Теория математической обработки геодезических измерений (стр. 3 )

Измеряя различные характеристики абсолютного и взаимного положения ГТ и используя числовые данные, собранные ранее, мы получаем числовую модель (ЧМ) этого построения, которую в дальнейшем будем называть геопространственные данные (ГД). Совокупность ГД, наиболее достоверные значения которых предстоит оценить, имеет общий объём n единиц и образует вектор объективно существующих, но неизвестных, реальных значений своих элементов Yn1. Числовые значения ГД, полученные в процессе определения характеристик взаимного положения ГТ, образуют случайный вектор ГД yn1, для которого строится его ковариационная матрица

(Ky)nn = {Kij} = Knn, (K.1)

где Kij = E((yi – E(yi))*(yj – E(yj))) – корреляционный момент или ковариация i-го и j-го компонентов вектора yn1.

Не затрагивая фундаментальную проблему установления исходных геодезических дат и выбор систем отсчёта, будем полагать, что в нашем распоряжении имеется хотя бы одна опорная ГТ zd1, положение которой в П-В размерности d известно. Если число опорных ГТ равно s, то вектор координат этих точек будет содержать q = s * d элементов, неизвестные реальные значения которых могут быть представлены в виде вектора Zq1. Числовые значения этих величин zq1, полученные в ходе предшествовавших исследований и/или наблюдений, характеризуются соответствующей ковариационной матрицей

(Kz)qq. (K.2)

Число «p» вновь координируемых (определяемых) ГТ конкретного П-В обусловливает минимально необходимое количество измерений k = p * d, которые должны быть реализованы в ГП. Объективно существующие связи между элементами ГП позволяют сформировать его математическую модель (ММ). Такая модель обычно представляется либо в форме линейно независимых «условных уравнений связи» (УУС), либо в форме «параметрических уравнений связи» (ПУС), либо в форме «комбинированных уравнений связи (КУС)». Виды уравнений связи определяются топологией пространства, в котором производится координатизация.

Число линейно независимых УУС определяется «числом избыточных измерений» r = n – k. Количество ПУС равно количеству измерений n. Эти последние объединяются в систему с помощью вектора k линейно независимых параметров Xk1.

УУС – это неявные функции Fr1 реальных значений измеряемых величин Yn1 и координат опорных точек Zq1:

Fr1(YT1n; ZT1q) = 0r1, (K.3)

а ПУС – это явные функции реальных значений измеряемых величин Yn1 от параметров Xk1 и координат опорных точек Zq1:

Yn1 = Fn1(XT1k; ZT1q). (K.4)

В качестве линейно независимых параметров Xk1 может использоваться как часть компонентов вектора Yn1, так и другие элементы ГП, например, координаты ГТ, что более эффективно, так как определение координат ГТ – это и есть цель создания ГП, обеспечивающего координатизацию П-В. Реальные числовые значения параметров Xk1 подлежат определению. Традиционные алгоритмы математической обработки результатов измерений считают известными их приближённые значения xk1, которые полагаются неслучайными величинами. При этом формально обратная ковариационная матрица этого вектора принимается равной нулевой:

. (K.5)

Практически приближённые значения параметров xk1 вычисляют по некоторой части результатов измерений, что позволяет оценивать их ковариационную матрицу Kx, используя задействованные для этого измерения, а также их ковариационную матрицу.

Уравнения связи (K.3) и (K.4) – это математические модели двух фундаментальных способов оптимизации результатов измерений в геодезических построениях: коррелатного и параметрического.

3.1  Коррелатная версия МНК-оптимизации и оценки точности данных (Коррелатный способ уравнивания)

Математическая обработка геодезических измерений предусматривает решение трёх основных задач:

нахождение наиболее достоверных значений (НДЗ) измеряемых величин;

оценку точности измерений;

оценку точности НДЗ и функций от них.

Первая задача традиционно называется уравниванием измерений. В результате уравнивания, которое обычно выполняется по методу наименьших квадратов, получают математическую модель, максимально правдоподобную реальному объекту в том случае, когда результаты измерений не содержат постоянных ошибок. В современной литературе всё чаще встречается термин, объединяющий процесс уравнивания с ограничением, накладываемым на ММ. Этот термин звучит как МНК-оптимизация данных.

При наличии постоянных ошибок обычное применение метода наименьших квадратов, несмотря на его замечательные свойства, может оказаться не эффективным. Поэтому следует стремиться к ослаблению влияния систематических ошибок с помощью соответствующих измерительных технологий, применяемых в геодезических построениях и строгой математической обработки предварительных результатов.

