Геометрия. Учебно-методический комплекс дисциплины (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В. П. АСТАФЬЕВА»

Кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания

Геометрия

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ

Специальность: 050201.65 «Математика», специализация «Использование информатики в обучении математике»

Квалификация специалиста: учитель математики

КРАСНОЯРСК 2011

УМКД составлен:

ст. преподаватель

УМКД утвержден:

на заседании кафедры геометрии и методики ее преподавания

«6» марта 2010 г., протокол

Заведующий кафедрой

Одобрено научно-методическим советом специальности «Математика»

« » апреля 2010 г.

Председатель НМСС _______________________

лист внесения изменений

Дополнения и изменения рабочей программы на 20___ /20___ учебный год

В рабочую программу вносятся следующие изменения:

2.Актуализирован титульный лист в связи с изменением в 2011 г. наименования учредителя вуза.

3. Обновлена карта литературного обеспечения

Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания "___"______________ 20___г.

Внесенные изменения утверждаю:

Заведующий кафедрой

Декан/Директор

"_____"___________ 20__г.

Протокол согласования рабочей программы дисциплины «Геометрия» с другими дисциплинами специальности 050201.65 «Математика», специализация «ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАТИКИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ»

на 20___/___ учебный год

Наименование дисциплин, изучение которых опирается на данную дисциплину	Кафедра	Предложения об изменениях в пропорциях материала, порядка изложения и т. д.	Принятое решение (протокол №, дата) кафедрой, разработавшей программу
Элементарная математика	Алгебры, геометрии и методики их преподавания	Не поступали	-
Математика	Математического анализа и МОМ в вузе / Алгебры, геометрии и методики их преподавания	Не поступали	-
Проективная геометрия	Алгебры, геометрии и методики их преподавания	Не поступали	-
Основания геометрии	Алгебры, геометрии и методики их преподавания	Не поступали	-

Оглавление

1.Пояснительная записка

2.Рабочая программа дисциплины

2.1.Выдержка из стандарта

2.2.Введение

2.3.Рабочая модульная программа

2.4.Учебно-методическая карта дисциплины

2.5.Карта литературного обеспечения

2.6.Технологическая карта учебных достижений студента

3.Банк контрольных заданий и вопросов

4.Вопросы к экзамену

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Учебно-методический комплекс дисциплины (УМКД) «Геометрия» для студентов заочной формы обучения по специальности 050201.65 «Математика» со специализацией «Использование информатики в обучении математике» состоит из следующих элементов:

1.Рабочей программы дисциплины, включающей в себя основное её содержание и учебные ресурсы: литературное обеспечение, мультимедиа и электронные ресурсы.

2.Технологической карты учебных достижений студентов.

3.Банка контрольных заданий и вопросов по дисциплине «Геометрия», который представлен различными тестами, контрольными и самостоятельными работами.

4.Вопросов к экзамену, который является итоговым контролем освоения студентом дисциплины «Геометрия».

Поскольку в учебном плане по данной дисциплине не предусмотрены курсовые работы, рефераты, то они отсутствуют.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ГЕОМЕТРИЯ

ВЫДЕРЖКА ИЗ СТАНДАРТА

Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования специальности 032100.00 Математика с дополнительной специальностью утверждён Министерством образования и науки РФ 31.01.2005г. Дисциплина «Геометрия» является частью цикла дисциплин предметной подготовки.

ДПП. Ф.07 Геометрия

Векторы и операции над ними. Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямая линия на плоскости, прямые и плоскости в пространстве. Линии второго порядка, поверхности второго порядка. Преобразования плоскости и пространства. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства. Квадратичные формы и квадрики. Проективные пространства и их модели. Основные факты проективной геометрии. Изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Аксонометрия. Элементы топологии. Понятия гладкой линии и гладкой поверхности. Формулы Френе. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Внутренняя геометрия поверхности. Исторический обзор обоснований геометрии. “Начала” Евклида. Элементы геометрии Лобачевского. Общие вопросы аксиоматики. Системы аксиом Вейля евклидова пространства. Неевклидовы пространства. Длина отрезка. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности.

