Вариант 1 (стр. 5 )

Уравнение регрессии в форме параболы 2-го порядка имеет следующий вид:

Нормальные уравнения метода наименьших квадратов для параболы 2-го порядка таковы:

Для решения этой системы уравнений составим таблицу:

Х	Y	Х2	У2	ХУ	Х3	Х4	УХ2
25	4	625	16	100	15625	390625	2500
35	6	1225	36	210	42875	1500625	7350
45	8	2025	64	360	91125	4100625	16200
55	10	3025	100	550	166375	9150625	30250
65	12	4225	144	780	274625		50700
75		5625			421875
∑ 300	40	16750	360	2000	1012500		107000

Подставив найденные параметры, получим следующую систему уравнений:

120а+300 b+16750с=40

300а+16750 b+1012500с=2000

16750а+1012500 b+с=107000

Решим данную систему уравнений методом Гаусса и получим:

а=-0,01

b=0,36

с=0

Подставив найденные значения коэффициентов в уравнение, увидим, что уравнение второго порядка преобразовалось в уравнение прямой:

у=-0,01+0,36х

Показательная функция имеет вид:

Такое соотношение преобразуется в линейное уравнение логарифмированием:

Сделаем замену Y = ln y; X = ln x. Получим линейную зависимость Y = A + b X. Найдем коэффициенты линии регрессии A и b.

lnx	lny	(Х-Хср)	(Х-Хср)2	(У-Уср)	(Х-Хср)(У-Уср)
3,22	1,39	-0,63	0,39	-0,62	0,39
3,56	1,79	-0,29	0,08	-0,22	0,06
3,81	2,08	-0,04	0,00	0,07	0,00
4,01	2,30	0,16	0,03	0,29	0,05
4,17	2,48	0,33	0,11	0,48	0,16
4,32		0,47	0,22		0
23,08	10,04	0,00	0,84	0,00	0,65

А=10,04 – 0,77*23,08=-7,73

Определяем a = eА=0,00045. Мы получили значение параметров функции y = axb.

у=0,00045х0,77

7. Итак, уравнение линейной регрессии имеет вид:

Y(x) = 2,5+0,11х

Уравнение регрессии в форме параболы 2-го порядка имеет следующий вид:

у=-0,01+0,36х

Уравнение показательной регрессии:

у=0,00045х0,77

Средняя ошибка аппроксимации:

Х	У	Уравнение линейное	Уравнение параболы	Показательное уравнение
Ух	Уi-Ух	А	Ух	Уi-Ух	А	Ух	Уi-Ух	А
25	4	5,25	-1,25	31,3	8,99	-4,99	124,75	0,0054	3,9946	99,87
35	6	6,35	-0,35	5,8	12,59	-6,59	109,83	0,0070	5,9930	99,88
45	8	7,45	0,55	6,9	16,19	-8,19	102,38	0,0084	7,9916	99,89
55	10	8,55	1,45	14,5	19,79	-9,79	97,90	0,0098	9,9902	99,90
65	12	9,65	2,35	19,6	23,39	-11,39	94,92	0,0112	11,9888	99,91
75		10,75		Аср=15,6			Аср=106,0			Аср= 99,9

Таким образом, наиболее точной моделью является уравнение линейной регрессии, т. к. при расчете у по данной модели значение средней ошибки аппроксимации наименьшее (15,6%).