Программа вступительного экзамена в аспирантуру
по группе физико-математических специальностей научных работников
Математика, механика
(физико-математические науки)
2013
Вступительные испытания по специальности в аспирантуру СПбГУ по группе физико-математических специальностей научных работников имеет задачей выявить уровень профессиональной подготовки поступающих, их профессиональные навыки и способности.
Испытания проводятся в письменно-устной форме.
На письменную часть экзамена (2 вопроса) отводится 1 час 30 мин.
На подготовку к устной части (1 вопрос) – 30 мин.
При проверке письменных ответов члены комиссии имеют право задавать поступающему уточняющие вопросы по ответу.
Письменный ответ на каждый вопрос оценивается от 0 до 15 баллов, устный – от 0 до 20 баллов. Минимальный проходной балл за экзамен – 20 баллов.
Критерии оценивания письменных ответов
Дан полный ответ, отсутствуют ошибки и неточности – 15 баллов.
Ответ изложен в целом правильно, имеются незначительные неточности или несущественные ошибки – 11-14 баллов.
Ответ изложен недостаточно полно, имеются ошибки, не носящие принципиального характера – 6-10 баллов.
Ответ не раскрывает существа вопроса или допущены грубые ошибки – 0-5 баллов.
Критерии оценивания устного ответа
Дан полный ответ, продемонстрировано знание предмета и навыки устного изложения – 20 баллов.
Ответ в целом правильный, имеются незначительные погрешности, исправленные в ходе дискуссии – 15-19 баллов.
Ответ в целом правильный, но неполный или изложение недостаточно профессиональное или имеются погрешности, не носящие принципиального характера – 10-14 баллов.
Ответ схематичен, но отражает существо вопроса и не содержит грубых ошибок – 6-9 баллов.
Ответ не раскрывает существа вопроса или допущены грубые ошибки – 0-5 баллов.
Вещественный, комплексный и функциональный анализ
I. Дифференциальное исчисление
Дифференцируемые отображения и функции. Производные по направлению, частные производные класса C^n. Дифференцируемость отображений класса C^1. Формула Тейлора. Экстремумы и формула Тейлора. Относительные экстремумы, множители Лагранжа. Локальная обратимость отображения с обратимым дифференциалом. Теорема о неявной функции. Локальное задание гладких подмногообразий в R^n (явное, параметрическое и неявное задания). Касательное пространство.II. Теория меры и интеграла.
Системы множеств (полукольца, алгебра, сигма-алгебры, порожденные сигмы-алгебры, борелевская и лебеговская сигма-алгебра в R^n). Меры, их простейшие свойства (счетная полуаддитивность, мера объединения и пересечения монотонной последовательности множеств). Теорема Лебега — Каратеодори о продолжении меры с полукольца на сигма-алгебру. Мера Лебега в R^n. Мера Стилтьеса на вещественной прямой. Регулярность мер Лебега и Стилтьеса. Измеримые функции. Теорема Лебега об измеримости предела последовательности измеримых функций. Сходимость почти везде и сходимость по мере. Теорема Рисса о сходимости по мере. Функции, измеримые по Лебегу. Теорема Лузина. Интеграл (определение). Простейшие свойства (линейность, монотонность, оценка модуля). Суммируемые функции. Суммируемость по мере Лебега. Счетная аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла. Предельный переход под знаком интеграла (теорема Леви, теорема о мажорированной сходимости, лемма Фату, почленное интегрирование ряда положительных функций). Произведение мер. Теорема Фубини. Мера Лебега диффеоморфного образа множеств в R^n. Замена переменных в кратном интеграле Лебега. Заряды( счетно аддитивные вещественные функции множества). Вариация заряда. Заряд как разность мер. Теорема Радона — Никодима. Мера на римановом многообразии. Интегрирование по гладкому подмногообразию пространства R^n. Интегрирование дифференциальных форм. Формула Стокса (общий вариант, частные случаи: формулы Грина, Стокса, Гаусса — Остроградского). Точные и замкнутые дифференциальные формы и векторные поля. Дифференциальные критерии замкнутости. Трехмерные и двумерные варианты результатов (в терминах вихря и дивергенции).III. Комплексный анализ
IV. Функциональный анализ
