Универсальные единицы СИ через Механические Единицы (СИ/мех) Геометрическая физика (стр. 8 )

Определим величину расширения восприятия (способностей): ƒР. В. = В – В0 = μ В0 – В0 = (μ – 1)В0,

где μ – индивидуальная восприимчивость Духоносителя в данный конкретный момент времени,

В0 – пульсация информационного поля распространителя информации, В – восприятие Духоносителя:

В = μ В0.

ПРИСУЩАЯ ВРЕМЕНИ ГЕОМЕТРИЯ: ОБРАЗОВАНИЕ «ЗВЕЗДЫ ВРЕМЕНИ МАЙЯ».

В нижеследующем отрывке Хокинс непосредственно обсуждает модель Звезды Времени Майя, демонстрируя веру в то, что и во времени могут существовать энергетические структуры, соответствующие Платоновым геометриям:

Звезда Времени Майя – это пять взаимопроникающих друг в друга тетраэдров, чьи вершины лежат на икосаэдре (см. Рис. 18) Согласно Хосе Аргуэльесу, время символизируется тетраэдром.

260-дневный священный календарь Майя, состоящий из пяти 52-дневных циклов, символизируется пятью тетраэдрами. У пяти тетраэдров 20 вершин (ибо каждый тетраэдр имеет четыре угла – три у основания и один на вершине). Одно из основных чисел майянского календаря – 20. Внутренняя геометрия Земли и солнечно-лунные циклы представлялись 20 вершинами Звезды Времени (пять взаимопроникающих тетраэдров) и священным циклом Майя.

Таким образом, геометрия – самая основная характеристика вибрации; или, как когда-то говорил Пифагор: “Геометрия – это застывшая музыка”. Пять наиболее важных трехмерных геометрий, взятых вместе, известны как Платоновы Тела, ибо греческий философ Платон описал их первым.

Рисунок 18 “Звезда Времени Майя” – пять тетраэдров внутри додекаэдра

Сравните вышесказанное с самым сложным Платоновым Телом – икосаэдром, состоящим из 20 граней, с центрами на вершинах пяти взаимопроникающих тетраэдров.

Октаэдр Звездный тетраэдр Куб Додекаэдр Икосаэдр

Рисунок 19 Пять Платоновых тел

Важно осознавать: мы можем взять пять тетраэдров и склеить их таким образом, что когда будем соединять линиями их вершины, естественно получим икосаэдр и/или додекаэдр, ибо они тесно связаны друг с другом. (См. рис. 18). Это еще один удивительный способ увидеть симметрию между различными формами. Ещё более интересен следующий факт: в сочетании эти пять тетраэдров дают все необходимые координаты для естественного построения любого из пяти Платоновых Тел. А вот самое интересное: впервые эта идея пришла от Крсанны Дуран, заявившей, что эта информация поступила в процессе ченнелинга. Позднее это возбудило интерес физика Джеральда де Джонга, смоделировавшего её идеи на компьютере и обнаружившего, что она права. И вновь: совсем не похоже на то, что Дуран смогла вычислить это сама или у неё имелся мотив или желание это сделать. Чтобы подтвердить и смоделировать то, что сказал её источник, потребовался один из не многих специалистов во всем мире, действительно понимающий геометрию более высоких измерений. Из нижеприведенного отрывка, мы узнаем об этом больше. И впервые представим некоторые основы для объяснения этой любопытной концепции.

Наша модель объединяет пространство и время. И поначалу это может смущать. Думая о времени, мы подразумеваем некие события, происходящие по мере того, как мы движемся сквозь слои эфирной энергетической плотности. Одно из наших допущений – планеты удерживаются на месте посредством сфер эфирной энергии в определенном уровне плотности. Поскольку в Солнечной системе много планет, то у нас есть «сферы внутри сфер», чтобы удерживать их на своих местах. Сферы «гнездятся» внутри друг друга, как слои лука или русская Матрешка. Откуда бы мы не смотрели на эти энергетические поля, это всегда будут серии «сфер, вложенных друг в друга». Так же организована и человеческая аура. Как отмечается в первой книге Эдгара Кейси «Река жизни»: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун соответствуют восьми измерениям или плотностям. Мы знаем, что Плутон на самом деле не является «полновесной» планетой, из-за его маленького размера, скорее это «планетезималь».

