Учебно-методический комплекс «Линейная алгебра» (стр. 9 )

5.3.Тематический план курса для студентов заочной формы обучения

№ п/п	Раздел, темы	Количество часов
Всего	Аудиторных часов	Сам. работа
Всего	Лекции	Практ. . в актив. и интер форм
1	Тема №1. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.	24	2	1	1	22
2	Тема №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве	24	2	1	1 *	22
3	Тема №3. Комлексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго порядка	24	2	1	1	22
4	Тема №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.	24	2	1	1 *	22
5	Тема №5. Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица	25	3	1	2 *	22
6	Тема №6. Собственные векторы, собственные значения матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис	25	3	1	2	22
7	Тема №7. Прямые и плоскости в . Выпуклые множества в и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности второго порядка	25	4	2	2	21
Экзамен	9
Итого	180	18	8	10/4	153

Раздел 6. Рабочая программа учебной дисциплины.

Тема №1. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.

Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Понятия связанного и свободного вектора. Линейные операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Проекция вектора на ось, основные свойства проекций. Скалярное произведение векторов, свойства скалярного произведения, скалярное произведение векторов, заданных координатами. Косинус угла между векторами, направляющие косинусы.

Литература: [1], Т.1, С.5-10; [1], Т.1, С.14-24;

Тема №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве

Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Условие параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве. Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общие уравнения прямой. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с плоскостью.

Литература: [1], Т.1, С.31-45;

Тема №3. Комлексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго порядка

Комплексные числа и действия над ними: сложение, умножение, деление. Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа. Преобразование координат на плоскости: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка.

Литература: [1], Т.1, С.184-189; [1], Т.1, С.46-63;

Тема №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Матрицы: терминология и обозначения. Операции над матрицами: сложение, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Литература: [1], Т.1, С.75-90;

Тема №5. Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица.

Определители и их свойства: линейность, антисимметричность, транспонирование определителя, определитель произведения квадратных матриц. Вычисление определителя. Обратная матрица. Метод Жордана. Способ построения обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы через определитель.

Литература: [1], Т.1, С.90-110;

Тема №6. Собственные векторы, собственные значения матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис

N-мерные линейные векторные пространства: определение линейного пространства, простейшие свойства, примеры. Линейные подпространства. Свойства линейного подпространства, сумма и пересечение линейных подпространств, свойства пересечения и суммы линейных подпространств, линейная оболочка. Линейная зависимость. Базис, размерность. Замена базиса. Евклидовы пространства. Собственные векторы, собственные значения матрицы.

Литература: [1], Т.1, С.121-133, [1], Т.1, С.150-158;

Тема №7. Прямые и плоскости в . Выпуклые множества в и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности

Прямые и плоскости в . Выпуклые множества в и их свойства. Понятие квадратичной формы. Критерий знакоположительности квадратной формы. Поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности. Эллипсоид. Гиперболоиды. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид. Цилиндры и конус второго порядка.

Литература: [1], Т.1, С.162-167;

Раздел 7. Планы семинарских и практических занятий

7.1 Планы семинарских и практических занятий для студентов очной формы обучения

Практическое занятие по теме №1 . Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.

4 час

Цель занятия. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Понятия связанного и свободного вектора. Линейные операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число. Координаты и компоненты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Проекция вектора на ось, основные свойства проекций. Скалярное произведение векторов, свойства скалярного произведения, скалярное произведение векторов, заданных координатами. Косинус угла между векторами, направляющие косинусы.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по анализу векторов и действий над ними и скалярного произведения векторов.

С обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.

Методические материалы: разделы УМК №№ 1

Задания для самостоятельной работы.

1. Найти скалярное произведение векторов и .

2.Найти угол между векторами = (-1, 3) и = (2, 7).

3. Выяснить ортогональность векторов = (-2, 3) и = (4, 1).

Практикум тесты 1.1-1.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.6-15

Практическое занятие по теме №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве

4 час

Цель занятия. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве

Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Условие параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве. Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общие уравнения прямой. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с плоскостью.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по анализу уравнения прямой на плоскости и уравнения плоскости в пространстве с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.

Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,

Задания для самостоятельной работы.

1. Известны точка М(2, 5) на прямой m и на­правляющий вектор этой прямой. Найти кано­ническое уравнение прямой m.

2.Что можно сказать о взаимном расположе­нии прямых x + 2y – 3 = 0 и 5x + 10y – 2 = 0?

3.Что можно сказать о взаимном расположе­нии прямых 2x + 3y – 6 = 0 и 8x +12y +3 = 0?

Практикум тесты 1.6-1.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.6-15

Практическое занятие по теме №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго порядка

4 час

Цель занятия. Уравнения кривых второго порядка

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Комплексные числа и действия над ними: сложение, умножение, деление. Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа. Преобразование координат на плоскости: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по анализу многочленов и уравнений кривых второго порядка

я с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3

Задания для самостоятельной работы.

  . Найти координаты центра и радиус окружности

1.х2 + у2+ \6y-9 =0.

2.. Определить вид и расположение кривой

х2+2;и2-4х + 16>; = 0.

3..Составить уравнение параболы, проходящей через точки: а) (0; 0) и (—1; —3) симметрично относительно оси Ох; б) (0; 0) и.(2; —4) симметрично относительно оси Оу.

