Геометрия. Учебно-методический комплекс дисциплины (стр. 8 )

3.  Через точку касания двух окружностей проведены две секущие, пересекающие первую окружность в точках А и В, вторую – в точках С и D. Докажите, что АВ || CD.

4.  Постройте прямоугольный треугольник по отношению катетов , где m и n – данные отрезки, и гипотенузе.

ВАРИАНТ № 2

1.  Пользуясь определением гомотетии, найдите прообраз точки , если центр гомотетии, коэффициент которой равен (-3).

2.  Постройте образ угла АВС в гомотетии с центром S и коэффициентом (m, n – данные отрезки).

3.  ABCD – параллелограмм. Через вершину С проведена прямая, параллельная диагонали BD и пересекающая продолжения сторон АВ и АD в точках N и К. Докажите, что точка С – середина отрезка NK.

4.  Постройте равнобедренный треугольник по углу при вершине и сумме боковой стороны и основания.

ВАРИАНТ №3

1.  Пользуясь определением гомотетии, найдите ее центр, если коэффициент гомотетии равен (-2), а и пара соответственных точек.

2.  Постройте образ окружности в гомотетии, центр которой – внутренняя точка окружности, а (m, n – данные отрезки).

3.  Каждая из диагоналей квадрата разделена на три равные части. Докажите, что точки деления являются вершинами квадрата и найдите отношение площадей данного квадрата и полученного.

4.  Постройте прямоугольный треугольник, если дан один из его острых углов и биссектриса, проведенная из вершины прямого угла.

ВАРИАНТ №4

1.  Пользуясь определением гомотетии, найдите ее центр, если коэффициент гомотетии равен 5, а и пара соответственных точек.

2.  Постройте образ ромба в гомотетии, центр которой – точка пересечения диагоналей ромба, а (m, n – данные отрезки).

3.  Пусть Р – произвольная точка плоскости, точки, симметричные точке Р относительно середин сторон ВС, СА, АВ треугольника АВС соответственно. Докажите, что отрезки пересекаются в одной точке.

4.  Постройте треугольник по двум углам и радиусу описанной окружности.

Индивидуальное домашнее задание № 1

Родственное преобразование задано уравнением оси родства в аффинной системе координат. Точка М переходит в точку в данном родстве.

В аффинной системе координат построить ось родства, точки М и . Построить образы точек . Выделить реперы R и . Определить род аффинного преобразования. Определить вид родства. Записать координатные формулы этого аффинного преобразования. Определить координаты точки и координаты образов векторов и в репере R. x+2y-2=0, M(1; -2), M1(3;2) 3x-y+1=0, M(1; -2), M1(0;4) 2x+y+3=0, M(1; 0), M1(0;1) 3x-y+6=0, M(2; -1), M1(3;2) x+y-3=0, M(-1; 0), M1(3;4) 2x+y-4=0, M(-1; 1), M1(3;2) 2x+y+4=0, M(1; 1), M1(2;-1) x-2y-2=0, M(-1; 1), M1(1;2) x+2y+2=0, M(2; -1), M1(0;-2) 3x+y+6=0, M(1; 0), M1(0;-1) 3x-y-6=0, M(0; -1), M1(3;-2) x+y-2=0, M(-1; 1), M1(-2;2) x+y+2=0, M(2; 1), M1(0;-7) x-y+2=0, M(-1; 0), M1(0;4) x+y-1=0, M(-2; 0), M1(0;-2) x+y+1=0, M(1; -1), M1(-2;2) x-y-1=0, M(1; 1), M1(0;3) x-y+1=0, M(1; 0), M1(0;2) 2x+y=0, M(-1; 0), M1(0;2) 2x-y=0, M(2; 0), M1(0;2) x+y-2=0, M(2; -1), M1(3;1)

МОДУЛЬ № 5 «ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ВАРИАНТ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

ЗАДАЧА 1. Прямые m и n пересекаются в несобственной точке Р¥. Точка Q не принадлежит прямым m и n. Пользуясь только линейкой проведите прямую, проходящую через точки Q и Р¥.