Итак, в модели Ра каждая планета двигается по краю сферического энергетического поля, удерживающего её на месте. Именно вращающиеся энергетические поля, непрерывно эманирующиеся от Солнца и похожие на расширяющиеся цветочные лепестки, двигают планеты. Современные модели, объясняющие, почему и как планеты вращаются вокруг Солнца, в крайней степени неадекватны, ибо Солнце содержит 99,86% всей массы Солнечной системы. Поэтому, если бы мы имели дело только с ньютоновским тяготением, планеты давным-давно упали бы на Солнце, ибо оно намного массивней, чем они. Помните: мы обсуждаем невидимые энергетические структуры, но их можно обнаружить надлежащими инструментами, ибо зачастую они обладают тонкими магнитными энергетическими идентификациями. Например, «цветочные лепестки», на которые мы ссылаемся, видны в том, что NASA назвало Спиралью Паркера.

Тогда вы спросите: «Хорошо, если каждая планета предположительно вращается вокруг сферы, тогда почему их орбиты не представляют собой совершенные окружности, а скорее напоминают растянутые эллипсы?» Хороший вопрос! Орбиты планет становятся эллиптическими потому, что сферы слегка сплющиваются, когда Солнечная система движется в «локальной межзвездной среде» или в локальной межзвездной среде нашей Галактики. Отсюда, сферы, удерживающие планеты на местах, тоже должны содержать определенную основную геометрию, возникающую в результате вибрации эфира. Поскольку наша Земля вращается вокруг Солнца, мы проходим через различные геометрические структуры, создаваемые различными «вложенными друг в друга» сферами. Как только Земля приближается к линии или узлу любой из геометрий, интенсивность эфирной энергии, которую мы будем ощущать на Земле, возрастает; а это оказывает прямое воздействие на сознание. И если вы думаете, что это связано с астрологией, то вы правы… Но об этом позже.

Наш современный дом пребывает в форме номер 3. Октаэдр – это вибрационный уровень, обеспечивающий основную невидимую структуру энергии, из которой созданы все наши атомы и молекулы. Род Джонсон, чья сакральная геометрическая модель квантовой физики рассматривается в томе 3, утверждает, что наблюдаемые в лаборатории, не обладающие массой «нейтрино» вполне могли бы быть октаэдрами. Однако чаще всего эти вибрации останутся необнаруженными, ибо являются только основной структурой реальности, а не самой действительной реальностью. Когда вы смотрите на законченный небоскреб, вы не видите двутавровых балок. Аналогично, мы не видим «энергию нулевой точки», создающую «виртуальные частицы» – протоны, нейтроны и электроны, которые непрерывно появляются и исчезают из существования. Тем не менее, мы знаем, что они должны существовать. Таким образом, древняя физика учит: эта форма представляет собой фундаментальную основу всей материи в нашей «плотности». Это забытое древнее учение. Важно осознать, что это только общее правило, ибо внутри нашей плотности мы видим все Платоновы Тела, представляющие различные «подплотности». Чтобы построить физическую материю, нам нужны они все. Но самая сильная форма в третьей плотности – октаэдр.

Если посмотреть на верхнюю половину октаэдра, можно легко заметить, что она идентична форме египетской Великой Пирамиды. При наличии физической модели, этот факт явно демонстрирует то, что все пирамиды были построены для фокусирования геометрической энергии эфира, как воронки в потоке воды. Как мы увидим позже в этом томе, «торсионные поля» на Земле могут варьироваться от места к месту намного больше, чем нормальные «напряжения» или магнитное поле Земли. На русском профессиональном жаргоне любая пирамида действует как «пассивный торсионный генератор».

Сама материя ведёт себя как погруженная в воду вибрирующая губка. Пульсирующим движением жидкообразная энергия непрерывно втекает и вытекает из неё. Когда вы собираете материю в единую структуру, форма этой структуры будет определяться тем, как сквозь неё текут эфирные потоки. Любой цилиндрический или конический объект будет захватывать и фокусировать спиралевидно выходящие из Земли торсионные поля, а коническая форма может фокусировать и направлять эти поля. Давайте не забывать, что они состоят из разумной энергии; и одно из главных преимуществ овладения этими полями в том, что они очень быстро будут значительно улучшать ваше физическое здоровье и духовное сознание. Отсюда, древние египтяне считали пирамиды «храмами посвящения». И мы знаем, что греческое слово «Пирамида» – синтез двух слов: «Пире» и «Амид», что означает «Огонь в Середине». «Огонь в середине» – это энергетические поля, фокусирующиеся внутри Пирамиды. То есть, само название маскирует в себе часть секрета.

