13. А. Картан, С.Эйленберг. Гомологическая алгебра. М., 1960. Главы 1-6 (стр.17-162)
14. . Алгебраическая геометрия. М., 1969. Главы 1-2 и параграфы 1-2 гл.3 (стр.3-183)
Геометрия и топология
I. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ
1. Элементы теории множеств. Упорядоченные множества. Трансфинитные числа. Трансфинитная индукция. Кольцо множеств. Сигма-алгебра. [1, глава 1].
2. Топологические и метрические пространства. Топологические пространства. Вес и базы топологического пространства. Метрические и метризуемые пространства. Связность. Аксиомы отделимости. Системы множеств и покрытия. Бикомпактные и паракомпактные пространства. Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра. Принцип сжатых отображений и его применения. Топологическое произведение. Теорема Тихонова. Многообразия. [2, главы 1,2], [3, глава 2].
3. Нормированные и топологические линейные пространства. Линейные пространства. Выпуклые множества и выпуклые функциионалы. Теорема Хана — Банаха. Евклидовы пространства. Топологические линейные пространства. [1, глава 3].
4. Топологические группы. Подгруппа, нормальный делитель, факторгруппа. Гомоморфизм. Прямое произведение. Связные и вполне несвязные группы. Непрерывные группы преобразований. Понятие группы Ли. [5, главы 3,7].
II. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. Методы алгебраической топологии. Задача распространения. Задача ретракции. Задача стягивания и накрытия. Классификация отображений окружности в себя. Фундаментальная группа. Односвязные пространства. [3, глава 4], [4, глава 1].
2. Комбинаторная топология. Триангуляции, барицентрические координаты и подразделения. Ориентируемость. Нормальные формы компактных ориентируемых поверхностей. Группы гомологий. Фундаментальная группа и одномерная гомологическая группа. Гомологии на компактных поверхностях. Теорема Хопфа. [3, глава 5], [4, глава 2].
3. Расслоенные пространства. Аксиома о накрывающей гомотопии. Локально тривиальные расслоения. Хопфовские расслоения сфер. Накрытия и секущие поверхности. Пространства путей и петель. Теорема о накрывающем пути. Теорема о расслоении пространства отображений. Накрывающие пространства. [4, глава 3].
4. Дифференцируемые многообразия. Гладкие многообразия и гладкие отображения. Оснащенные многообразия. Хопфовский инвариант. Классификация отображений трехмерной сферы в двумерную. [6, главы 1-3 и параграфы 12-13 главы 4].
5. Элементы римановой геометрии. Риманова поверхность аналитической функции. Невырожденные гладкие функции на многообразии. Теорема Стокса. Исчисление внешних дифференциальных форм. Аффинные связности. Риманова связность. Основы тензорного анализа. Геодезические и полнота. Римановы многобразия постоянной кривизны. [3, глава 6], [7, главы 1-2].
III. ДРУГИЕ ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ
1. Дискретные группы и кристаллография. Точечные решетки. Теорема Минковского и ее применения. Плотнейшая решетчатая упаковка кругов и шаров. Кристаллы как правильные точечные системы. Понятие федоровской группы. Классификация дискретных групп плоских движений. [8, глава 2], [11, глава 1, параграфы 1-3 главы 2, параграфы 1-2 главы 3].
2. Неевклидова геометрия и теория относительности Параллельные по Лобачевскому. Функция Pi. Эквидистантная поверхность и орисфера. Элементарная геометрия на поверхности Лобачевского. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Приложения к теории относительности. [8].
ЛИТЕРАТУРА.
1. , , Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1976.
2. , , Введение в теорию размерности, М.: Наука, 1973.
3. Спрингер Дж., Введение в теорию римановых поверхностей, М.: ИЛ, 1960.
4. Ху Сы-Цзян, Теория гомотопий, М.: Мир, 1964.
5. , Непрерывные группы, М.: Наука, 1973.
