Универсальные единицы СИ через Механические Единицы (СИ/мех) Геометрическая физика (стр. 4 )

Матрица 4

0,1670	0,2550	0,3895	0,5949	0,9085	1,387	2,119	3,236	4,942
0,1576	0,2407	0,3676	0,5615	0,8575	1,309	2,000	3,054	4,665
0,1488	0,2272	0,3470	0,5300	0,8094	1,236	1,888	2,883	4,403
0,1404	0,2145	0,3275	0,5002	0,7639	1,167	1,782	2,721	4,156
0,1325	0,2024	0,3091	0,4721	0,7211	1,101	1,682	2,568	3,923
0,1251	0,1911	0,2918	0,4456	0,6806	1,039	1,587	2,424	3,703
0,1181	0,1804	0,2754	0,4206	0,6424	0,981	1,498	2,288	3,495
0,1114	0,1702	0,2599	0,3970	0,6063	0,926	1,414	2,160	3,298
0,1052	0,1607	0,2454	0,3747	0,5723	0,874	1,335	2,039	3,113
0,0993	0,1516	0,2316	0,3537	0,5402	0,825	1,260	1,924	2,939
0,0937	0,1431	0,2186	0,3339	0,5099	0,779	1,189	1,816	2,774
0,0885	0,1351	0,2063	0,3151	0,4812	0,735	1,122	1,714	2,618
0,0835	01275	0,1948	0,2974	0,4542	0,694	1,059	1,618	2,471
0,0788	0,1204	0,1838	0,2807	0,4287	0,655	1,000	1,527	2,332
0,0744	0,1136	0,1735	0,2650	0,4047	0,618	0,944	1,441	2,201

Построение матрицы 4 начинается с определения шага горизонтального ряда делением Ф на 1,05946... Он оказывается равным 1,52722... Изменение знаменателя вертикального столбца с 2 на 1,05946... вызывает поворот нарастания численных величин по часовой стрелке относительно базисного числа и главной диагонали. И, следовательно, последовательность числовых величин саженей может быть найдена в правой нижней части матрицы 3. Для определения места чисел 134,5; 217,6 ... достаточно последовательно делить их на коэффициент 1,52722... до тех пор, пока частное от деления не окажется равным одному из чисел нисходящего базисного столбца. Поэтому числа данного ряда должны быть вычислены сразу же после нахождения числа 1,05946..., и для нисходящего базисного ряда будут степенью числа 0,94387... Одновременно показатель степени при числе 0,94387... становится номером той строки, на которой находится значимое число (например, 134,5; 217,6...). Число же операций последовательного деления данного значимого числа на 1,5272... является степенью последнего и как бы превращается в номер столбца, в котором находится значимое число.

В этом разделе мы увидим, что числа греческой гематрии теснейшим образом связаны с музыкальными соотношениями. Вообще говоря, идея чис­лового канона восходит к античным исследованиям в об­ласти гармоники. По-гречески канон значит «правило», «мерило», «линейка»; пифагорейцы использовали это слово в применении к монохорду, на котором они разме­чали гармонические интервалы. Именно поэтому сочине­ние Евклида о гармонике называется «Сечения канона», а наука о мелодических системах — «канониконом».

Целью пифагорейской науки было описать принципы вселенской гармонии, образующей структуру космоса. Слово «гармония», означающее «слаженность», пифаго­рейцы наделяли особым смыслом и использовали его глав­ным образом в применении к открытому Пифагором му­зыкальному звукоряду. С помощью арифметической, гар­монической и геометрической пропорций музыкальный звукоряд перекидывает мост через пропасть, разделяю­щую два полюса октавы. В результате возникает диато­нический звукоряд — основа всей западной музыкальной культуры. Античный философ Прокл отождествляет три вида пропорции с тремя Орами, дочерьми Фемиды: арифметическое среднее — это Эйрена (Мир)

1) арифметическая пропорция: а – х = х – в, где среднее арифметическое х А = (а + в) ׃ 2 = 5,9968243 ·м 4/с 4 ׃ 2 = 2, ·м 4/с 4;

гармоническое среднее — Дике (Справедливость),

2) геометрическая пропорция: а ׃ х = х ׃ в, где среднее геометрическое х Г = = = 2, ·м 4/с 4;

а геометрическое среднее — Евномия (Правопорядок);

3) гармоническая пропорция: (а – х) ׃ (х – в) = а ׃ в, где среднее гармоническое находится по формуле

1/х = 1/2 × (1/а + 1/в); х гар = х 2Г ׃ х А = 8, ·м 8/с 8 ׃ 2, ·м 4/с 4 =

= 2, ·м 4/с 4.