При наличии истинной науки мы осознаем, что Великая Пирамида в Гизе – самая точно спроектированная пирамида на Земле, фантастическая машина, возведенная технологией, намного превосходящей современный научный уровень понимания. Причина, почему это так, – технология сознания, уже закончившего разработку физической модели, которая только сейчас вновь выходит на публичную арену. И чем больше мы исследуем Пирамиду, тем яснее видим, каким точным и исчерпывающим должно было быть входящее в нее знание.

Рисунок 20 Великая Пирамида совершенно вписывается в полусферу

Вот признанный и давно известный факт: если вы возьмете отношение между основанием и высотой Пирамиды, то получите отношение 960 – 3,14159. Это значит, что из центра пирамиды вы можете нарисовать окружность через один из ее углов; и если вы продлите ее вверх и вниз до противоположного угла, то эта окружность будет касаться всех трех точек. Тогда, все, что следует делать, – думать в трех измерениях; и мы быстро откроем, что Пирамида математически совершенно вписывается в полусферу (см. на рисунке выше).

Итак, пирамидальная структура самым непосредственным образом входит в резонанс с эфиром, вынуждая формироваться вокруг себя сферу невидимой энергии. Помните, что самая сильная геометрическая энергетическая структура нашего измерения, если бы мы могли её увидеть, выглядела бы точно как пирамида. Следовательно, пирамида была не только геометрическим объектом, она была построена как гигантская застывшая «единица сознания». На одном уровне, мы могли бы думать о ней как о гигантской статуе в честь энергетической плотности, которую мы сейчас населяем, на другом – как об очень эффективной машине. Ра говорил: когда пирамида была построена, она работала намного эффективней, чем сейчас. Снижение эффективности произошло благодаря изменению местонахождения Земли и изнашиванию её каменных граней.

Многие специалисты по пирамидам указывали на то, что внутри пирамиды посредством различных измерений изображается точная длина Земного года – 365,2422 дней. Как только ученые поняли, что Пирамида совершенно вписывается в полусферу, они пришли к выводу, что она предназначалась для представления Земли. Но это не объяснило бы, почему строители пирамид просто не возвели шар, особенно с имеющейся в их распоряжении очевидной технологией для точного расположения таких огромных камней. И только сейчас мы можем видеть, почему для выражения Земли была выбрана форма октаэдра.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ.

Наш следующий вопрос: «Как мы можем естественно представить превращения одной геометрической энергетической частоты в следующую?». Посредством умеренно сложного комплекса технологий, можно продемонстрировать, как каждая геометрическая форма будет естественно «вырастать» из предыдущей. Для начала: сфера в икосаэдре относительно очевидна – движение бесформенного Единства в геометрическую форму. Следовательно, не требуется делать никакое реальное моделирование. Превращение икосаэдра второй плотности в октаэдр третьей плотности будет смоделировано позже. Чтобы превратить наш октаэдр в форму 4-го измерения, требуется расширить каждую грань до основного четырехгранного треугольника или тетраэдра. На нижеприведенном рисунке мы осмысливаем это так: мы собираемся поставить по тетраэдру отдельно на каждую грань.

Рисунок 21 Превращение октаэдра (L) в звездный тетраэдр (R)

Каждая грань октаэдра, имеющая форму равностороннего треугольника (все внутренние углы по 60 градусов и все стороны одинаковой длины), становится одной трехгранной вершиной звездного тетраэдра. Поскольку у октаэдра восемь граней, вам понадобится прибавить к его граням восемь тетраэдров. Чтобы оживить это приращение в виде комикса: могло бы показаться, что октаэдр вдруг расцветает как цветок; пока тетраэдры занимают каждый свое место, грани вдруг растут вверх. [На рисунке верхняя форма справа демонстрирует, где должен был бы находиться один из восьми тетраэдров, если бы не был напрямую прикреплен к октаэдру].