Практикум тесты 2.1-2.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.26-33

Практическое занятие по теме №4.* Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

6 час

Цель занятия. Операции над матрицами. Элементарные преобразования.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Матрицы: терминология и обозначения. Операции над матрицами: сложение, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по анализу операции над матрицами: с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4

Задания для самостоятельной работы.

1. Для матрицы А = найти матрицу 5А.

2.Транспонировать матрицу А =

3.Даны матрицы А = и В = . Найти произведения АВ, ВА.

Практикум тесты 2.6-2.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.81-90

Практическое занятие по теме №5 * Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица.

6 час

Цель занятия. Определители и их свойства Обратная матрица

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Определители и их свойства: линейность, антисимметричность, транспонирование определителя, определитель произведения квадратных матриц. Вычисление определителя. Обратная матрица. Метод Жордана. Способ построения обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы через определитель.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по анализу операции над определителями с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5

Задания для самостоятельной работы.

1.Вычислить определитель .

2.А = . Найти миноры M11, M32 и M13.

3.. Вычислить определитель .

Найти обратную матрицу для матрицы

4.A =

Практикум тесты 3.1-3.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

1], Т.1, С.76-80; [12], Т.1, С.101-110

Практическое занятие по теме №6. Собственные векторы, собственные значения матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис.

6 час

Цель занятия. Собственные векторы, собственные значения матрицы

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

N-мерные линейные векторные пространства: определение линейного пространства, простейшие свойства, примеры. Линейные подпространства. Свойства линейного подпространства, сумма и пересечение линейных подпространств, свойства пересечения и суммы линейных подпространств, линейная оболочка. Линейная зависимость. Базис, размерность. Замена базиса. Евклидовы пространства. Собственные векторы, собственные значения матрицы

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по анализу операции над собственными векторами и собственными значениями матриц, с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6

Задания для самостоятельной работы.

1.Найти собственные векторы и собст­венные значения линейного оператора, заданного матрицей .

2.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей

3.Найти собственные векторы и собствен­ные значения линейного оператора, заданного матрицей

Практикум тесты 3.6-3.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.115-125

Практическое занятие по теме №7. Прямые и плоскости в . Выпуклые множества в и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности

6 час

Цель занятия. Прямые и плоскости в .

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:.

Прямые и плоскости в . Выпуклые множества в и их свойства. Понятие квадратичной формы. Критерий знакоположительности квадратной формы

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по анализу прямых и плоскости в . с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7

Задания для самостоятельной работы.

1. Найти уравнение прямой, проходящей че­рез две данные точки М1(1,3) и М2(4, 5).

2. Найти расстояние от точки М0(2, 5) до прямой т, заданной уравнением

Зx + 7у - 2 = 0.

3. Известны точка М(2, 5) на прямой m и на­правляющий вектор этой прямой. Найти кано­ническое уравнение прямой m.

4.. Найти длину вектора х = (5, 1, 2, 3).

Практикум тесты 4.1-4.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

Т.1, С.68-75

7.2 Очно-заочная форма обучения

Практическое занятие по теме №1 . Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.

2час

Цель занятия. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Понятия связанного и свободного вектора. Линейные операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число. Координаты и компоненты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Проекция вектора на ось, основные свойства проекций. Скалярное произведение векторов, свойства скалярного произведения, скалярное произведение векторов, заданных координатами. Косинус угла между векторами, направляющие косинусы.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по анализу векторов и действий над ними и скалярного произведения векторов.

С обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.

Методические материалы: разделы УМК №№ 1

Задания для самостоятельной работы.

1. Найти скалярное произведение векторов и .

2. Найти угол между векторами = (-1, 3) и = (2, 7).

3. Выяснить ортогональность векторов = (-2, 3) и = (4, 1).

Практикум тесты 1.1-1.5

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.6-15

Практическое занятие по теме №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве

2 час

Цель занятия. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве

Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Условие параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве. Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общие уравнения прямой. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с плоскостью.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по анализу уравнения прямой на плоскости и уравнения плоскости в пространстве с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.

Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,

Задания для самостоятельной работы.

1. Известны точка М(2, 5) на прямой m и на­правляющий вектор этой прямой. Найти кано­ническое уравнение прямой m.

2. Что можно сказать о взаимном расположе­нии прямых x + 2y – 3 = 0 и 5x + 10y – 2 = 0?

3. Что можно сказать о взаимном расположе­нии прямых 2x + 3y – 6 = 0 и 8x +12y +3 = 0?

Практикум тесты 1.6-1.10

Рекомендуемая литература:

Основная литература

[1], Т.1, С.6-15

Практическое занятие по теме №3. Комлексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго порядка

2 час

Цель занятия. Уравнения кривых второго порядка

Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.

Содержание занятия вопросы для обсуждения:

Комплексные числа и действия над ними: сложение, умножение, деление. Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа. Преобразование координат на плоскости: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка.

Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов

практических задач по анализу многочленов и уравнениий кривых второго порядка

я с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3

Задания для самостоятельной работы.

Найти координаты центра и радиус окружности

1. х2 + у2+ \6y-9 =0.

2. Определить вид и расположение кривой

х2+2;и2-4х + 16>; = 0.