Вариант 1 (стр. 1 )

Вариант 1

Задача 1.

1. Построить группированный статистический ряд.

2. Начертить полигон частот, гистограмму и кумулятивную кривую.

3. По кумулятивной кривой найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал (а;b), р(а<X<b).

4. Вычислить квартили, децили и перцентили.

5. Найти моду и медиану.

6. Вычислить среднюю арифметическую, дисперсию и среднее квадратическое отклонение двумя способами (по определению и методом моментом, а дисперсию – еще и по формуле разностей).

7. Определить коэффициент вариации.

8. Найти границы интервала, в котором с вероятностью γ=0,9973 находится математическое ожидание а. Отбор предположить повторным и бесповторным из генеральной совокупности объема N=150k, где k – номер варианта, умноженный на 10.

9. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия Пирсона при уровне значимости α=0,05.

Распределение затрат на 100 рублей продукции (тыс. руб.) по предприятиям хлопчатобумажной промышленности:

Интервал	96,3 - 97,3	97,3 - 98,3	98,3 - 99,3	99,3 - 100,3	100,3 - 101,3	101,3 - 102,3	102,3 - 103,3	103,3 - 104,3	104,3 - 105,3
Количество предприятий	3	3	12	12	24	18	17	4	2

p(98,4<X<101,2)

Решение

1. Для построения группированного статистического ряда определим середины заданных интервалов затрат на 100 руб. продукции:

Интервал	96,8	97,8	98,8	99,8	100,8	101,8	102,8	103,8	104,8
Количество предприятий	3	3	12	12	24	18	17	4	2

2. Для заданного распределения затрат построим полигон частот:

Для построения кумулятивной кривой составим следующую расчетную таблицу:

Интервал	96,8	97,8	98,8	99,8	100,8	101,8	102,8	103,8	104,8
Количество предприятий	3	3	12	12	24	18	17	4	2
Накопленная частота	3	6	18	30	54	72	89	93	95

3. По кумулятивной кривой найдем вероятность попадания случайной величины Х в интервал p(98,4<X<101,2).

Таким образом, p(98,4<X<101,2)=45 (60 – 15)

4. Квартили - значения признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Децили - варианты, делящие ранжированный ряд на десять равных частей. Перцентили - значения признака, делящие ряд на сто частей.

Второй квартиль равен медиане, а первый и третий исчисляются аналогично расчету медианы, только вместо медианного интервала берется для первого квартиля интервал, в котором находится варианта, отсекающая 1/4 численности частот, а для третьего квартиля - варианта, отсекающая 3/4 численности частот.

Q1 = xQ1 + i Q1 x (∑f/4 - S Q1-1) /f Q1

где xQ1 - начальное значение интервала;

i - величина интервала;

∑f - сумма частот ряда (численность ряда);

S Q1-1- сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих квартильному;

f Q1 - частота квартильного интервала.

Q1 = 97,3+1*(95/4 – 6)/3 = 103,2

Q2 = 101,03

Q3 = xQ3 + i Q3 x (∑f/4 - S Q3-1) /f Q3

Q3 = 103,3+1*(95/4 – 89)/4 = 87 тыс. руб.

Аналогичным способом рассчитаем децили:

D1 = 96,3+(95/10 – 0)/3 = 99,5

D2 = 97,3+(9,5 – 3)/3 = 99,5

D3 = 98,3+(9,5 – 6)/12 = 98,6

D4 = 98,6

D5 = 99,4

D6 = 98,8

D7 = 98,6

D8 = 83,4

D9 = 62,5

Для расчета перцентилей воспользуемся пакетом «Анализ данных» Microsoft Excel.

Полученные данные представлены в таблице:

Интервал	Частота	Процент
104,8	24	100,00%
103,8	18	87,50%
102,8	17	75,00%
101,8	12	50,00%
100,8	12	50,00%
99,8	4	37,50%
98,8	3	12,50%
97,8	3	12,50%
96,8	2	0,00%

5. Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. В нашем ряду модой является сумма затрат, наиболее часто встречающаяся среди предприятий. Это затраты 100,8 тыс. руб.

Формула для исчисления медианы для интервального вариационного ряда имеет вид:

Ме = xМе + iМе х (∑f/2 - SMe - 1) / fMe

где хМе - начальное значение медианного интервала;

iМе - величина медианного интервала;

∑f - сумма частот ряда (численность ряда);

SMe - 1 - сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

fMe - частота медианного интервала.

Ме = 100,3+1*(95/2 – 30)/24 = 101,03

6. Средняя арифметическая для равных интервалов определяется с помощью весов:

Середина интервала	96,8	97,8	98,8	99,8	100,8	101,8	102,8	103,8	104,8	Итого
Количество предприятий	3	3	12	12	24	18	17	4	2	95
Произведение признака на частоту	290,4	293,4	1185,6	1197,6	2419,2	1832,4	1747,6	415,2	209,6	9591

Средняя сумма затрат по предприятиям составит:

хср = (∑xf) / ∑f

х	х1(х – 100,8)	f (в% к итогу)	х1 f
96,8	-4	3	-12
97,8	-3	3	-9
98,8	-2	13	-26
99,8	-1	13	-13
100,8	0	25	0
101,8	1	19	19
102,8	2	18	36
103,8	3	4	12
104,8	4	2	8
Итого		100	15

хср = 9591/95 = 101

Среднюю арифметическую по методу моментов определим путем вычитания из каждого значения признака его наиболее часто встречающуюся величину (в нашем случае это 100,8):

Среднюю арифметическую из этих новых вариант называют моментом первого порядка и выражают формулой:

m1 = (∑x1f) /∑f=15/100=0,15

Чтобы определить величину средней арифметической, нужно величину момента первого порядка умножить на величину интервала, (в нашем случае на 1) и прибавить к полученному произведению величину варианты, которую вычитали:

хср = i m1 +А= 1x0,15 + 100,8 = 100,95.

Для расчета дисперсии используют следующую формулу:

σ2 = (∑ (х - хср) 2 f) / ∑f,

Для определения дисперсии таким способом составим расчетную таблицу:

х	у	х-хср	(х-хср)2	(х-хср)2*у
96,8	3	-4,2	17,64	52,92
97,8	3	-3,2	10,24	30,72
98,8	12	-2,2	4,84	58,08
99,8	12	-1,2	1,44	17,28
100,8	24	-0,2	0,04	0,96
101,8	18	0,8	0,64	11,52
102,8	17	1,8	3,24	55,08
103,8	4	2,8	7,84	31,36
104,8	2	3,8	14,44	28,88
Итого	95		60,36	286,8

σ2 = 286,8/95 = 3,0189