Чтобы перейти из четвертого измерения в пятое, вы можете посмотреть на рисунок и легко увидеть, что куб образовывается простым соединением точек на вершинах звездного тетраэдра. Чтобы перейти от пятимерного куба к шестимерному додекаэдру, требуется дальнейшее внешнее расширение, где каждая грань куба превращается в наклоненную внутрь «плоскую крышу», и куб превращается в додекаэдр. Форма образующейся «крыши» легче всего видна в нижней четырехугольной области, в то время как квадратная область больше похоже на вид сверху.

Рисунок 22 «Гнездование» куба внутри додекаэдра

Далее, если вы поставите точку в центре каждого пятиугольника додекаэдра и соедините все полученные точки, то будете иметь набор линий, образующих пятиугольную звезду, создающую форму икосаэдра – последнего главного узла перед возвращением к Сфере. Короче говоря, возвращаясь к изначальной таблице гармоник, мы можем видеть, что все движение представляет собой сферу, или Единство, расширяющееся в «семя» или фундаментальную форму икосаэдра. По своей форме эта структура позволяет появление всех других, содержащихся в ней форм (Лолор, 1982). Именно из-за аспекта семени икосаэдра Индусы ассоциировали его с мужским богом. Они воспользовались метафорой семени или «семени жизни».

Рисунок 23 Полная иерархия геометрических форм, представляющих Октаву плотностей, L – R

Мы обретаем понимание того, что формы, образующиеся энергетическими вибрациями, могут расти, во многом напоминая рост кристалла.

Напоминаем: все стороны Платоновых Тел имеют одинаковую длину, аналогично каждый радиус-вектор тоже имеет одну и ту же длину. Три из пяти Платоновых Тел формируются равносторонними треугольниками – октаэдр, тетраэдр и икосаэдр. (У куба стороны квадратные, а у додекаэдра пятиугольные или пятисторонние.) Все равнобедренные треугольники имеют три угла по 60 градусов каждый.

[Изучая нижеприведенную схему, следует помнить, что мы смотрим на расплющенное изображение в двух измерениях. Следовательно, это не совсем то настоящее трехмерное изображение, как оно выглядело бы на самом деле. Однако оно покажет, как на совершенно «спрямленном» трехмерном графике выглядела бы одна грань тетраэдра.]

Мы обнаруживаем, что течение времени в третьем измерении – на самом деле многомерное геометрическое явление. Этого и следовало ожидать, ибо в Глобальной Решетке мы видим те же самые влияния в пространстве, а пространство и время объединяются в море Сознательного

Рис. 24 Эфира.

Еще изумительнее то, что нам раскрывают эллипсы. Они прослеживают путь спирали, которая, двигаясь, формирует геометрическую форму. Да, верно, спираль – точно такое же образование, которое мы видели на фотографиях Киматики от Ганса Дженни, когда при вибрациях жидкости возникали Платоновы Тела, связанные большими взаимосвязанными спиралями.

Благодаря работе Коуэна, сейчас мы наблюдаем аналогичное гармоническое, спиралевидное, геометрическое течение энергии, совершающееся в эфирной «жидкости» времени. Эллипсы, окружающие каждый из радиус-векторов Ганна или каждую сторону Платонова Твердого Тела, будут определять те места, где спираль «изгибает» геометрическую форму, продолжая свое вращательное движение.

Уже следует узнать нижеприведенный рисунок, извлеченный из хорошо известного образования круга на полях

Рис. 25 «Тройная Серия Юлии», появившегося буквально за одну ночь в Виндмилл Хилле в Англии в 1997 году. Этот рисунок помогает визуализировать, как такая спираль, основанная на фрактале Серии Юлии, будет формировать тетраэдр. На самом образовании не было прямых линий и треугольников, они пририсованы позже и выровнены с формой, которую предполагает набор спиралевидных кругов. Более того, если в этот рисунок мы также вставим перевернутое зеркальное отображение образования круга на полях, то увидим формирование эллипсов, идентичных наблюдаемым Коуэном и визуально смоделированных в экспериментах Киматики д-ра Дженни.