Введение

Геометрия – одна из основных дисциплин школьной программы. Ее особенностью является уникальное сочетание наглядности и логической последовательности его построения. Никакая другая из изучаемых в школе математических дисциплин не обладает такими возможностями и не предъявляет к учащимся столь строгих требований. Этим объясняется значение элементарной геометрии в формировании мышления школьников и определяется место настоящего курса в основной образовательной программе подготовки учителя математики.

Курс геометрии в педагогическом университете должен обеспечить развитие у будущего преподавателя достаточно широкого взгляда на геометрию и вооружить его конкретными знаниями, дающими ему возможность преподавать геометрию в средней школе и квалифицированно вести факультативные курсы по геометрии. При составлении настоящей программы учитывалось, что достижению этой цели, помимо курса геометрии, должны служить специальные курсы и семинары, а также курс истории математики.

В структуре изучаемого курса выделены семь модулей: модуль 1 – геометрия на плоскости, модуль 2 – аналитическая геометрия, модуль 3 – геометрия в пространстве, модуль 4 – преобразования плоскости, модуль 5 – проективная геометрия, модуль 6 – системы аксиом школьного курса геометрии, модуль 7 – линии и поверхности в элементарной геометрии.

При изучении модуля 1 и модуля 3 уделяется много внимания ликвидации пробелов в знаниях студентов по школьному курсу планиметрии и стереометрии. Основная задача этих модулей – расширить представления студентов об основных геометрических фигурах, изучаемых в школе, пополнить их знания об этих фигурах новыми сведениями, содержащими такие свойства фигур, которые в школе не рассматриваются.

Модуль 2 затрагивает основные факты аналитической геометрии и линейной алгебры. Модуль 4 посвящен геометрическим преобразованиям. Раздел «Преобразования плоскости и пространства» в программе школы представлен отрывочными знаниями, единичными задачами, поэтому задача данного модуля: 1) сформировать у студентов полное представление о таких преобразованиях плоскости как: движения, подобия, аффинные преобразования, инверсия. Инверсия включается с целью показать студентам, что есть преобразование плоскости, которое не является колинеацией; 2) познакомить с основной идеей использования перечисленных выше преобразований, при решении задач на построение, доказательство и вычисление; 3) показать полный набор методов решения задач по геометрии, который можно использовать при обучении учащихся в школе на уроках и факультативных занятиях.

В модуле 5 «Проективная геометрия» решается целый класс задач на построение одной линейкой, в частности на построение линий второго порядка. В программе данного модуля наряду с аналитическими методами, широко используются и синтетические методы. Кроме того, программа составлена так, что по некоторым темам имеются возможности, связанные с применением информационных технологий в учебном процессе, что крайне необходимо будущим учителям математики, информатики и вычислительной техники.

Модуль 6 и модуль 7 построены таким образом, что они являются непосредственным сопровождением, дополнением основных курсов «Основания геометрии» и «Дифференциальная геометрии», читаемых в это время. Данные модули являются связующим звеном между вузовским и школьным курсом геометрии и позволяют наглядно раскрыть особенности построения последнего.

Программой дисциплины предусмотрено чтение лекций, проведение лабораторных занятий. Также программой предусмотрены следующие виды контроля: коллоквиумы, домашние задания, индивидуальные домашние задания, тесты, проекты. Аттестация по усвоению содержания дисциплины проводится в виде зачета и курсового экзамена.

Цель курса геометрии состоит в освоении теоретических положений и математического аппарата разделов геометрии, имеющих приложения к понимаемому в широком смысле школьному курсу элементарной геометрии.

Задачи курса:

·  дать современное базовое теоретическое обоснование обязательных разделов курса геометрии, необходимых для формирования компетенций обучаемого;

·  сформировать навыки активного применения теоретических знаний к практическим приложениям, в особенности, к решению задач элементарной геометрии;

·  ознакомить с основными концепциями и направлениями развития геометрии с целью последующей успешной адаптации к возможным изменениям формы и содержания действующих стандартов образования.

·  сформировать уровень математической культуры, достаточный для осознанной ориентации в многообразии учебной литературы по школьному курсу геометрии;

·  дать теоретические положения дополнительных разделов геометрических курсов, входящих в программы профильных школ, факультативных курсов и математических кружков.