6. , Гладкие многообразия и их приложения к теории гомотопий, М.: Наука, 1976.
7. Милнор Дж., Теория Морса, М.: Мир, 1965.
8. , Высшая геометрия, М.: Наука, 1971.
9. Кон- Наглядная геометрия, М.-Л.: ГТТИ. 1951.
10. Касселс Дж. Введение в геометрию чисел, М.: Мир, 1965.
Теория вероятности и математическая статистика
Статистическое моделирование
I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
11. Вероятностное пространство и случайные величины.
Аксиомы теории вероятностей. Вероятность и ее свойства. Распределение, функция распределения, плотность распределения. Их свойства. Типы распределений.
12. Числовые характеристики случайных величин.
Математическое ожидание и его свойства. Моменты случайных величин. Неравенство Чебышева и Йенсена. Ковариационная матрица и ее свойства.
13. Характеристические функции.
Многомерное нормальное распределение.
14. Сходимость случайных величин и распределений.
Типы сходимости и связь между ними. Слабая сходимость распределений в метрических пространствах. Сходимость по вариации. Терема Шеффе. Слабый закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Теоремы Леви, Ляпунова, Линдеберга-Феллера.
15. Последовательность независимых случайных величин.
Закон нуля и единицы для независимых и перестановочных случайных величин. Неравенство Колмогорова и усиленный закон больших чисел. Теорема о трех рядах.
16. Дискретные цепи Маркова.
Классификация марковских цепей. Эргодичность и возвратность. Матрица перехода и ее свойства. Теорема о предельном поведении переходных вероятностей в марковской цепи.
17. Условные математические ожидания.
Условные распределения и их свойства. Функция регрессии. Условные гауссовские распределения.
18. Марковские цепи с произвольным пространством состояний.
Конечномерные распределения. Поглощающие состояния.
II. ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
19. Основные понятия
Теоремы Колмогорова о согласованности распределений и непрерывности траекторий. Винеровский и пуассоновский процессы и их свойства.
20. Стационарные процессы
Стационарные в широком смысле процессы. Спектральное представление корреляционных функций и стационарных процессов. Процессы скользящего суммирования и авторегрессии. Эргодическая теорема для стационарных в широком смысле процессов. Задачи прогноза.
21. Мартингалы
Теорема сходимости мартингалов. Теорема о преобразовании "свободного выбора".
22. Марковские процессы и семейства
Общее понятие полугруппы и инфинитезимального оператора марковского процесса. Строго марковское свойство. Марковские процессы с дискретным пространством состояний. Ветвящиеся процессы. Уравнение Чепмена — Колмогорова.
23. Стационарные в узком смысле процессы
Эргодическая теорема Биркгофа — Хинчина.
24. Процессы стохастической аппроксимации
Процедура Роббинса — Монро. Скорость сходимости в процедуре Роббинса — Монро. Процедура Кифера — Вольфовица.
III. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
25. Основные понятия
Типы наблюдений (матрицы, процессы). Природа признаков. Гистограммный анализ. Числовые характеристики признаков. Вероятностный подход в статистике. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная выборка. Функция правдоподобия. Статистики. Достаточные статистики. Распределение выборочных среднего и дисперсии (и их независимость) для выборки из нормального распределения.
26. Оценка параметров: Принципы выбора точечных оценок
Достаточное условие состоятельности. Эффективность. Неравенство Рао — Крамера. Эффективность и достаточность. Эффективность оценок параметров сдвига и масштаба для нормальной выборки. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия (м. м.п.). Свойства оценок м. м.п. (существование, эффективность, асимп тотическая нормальность). Доверительные интервалы (определение, примеры построения). Метод наименьших квадратов (м. н.к.). Свойства оценок. Доверительные интервалы для коэффициентов линейной регрессии. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции. Z-преобразование Фишера.
27. Проверка статистических гипотез.