Метрические пространства. Полные метрические пространства. Пополнение метрического пространства. Теорема Бэра о категориях. Нормированные пространства, банаховы пространства. Примеры (пространства непрерывных функций, пространства L^p, l^p, гильбертовы пространства). Линейные операторы. Норма оператора. Пространство операторов. Пространство, сопряженное с нормированным пространством. Сопряженный оператор. Поточечная сходимость последовательности операторов. Теорема Банаха — Штейнгауза. Теорема Хана — Банаха. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема о замкнутом графике. Связь между разрешимостью линейного уравнения и разрешимостью сопряженного уравнения. Описание пространств, сопряженных с конкретными пространствами (теорема Рисса-Маркова; пространства, сопряженные с пространствами L^p; пространство, сопряженное с гильбертовым пространством). Интегральные операторы, оценки их норм в конкретных пространствах. Интегральные операторы Гильберта-Шмидта в L^2. Компактные множества в метрических пространствах. Теорема Хаусдорфа об эпсилон-сетях. Теорема Арцела — Асколи о компактных множествах в пространствах непрерывных функций. Компактные линейные операторы. Компактность предела сходящейся по операторной норме последовательности компактных операторов. Компактность интегральных операторов в конкретных пространствах. Спектр и резольвента линейного оператора. Спектр компактного оператора. Приложения к теории интегральных уравнений (уравнения второго рода, альтернатива Фредгольма). Ортонормальные базисы в гильбертовом пространстве. Замкнутые и полные системы векторов. Замкнутость тригонометрической системы в L^2. Теорема Фишера — Рисса. Существование функции, непрерывной на окружности с расходящимся рядом Фурье. Преобразование Фурье. Формула обращения. Теорема Планшереля.Литература
Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление
Дифференциальные уравнения и прикладная кибернетика
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
1. Теорема Пеано.
2. Теорема о сходимости ломаных Эйлера в случае единственности.
3. Понятие интеграла уравнения первого порядка в симметричной форме.
4. Уравнение в полных дифференциалах.
5. Интегрирующий множитель.
6. Линейное уравнение 1-го порядка.
7. Система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных. Приведение к нормальной системе. Задача Коши.
8. Векторная запись нормальной системы. Геометрическое и механическое истолкование.
9. Условие Липшица. Лемма о связи локального и глобального условий Липшица.
10. Лемма о связи условия Липшица с дифференцируемостью.
11. Система интегральных уравнений, эквивалентная задаче Коши.
12. Метод последовательных приближений Пикара. Сходимость.
13. Теорема существования Пикара.
14. Лемма Гронуолла.
15. Теорема единственности.
16. Необходимое и достаточное условие продолжимости решения.
17. Максимальный промежуток задания.
18. Поведение решений при приближении к границе максимального промежутка задания. Случай ограниченных правых частей.
19. Поведение решений при приближении к границе максимального промежутка задания. Общий случай.
20. Продолжимость решений систем, сравнимых с линейными.
21. Интеграл системы дифференциальных уравнений. Постоянство его вдоль решения.
22. Независимые интегралы. Понижение порядка системы с помощью промежуточных интегралов.
23. Полный интеграл системы, его свойства.
24. Существование полного интеграла.
25. Линейные однородные уравнения. Определение, основное свойство.
26. Линейно независимые решения линейного однородного уравнения. Вронскиан.
27. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения.
28. Линейные неоднородные уравнения.
29. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
30. Линейные однородные системы. Основное свойство.
31. Линейно независимые решения линейной однородной системы.
32. Фундаментальная система решений линейной однородной системы. Общее решение.
33. Общее выражение для фундаментальной матрицы. Формула Лиувилля.
34. Линейные неоднородные системы.
35. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.
36. Аналитические функции от матриц. Радиус сходимости.
37. Аналитичность функции от подобных матриц.
38. Определение и свойства функции exp A.
39. Структура матрицы exp{At}.
40. Лемма о сравнении решений двух систем.
41. Теорема об интегральной непрерывности.
42. Решение, удовлетворяющее условию Липшица по начальным данным.
43. Непрерывность фундаментальной матрицы решений линейной системы по параметрам.