И если мы вновь кратко вернемся к

Рис. 26 пространственным искажениям Глобальной Решетки (как видно из изучения «Кругов Решетки»), то увидим округлые разворачивающиеся «фрактальные» спирали в формировании цепей островов и границ континентов. Более того, верхний слой образования Стоунхендж Серия Юлии в 1996 году раскрывает почти точно такую же фрактальную форму:

 

Рис. 27

Поскольку инопланетяне изобразили простые спирали в виде реальных фрактальных образований, мы верим, что они демонстрирует вероятность существования очень больших и очень маленьких уровней Платоновых Тел, плавно взаимодействующих друг с другом. Что точно увязывается с цитатой Ра:

«Термин «плотность» является (тем, что вы называете) математическим. Самая ближайшая аналогия обнаруживается в музыке, где после семи нот вашей западной шкалы, если вы пожелаете, восьмая нота начинает новую октаву. В великой октаве существования, которую мы делим с вами, существует семь октав или плотностей. В каждой подплотности существует семь подподплотностей. Внутри каждой подподплотности существует семь подподподплотностей, и так до бесконечности».

Чтобы увидеть эффект появления фракталов, Серия Манделброта, конечно, могла бы быть расширена в три измерения, как это сделал Коуэн с графиками фондовой биржи, тем самым раскрыв в них сферические структуры различных эфирных плотностей. Одно из самых важных свойств любого фрактала – он состоит из спиралевидных линий, которые снова и снова будут демонстрировать одни и те же образования, пока вы увеличиваете число фракталов. Разворачиваясь, эти спирали будут естественно формировать в себе Платоновы геометрии, что и предполагает вышеприведенный рисунок круга на полях.

Циклы низшего порядка будут демонстрировать тетраэдры и октаэдры, которые в нашей системе соответственно являются геометриями четвертой и третьей плотностей или измерений. Однако на рынке более долговременные циклы возникают как кубические образования – геометрии пятой плотности. И снова Коуэн демонстрирует: можно показать долговременные радиус-векторы графиков, чтобы на протяжении многих лет проследить путь вращающегося куба. Тогда имеет смысл утверждения того, что показать куб займет больше времени, чем показать формы более низкого порядка, ибо кубическая геометрия пятого измерения – намного более высокая вибрация, чем тетраэдр четвертой плотности.

Пропорция и симметрия.

Под пропорцией здесь понимается отношение частей целого между собой и с целым. Вот как древние понимали пропорцию: «Две части или две величины не могут быть... связаны между собой без посредства третьей; ... Достигается это... пропорцией (аналогией), в которой из трех чисел..., среднее так относится ко второму, как первое к среднему, а также второе к среднему, как среднее к первому. Обратим внимание на особую роль здесь среднего пропорционального. Оно содержит в себе обобщение. Причем здесь качественное обобщение, так как выражается одним числом, а не множеством. Вот почему пропорции так существенны в выражении гармонии.

В математике существует определение особого случая разделения целого на две неравные части, которому присущи два рода связи частей и целого между собой: аддитивная и мультипликативная. Единство аддитивности и мультипликативности – глубокое содержание золотого сечения, в нём ключ к явлению формообразования, открыто лежащий на поверхности математического знания.

В математике аддитивность означает, что числовом ряду Ф1, Ф2, Ф3, Ф4, …,Фп – 1, Фп каждый предыдущий член ряда равен сумме двух последующих: Ф1 = Ф2 + Ф3; Ф2 = Ф3 + Ф4; …, Фп – 2 = Фп – 1 + Фп.

Мультипликативность означает, что в числовом ряду Ф1, Ф2, Ф3, Ф4, …,Фп – 1, Фп все члены ряда связаны в геометрическую прогрессию: Ф1 ׃ Ф2 = Ф2 ׃ Ф3 = Ф3 ׃ Ф4 = … = Фп – 1 ׃ Фп = const.

Число золотого сечения, соединяющего свойства аддитивности и мультипликативности, находится как общий корень двух уравнений: а + в = с (аддитивность) (1); а ׃ в = в ׃ с (мультипликативность) (2), в которых целое с представлено из двух частей а + в.