Общая схема. Критическая функция. Значимость и мощность критерия. Лемма Неймана-Пирсона. РНМ-критерии. Гипотезы согласия, однородности и назависимости. Критерий хи-квадрат. Теорема Фишера о распределениии статистики критерия хи-квадрат. Критерий согласия Колмогорова — Смирнова. Критерий значимости коэффициента корреляции. Критерий однородности Стьюдента.
28. Многомерная статистика
Регрессионный анализ (Общая схема). Частные, множественный и канонические коэффициенты корреляции. Корреляционное отношение. Факторный анализ (главные компоненты). Дискриминантная функция Фишера. Дисперсионный анализ (щднофакторная схема). Теорема Фишера — Кочрена. Распределение Уишарта.
29. Анализ временных рядов
Стационарность ряда. Тренды. Метод скользящего среднего для снятия тренда. Критерии случайности ряда. Коэффициент корреляции Кендалла. Оценки корреляционной функции по реалилизации стационарного процесса. Оценка спектральной плотности. Периодограмма. Сглаживание оценок. Корреляционные и спектральные окна. Экстраполяция, интерполяция и фильтрация.
IV. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО
1. Моделирование случайных величин
Основные методы получения псевдослучайных чисел. Методы моделирвания случайных величин с заданным распределением. Трудоемкость моделирвания. Понятие имитационной модели. Моделирование марковских процессов. Моделирование гауссовских процессов. Моделирование стационарных в сильном смысле процессов.
2. Методы оценивания интегралов. Методы уменьшения трудоемкости
3. Оценки по поглощению и столкновению для решения интегральных уравнений
4. Решение задач переноса излучений
5. Решение простейших задач математической физики
V. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
1. Действия с приближенными величинами
2. Решение алгебраических уравнений
3. Решение систем линейных уравнений
Метод исключения Гаусса. Метод простой итерации.
4. Задача интерполирования
Интерполяционный многочлен Лежандра.
5. Численное дифференцирование и интегрирование
6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Метод Рунге — Кутта.
7. Вопросы общей теории решения диффренциальных и интегральных уравнений
Основные понятия. Теорема о близких уравнениях. Теорема сходимости.
8. Решение интегральных уравнений
Метод замены ядра на вырожденное. Метод механических квадратур.
9. Решение дифференцииальных уравнений
Проекционные методы. Метод Галеркина для уравнений 2-го рода. Метод Ритца.
11. Метод сеток решения задач математической физики
ЛИТЕРАТУРА
1. Ширяев . М., МЦНМО, 2007.
2. Боровков вероятностей. М., Либроком, 2009.
3. Введение в теорию вероятностей и теории меры. М., Мир, 1983.
4. Теория вероятностей и ее приложения. Т.1,2. М., Мир, 1984.
5. Розанов вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М., Наука, 1985.
6. Вентцель теории случайных процессов. М., Наука, 1996.
7. Сходимость вероятностных мер. М., Наука, 1975.
8. Соболь методы Монте-Карло. М., Наука, 1974.
9. , Михайлов статистического моделирования. М., Наука, 1982.
10. , Смирнов математической статистики. М., Наука, 1983.
11. Математические методы в статистике. М., РХД, 2003.
12. т. Статистические выводы и связи. М., Наука, 1973, т.3 Многомерный статистический анализ и временные ряды. М., Наука, 1976.
13. , Медведев в математическую статистику. М.: ЛКИ, 2010.
14. Линейные статистические модели. М., Наука, 1968.
15. , Жиглявский теория оптимального эксперимента. М., Наука, 1987.
16. Мысовских по методам вычислений, СПб, Изд-во С.-Петербургского университета, 1998.
17. , Жидков вычислений. М., Физматгиз, 1962.
18. , Акилов анализ. BHV-Санкт-Петербург, Невский Диалект, 2004.
19. , Крылов методы высшего анализа. М., Физматгиз, 1962.
20. Михлин методы в математической физике. М., Наука, 1970.