44. Дифференцируемость решений по начальным данным и параметрам.
45. Теорема Коши об аналитичности решений по аргументу.
46. Теорема Коши для линейных систем.
47. Автономные системы.
48. Теоремы об устойчивости линейных систем.
49. Оценка матрицы exp{At}.
50. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Введение
1. Линейные системы. Существование, единственность, продолжимость решения задачи Коши. Связь между интегральными матрицами.
2. Сопряженная система, ее интегральная матрица. Матрицант, его свойства, аналитичность по параметру. Структура вещественной интегральной матрицы в случае вещественной автономной системы.
3. Системы с периодическими коэффициентами. Матрица монодромии, мультипликаторы, теория Флоке, вычисление мультипликаторов методом разложения в ряд по параметру, мультипликаторы сопряженной системы. Характеристические показатели Ляпунова
4. Определение и свойства показателя. Показатель суммы, произведения, линейной комбинации конечного числа функций. Строгий показатель, признак его существования. Показатель интеграла Ляпунова. Показатель функциональных матриц. Показатели решений линейных систем с ограниченными коэффициентами
5. Теорема о конечности показателей нетривиальных решений. Признак линейной независимости решений. Спектр системы. Лемма о вычислении показателя по целочисленным последовательностям. Нормальные фундаментальные системы, признак нормальности. Неравенство Ляпунова для суммы характеристических показателей. Приводимые системы
6. Преобразование Ляпунова, его свойства. Теорема Еругина о приводимости систем с периодическими коэффициентами. Приводимость к системе с нулевой матрицей. Понятие почти приводимости. Его свойства. Почти приводимость линейной системы к вещественной диагональной. Правильные системы
7. Определение правильности линейной системы, признак.
8. Правильность систем, приводимых к системам с постоянными коэффициентами. Признак правильности Перрона. Коэффициенты неправильности Ляпунова, Перрона, Гробмана. Структура интегральной матрицы правильной системы. Системы с периодическими коэффициентами
9. Гамильтоновы системы. Однородные омега-периодические системы.
10. Нормальные решения, условия существования омега-периодических и анти-омега-периодических решений. Неоднородные омега-периодические системы. Условия существования единственного омега-периодического решения. Существование омега-периодического решения в случае наличия таковых у однородной системы. Теорема Массера. Существование омега - периодического решения у системы с малой нелинейностью.
11. Канонические системы. Их свойства, свойства решений. Возвратность характеристического уравнения системы с периодическими коэффициентами.
12. Системы, инвариантные относительно обращения времени. Устойчивость линейных систем
13. Теоремы об устойчивости линейных неоднородных систем.
14. Связь между устойчивостью и ограниченностью решений однородных систем, признак асимптотической устойчивости в терминах показателей.
15. Асимптотическая устойчивость систем Лаппо-Данилевского. Влияние линейного возмущения на свойство устойчивости. Теорема о сохранении устойчивости, о сохранении асимптотической устойчивости, о совпадении множеств характеристических показателей исходной и возмущенной систем.
16. Метод малого параметра оценки характеристических показателей системы.
17. Принцип линейного включения. Центральные показатели
18. Оценки характеристических показателей линейной системы. Понятие о верхнем и нижнем центральных показателях. Оценка Важевского. Оценки Лозинского. Оценка Алексеева. Теорема Винограда о границах подвижности крайних показателей. Теорема Миллионщикова о достижимости центральных показателей. Устойчивость характеристических показателей
19. Определение. Теорема о достаточном условии устойчивости.
20. Устойчивость показателей автономных и приводимых к автономным систем. Условие совпадения показателей исходной и возмущенной систем. Теорема Былова-Изобова-Миллионщикова. Коэффициентный признак Изобова устойчивости показателей системы второго порядка. Уравнение Хилла
21. Постоянная Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости уравнения Хилла. Теорема о неустойчивости. Понятие о параметрическом резонансе.
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
1. Основные понятия и определения. Оператор Ляпунова.
2. Функции Ляпунова. Основные теоремы второго метода Ляпунова.
3. Функции Ляпунова линейных систем. Устойчивость по первому приближению. Первый метод Ляпунова. Теорема о разложении решений.
4. Устойчивая и неустойчивая инвариантные поверхности.