их мать Фемида (Закон) сочетает в себе все эти виды пропорции. Этот пример ясно показывает тесную связь между музыкаль­ными принципами и существующим в общественном со­знании идеалом справедливого и гармоничного правления.

Исследователи, изучая уникальные особенности золотого сечения, находили его в строении музыкальных произведений, архитектуре, ботанике и других областях и придавали ему значение критерия красоты и гармоничности. Однако если в одних шедеврах искусства золотое сечение действительно обнаруживалось, то в других — не обнаруживалось. Загадка золотого сечения оставалась неразрешенной. Но и сама природа золотого сечения также оставалась загадочной.

Основу музыкального звукоряда составляет так назы­ваемая «музыкальная пропорция» – 6 : 8 :: 9 : 12 – откры­тие которой приписывалось Пифагору. Ямвлих пишет, что Пифагор научился этому у вавилонян и перенес на гре­ческую почву, но, как бы то ни было, никто не станет спорить с тем, что пифагорейцы первыми в истории за­падной цивилизации стали разрабатывать научный мате­матический подход к музыке, подкрепляя теорию практи­ческими экспериментами с монохордом.

Обратимся к музыке. Рассмотрим четыре звукоряда: 1) чистый строй:

Рис.2

(каждый член ряда (А) есть отношение обертонов или тонов с различными частями);

Музыкальная пропорция обладает чудесными свойства­ми. Во-первых, это самая простая, идеально симметрич­ная из всех существующих четырехчленных пропорций из целых чисел. Во-вторых, она содержит в себе совершен­ные гармонические интервалы: октаву (6 : 12), совершен­ную квинту (6 : 9 и/или 8 : 12) и совершенную кварту (6 : 8 и/или 9 : 12); кроме того, в ней также содержится соотно­шение пифагорейского целого тона (8 : 9), связующего квинту и кварту (см. рис. 3).

Наглядное представление об этих музыкальных соотношениях дает монохорд, но его с успехом может заменить фортепиано. Правда, только на монохорде можно увидеть, как действует закон взаимообратимости между длиной струны и соответствующим тоном. Так, например, половина струны (1/2) издает звук удвоенной частоты (2/1), то есть тон в два раза выше. Принцип взаимообратимости — основной гармо­нический закон, благодаря которому отношение длины стру­ны и частоты звука всегда разрешается в Единство. В случае с октавой длина струны (1/2), помноженная на частоту зву­ка (2/1), дает 1, или Единство, и так со всеми интервалами. Симметричность и взаимообратимость соотношений частоты звука и длины струны доказывают симметричность и взаимообратимость музыкальной пропорции. Из поде­ленной на 12 отрезков струны монохорда извлекаются звуки соответствующей высоты и частоты – зеркальные отражения сечений струны.

Рис.3

Сечение струны Частота тона Нота

12 частей = целая струна 6 нижнее До C

9 частей 8 Фа F

8 частей 9 Соль G

6 частей 12 верхнее До C

На этой табличке показана присущая музыкальной про­порции симметричность, а на табличке, приведенной ниже, – взаимообратимость: при умножении длины стру­ны на частоту звука числовые значения взаимно «отменя­ют друг друга» в принципе единства:

12 × 6 = 72

9 × 8 = 72

8 × 9 = 72

6 × 12 = 72

Используя десятичные дроби, мы получим такую таблицу:

1 × 1 = 1

0,75 × 1,333 ≈ 1

0,666 × 1,5 ≈ 1

0,5× 2 = 1

Симметрия гармонических соотношений особенно хо­рошо будет видна, если представить музыкальный звуко­ряд в виде круга, в котором начало и конец совпадают – а ведь в гамме начало и конец действительно «равнознач­ны» (нижнее С и верхнее С), с той только разницей, что их разделяет октава, принцип гармонического тождества. (см. рис.4).

октава 6 : 12 до

Рис.4

2) темперированный строй (принятый в музыке), (русская гармошка) в котором октава разбита на 7 равных частей;

/7 2 2/7 2 3/7 2 4/7 2 5/7 2 6/7 2 7/7

Фа	Соль	Ля	Си	До	Ре	Ми	Фа
К	О	Ж	З	Г	С	Ф	К
0	1	2	3	4	5	6	7
1	1,1040	1,2190	1,3459	1,4859	1,6406	1,8114	2

Рис.5