ЗАДАЧА 2. Параллелограмм MNKF вписан в параллелограмм АВСД. Докажите, что центры параллелограммов совпадают.

ВАРИАНТ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

ЗАДАЧА 1. Задайте проективное отображение точек прямой на прямые пучка. Выбрав произвольно точку прямой, постройте соответствующую ей прямую пучка.

ЗАДАЧА 2. Задайте проективное отображение пучка в себя. Выбрав произвольно прямую пучка, постройте соответственную ей прямую.

ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

ЗАДАЧА 1. Точки А, В, С, Д, Е, F расположены на прямой так, что АВ=ВС=СД=ДЕ=ЕF. Найдите: a) (CF, BE), б) (ДА, EF).

ЗАДАЧА 2. Прямые а, b, c принадлежат одному пучку. Постройте прямую d этого пучка, если (bd, ca)=-1.

ЗАДАЧА 3. Точка М – середина отрезка РЕ. Пользуясь только линейкой, проведите через точку N, не принадлежащую прямой РЕ, прямую, параллельную РЕ.

ЗАДАЧА 4. Задайте гомологию осью, центром и парой соответственных точек. Постройте образ несобственной прямой.

ЗАДАЧА 5. Гомология задана осью, центром и парой соответственных точек. На двух данных прямых а и b найдите пару соответственных точек.

ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №2

ЗАДАЧА 1. Даны кривая второго порядка и точка М, не принадлежащая этой кривой. Постройте поляру точки М, пользуясь определением № 1 поляры.

ЗАДАЧА 2. Даны кривая второго порядка и прямая l. Постройте полюс прямой l.

ЗАДАЧА 3. Дана кривая второго порядка и точка, принадлежащая этой кривой. Пользуясь только линейкой, проведите касательную к данной кривой, проходящую через данную точку.

ЗАДАЧА 4. Овальная линия задана пятью точками общего положения. Используя теорему Паскаля (предельный случай), построить касательную в одной из данных точек.

ЗАДАЧА 5 Овальная линия задана пятью касательными. Используя теорему Брианшона, построить шестую касательную.

МОДУЛЬ № 6 «СИСТЕМЫ АКСИОМ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ»

Контрольная работа № 1

I. Докажите эквивалентность аксиомы параллельности следующему утверждению.

I.1. Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла этой окружности, если они опираются на одну дугу.

I.2. Для любых не пересекающихся прямых, лежащих в одной плоскости, существует общий перпендикуляр.

I.3. Если прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, то для любых точек A и B,где Aa, Bb, середина отрезка AB одинаково удалена от данных прямых.

I.4. Медиана, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы.

II. На плоскости Лобачевского

II.1. В треугольнике внешние углы в разных вершинах равны , , . Сравните сумму углов S=++ с величиной 2.

В пучке параллельных прямых построено 2 различных орицикла. Могут ли они иметь общие точки?

II.2. Даны ΔABC и ΔA1B1C1. A= A1, B= B1, AB>A1B1. Сравните С и С1.

Пусть дана эквидистанта a1 прямой а. Точка A1a1, Aa, AA1 a. Через середину отрезка AA1 проведена перпендикулярная к нему прямая b. Имеет ли прямая b общие точки с эквидистантой a1?

II.3. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки A1, B1, C1, D1. Сравните суммы углов четырехугольников ABCD и A1B1C1D1.

Для некоторого пучка параллельных прямых построен орицикл. Определяется ли пучок параллельных прямых этим орициклом?

II.4. На сторонах треугольника ABC взяты точки A1, B1, C1,. Сравните суммы углов треугольников ABC и A1B1C1.

Эквидистанта a1 прямой а совпадает с эквидистантой b прямой b1. Совпадают ли прямые a и b или могут быть различными?

