:

x1, x2, … , xn – ряд первичных измерений;

x´1, x´2, … , x´n – ряд повторных измерений тех же величин;

n – количество измеряемых величин.

Теоретические посылки:

Хi – реальные значения измеряемых величин; i = 1, 2, …, n;

Хi и Х΄i – случайные величины (СВ), представляющие собой вероятностные модели первичной и повторной измерительных технологий, некоррелированных между собой (= 0nn);

xiXi и xíXí - i-ые результаты первичных и повторных измерений, трактуемые как элементы спектров СВ Xi и Xí, каждая из которых является компонентом своего вектора «Хn1» или «Xn1́»;

E(Xi) и E(Xí) – МО вероятностных моделей Хi и Xí;