Геодезические построения создаются с целью координатизации пространства. Выполняемые при этом измерения сопровождаются неопределенностями (погрешностями).

3.1  Постановка задачи

Пусть измерено «n» величин y1, y2, … , yn, вектор реальных значений которых выглядит следующим образом Y1nT = (Y1,…,Yn). Они образуют некоторую систему и связаны между собой линейно независимыми условными уравнениями связи (УУС):

Fr 1(YT1n; ZT1q) = 0r1 (K.3)

где r = n – k .

Результаты измерений yi (i = 1, 2, …, n) характеризуются некоторой ковариационной матрицей

, (K.6)

где диагональные элементы представляют собой оценки дисперсий (квадраты СКО) каждой величины, которые могут быть найдены следующим образом:

= = (K.7)

Здесь – среднее арифметическое i – ой величины, равное

= (K.8)

Корреляционные моменты (ковариации) Kij могут быть оценены по формуле

(K.9)

Классический алгоритм математической обработки геодезических измерений предполагает:

1) результаты измерений yi необходимо отягощены только случайными ошибками измерений и представляют собой элементы спектров соответствующих СВ Yi, т. е. yi Yi. Тот факт, что измерения свободны от постоянных систематических ошибок, моделируется условием совпадения математического ожидания СВ Yi и реального значения Yi измерявшейся величины:

E(Yi) = Yi ; (K.10)

2) Координаты опорных точек zq1 = Zq1 рассматриваются как безошибочные константы.

Резюмируя сказанное, сконцентрируем имеющуюся информацию.

Дано:

Проект ГП.

Схема, чертёж высотной или плановой геодезической сети.

Математическая модель ГП.

Fr1(YT1n; ZT1q) = 0r1 – линейно независимые УУС, где Yi и Zk – реальные значения измеряемых величин и исходных данных.

Числовые данные.

y1nT=(y1, y2, … yn) – вектор результатов измерений;

– ковариационная матрица измерений (стохастическое расширение математической модели);

zq1 = Zq1 – координаты опорных точек, полагаемые константами.

Теоретические посылки.

Y1nT=(Y1, Y2, … Yn) – вектор СВ Yi, являющихся вероятностными моделями измерений;

E(Yn1) = Yn1 – условие отсутствия постоянных систематических ошибок в измерениях;

– априорное значение масштабного показателя точности измерений.

Найти:

1) НДЗ (уравненные значения) измеряемых величин – Ỹn1=;

2) апостериорное значение показателя точности измерений – ;

3) апостериорные ковариационные матрицы НДЗ и функций от НДЗ : и .

Решение поставленных вопросов объёмно и займёт несколько параграфов.

3.1  Нахождение наиболее достоверных значений измеренныхвеличин (Уравнивание, оптимизация)

Представим вектор реальных значений измеряемых величин в виде суммы векторов измерений и малых поправок к ним:

Yn1 = yn1 + vn1. (K.11)

Поправки vn1 полагаем значительно мèньшими по модулю самих результатов измерений yn1, т. е. |vn1| << | yn1|. Такое предположение основывается на том, что геодезические измерения выполняются с относительными СКО порядка не ниже 10-3÷10-4.

При подстановке этих результатов в левые части УУС (K.3) получаем такой результат:

Fr1(yT1n + vT1n; ZT1q) = 0r1. (K.12)

Разложив функцию (K.12) в ряд Тейлора в окрестности точки yn1 и ограничившись только линейными членами, получим:

Fr1(yT1n; ZT1q) + {∂Fj/∂Yi}y*vn1 = Br n vn1 + Wr1 = 0r 1, (K.13)

где Br n – матрица коэффициентов линеаризованных УУС, представляющих собой частные производные условий Φj по измеряемым величинам Yi. Числовые значения производных находят по данным измерений yn1:

Br n = {∂Φj / ∂ Yi}y (K.14)

Невязки Wr1 = Fr1(yT1n; ZT1q) являются свободными членами уравнений (K.13). Число «r» линеаризованных УУС (K.13) меньше числа неизвестных поправок «n». Выдвинув требование линейной независимости УУС, мы вправе считать, что

rank(Br n) = r. (K.15)

В таком случае матрица Br n будет матрицей полного строчного ранга, а система (K.13) будет иметь бесчисленное множество решений.

Для выбора единственного решения на систему (K.13) накладывается МНК-ограничение:

Br n + Wr1 = 0r 1

(K.16)

Y = = min.