В результате изучения дисциплины студент должен знать: Основные теоремы и факты планиметрии и стереометрии. Построения циркулем и линейкой. Разрешимость задачи на построение циркулем и линейкой. Методы изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Аксиоматическое определение площади многоугольника, объема многогранника, включая теоремы их существования и единственности. Основные геометрические преобразования плоскости и пространства. Элементы аналитической геометрии и алгебры. Основные понятия, теоремы и факты проективной геометрии. Аксиоматический метод построения теории. Методы исследования простейших кривых.

В результате изучения дисциплины студент должен уметь: Применять основные геометрические преобразования к решению задач. Применять на практике методы решения задач на построение. Применять теорию аналитической геометрии к выводу уравнений линий, кривых и поверхностей. Строить изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Решать аффинные и метрические задачи аксонометрии. Применять теорию проективной геометрии в решении разнообразных геометрических задач. Уметь различать линии и поверхности элементарной геометрии и изучать их характеристики элементарными способами и методами.

В результате изучения дисциплины студент должен иметь представление: О теоретико-групповой точке зрения на геометрию и основных геометрических инвариантах. О методе Монжа построения изображений при параллельном проектировании. Представление о том, что в основе проективной геометрии лежит группа проективных преобразований, сохраняющих прямолинейность расположения точек и сложное отношение точек.

РАБОЧАЯ МОДУЛЬНАЯ ПРОГРАММА

дисциплины «Геометрия»

(заочное обучение)