5. Линеаризация автономной системы. Ее нормальная форма.
6. Нормальная форма на инвариантной поверхности. Формальная и аналитическая эквивалентность.
7. Аналитические семейства периодических решений.
8. Системы с интегралом.
9. Бифуркация периодических решений из положения равновесия.
10. Квазинормальная форма. Формальная и аналитическая эквивалентность.
11. Принцип сведения.
12. Критический случай одного нулевого корня. Критический случай пары чисто мнимых корней. Алгебраический и трансцендентный случаи.
13. Устойчивость периодических решений периодических и автономных систем.
ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ
1. Пространства динамических систем.
2. Гиперболичность.
3. Условия грубости.
4. Системы Морса-Смейла.
5. Аксиома A.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Введение
1. Предварительные сведения из теории аналитических функций.
2. Аналитическое продолжение решений. Отсутствие подвижных особенностей у решений линейных систем. Изолированные особенности линейных систем
3. Структура фундаментальной матрицы в окрестности изолированной особенности. Регулярные и иррегулярные особенности. Критерий регулярности. Регулярные особенности
4. Построение фундаментальной матрицы. Формальные решения.
5. Структура фундаментальной матрицы в случае особенности n-го порядка. Срезающее преобразование. Регулярные особенности линейных уравнений. Уравнения класса Фукса. Схемы Римана и Гаусса. Иррегулярные особенности
6. Сведения из теории асимптотических рядов. Построение формальных решений. Асимптотические разложения решений. Явление Стокса.
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДВУМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Общая теория динамических систем
1. Некоторые сведения из теории автономных систем дифференциальных уравнений. Определение общей динамической системы. Основная классификация движений и траекторий. Предельные множества траекторий. Устойчивость по Лагранжу. Классификация траекторий по свойствам предельных множеств.
Теория Пуанкаре — Бендиксона
2. Векторное поле, индуцированное динамической системой на гладком многообразии. Теория трансверсалей. "Прямоугольник" траекторий и его свойства. Контур Бендиксона. Отсутсвие замкнутых устойчивых по Пуассону траекторий на Rќ, R x S, Sќ и др. жордановых многообразиях. Теорема Пуанкаре — Бендиксона.
3. Принцип кольца. Сосуществование замкнутых траекторий и точек покоя. Теорема о еже (на Sќ).
4. Поведение траекторий в окрестности изолированной точки покоя (общая теория). Классификация точек покоя. Продолжение траектории за состояние равновесия. Уточнение структуры предельных множеств, содержащих незамкнутые траектории.
5. Теория циклов. Функция последования Пуанкаре. Связь неподвижных точек функции последования с замкнутыми траекториями. Характеристический показатель замкнутой траектории. Критерий ее устойчивости. Критерий Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий.
Свободные колебания
6. Уравнения Льенара. Поведение и устойчивость его предельного цикла при воздействии параметра. Уравнение Левинсона-Смита.
Траектории на торе
7. Число вращения. Зависимость природы числа вращения от наличия замкнутой траектории. Поведение траекторий при рациональном и иррациональном числах вращения. Теорема Данжуа.
ЛОКАЛЬНАЯ КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Исключительные направления, нормальные области, проблемы различения Фроммера.
2. Квазилинейные системы.
3. Проблема центра и фокуса.
4. Поведение траекторий на бесконечности.
5. Разрешение сложных особенностей аналитических систем.
6. Окрестность изолированной особой точки в R^n, n ™ 3.
7. Метод "раздувания" особенности. Теоремы Гомори.
8. Однородные системы.
ТЕОРИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Периодические решения
1. Периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений. Решения с несоизмеримыми периодами. Теорема Курцвейля-Еругина.
2. Метод Пуанкаре в теории периодических решений.
3. Нерезонансный случай.
4. Резонансный случай.
5. Метод осредненияв теории периодических колебаний.
6. Случай автономных систем. Зависимость периода от параметров и положения. Ограниченные решения
7. Квазилинейные системы.
8. Устойчивые ограниченные решения.
9. Седловые ограниченные решения.
10. Необходимые и достаточные условия существования ограниченных решений у систем с произвольной матрицей первого приближения.