Решение УУС (K.13) с МНК-ограничением (K.16) начинается с составления функции Лагранжа (задача на условный экстремум):

, (K.17)

где Λr 1 – вектор неопределённых множителей Лагранжа, называемых коррелатами.

Далее, воспользовавшись необходимым условием существования экстремума (K.17), получаем систему уравнений

, (K.18)

решение которой выражает МНК-поправки в измерения через коррелаты:

. (K.19)

Выражение (K.19) называют коррелатным уравнением поправок (КУП). Подставляя его в линеаризованные УУС (K.13), получаем нормальные уравнения коррелат

Nr r*Lr1 – Wr1 = 0r1, (K.20)

коэффициенты которых определяются следующим образом:

Nr r = Br n Kn n BTn r. (K.21)

Решение нормальных уравнений (K.21), когда det(N) ¹ 0, позволяет найти корни системы – коррелаты:

Lr 1 = Nr r-1×Wr 1. (K.22)

Получив коррелаты, обращаемся к выражениям (K.19), с помощью которых находим МНК-поправки в результаты измерений:

. (K.19)

Окончательно вычисляем уравненные значения измеренных величин:

yn1 + . (K.23)

На этом вывод алгоритма МНК-оптимизации или «уравнивания» результатов измерений yn1 заканчивается.

Для решения задачи оценки точности измерений необходимо предварительно рассмотреть некоторые теоретические аспекты, связанные с числовыми характеристиками промежуточных и окончательных значений случайных векторов, задействованных в алгоритме коррелатной версии.

3.1  Статистические свойства векторов-оценивателей алгоритма коррелатной версии

Числовые характеристики случайных векторов, реализующих алгоритм коррелатной версии, – это их математические ожидания (МО) и ковариационные матрицы (КМ). Математические ожидания позволяют проверять гипотезу о несмещённости оценивающих функций (ОФ), каковыми являются полученные векторы алгоритма. Ковариационные матрицы содержат на диагоналях квадраты СКО компонентов векторов и позволяют судить об их точности.

Получаемые данные сведены в 1, при создании которой использовалась известная «Теорема о распространении ошибок». Эта «Теорема» имеет следующий вид:

KY = C KX CT, (K.24)

где Yn1 = Cnm×Xm1 – результат линейного преобразования Сn m исходного вектора Xm 1 с известной ковариационной матрицей KX в вектор Yn 1.

Первая строка Таблицы 1 – это исходные данные, то есть результаты измерений yn1, их ковариационная матрица Ky = K и условие отсутствия систематических ошибок в измерениях

E(yn1) = Yn1. (K.25)

Каждая последующая строка этой таблицы, начиная со второй, получается из предыдущей на основе формулы, определяющей исследуемый вектор, и теоремы (K.24).

Например, из линеаризованных условных уравнений (K.13) для вектора невязок, находящегося в третьей строке, имеем

Wr 1 = – Br n*vn 1. (K.26)

Во второй строке получено, что E(v) = 0, а Kv = K. Следовательно, математическое ожидание E(W) = E(–B*v) = – B*E(v) = 0, так как коэффициенты условных уравнений Br n не являются случайными величинами.

По теореме (K.24)

KW=(–B)×Kv×(–B)T= BKBT = N, (K.27)

то есть ковариационная матрица невязок – это матрица коэффициентов нормальных уравнений коррелат.

Подобным же образом получены все остальные строки Таблицы 1.

Особо отметим результаты, полученные в пятой и шестой строках. Тот факт, что E() = 0, говорит о смещённости МНК-поправок в измерения, так как E()≠v, т. е. МО ОФ (K.19) не равно оцениваемому параметру v. Напротив, соотношение E() = Y говорит о несмещённости ОФ уравненных значений измерений (K.23) поскольку здесь наблюдается равенство.

Результат третьей колонки шестой строки показывает, что после уравнивания каждая оптимизированная величина имеет мèньшую СКО, чем СКО её исходного значения: , т. е. .

1

№ №	Вектор	Математические ожидания	Ковариационные матрицы
1	2	3	4
1	yn1	E(y) = Y	Ky = K
2	vn1	E(v) = 0	Kv = K
3	Wr1	E(W) = 0	KW = N
4	Lr1	E(L) = 0	KL = N-1
5		E() = 0	=KBTN-1BK
6		E() = Y

Статистические свойства векторов-оценивателей коррелатной

версии МНК-оптимизации

3.1  Оценка точности измерений

Оценка точности измерений заключается в нахождении апостериорного значения m2 масштабного показателя точности (МПТ)

. (K.28)

Таким образом, мы полагаем, что m2 =

Априорное значение s02 МПТ полагается равным единице, то есть

H0 = {s2 = }. (K.29)

Предположение сделано на основе того, что МО (K.28) равно единице. Для доказательства воспользуемся понятием «следа» квадратной матрицы.