	ТЕМЫ	Всего часов	Аудит. занятия	Самост. работа
Лекц.	Прак.
	МОДУЛЬ 1. ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
	Раздел № 1. Геометрические построения на плоскости	36	3	3	30
	1.1. Задачи на построение. Аксиомы циркуля и линейки. Элементарные задачи на построении. Основные этапы решения задач на построение. Пример.		0,5	0,5
	1.2. Решение задач на построение методом пересечения фигур. Пример. Основные ГМТ.		0,5	0,5
	1.3. Множество точек, из которых данный отрезок виден под данным углом. Множество точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек есть постоянная величина.		0,5	0,5
	1.4. Множество точек разность квадратов расстояний от которых до двух данных точек есть постоянная величина. Окружность Аполлония.		0,5	0,5
	1.5. Алгебраический метод решения задач на построение. Основные построения отрезков, заданных формулами. Пример.		0,5	0,5
	1.6. Золотое сечение. Построение правильного десятиугольника, пятиугольника. Теорема Гаусса (формулировка).		0,5	0,5
	Раздел №2 Метрические соотношения	36	3	3	30
	2.1. Треугольник, определение его основных элементов (биссектриса, высота, медиана). Формулировка признаков равенства и подобия треугольников. Теоремы о биссектрисах углов треугольника.		0,5	0,5
	2.2. Теоремы о медианах и высотах треугольника. Равнобедренный треугольник (свойство медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию; признаки равнобедренного треугольника). Прямоугольный треугольник (формулировка признаков равенства и подобия прямоугольных треугольников, доказательство свойств медианы, биссектрисы и высоты, проведенных из вершины прямого угла).		0,5	0,5
	2.3. Теорема синусов, двух синусов, косинусов. Прямая Эйлера. Формула Эйлера.		0,5	0,5
	2.4. Четырехугольники: параллелограмм, ромб, квадрат, трапеция. Определения, основные свойства, формулировка признаков (без доказательства). Основные сведения об окружности. Признак вписанного и описанного многоугольника. Теорема Птолемея.		0,5	0,5
	2.5. Площадь многоугольника. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции.		0,5	0,5
	2.6. Теорема Брахмагупты. Площадь круга и его частей.		0,5	0,5
	Всего	72	6	6	60
	МОДУЛЬ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
	Раздел № 1 Элементы векторной алгебры	23	2	1	20
	1.1. Векторы операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число)		0,5	0,25
	1.2. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость векторов. Теоремы о линейной зависимости 2-х, 3-х, 4-х векторов		0,25
	1.3.Векторное пространство. Базис векторного пространства. Координаты вектора. Операции над векторами в координатах		0,5	0,25
	1.4. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.		0,5	0,25
	1.5. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов		0,5
	Раздел № 2. Уравнения прямой и плоскости	23	1	1	20
	2.1. Уравнения прямой на плоскости и в пространстве.		0,25	0,25
	2.2. Взаимное расположение прямых на плоскости и в пространстве		0,25	0,25
	2.3. Уравнения плоскости.		0,25	0,25
	2.4. Взаимное расположение плоскостей, прямых и плоскостей в пространстве		0,25	0,25
	2.5. Расстояние от точки до прямой, расстояние от точки до плоскости.
	2.6. Угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями
	Раздел № 3 Кривые второго порядка	24	3	2	20
	3.1. Каноническое и параметрические уравнения окружности.		1	0,5
	3.2. Каноническое уравнение эллипса, гиперболы, параболы		1	1
	3.3. Формулы перехода от одной системы координат к другой. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду.		1	0,5
	Всего	70	6	4	60
	МОДУЛЬ 3. ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
	Раздел № 1 Изображение пространственных фигур	24	2	2	20
	1.1. Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования.		1	1
	1.2. Изображение плоских фигур в пространстве. Изображение окружности.		0,5	0,5
	1.3. Изображение пространственных фигур. Изображение сферы.		0,5	0,5
	Раздел №2 Правильные многогранники. Тела вращения.	31	3	3	25
	2.1. Правильный тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр		1	0,25
	2.2. Эйлерова характеристика для многогранников. Теорема Декарта-Эйлера. Теорема Эйлера.		0,5	0,25
	2.3. Понятие объема. Объем призмы, пирамиды.		1	2
	2.4. Тела вращения. Объемы тел вращения (цилиндр, конус, шар)		0,5	0,5
	Раздел № 3 Линии в пространстве	17	1	1	15
	3.1. Поверхности вращения (цилиндрические, конические)		0,5	0,5
	3.2. Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды		0,5	0,5
	Всего	72	6	6	60
	МОДУЛЬ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
	Раздел № 1 Движения плоскости	37	3	4	30
	1.1. Осевая симметрия, поворот, параллельный перенос		1	2
	1.2. Движения плоскости. Свойства движений. Группа движений плоскости.		0,5
	1.3. Композиция двух, трех осевых симметрий. Классификация движений (движений 1-го, 2-го рода).		1	0,5
	1.4. Аналитическое задание движений.		0,5	1
	1.5. Симметрии фигур. Группа симметрий квадрата.		0,5