21. , Самарский математической физики. М.: Издательство МГУ, 2004
22. , Рябенький схемы. Введение в теорию. М., Наука, 1977.
23. Ермаков Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. - СПб.: Невский Диалект, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009, 192 с.
24. , Черный вычислений: В 4 ч. Новосибирск: НГУ, 2003
Теория вероятности и математическая статистика
1. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство. Условные вероятности, формула полной вероятности и формулы Байеса. Независимость случайных событий.
2. Случайные величины и их распределения, функции распределения. Дискретный и непрерывный типы распределения. Случайные векторы и их распределения. Независимость случайных величин. Теорема о существовании последовательности случайных величин с заданными конечномерными распределениями.
3. Последовательность независимых испытаний. Теоремы Лапласа. Закон больших чисел (теорема Бернулли и теорема Бореля с леммой Бореля — Кантелли). Теорема Пуассона. Простейший поток событий.
4. Моменты случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, их свойства, старшие моменты. Неравенство Чебышева. Смешанные моменты, коэффициент корреляции, корреляционная матрица.
5. Характеристические функции, их свойства. Формула обращения и теорема единственности. Характеристические функции и моменты. Характеристические функции случайных векторов. Многомерное нормальное распределение.
6. Слабая сходимость вероятностных распределений. Теорема Хелли. Слабая сходимость распределений и сходимость характеристических функций.
7. Последовательность независимых случайных величин, закон нуля и единицы. Неравенство Колмогорова Сходимость рядов из независимых случайных величин. Закон больших чисел, теоремы Чебышева, Маркова, Хинчина. Усиленный закон больших чисел, теорема Колмогорова.
8. Центральная предельная теорема, теоремы Леви, Линдеберга, Ляпунова, Феллера.
9. Дискретные цепи Маркова, основные определения, примеры. Классификация состояний. Критерий возвратности. Возвратные и невозвратные случайные блуждания. Асимптотическое поведение вероятности перехода. Стационарное распределение.
10. Марковские процессы со счетным множеством состояний. Уравнения Колмогорова. Процессы размножения и гибели. Ветвящиеся процессы, вероятность вырождения.
11. Условные вероятности и условные математические ожидания.
12. Процессы Маркова с произвольным множеством состояний. Уравнение Чепмена-Колмогорова Диффузионные процессы. Случайные процессы с независимыми приращениями.
13. Винеровский процесс. Процесс Пуассона. Условия непрерывности траекторий процесса с независимыми приращениями. Каноническое представление характеристической функции однородного процесса с независимыми приращениями (дисперсия конечна).
14. Стационарные процессы. Стационарность в узком и широком смысле. Корреляционная и спектральная теория стационарных процессов. Спектральное представление стационарного процесса. Экстраполяция
15. и фильтрация стационарных процессов. Закон больших чисел для стационарных процессов.
16. Безгранично делимые распределения. Каноническое представление безгранично делимой характеристической функции. Теорема Хинчина о классе распределений, предельных для распределений сумм независимых случайных величин при выполнении условия бесконечной малости. Условия сходимости к заданному безгранично делимому распределению.
17. Оценка скорости сходимости распределения суммы независимых случайных величин к нормальному распределению. Неравенства Эссеена и Берри — Эссеена.
18. Локальные предельные теоремы для сумм независимых случайных величин, теоремы Гнеденко для плотностей и для решетчатых распределений.
19. Предельные теоремы для вероятностей больших уклонений сумм независимых случайных величин, теорема Крамера. Неравенства Бернштейна.
20. Закон повторного логарифма для последовательности независимых случайных величин, теорема Колмогорова.
21. Выборочная функция распределения. Теорема Гливенко — Кантелли. Выборочные моменты как оценки генеральных моментов.
22. Свойства центральных и крайних членов вариационного ряда.
23. Распределение выборочного среднего и выборочной дисперсии для выборок из нормального закона Построение доверительных интервалов и проверка гипотез для параметров нормального закона.