Найдём МО МПТ, опираясь на определение последнего (K.28):

. (K.30)

Истинное значение квадратичной формы vTK-1v не известно. Оно, естественно, будет заменено МНК-оценкой этой формы:

. (K.31)

Её математическое ожидание определяется аналогично:

. (K.32)

Апостериорное значение масштабного показателя точности измерений будет оцениваться следующим образом:

, (K.33)

так как его математическое ожидание тождественно равно единице:

. (K.34)

Практически дробь (K.34) будет отличаться от единицы. Естественно, в этих условиях необходимо проверить нулевую гипотезу о равенстве параметра s2 априорному значению:

. (K.35)

Нулевая гипотеза выдвигается против альтернативной:

. (K.36)

Гипотеза (K.35) проверяется с помощью теста

, (K.37)

который сопоставляется с теоретическим значением, представляющим собой двухсторонний доверительный интервал. Его границы – квантили распределения Пирсона с «r» степенями свободы:

, (K.38)

где

, а . (K.39)

Если cэ2 Ï cТ2, то нулевая гипотеза Н0 – отвергается; т. е. отличие от единицы (априорного значения) не случайно (грубые измерения, неточные исходные данные или какие-то другие причины). Рисунок К.1 иллюстрирует ситуацию.

Рисунок К.1. Плотность распределения Пирсона

3.1  Оценка точности уравненных измеренийи функций от них

Оценка точности уравненных измерений и функций от них заключается в построении соответствующих ковариационных матриц.

Априорная ковариационная матрица уравненных измерений выглядит следующим образом (см. шестую и пятую строки в третьей колонке Таблицы К.1):

, (K.40)

где

= K BT N-1 B K. (K.41)

Апостериорные значения этих матриц равны априорным, умноженным на оценку МПТ μ2:

и . (K.42)

СКО любого уравненного измерения и/или любой МНК-поправки определяется с помощью диагональных элементов матриц (K.42):

или . (K.43)

Для оцениваемых функций Fs1 = Fs1(Yn1), мы имеем уравненные значения

. (K.44)

Априорная ковариационная матрица таких функций равна:

. (K.45)

Переход к апостериорному значению прост:

. (K.46)

СКО уравненного значения некоторой функции Fp определяется с помощью соответствующего диагонального элемента матрицы (K.46):

. (K.47)

В заключение представим традиционный алгоритм коррелатной версии МНК-оптимизации и оценки точности геопространственных данных в форме укрупнённой блок-схемы, изображённой на 2.

Рисунок К2 – Коррелатная версия МНК-оптимизации, оценки точности данных и ковариации оптимизированных значений данных.

Поэтапная реализация коррелатной версии

1. Моделирование

Моделирование – важнейший, определяющий этап всей процедуры МНК-опимизации и оценки точности. Система УУС, моделирующих ГП, должна математически отображать связи, существующие между измеряемыми элементами: расстояниями, направлениями, углами, превышениями, вариациями ускорения силы тяжести и т. п.

Виды УУС различны и зависят от геометрии П-В, в котором создаётся ГП. Возможное множество УУС g превышает количество, линейно независимых УУС r. При этом УУС, как ММ, должны обеспечивать в исследуемом ГП:

а) единство координатной привязки (УУ абсцисс, ординат, высот и т. п.);

б) единство масштаба (УУ базисов, жёстких сторон, полюсов, «окон» в плановых сетях и т. п.);

в) единство ориентировки (УУ дирекционных углов, азимутов Лапласа, жёстких углов и т. п.);

г) геометрическую форму его элементов (УУ фигур, горизонта, накрест лежащих углов, замкнутых ходов и т. п.).

Необходимо отметить, что система УУС количественно ограничена числом r, а качественно допускает произвол в рамках одновременного обеспечения единств и форм.

Примеры:

а) УУ абсцисс для одиночного полигонометрического хода, имеющего угловую привязку, записывается следующим образом:

φX = ∑ΔXизм.–Xкон.+Xнач.= 0,

где

∑ΔXизм = s1*cos(αнач.+β1–π)+…+sk* cos(αнач.+β1+…+βp–k*π);