	Раздел №2 Подобия плоскости	24	2	2	20
	2.1. Подобие плоскости. Свойства подобия. Группа подобий плоскости. Аналитическое задание подобия.		1	2
	2.2. Гомотетия. свойства гомотетии. Построение соответственных точек в гомотетии. Аналитическое задание гомотетии.		1
	Раздел №3 Аффинные преобразования плоскости	13	1	2	10
	3.1. Аффинные преобразования плоскости. Свойства аффинных преобразований. Группа аффинных преобразований плоскости.		0,5	1
	3.2. Родство. Свойства родства. Построение родства. Задание родства.		0,5	0,5
	3.3. Задание аффинного преобразования плоскости.		0,5
	Всего	74	6	8	60
	МОДУЛЬ 5. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
	Раздел № 0 «Введение в проективную геометрию»	20,5	0,25	0,25	20
	0.1. Центральное проектирование. Построение проективной плоскости и проективного пространства. Модели проективной плоскости.		0,25	0,25
	Раздел №1 «Основные факты проективной геометрии»	44,5	1,75	1,75	40
	1.1. Координаты точек. Условие коллинеарности трех точек. Уравнение прямой, координаты прямой.		0,5	0,5
	1.2. Принцип двойственности. Теорема Дезарга, обратная теорема.		0,25	0,25
	1.3. Сложные отношения 4-х точек и 4-х прямых, свойства		0,25	0,25
	1.4. Гармонические четверки точек и прямых. Полный 4-х вершинник и его гармонические свойства.		0,25	0,25
	1.5. Проективные преобразования. Аналитическое задание. Неподвижные точки проективных преобразований.		0,25	0,25
	1.6. Гомология, свойства. Представление проективного преобразования в виде композиции гомологий.		0,25	0,25
	Раздел №2 «Линии второго порядка на проективной плоскости»	65	2	2	60
	2.1.Проективные и перспективные отображения прямых.		0,25	0,25
	2.2. Проективные и перспективные отображения пучков.		0,1	0,1
	2.3. Линии второго порядка, их пересечения с прямой. Касательные прямые.		0,25	0,25
	2.4. Сопряженность точек. Полюсы и поляры.		0,25	0,25
	2.5. Классификация линий второго порядка на проективной плоскости.		0,25	0,25
	2.6. Конструктивное определение линий второго порядка. Теорема Штейнера.		0,25	0,25
	2.7. Свойства 6-тивершинника, вписанного в овальную линию 2-го порядка Теорема Паскаля, обратная теорема.		0,25	0,25
	2.8. Свойства 6-тивершинника, описанного около овальной линию 2-го порядка Теорема Брианшона, обратная теорема.		0,25	0,25
	2.9. Геометрия на проективной плоскости с фиксированной прямой		0,15	0,15
	Всего	130	4	4	120
	МОДУЛЬ 6. СИСТЕМЫ АКСИОМ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ
	Раздел 1 Исторический обзор обоснований геометрии. Начала Евклида. Система аксиом евклидовой геометрии (школьный курс геометрии)	38	4	4	30
	1.1. О логическом построении геометрии. Требования к системе аксиом.		1	1
	1.2. «Начала» Евклида. Аксиомы и постулаты, простейшие следствия.		1	1
	1.3. Развитие аксиоматического метода. Система аксиом евклидовой геометрии . Аксиомы планиметрии, следствия.		1	1
	1.4. Аксиомы стереометрии системы аксиом школьного курса геометрии, следствия.		1	1
	Раздел 2. Векторное обоснование геометрии по Вейлю. Элементы геометрии Лобачевского	34	2	2	30
	2.1. Система аксиом Вейля евклидова пространства, простейшие следствия.		0,5	0,5
	2.2. Прямая и плоскость в пространстве		0,5	0,5
	2.3. Движения плоскости и пространства, непротиворечивость вейлевской аксиоматики		0,5	0,5
	2.4. Геометрия Лобачевского. Аксиома Лобачевского, треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского		0,5	0,5
	Всего	72	6	6	60
	МОДУЛЬ 7. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ
	Раздел № 0 Линии и поверхности в элементарной геометрии	5	1	-	4
	0.1. Элементы топологии в элементарной геометрии. Линии и поверхности в школьном курсе геометрии		1	-
	Раздел 1 Линии в элементарной геометрии	32,5	2,5	2	28
	1.1. Параметрические задания линий, плоские линии в школьном курсе геометрии.		0,5	0,25
	1.2. Пространственные линии, понятие гладкой линии, примеры. Винтовая линия.		0,5	0,5
	1.3. Касательная к линии, уравнение касательной. Решение задач на нахождение касательных к плоским и пространственным линиям.		0,5	0,5
	1.4. Главная нормаль и бинормаль к линии, уравнения главной нормали и бинормали.		0,5	0,5
	1.5. Трехгранник Френе. Уравнения ребер и граней трехгранника Френе.		0,5	0,25
	Раздел 2 Поверхности в элементарной геометрии	32,5	2,5	2	28
	2.1. Параметрические задания поверхностей, примеры, гладкие поверхности		0,5	0,25
	2.2. Гладкие поверхности в школьном курсе геометрии.		0,25	0,25
	2.3. Винтовая поверхность, линии на поверхности.		0,25	0,5
	2.4. Касательная плоскость к поверхности, нормаль		0,5	0,25
	2.5. Первая квадратичная форма поверхности, длина дуги гладкой линии на гладкой поверхности		0,5	0,25
	2.6. Угол между гладкими линиями на гладкой поверхности		0,5	0,25
	2.7. Площадь фрагмента поверхности, вычисление площади с помощью коэффициентов первой квадратичной формы		0,5	0,25
	Всего	70	6	4	60

учебно-методическая КАРТА дисциплины