24. Достаточные статистики. Теорема факторизации. Эффективное оценивание с помощью достаточных статистик. Неравенство Рао — Крамера. Метод моментов и метод максимального правдоподобия. Асимптотические свойства оценок метода максимального правдоподобия.
25. Понятие критической области. Ошибки первого и второго родов. Лемма Неймана-Пирсона. Критерий отношения правдоподобия для проверки сложных гипотез.
26. Критерий хи-квадрат. Критерий согласия Колмогорова. Критерий однородности Смирнова (проверка неизменности распределения по двум выборкам). Ранговый критерий Вилкоксона.
27. Выборочный коэффициент корреляции и его свойства. Ранговый коэффициент корреляции Спирмена.
28. Модель линейной регрессии. Оценивание параметров модели по методу наименьших квадратов. Теорема Гаусса — Маркова.
Изложение перечисленных вопросов можно найти в указанных ниже книгах, знание всего материала этих книг необязательно.
ЛИТЕРАТУРА
К пп. 1-19:
1. Боровков вероятностей. М., 2003.
2. Гнеденко теории вероятностей. М., Едиториал, 2005.
3. Введение в теорию вероятностей и приложения. Тома 1 и 2, М, 1984.
4. Колмогоров понятия теории вероятностей. М, 1974.
5. Ширяев . Тома 1 и 2, М, 2004.
6. Задачи по теории вероятностей, М., МЦНМО, 2006.
7. , , Виленкин . - М.: ФИМА, МЦНМО, 20с.
8. , Скороход в теорию случайных процессов. М., 1977.
9. , Ширяев случайных процессов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
10. Петров независимых случайных величин. М., 1972.
11. Петров теоремы для сумм независимых случайных величин. М., 1987.
К пп. 20-27:
1. Лагутин математическая статистика. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.
2. Кобзарь математическая статистика. Для инженеров и научных работников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.
3. Математические методы статистики. М., 1975.
4. Проверка статистических гипотез. М., 1979.
5. Боровков статистика. М., 2007.
6. , Медведев в математическую статистику. М., 2010.
Вычислительная математика
Параллельные алгоритмы
Математическая физика
1. Линейные операторы и функционалы. Теорема Хана — Банаха.
2. Нормированные пространства. Основные определения и свойства. Гильбертово пространство.
3. Линейные операторы и функционалы в гильбертовом пространстве.
4. Интегральное представление функционалов в пространствах измеримых функций.
5. Компактные операторы.
6. Сопряжённое уравнение. Теорема об обратном операторе.
7. Функциональное уравнение 2-го рода. Спектр. Резольвента.
8. Альтернатива Фредгольма.
9. Положительно определенные операторы.
10. Функционал энергии и задача об его минимуме.
11. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального оператора.
12. Собственный спектр положительно определенных операторов /понятие о спектре, собственные числа и элементы.
13. Разложение по собственному спектру положительно определенного оператора.
14. Задача Штурма — Лиувилля.
15. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, краевые условия и краевые задачи. Задача Коши, проблема существования и единственности решения.
16. Решения из класса обобщенных функций.
17. Сингулярные решения уравнений 2-го порядка.
18. Задачи Дирихле и Неймана.
19. Вариационный метод.
20. Уравнение теплопроводности, волновое уравнение.
21. Метод итерации. Теорема о сжатых отображениях.
22. Решение систем алгебраических уравнений основными методами итераций
23. Решение системы алгебраических уравнений методами исключений.
24. Оценки погрешности приближенного решения системы.
25. Итерационный метод нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.
26. Интерполирование. Погрешность, конечные разности.
27. Формулы Лагранжа и Ньютона.
Функциональный анализ
1. Комплексное гильбертово пространство. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.
2. Ортогональные системы в гильбертовых пространствах. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота. Ортогональные разложения.
3. Линейные функционалы. Слабая сходимость. Теорема Рисса. Слабая компактность.