III. На модели Кели-Клейна плоскости Лобачевского

III.1. задать треугольник, провести в нем медианы.

III.2. Задать треугольник и построить его биссектрисы.

III.3. Построить серединный перпендикуляр к данному отрезку.

III.4. Задать две сверхпараллельные прямые и построить их общий перпендикуляр.

Самостоятельная работа № 1

Вариант №1

Изучить и сопоставить аксиоматику школьного курса геометрии по каждому из трех учебников:

1)  и др. Геометрия 7-9, 10-11 (последние издания);

2)  и др. Геометрия 7-9, 10-11 (последние издания);

3)  . Геометрия 7-11.

2.  Изучить и провести сопоставительный анализ доказательств теорем (по выбору) в каждом из указанных учебников (например: теорема Пифагора, признаки равенства треугольников и т. д.). Итоги сравнительного анализа кратко изложить в заключении (в пределах 1 стр.).

Вариант №2

Изучить изложение темы «Площадь» по каждому из трех учебников:

1)  и др. Геометрия 7-9, 10-11 (последние издания);

2)  и др. Геометрия 7-9, 10-11 (последние издания);

3)  . Геометрия 7-11.

Составить план изучения темы. Изучить и законспектировать доказательство теоремы о площади прямоугольника (квадрата).

Итоги сравнительного анализа кратко изложить в заключении (в пределах 1 стр.).

МОДУЛЬ № 7 «ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ»

Домашняя контрольная работа №1

Текст задания. Кривая задана своим векторным уравнением r=r(t), точка P принадлежит линии. В точке P найти:

1.  Уравнение касательной;

2.  Уравнение бинормали;

3.  Уравнение главной нормали;

4.  Уравнение соприкасающейся плоскости;

5.  Уравнение нормальной плоскости;

6.  Уравнение спрямляющей плоскости;

7.  Координаты базисных векторов естественного трёхгранника;

8.  Кривизну;

9.  Кручение.

10 вариантов задания:

1.  , P(2,0,1);

2.  , P;

3.  , P;

4.  , P;

5.  , P(1,1,0);

6.  , P(1,0,0);

7.  , P;

8.  , P(0,0,1);

9.  , P(1,1,5);

10.  , P(1,3,2).

Пример выполнения контрольной работы:

I. Пусть винтовая линия задана векторным уравнением

r(t)=(acos(t), asin(t), bt).

Легко проверить, что точка Р (её координаты) соответствует параметру t=0.

Найдем r`(0); r``(0); r```(0): r`(0)=(0, a, b); r``(0)=(-a, 0, 0); r```(0)=(0, - a, 0).

Удобно сразу найти координаты направляющих векторов бинормали и главной нормали: r`(0) x r``(0)=(0, - ab, a2 )

и (r`(0) x r``(0)) x r`(0)=(-a3 –ab2 , 0, 0).

Теперь без труда можно записать уравнения ребер и граней естественного трехгранника.
1.Уравнения касательной: ;

2.Уравнение бинормали: ;

3.Уравнение главной нормали: ;

4.Уравнение соприкасающейся плоскости: ;

5.Уравнение нормальной плоскости: ;

6.Уравнение спрямляющей плоскости: ;

7.Так как и ,

то ; ;

;

8.  Кривизна кривой:

;

9.  Кручение кривой: .

Домашняя контрольная работа №2

Текст задания. Поверхность задана своим векторным уравнением

r = r(u, v), точка P принадлежит :

а) Найти криволинейные координаты точки P.

б) Доказать, что в окрестности точки P поверхность гладкая.

В точке P найти:

в) Уравнение касательной плоскости.

г) Уравнение нормали.

д) Коэффициенты первой квадратичной формы.

е) Угол между u и v линиями.

ж) Коэффициенты второй квадратичной формы.

з) Нормальную кривизну в направлении u линии и v линии.

и) Полную и среднюю кривизны.