Интегральные многообразия
11. Понятие интегрального множества и интегрального многообразия.
12. Теорема Ляпунова-Перрона.
13. Интегральные многообразия автономных и периодических систем.
14. Теорема Крылова-Боголюбова и ее обобщения.
15. Дифференциальные свойства интегральных многообразий.
16. Устойчивость интегральных многообразий.
17. Периодическое возмущение цикла автономной системы. Теорема Левинсона.
18. Принцип сведения в теории устойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Адрианова в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. Издательство Санкт-Петербургского университета, 1992.
2. Андреев точки дифференциальных уравнений. "Вышэйшая школа". Минск, 1979.
3. , , Майер теория динамических систем второго порядка. М., Наука, 1967.
4. , , Майер бифуркаций динамических систем на плоскости. М., Наука, 1967.
5. Арнольд главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978.
6. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., 1954.
7. Бибиков обыкновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа, М., 1991 (с грифом Мин-ва).
8. Бибиков нелинейные колебания и их бифуркации. Монография. Издательство Ленинградского университета, Л., 1991.
9. Бибиков уравнения на гладких многообразиях. Издательство Санкт-Петербургского университета. СПб, 1995 (с грифом).
10. Брюно метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М., 1979.
11. и др. Теория показателей Ляпунова. М., 1966.
12. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Мир, 1968.
13. Гантмахер матриц. М., 1967.
15. Голубев по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.-Л., 1950.
16. Демидович по математической теории устойчивости. М., 1967.
17. , Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1958.
18. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М., ИЛ, 1961.
19. Ляпунов задача об устойчивости движения. М.-Л., 1950.
20. Малкин задачи теории нелинейных колебаний. М., 1956.
21. Малкин устойчивости движения. М., 1966.
22. , . Качественная теория дифференциальных уравнений. М., 1949.
23. З. Нитецки. Введение в дифференциальную динамику. М., 1975.
24. Ж. Палис, В. ди Мелу. Геометрическая теория динамических систем. Введение. М., 1986.
25. Пилюгин в грубые системы дифференциальных уравнений. Л., 1988.
26. Плисс проблемы теории устойчивости в целом. Издательство Ленинградского университета. Л., 1958.
27. Плисс проблемы теории колебаний. М.-Л., Наука, 1964.
28. Плисс множества периодических систем дифференциальных уравнений. М., 1977.
29. А. Пуанкаре. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л., 1947.
30. Рейзинь эквивалентность дифференциальных уравнений. Рига, 1971.
31. Сибирский в топологическую динамику. Кишинев, 1970.
32. Дифференцируемые динамические системы // Успехи математических наук, 1970. Т.25, N 1.
33. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Мир, 1970.
34. , Старжинский дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. М., 1972.
35. Андреев в локальную качественную теорию дифференциальных уравнений. СПб.: Издательство Санкт-Петербургского университета. 2003.
36. Арнольд дифференциальные уравнения. 4-е изд. М.: 2000.
37. Басов нормальных форм в локальной качественной теории дифференциальных уравнений. Учебное пособие. I. Формальная теория нормальных форм. СПбГУ, 2001.
38. Басов нормальных форм в локальной качественной теории дифференциальных уравнений. Учебное пособие. II. Аналитическая теория нормальных форм. СПбГУ. 2002.
39. Бибиков обыкновенных дифференциальных уравнений. 2-е изд. .Изд. «Лань». 20с.
40. , Теория управления, Изд-во СПбГУ, 2006
Математическая физика
1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Продолжение решений.
2. Линейные дифференциальные уравнения. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа.
3. Линейные системы. Метод Эйлера. Матричный метод. Метод Лагранжа.
4. Зависимость решений от начальных данных и параметров. Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметров. Дифференциаруемость решений по начальным данным и параметрам. Теорема Коши.
5. Автономные системы. Траектории. Предельные циклы.
6. Устойчивость по Ляпунову. Устойчивость по первому приближению.
7. Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка.
8. Элементы вариационного исчисления. Функция Лагранжа (лагранжиан). Условия экстремума. Уравнения Эйлера — Лагранжа. Энергия. Импульс. Гамильтониан. Уравнения Гамильтона-Якоби.
9. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина.
10. Элементы функционального анализа. Банаховы и гильбертовы пространства, различные виды сходимости в них. Ограниченные и компактные операторы. Теория Фредгольма. Спектральная теорема для компактного самосопряженного оператора. Интегральные операторы и их свойства.
11. Общие сведения об уравнениях в частных производных. Примеры уравнений математической физики. Классификация уравнений второго порядка. Канонический вид уравнения в точке.
12. Задача Коши.
а) Абстрактная теорема Коши-Ковалевской в шкале банаховых пространств. Теорема Коши-Ковалевской в шкале банаховых пространств аналитических функций. Теорема Коши-Ковалевской для уравнений второго порядка. Свободные поверхности и характеристики. Теорема Хольмгрена. Канонический вид уравнений второго порядка в окрестности точки.
б) Уравнение теплопроводности. Принцип максимума для начально-краевой задачи и задачи Коши. Теорема единственности. Явный вид решения задачи Коши. Решение задачи Коши с ненулевой правой частью. Анализ решений.
в) Волновое уравнение. Теорема единственности. Формулы Д'Аламбера для струны и полуструны. Решение трехмерной задачи Коши методом сферических средних. Решение двумерной задачи Коши методом спуска. Решение задачи Коши с ненулевой правой частью. Анализ решений.
13. Уравнение Лапласа.
а) Свойства гармонических функций. Преобразование Кельвина. Прямая и обратная теоремы о среднем. Принцип максимума. Постановка задач Дирихле и Неймана. Теоремы единственности. Решение задачи Дирихле для шара. Неравенство Гарнака и теорема Лиувилля. Теорема об устранимой особенности. Теоремы о сходимости гармонический функций.
б) Субгармонические функции. Решение задачи Дирихле методом Перрона. Регулярные граничные точки.
в) Гармонические полиномы и сферические функции. Оператор Бельтрами и его свойства. Ортонормированная система сферических функций и ее полнота.
14. Теория потенциала для уравнения Лапласа. Поверхности Ляпунова. Поверхностные потенциалы и их свойства. Интеграл Гаусса. Скачок потенциала двойного слоя. Нормальная производная потенциала простого слоя. Интегральные уравнения теории потенциала. Разрешимость задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. Объемный потенциал и его свойства. Понятие о сингулярных интегральных операторах. Вторые производные объемного потенциала.
15. Задача Штурма — Лиувилля. Пространства Соболева в одномерном случае. Классическая и обобщенная постановки задачи Штурма — Лиувилля. Фредгольмова разрешимость и теоремы Фредгольма для задачи Штурма — Лиувилля. Собственные числа и собственные функции задачи Штурма — Лиувилля. Функция Грина для задачи Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова. Метод Фурье для пространственно одномерных нестационарных уравнений. Сингулярная задача Штурма — Лиувилля. Функции Бесселя. Сферические функции в трехмерном пространстве.
16. Пространства Соболева. Операция усреднения. Финитные функции. Соболевские производные и их свойства. Пространства Соболева. Неравенство Фридрихса. Теоремы вложения и теоремы о следах. Теорема об эквивалентных нормировках. Анизотропные пространства Соболева.
17. Ообобщенные решения эллиптических задач второго порядка. Обобщенная постановка задачи Дирихле и Неймана. Фредгольмова разрешимость и теоремы Фредгольма для обобщенных решений. Метод Галеркина для задачи Дирихле. Обобщенная задача на собственные функции, полнота системы собственных функций формально самосопряженного оператора. Гладкость обобщенных решений.
18. Прямые методы вариационного исчисления. Слабая полунепрерывность снизу и коэрцитивность функционалов. Теоремы существования минимума в вариационной задаче для всего пространства, выпуклого замкнутого множества, поверхности уровня другого функционала. Необходимые условия экстремума в пространстве, на выпуклом множестве, на поверхности уровня. Примеры.
19. Нестационарные задачи. Обобщенные решения начально-краевой задачи для параболических уравнений. Теоремы единственности и существования для слабых и сильных решений. Методы Галеркина и Фурье. Обобщенные решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения. Теоремы единственности и существовании решения. Метод Галеркина и метод Фурье.