Понятие аддитивности свидетельствует, что целое структурно. Простейшее элементарное целое – это целое, составленное из двух частей. Математически такую структуру абстрагирует сложение: части а и в, сложенные вместе, образуют целое с. В геометрии такую абстракцию выражает отрезок, поделенный на две части. Если эти две части не равны между собой и меньшая часть так относится к большей, как большая к целому, то свойства аддитивности и мультипликативности соединены: отрезок разделён в золотом отношении.

Понятие мультипликативность означает, что на все части структурно организованного целого распространяется одна и та же закономерность роста. Средствами математики она показывает, что и части, принадлежащие целому, и само целое обладают одной и той же способностью изменять свои параметры: в едином организме все части растут по одному закону – закону геометрической прогрессии. Чем больше одна его часть, тем больше (и во столько же раз больше) стала т другая его часть и соответственно всё целое (а ׃ в = в ׃ с). Тем самым целое с, если наблюдать его вне связи с окружением, остаётся во времени себе тождественным в любой момент своего бытия. А это и есть идея подобия.

В геометрии единство аддитивности и мультипликативности справедливо для целого, составленного из отрезков, взаимодействующих под углом p или 0 (прямая линия); в векторной геометрии для любых углов взаимодействия бинарной причины (0 £ a £ 2p).

Любое геометрическое построение золотого сечения начинается делением отрезка на две равные части либо его удвоением. Нужно построить квадрат, т. е. воспользоваться равенством углов и сторон, затем – разделить пополам (удвоить) одну из сторон. (Построение золотого сечения окружностью также включает

деление отрезка пополам). Рассмотрим, как это делается при помощи циркуля и линейки. Строим вертикаль и ставим точку на ней w(рис.28). Из центральной точки w проводим окружность. Мы получили пересечение вертикали в двух точках l и m (рис.29). Из точек l и m проводим дуги до пересечения (токи j и g).

Рис.28 Рис.29 Рис.30 Через две засечки j и g строим горизонталь, осуществляя вторую дихотомию пространства (p/2) (рис.30).

Радиусом равным wl из точек l, v, m и f делаем засечки (рис.31). Из пересечения засечек строим квадрат epsu (рис.32). Осуществим его дихотомию – рассечём его пополам вдоль вертикали на две равные части и получим полуквадрат: прямоугольник с отношением сторон 1: 2. Теперь осуществим вторую

Рис.31 Рис.32 дихотомию: а) исходного квадрата; б) полуквадрата, разделив их пополам на этот раз пополам на этот раз по диагонали (рис.33). Диагональная дихотомия ввела новые качества: линейную несоизмеримость отрезков и неравномерную углов. Появились числа и . Появление диагонали двойного квадрата (полуквадрата) и есть появление отношения золотого сечения Ф: сторона 2 есть среднее между диагональю , увеличенной на сторону 1, и этой же диагональю, уменьшенной на сторону 1. = = 1,…= Ф.

Золотое сечение выступает здесь как связь, объединяющая элементы целого (прямой угол и расстояния между

Рис.33

вершинами структуры пространства 1, 2 и ) в целое – двойной квадрат. Из точки p на стороне ep квадрата делаем засечку равную по величине отрезку иш (точка д). Соединим точки ш и д. Поставим из точки д перпендикуляр до пересечения с отрезком шж (точка ч). Мы получили прямоугольный треугольник ∆ шдч с длиной катетов шд = дч = 2. Длина гипотенузы шч будет равна четырём единицам (рис.34).

Из точки д через точку w проведём прямую до пересечения с отрезком шж. Получим точку пересечения г. Длина отрезка шг = 2( – 1) (рис.35).

А теперь зададим гипотенузу в целочисленных единицах бт = бэ = 3. Как результат катет шт = (рис.36).

На рисунке 37 показано построение числа 4, но уже из точки я. Гипотенуза треугольника ∆ югя = 4. Наряду с геометрическим решением задачи построения золотого

сечения рассмотрим решение уравнения, объединяющего

Рис.34 аддитивность с мультипликативностью алгебраически: = , или (– 1) = 1

или (+1) = 1 (1).

Рис.35 Рис.36

Из пропорции (1) мы получим выражение = , которое устанавливает пропорцию между отрезками а, в, их разностью и суммой. Поэтому о золотом сечении можно сказать иначе: два отрезка находятся в гармоничном состоянии, если их разность относится к меньшему отрезку так, как больший отрезок относится к их сумме.