к) Определить тип точки P.

10 вариантов:

1.  ; P (2; 0; 2).

2.  , u > 0; P (1; 1; 1).

3.  ; P (1; 1; 2).

4.  ; P (6; 6; 4).

5.  ; P (1; 0; 1).

6.  ; P (1; 1; 1).

7.  ; P (2; 0; 2).

8.  ; P (1; 2; 1).

9.  ; P (1; 0; 1).

10.  ; P (1; 0; 0).

Пример выполнения контрольной работы:

I. Пусть поверхность задана векторным уравнением , точка P .

а) Найдем криволинейные коорданаты точки P.

Решая систему: , находим u=1; v=1.

б) Поверхность в окрестности точки P гладкая, так как все функции ; и имеют непрерывные частные производные по u и v в точке P. Кроме того, векторы и неколлинеарны.

в) Уравнение касательной плоскости.

Найдем векторное произведение векторов и :

. Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

.

Следовательно: .

г) Уравнение нормали: .

д) Найдем коэффициент первой квадратичной формы в точке P:

е) Найдем косинус угла между u и v линиями в точке P.

.

ж) Для нахождения коэффициентов второй квадратичной формы найдем

, отсюда

так как , то

; ; .

з) Нормальные кривизны в направлении u и v линий равны:

; .

и) Найдем среднюю и полную кривизны.

; .

к) Точка P гиперболическая, так как полная кривизна K<0.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

Модуль 1

«ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ»

13.  Задачи на построение. Аксиомы циркуля и линейки. Основные этапы решения задач на построение. Пример: к данной окружности провести касательную, проходящую через данную точку.

14.  Решение задач на построение методом пересечения фигур. Пример: в данный угол вписать окружность данного радиуса.

15.  Множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом (анализ, построение, доказательство).

16.  Алгебраический метод решения задач на построение. Пример: построить прямую, параллельную стороне данного треугольника так, чтобы она разделила данный треугольник на две равновеликие фигуры.

17.  Основные построения отрезков, заданных формулами.

18.  Золотое сечение отрезка.

19.  Построение правильного десятиугольника (анализ, построение).

20.  Построение правильного пятиугольника (анализ, построение, доказательство).

21.  Примеры задач, неразрешимых циркулем и линейкой: квадратура круга, удвоение куба, трисекция угла. Решения этих задач другими средствами.

22.  Медиана треугольника (определение, свойства).

23.  Биссектриса треугольника (определение, свойства).

24.  Высота треугольника (определение, свойства).

25.  Теорема синусов.

26.  Теорема косинусов.

27.  Параллелограмм (определение, свойства, признаки).

28.  Ромб (определение, свойства, признаки).

29.  Прямоугольник (определение, свойства, признаки).

30.  Квадрат (определение, свойства, признаки).

31.  Основные сведения об окружности (свойства углов и отрезков касательных и хорд).

32.  Вписанная и описанная окружность около треугольника.

33.  Вписанная и описанная окружность около четырехугольника.

34.  Аксиомы площади. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции.

35.  Равновеликость, равносоставленность. Теорема Бояи-Гервина.

Модуль 2

«АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

1.  Вектор. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание векторов, умножение вектора на число).

2.  Линейная зависимость (не зависимость) векторов.

3.  Векторные пространства. Базисы векторных пространств. Координаты вектора в базисе. Линейные операции над векторами в координатах.

4.  Ортонормированный базис. Длина вектора в ортонормированном базисе.

5.  Скалярное произведение векторов.

6.  Аффинный репер. Простое отношение трех точек.

7.  Уравнение линии. Аналитическое задание геометрических фигур.

8.  Прямая линия на плоскости в аффинной системе координат. Параметрические, каноническое и общее уравнения прямой. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

9.  Прямая в прямоугольной декартовой системе координат. Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми. Угловой коэффициент прямой.

