В типичных экономических задачах эта величина уi* может истолковываться, например, как приращение дохода при единичном возрастании объема соответствующего ресурса.

1.6. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ

Вернемся к рассмотрению задачи математического програм­мирования в общем виде (1.1, 1.2) и установим условия существо­вания оптимального решения в этом случае, а также попробуем провести аналогию с теорией двойственности в линейном прог­раммировании.

Общая задача оптимизации приводится к виду

max f(х) (х - n-мерный вектор); (1.11)

gi(x) = 0,i = 1,..., т(т<п). (1.12)

Введем функцию Лагранжа

(1.13)

где [ ] , i=1, …,m — произвольные величины — множители Лагранжа.

Рассмотрим частные производные функции по :

dL(x, )/d = - gi(x).

Для всех допустимых решений задачи (1.11, 1.12), т. е. для х Є К

L (x, ) = f(x) по определению.

Если L (x, ) достигает максимума по (x,λ) точке (х*, λ *), тогда все частные производные в ней равны нулю, т. е.

dL (x*, *)/ d = 0.

Следовательно, х* Є К и L (x*, *) = f (х*). Значит, х* обеспечива­ет максимум f(х) при х Є К (по определению L).

Из этих рассуждений вытекает формулировка метода Лагранжа:

1.Если L (х, ) достигает максимума в точке х*, *, тогда f(x) достигает максимума на К в точке х*.

2.Если f (х) достигает максимума на множестве K в точке х* то существует вектор * такой, что L (х, ) максимальна. Эти утве­рждения справедливы и для задачи на минимум.

Интерпретация множителей Лагранжа

Пусть теперь общая задача оптимизации представлена в виде max f(x) при
g i (х) ≤ bi, i = 1,..., т. При этом одно из ограничений является строгим равенством g i (х) = bi. Обозначим через v* опти­мальное значение целевой функции
v* = f(x). Малое ослабление i-го ограничения приводит к малым изменениям оптимальных значений переменных. Однако предполагается, что условия оп­тимальности по-прежнему удовлетворяются, поэтому новое сос­тояние, достигаемое в результате ослабления ограничений, также оптимально. Влияние ослабления i-го ограничения на оптималь­ное значение целевой функции определяется формулой

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

dv * / dbi =(df(x*)/dxj)(dxj/dbi).

Из ограничений (1.12) имеем (i - фиксированное, к — любое)

0, если к ≠ i

(dgk(x*)/dxj)(dxj /dbi) = 1,если к = i

Умножим к-е равенство на к* и просуммируем по к:

( *gk(x*)/dxJ)(dxj/dbi)= i *

в результате преобразований получим:

dv*/ dbi = i *

Таким образом, i* соответствует маргинальной (предельной) скорости изменения целевой функции относительно малого ос­лабления i-го ограничения при условии, что все остальные огра­ничения неизменны. Эта интерпретация аналогична интерпрета­ции двойственных переменных в теории линейного программи­рования.

В типичных экономических приложениях ограничения могут задаваться лимитами на ресурсы, а целевая функция — некото­рым индексом общественного благосостояния. Тогда оптималь­ные множители Лагранжа соответствовали бы маргинальным (предельным) общественным оценкам ресурсов.

Таким образом, множители Лагранжа в общей задаче оптими­зации играют роль двойственных переменных в линейном прог­раммировании. Обобщением условий оптимальности для общей задачи оптимизации являются условия Куна—Таккера.

Пусть х *— оптимальная точка для общей задачи оптими­зации:

max f (х); (1.14)

gi(x)≤0,i = 1,...,m, x ≤ 0. (1.15)

Неравенства (1.15) могут быть сведены к уравнениям путем ведения дополнительных переменных: х n+1, хп+2, …, хп+т.

Для того чтобы точка х* была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы пара точек (х*, *) образовала седло функции Лагранжа

т. е. выполнялись условия:

1)L'x≤ 0, L’х х* = 0, х≥0;

2)L’ ≥0 , L’=0, ≥0,

где L'x — вектор из частных производных L по переменным х;

L’— вектор из частных производных L по переменным .

Функция Лагранжа L (х, ) имеет в оптимальной точке макси­мум по х и минимум по y:

max min L (х, ) = min max L (х, )= L (х*, *).

x λ λ x

Такая точка называется седловой. Возникновение этого тер­мина объясняется видом графика функции Лагранжа в трехмер­ном пространстве (рис. 1.4).


1.7. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Ориентация на достижение высоких конечных результатов производства при наименьших затратах и рациональном использовании производственных ресурсов должна пронизывать все стадии и уровни планирования — от предприятия до народного хозяйства в целом. Для реализации этой задачи необходимо четко представлять и использовать в процессе формирования, анализа и обоснования планируемых вариантов все те зависимости, которые существуют между исходными условиями и конечными результатами работы каждой конкретной хозяйственной системы, прежде всего между показателями ресурсов и выпуском продукции. Одной из форм математического выражения такой зависимости служат производственные функции, характеризующие зависимость конкретного объема выпуска продукции от используемых основных производственных ресурсов.