Второе соотношение получается, если исходный отрезок принять равным единице: а + в = 1.

В таком случае: а 2 – в 2 = а – в = а · в (2).

Перейдём к решению пропорции (1). Используем две возможности.

1. Обозначим отношение через х. Тогда получим

Рис.37

уравнение (3) х 2 – х – 1 = 0, которое имеет иррациональные корни х 1 = = 1,61803…, х 2 = = – 0,61803…

Если принять целый отрезок за единицу, то, используя значение корня х 1, получим а = 0,61803…, в = 0,38196….

Если, а + в = 1, то, используя корень х 2, получаем: а' = – 1,61803…, в' = 2,61803….

Поэтому отрезок а' необходимо откладывать в отрицательном направлении (рис.38).

2. Второй вариант решения пропорции (1). Будем считать неизвестным отношение и обозначим его через у. Тогда получим уравнение у 2 + у – 1 = 0 (4), которое имеет иррациональные корни у 1 = = 0,61803…, у 2 = = – 1,61803…

Если, а + в = 1, то, используя корень у 1, получим: а = у 1 = 0,61803…, в = 0,38196…. Для корня у 2, получим а' = – 1,61803…, в' = 2,61803….

Запишем решения уравнений (3) и (4) в симметричном виде: х 1 = Ф = 1,61803…, х 2 = – ф = – 0,61803…,

у 1 = ф = 0,61803…, у 2 = – Ф = – 1,61803…

Золотая пропорция имеет две связи: Ф · ф = 1 и Ф – ф = 1 (5).

Из равенств (5) и соотношения (2) можно выделить три соотношения = 1, = 1,

– = 1 (6).

Рассмотрим, каким образом одномерный отрезок, разделённый в пропорции золотого сечения, может быть преобразован в двухмерный образ в виде треугольника. Для этого используя рис. 35, отложим на отрезке uж длину отрезка тG дважды – от точки u в сторону точки ж и, наоборот, из точки т в сторону ш.

Рис.38

Получим две точки L и J делящие отрезок um с разных концов в пропорции золотого сечения. Считая равные отрезки иL и mJ радиусами, а точки и и m центрами окружностей, проведём два круга с точками пересечения С и Р (рис.39). Соединив точки и и С, а также m и С, получим равнобедренный треугольник ∆ uСm со сторонами: um = 1, uС = mС = 0,…. Величину углов при вершинах u и m обозначим a, при вершине С – b. Вычислим эти углы. По теореме косинусов: (um) 2 = (uС) 2 + (Сm) 2 – 2 · (uС) · (Сm) · (cosb).

Подставив численные значения отрезков um и uС в эту формулу, получим:

2 cosb = = – ф .

b = Аналогично получаем: (Сm) 2 = (uС) 2 + (um) 2 – 2 · (uС) · (um) · cosa.. 2 cosa = = Ф.

a =

Если повернуть вокруг центров u и m отрезок равный по величине mR, как радиусы до их соприкосновения, то получим второй треугольник золотой пропорции. В этом равнобедренном треугольнике сторона um = 1, сторона uV = mV = Ф = 1,…, и поэтому по формуле теоремы косинусов получаем: 2 cosg == ф, g =

Рис.39 Угол при вершине V равен a = 36 0 и связан с золотой пропорцией соотношением (8). Как и в предыдущем случае, углы этого треугольника связаны с корнями уравнений (3) и (4).

Рассмотрим треугольник, объединяющий теорему Пифагора и золотую пропорцию. Чтобы построить такой треугольник, достаточно продолжить сторону mV треугольника umV до пересечения в точке E с перпендикуляром, восстановленным в

точке u к стороне um (рис.40).

Во внутреннем равнобедренном треугольнике mVE угол (ÐmVE) =

144 0, а угол y (ÐVEu и

ÐEuV) =Сторона uV = VE = mV = Ф. Используя теорему Пифагора получим, что длина катета uK = , uE = . Исходя из этого результата, приходим к соотношению:

2 cosj = = – Ф, j =

Рис.40

Итак, найдена непосредственная связь корня у 2 уравнения (4) – последнего из корней уравнения (3) и (4) с ÐВ связи с этим ∆ mVE можно назвать третьим треугольником золотой пропорции.