4. Непрерывные полуторалинейные функционалы и операторы. Инволюция. Самосопряженность.
5. Сходимость операторных последовательностей (сильная, слабая, поточечная). Непрерывность линейных операций.
6. Конечномерные и компактные операторы. Определения. Свойство конечномерной аппроксимации. Операторы Гильберта - Шмидта.
7. Операторы проектирования. Алгебра проекторов. Последовательности проекторов.
Вычислительные методы
1. Машинные представления действительного числа. Влияние формы представления на вычислительный процесс.
2. Задачи линейной алгебры. Понятие о псевдорешении.
3. Гладкая аппроксимация и интерполяция. Сплайны Шонберга. Минимальные сплайны.
4. Производная нелинейной операции. Метод Ньютона.
5. Вторая производная нелинейной операции.
6. Скорость сходимости метода Ньютона.
7. Вычисление многократных интегралов.
8. Кубатурные формулы. Метод Монте-Карло.
9. Метод последовательных приближений для интегральных уравнений.
10. Метод механических квадратур. Метод моментов.
11. Некорректные задачи. Постановки Адамара и Тихонова, понятие о регуляризаторе.
12. Некорректная задача для интегрального уравнения первого рода.
13. Вариационный метод. Абстрактная схема.
14. Метод Ритца дли задачи Дирихле
15. Вариационно - сеточные методы. Оценка сходимости.
16. Сеточные методы. Постановка задачи. Аппроксимация, сеточный шаблон.
17. Устойчивость и сходимость. Теорема о порядке сходимости на решении.
18. Нестационарная задача. Оценка сходимости.
19. Задача Коши. Периодические решения. Условие Неймана.
20. Задача линейного программирования. Понятие вершины. Базисные переменные.
21. Симплекс-метод для задач линейного программирования.
Теория сплайнов и распараллеливание
1. Интерполяция и аппроксимация функций. Интерполяция Лагранжа, Эрмита, Эрмита-Биркгофа. Интерполяционные полиномы.
2. Нахождение неточно заданной входной информа-ции и исправление. Влияние округления при вычислениях на ЭВМ
3. Приближение различными типами сплайнов.
4. Эрмитовы кубические сплайны. В-сплайны. Минимальные сплайны.
5. Минимальные лагранжевы сплайны. Аппроксимационные тождества.
6. Обработка информации с помощью сплайнов
7. Применение минимальных сплайнов для сжатия и восстановления числовых потоков,
8. Применение к решению задач математической физики и распараллеливание.
9. Решение краевых задач вариационно-разностным методом.
10. Устойчивость вычислений. Приближения в комплексной области.
Теория всплесков и цифровые фильтры
1. О понятии "всплеск". Цифровые фильтры. Быстрое дискретное преобразование Фурье
2. Обработка сигналов и изображений. Естественная параллельная структура всплесковых преобразований
3. Кратно-масштабное уравнение и масштабирующая функция.
4. Примеры масштабирующих функций. Прямое разложение и пространство всплесков. Ортогональное разложение
5. Переход от одного базиса к другому. Формулы декомпозиции и реконструкции
6. Ортовсплески в ортогональном разложении цепочки вложенных пространств. Кратно-масштабный анализ.
7. Образующие минимальные сплайны. Пространства минимальных сплайнов. Приведенный образующий минимальный сплайн и его характеристический многочлен
8. Псевдосвертка и калибровочное соотношение. Цепочки приведенных сплайнов.
9. Формулы декомпозиции и реконструкции и их распараллеливание. Распараллеливание всплесковой фильтрации сигнала
10. О построении вейвлетного разложения на неравномерной сетке
Литература
1. , . Функциональный анализ. Наука.1977 (главы 1,2,4-7,9,11,12-14,17,18).
2. . Лекции по функционаьному анализу. М.: МЦНМО, 20с.