10.  Линии второго порядка. Окружность. Каноническое и параметрические уравнения окружности.

11.  Эллипс. Каноническое уравнение эллипса. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению.

12.  Сопряженные диаметры эллипса. Построение сопряженных диаметров эллипса.

13.  Параметрические уравнения эллипса. Построение эллипса по его осям. Эксцентриситет эллипса.

14.  Гипербола. Каноническое уравнение. Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению.

15.  Построение гиперболы по ее каноническому уравнению и по точкам. Эксцентриситет гиперболы.

16.  Парабола. Каноническое уравнение. Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению. Построение параболы по точкам.

17.  Формулы перехода от одной системы координат к другой. Приведение уравнения линии второго порядка к каноничекому виду.

Модуль 3

«ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ»

1.  Параллельное проектирование (определение, свойства).

2.  Изображение плоских фигур в пространстве. Пример.

3.  Изображение окружности. Пример.

4.  Изображение пространственных фигур. Примеры.

5.  Изображение сферы.

6.  Правильные многогранники: правильный тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

7.  Эйлерова характеристика для многогранников (т. Декарта-Эйлера, т. Эйлера).

8.  Объемы многогранников: призмы, пирамиды, усеченной пирамиды.

9.  Объемы тел вращения: цилиндра, конуса, сферы.

10.  Векторное произведение двух векторов (определение, свойства).

11.  Смешанное произведение векторов (определение, свойства).

12.  Уравнения плоскости: каноническое, параметрические, уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором, общее уравнение.

13.  Неполные уравнения плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей, заданных общими уравнениями.

14.  Расстояние от точки до плоскости.

15.  Угол между двумя плоскостями.

16.  Уравнения прямой в пространстве: канонические, параметрические. Прямая, как пересечение двух плоскостей.

17.  Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости.

18.  Расстояние от точки до прямой, расстояние между скрещивающимися прямыми.

19.  Угол между прямой и плоскостью.

20.  Уравнения сферы: каноническое, параметрические.

21.  Цилиндрические поверхности.

22.  Конические поверхности.

23.  Поверхности вращения. Поверхности вращения второго порядка: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.

Модуль 4

«ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ»

24.  Осевая симметрия, поворот, параллельный перенос.

25.  Движения плоскости. Свойства движений. Группа движений плоскости.

26.  Представление движений в виде композиции осевых симметрий.

27.  Классификация движений.

28.  Аналитическое задание движений.

29.  Симметрии фигур. Свойства группы симметрий ограниченной фигуры. Группа симметрий квадрата.

30.  Подобие плоскости. Свойства подобия. Группа подобий плоскости.

31.  Аналитическое задание подобия.

32.  Гомотетия, свойства гомотетии. Построение соответственных точек в гомотетии.

33.  Аналитическое задание гомотетии.

34.  Аффинные преобразования плоскости. Свойства аффинных преобразований. Группа аффинных преобразований плоскости.

35.  Задание аффинного преобразования плоскости.

36.  Родство. Свойства родства. Построение соответственных точек в родстве.

37.  Инверсия. Свойства инверсии. Построение соответственных точек в инверсии.

38.  Инверсия прямой, окружности.

39.  Конформное свойство инверсии. Метрическое свойство инверсии.

40.  Аналитическое задание инверсии.

Модуль 5

«ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

1. Проективная плоскость, модели проективных плоскостей.

2. Координаты точек на прямой и плоскости, условие коллинеарности трех точек. Уравнение прямой.

3. Принцип двойственности. Теорема Дезарга, обратная теорема.

4. Сложное отношение четырех точек прямой и четырех прямых пучка.

5. Гармонические четвёрки точек и прямых. Гармонические свойства полного четырёхвершинника.

6. Проективные преобразования проективной плоскости, свойства проективных преобразований.

7. Гомология. Представление проективного преобразования в виде композиции гомологий.

8. Проективные и перспективные отображения прямых.

9. Проективные и перспективные отображения пучков.