20. Обобщенные функции. Пространства основных и обобщенных функций. Действия над обобщенными функциями. Полнота пространства обобщенных функций. Фундаментальное решение дифференциального оператора. Обобщенные функции медленного роста. Преобразование Фурье обобщенных функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бибиков обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991.
2. Смирнов высшей математики. Том IV, части I и II. М.: Наука, 1981.
3. , , Фомин управление. М.: Наука, 1979.
4. Михайлов уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.
5. Михлин математической физики. М., 2002.
6. Михлин в частных производных. М., 1977.
7. Владимиров математической физики. М., 1967.
8. Ладыженская задачи математической физики. М., 1973.
9. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Под редакцией . Л., 1981.
10. Егоров по уравнениям в частных производных. Дополнительные главы. М., 1985.
11. А. Куфнер, С. Фучик. Нелинейные дифференциальные уравнения. М., 1988.
12. Анализ. Новосибирск, 1998.
13. Владимиров функции в математической физике. М., 1976.
14. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М., 1989.
15. Методы современной математической физики. Т.1-4. М., 1977.
16. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.1-4. М., 1986.
17. Эванс с частными производными. Новосибирск, 2003.
18. , Гариепи меры и тонкие свойства функций. Новосибирск, 2002.
19. Дж. Буттацо, М. Джаквинта, С. Гильдебрандт. Одномерные вариационные задачи. Введение. Новосибирск, 2002.
20. Эванс слабой сходимости для нелинейных уравнений с частными производными. Новосибирск, 2006.
Математическая логика, алгебра и теория чисел
I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Векторные пространства. Линейная зависимость и независимость. Теоремы о базисах. Линейные отображения. Жорданова форма матрицы оператора. Евклидовы и унитарные пространства. Существование ортонормированного базиса, в котором матрица нормального оператора диагональна. Алгебры. Внешняя алгебра. Тело кватернионов.II. ТЕОРИЯ ГРУПП
1. Определение и примеры групп. Подгруппы, нормальные делители.
2. Центр. Коммутант.
3. Гомоморфизмы групп. Теоремы о гомоморфизмах.
4. Абелевы группы. Структура конечнопорожденных абелевых групп.
5. Конечные группы. Теоремы Силова.
6. Свободные группы. Подгруппы свободных групп.
7. Свободные произведения. Задание групп припомощи образующих и определяющих соотношений.
III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
1. Радикал Джекобсона.
2. Простые и полупростые кольца.
3. Структура простых и полупростых артиновых колец.
4. Теорема плотности.
5. Теорема о двойном коммутанте.
6. Конечномерные алгебры с делением над полем вещественных чисел.
7. Конечные тела.
8. Группа Брауэра.
9. Модули. Свободные модули.
10. Неприводимые и неразложимые модули.
IV. НА ВЫБОР ОДНА ИЗ СЛЕДУЮЩИХ ТЕМ:
1. Теория алгебраических чисел
2. Теория представлений групп и алгебр
3. Гомологическая алгебра
4. Алгебраическая геометрия
Замечание. Тема 4 может быть также выбрана самостоятельно при условии предварительного согласования с кафедрой.
ЛИТЕРАТУРА
I часть
1. . Основы линейной алгебры. М., 1956.
2. , . Вычислительные методы линейной алгебры. М.-Л., 1963, глава 1 (стр.9-143).
3. Избранные главы алгебры и анализа. Л., 1981 (изд. ЛГУ), гл.1
II часть
4. . Теория групп (3-е изд.), М., 1967, гл.1-4 (стр.15-137)
5. М. Холл. Теория групп. М., 1962, гл.1-6 и 13 (стр.11-107, 243-271)
6. , . Основы теории групп. М.,1977
III часть
7. Ван дер Варден. Алгебра. М., 1976
8. С. Ленг. Алгебра. М., 1968
9. А. Херстейн. Некоммутативные кольца. М., 1974
IV часть
10. , . Теория чисел. М., 1964. Главы 2-3 (стр.104-332)
11. Ч. Кэртис, И. Райнер. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М., 1969. Главы 1-7 (стр.15-338)
12. С. Маклейн. Гомология. М., 1966. Главы 1-5 (стр.19-224)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