3. . Линейные уравнения в частных производных. Высшая школа. 1977 (главы 1-5,8-12,14,15,17,18,20-24).
4. . Лекции по методам вычислений. СПб. 1998.
5. . Введение в классическую теорию приближения функций. СПб. 20с.
6. , , . Эффективные по времени и памяти алгоритмические приближения чисел и функций. СПб. 20с.
7. . Вариационные методы в математической физике. 19с.
8. , . Теория минимальных сплайнов и их приложения. СПб.: -Петербургского университета, 20с.
9. Yukiya Aoyama, Jun Nakano. RS/6000 SP: Practical MPI Programming. IBM. Technical Sup-port Organization. 20p.
10. www. redbook. , 2003.
11. И. Добеши. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динами-ка". 20с.
12. . Минимальные сплайны и всплески СПб. 20с.
13. , и др. Параллельные алгоритмы. Разработка и реализация. М., 20с.
Статистическое моделирование
I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. Случайные события и их вероятности Аксиомы теории вероятностей. Вероятность и ее свойства. Распределение, функция распределения, плотность распределения. Их свойства. Типы распределений.
2. Числовые характеристики случайных величин. Математическое ожидание и его свойства. Моменты случайных величин. Неравенство Чебышева и Йенсена. Корреляционная матрица и ее свойства.
3. Характеристические функции Многомерное нормальное распределение.
4. Сходимость случайных величин Типы сходимости и связь между ними. Слабая сходимость распределений. Слабый закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
5. Последовательность независимых случайных величин Закон нуля и единицы. Неравенство Колмогорова. Усиленный закон больших чисел.
6. Дискретные цепи Маркова Классификация марковских цепей. Матрица перехода и ее свойства. Теорема о предельном поведении переходных вероятностей в марковской цепи.
7. Условные вероятности и условные математические ожидания.
II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
1. Основные понятия. Гистограммы. Числовые характеристики реальных данных. Генеральная и выборочная совокупности. Функция правдоподобия. Статистики. Достаточные статистики.
2. Принцип выбора точечных оценок. Эффективность, несмещенность, состоятельность. Неравенство Рао — Крамера. Свойство выборочных характеристик.
3. Методы построения точечных оценок. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок. Метод наименьших квадратов. Свойства оценок.
4. Построение доверительных интервалов. Построение доверительных интервалов для параметров нормального распределения.
5. Проверка статистических гипотез. Общая проверка гипотез. Два рода ошибок статистических исследований. Лемма Неймана — Пирсона. Критерий Гипотезы однородности, независимости, согласия. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения.
6. Многомерная статистика. Регрессионный анализ (общая схема). Частотные, множественные и канонические коэффициенты корреляции. Метод главных компонент. Дисперсионный анализ (однофакторная схема).
7. Планирование эксперимента. Факторные планы: дробные реплики полного факторного плана, латинские квадраты, сбалансированные неполноблочные планы. Основные понятия теории планирования регрессионного эксперимента. Теорема эквивалентности Кифера — Вольфовица. Случайная и систематическая погрешности при неадекватности линейной модели. Несмещенное (робастное) планирование.
III. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО
1. Моделирование случайных величин. Основные методы получения псевдослучайных чисел. Моделирование случайных величин с заданным распределением. Понятие имитационной модели. Моделирование марковских процессов.
2. Методы оценивания интегралов.
3. Оценки по поглощению для решения интегральных уравнений.
IV. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
1. Действия с приближенными величинами.
2. Решение алгебраических уравнений.
3. Решение систем линейных уравнений. Метод исключения Гаусса. Метод простой итерации.
4. Задача интерполирования. Интерполяционный многочлен Лежандра.
5. Численное дифференцирование и интегрирование.
6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге — Кутта.
7. Вопросы общей теории решения дифференциальных и интегральных уравнений. Основные понятия. Теорема о близких уравнениях. Теорема сходимости.
8. Решение интегральных уравнений. Методы замены ядра на вырожденное. Метод механических квадратур.