10. Линии второго порядка на проективной плоскости, пересечение с прямой, касательные.

11. Сопряжённость точек. Полюс и поляра.

12. Классификация линий второго порядка.

13. Проективное определение линий второго порядка. Теорема Штейнера.

14. Свойства шестивершинника, вписанного в овальную линию второго порядка. Теорема Паскаля.

15. Свойства шестивершинника, описанного около овальной линии второго порядка. Теорема Брианшона.

16. Геометрия на проективной плоскости с фиксированной прямой.

ЗАДАЧИ К ЭКЗАМЕНУ

1. Используя теорему Дезарга, доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Используя теорему Дезарга, доказать, что если противоположные вершины параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго, то оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.

3. С помощью одной линейки разделить отрезок пополам, если задана прямая, параллельная этому отрезку.

4. С помощью одной линейки построить четвёртую гармоническую точку к трём данным точкам.

5. Гомология задана центром, осью и парой соответственных точек. Найти образ некоторой точки.

6. Проективное отображение точек одной прямой на точки другой прямой задано тремя парами соответственных точек. Найти образ четвёртой точки.

7. Проективное отображение прямых одного пучка на прямые другого пучка задано тремя парами соответственных прямых. Найти образ четвёртой прямой.

8. Построить поляру для некоторой точки.

9. Построить касательную к овальной линии второго порядка.

10. Построить полюс для некоторой прямой.

11. Овальная линия задана пятью точками общего положения. Используя теорему Паскаля, построить шестую точку линии.

12. Овальная линия задана пятью точками общего положения. Используя теорему Паскаля (предельный случай), построить касательную в одной из данных точек.

13. Овальная линия задана тремя неколлинеарными точками и двумя касательными в двух из них. Используя теорему Паскаля (предельный случай), построить касательную в третьей точке.

14. Овальная линия задана пятью касательными. Используя теорему Брианшона, построить шестую касательную.

15. Овальная линия задана пятью касательными. Используя теорему Брианшона (предельный случай), построить точку касания одной из них.

16. Используя проективную модель аффинной плоскости доказать, что в параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Модуль 6

«СИСТЕМЫ АКСИОМ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ»

1. О логическом построении геометрии. Требования к системе аксиом.

2. «Начала» Евклида. Аксиомы и постулаты, простейшие следствия.

3. Развитие аксиоматического метода. Система аксиом евклидовой геометрии . Аксиомы планиметрии, следствия.

4. Аксиомы стереометрии системы аксиом школьного курса геометрии, следствия.

5. Система аксиом Вейля евклидова пространства, простейшие следствия.

6. Прямая и плоскость в пространстве.

7. Движения плоскости и пространства, непротиворечивость вейлевской аксиоматики.

8. Геометрия Лобачевского. Аксиома Лобачевского, треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского.

Модуль 7

«ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ»

1. Элементы топологии в элементарной геометрии. Линии и поверхности в школьном курсе геометрии.

2. Параметрические задания линий, плоские линии в школьном курсе геометрии.

3. Пространственные линии, понятие гладкой линии, примеры. Винтовая линия.

4. Касательная к линии, уравнение касательной. Решение задач на нахождение касательных к плоским и пространственным линиям.

5. Главная нормаль и бинормаль к линии, уравнения главной нормали и бинормали.

6. Трехгранник Френе. Уравнения ребер и граней трехгранника Френе.

7. Параметрические задания поверхностей, примеры, гладкие поверхности

8. Гладкие поверхности в школьном курсе геометрии.

9. Винтовая поверхность, линии на поверхности.

10. Касательная плоскость к поверхности, нормаль.

11. Первая квадратичная форма поверхности, длина дуги гладкой линии на гладкой поверхности.

12. Угол между гладкими линиями на гладкой поверхности.

13. Площадь фрагмента поверхности, вычисление площади с помощью коэффициентов первой квадратичной формы.