9. Решение дифференциальных уравнений. Проекционные методы. Метод Галеркина для уравнений II рода. Метод Ритца.
10. Метод сеток решения задач математической физики.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ширяев . М., МЦНМО, 2007.
2. Боровков вероятностей. М., Либроком, 2009.
3. Теория вероятностей и ее приложения. т. 1,2 - М.:Мир, 1984.
4. Сходимость вероятностных мер. М., Наука, 1981.
5. , Михайлов моделирование. М., Наука, 1982.
6. , Смирнов математической статистики. М.: Наука, 1983.
7. , Медведев в математическую статистику. М.: ЛКИ, 2010.
8. Математические методы в статистике. М., РХД, 2003.
9. Стьюарт выводы и связи. М.: Наука, 1973.
10. Линейные статистические выводы. М.: Наука, 1968.
11. Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия. М. Диалектика, 2011.
12. Проверка статистических гипотез. М., Наука, 1979.
13. , Жиглявский теория оптимального эксперимента. М., Наука, 1987.
14. , Вилисова в теорию планирования эксперимента, М: МГТИ, 2011.
15. Мысовских по методам вычислений, СПб, Изд-во С.-Петербургского университета, 1998.
16. , Черный вычислений: В 4 ч. Новосибирск: НГУ, 2003
17. , Жидков вычислений. М., Физматгиз, 1962.
18. , Акилов анализ. BHV-Санкт-Петербург, Невский Диалект, 2004.
19. Михлин методы в математической физике. М., Наука, 1970.
20. , Рябенький схемы. Введение в теорию. М., Наука, 1977.
21. Васильев решения экстремальных задач. М., Наука,1981.
22. Карманов программирование. М., Наука, 1985.
23. Жиглявский теория глобального случайного поиска. Л., ЛГУ, 1985.
24. Ермаков Монте-Карло в вычислительной математике. Вводный курс. - СПб.: Невский Диалект, М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009, 192 с.
Вычислительная математика. Исследование операций
I. Функциональный анализ.
1. Топологические и метрические пространства.
Общие сведения о множествах. Полнота и сепарабельность. Компактность в метрических пространствах.
2. Векторные пространства.
Основные определения. Линейные операторы и функционалы. Выпуклые множества и полунормы. Теорема Хана — Банаха.
3. Нормированные пространства.
Основные определения и свойства. Нормированные пространства измеримых функций и последовательностей. Гильбертово пространство.
Линейные операторы и функционалы.
Пространство операторов и сопряженное пространство. Функционалы и операторы в конкретных пространствах. Линейные операторы и функционалы в гильбертовом пространстве. Распространение линейных операторов. Последовательность линейных операторов. Основные теоремы. Некоторые приложения к теории функций.
4. Компактные и сопряженные операторы.
Компактные множества в нормированных пространствах. Компактные операторы. Сопряженные операторы. Компактные соамосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Интегральное представление самосопряженного оператора.
5. Интегральные операторы.
Интегральное представление операторов. Операторы в пространствах последовательностей и в пространствах функций. Теоремы вложения Соболева.
6. Функциональные уравнения.
Сопряженное уравнение. Уравнения с компактным ядром. Спектр. Резольвента. Альтернатива Фредгольма. Применение к интегральным уравнениям.
7. Общая теория приближенных методов.
Общая теория уравнений второго рода. Уравнения, приводящиеся к уравнениям второго рода. Применения к бесконечным системам уравнений, к интегральным и дифференциальным уравнениям.
8. Дифференцирование нелинейных операторов. Теорема о неявной функции. Метод Ньютона и его применение к конкретным функциональным уравнениям.
II. Уравнения математической физики.
1. Интегралы, зависящие от параметра.
2. Средние функции и обобщенные производные.
3. Пространства функций с обобщенными производными.
4. Положительно определенные операторы.
5. Собственный спектр положительно определенного оператора.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