Отражая в сжатой форме один из плавных экономических процессов — процесс производства продукции, производственные функции служат инструментом, позволяющим проводить разнооб­разные аналитические расчеты, определять эффективность использования ресурсов и целесообразность их дополнительного вовлечения в производство, планировать выпуск продукции и контролиро­вать реальность планов. Важную роль играют производственные функции и в качественном исследовании экономических систем, являясь неотъемлемой частью большинства комплексных моделей экономической динамики.

В основе концепции производственной функции лежат два принципа моделирования: целевая направленность и аппроксимационный характер экономических моделей.

Принцип целенаправленности моделирования состоит в последовательном использовании информации о цели построения модели и сфере ее последующего применения практически на всех этапах построения производственной функции — от формирования информационной базы до вычислительных методов оценки парамет­ров. Поскольку цели моделирования могут быть различными, в качестве моделей одного и того же процесса могут использоваться разные производственные функции.

Согласно аппроксимационному принципу каждая экономико-статистическая модель рассматривается как звено в системе ап­проксимации — процесса последовательного, приближенного и все более точного описания реального явления. Производственная функция конкретного объекта при таком подходе — не «истина в последней инстанции» и не выражение субъективного опыта иссле­дователя, а результат поиска наиболее адекватного в данных усло­виях математического описания процесса производства в конкрет­ной экономической системе. При этом условия построения произ­водственной функции включают имеющуюся в данный момент ин­формацию о характере функционирования производства, целях и доступных средствах моделирования.

Выделим производственную функцию (в дальнейшем ПФ) из множества экономико-математических моделей как особую эконо­мико-статистическую модель и рассмотрим ее признаки.

Объект моделирования. Непосредственным объектом моделиро­вания для ПФ являются процессы производства продукции в ре­ально функционирующих в течение определенного времени хозяй­ственных системах — на предприятии, в объединении, отрасли, ре­гионе или народном хозяйстве в целом. Соответственно уровню мо­делируемой системы в структуре управления народным хозяйством производственные функции делятся на народно-хозяйственные, ре­гиональные, отраслевые, а также производственные функции объе­динений и предприятий.

В ряде случаев в качестве самостоятельного объекта моделиро­вания рассматривается не вся хозяйственная система, а ее часть, состоящая из технологически относительно однородных единиц. Для ПФ во всех случаях характерно отражение функционирования моделируемого объекта как единого целого, без учета его организа­ционной структуры.

Системное описание объекта. В теории производственных функ­ций производственный процесс рассматривается с точки зрения преобразования ресурсов в продукцию. Входами при этом являются потоки ресурсов различного вида, полностью или частично исполь­зуемые при производстве, выходом — готовая к реализации про­дукция. Функционирующие в системе ресурсы, технология и усло­вия организации производства определяют потенциальные возмож­ности и состояние процесса.

Цели моделирования. Производственная функция строится для решения определенных экономических задач, относящихся к ана­лизу и прогнозированию. Применяются функции как самостоя­тельно, так и в составе более сложных экономико-математических моделей. В общем виде цель построения производственной функции можно охарактеризовать как анализ факторов роста или про­гнозирование объема выпуска продукции.

Принципы моделирования. В основе понятия производственной функции лежат следующие принципы, играющие аксиоматическую роль в теории производственных функций:

•  объем выпуска продукции, произведенной данной произ­водственной системой за период, определяется размерами средств труда, предметов труда и собственно труда, участвующих в процессе производства в течение этого периода;

•  связь между объемами выпуска и размерами средств труда и собственно труда является для данной системы закономерной и от­носительно устойчивой;

•  в ряде случаев дополнительно принимается, что в опреде­ленных границах любое независимое изменение аргументов произ­водственной функции допускает реальную интерпретацию.

Аппарат моделирования. Основным «материалом» для построе­ния ПФ служат зависимости у = f(x1,..,xn), где у — показатель объема выпуска, (х1,…,хп) — показатели объема производственных ресурсов. Функция f(х) должна быть определенной в достаточно широкой области n-мерного пространства Rn и вычислимой в об­ласти своего определения. Это означает, что исследователь должен располагать алгоритмом, позволяющим вычислять значения f(x) в любой точке, где она определена. Обычно производственная функ­ция у = f(x1,..,xn), строится подбором наиболее подходящей функ­ции из определенного параметрического класса F = af(x1,..,xn), где а = (a1,…,aк) — вектор параметров. Таким образом, непосред­ственным аппаратом моделирования являются параметрические классы вычислимых функций af(х). Как правило, имеет место за­висимость функции af(x) от функциональных, дифференциальных и интегральных уравнений.

Идентификация и интерпретация модели. Переменные у, х1,…,хп отождествляются с показателями объемов выпуска и основных уча­ствовавших в производстве ресурсов. Предполагается возможность спецификации параметров а1,..., ак производственной функции на основе статистических данных о выпуске и ресурсах за прошедшие периоды, а также экспертных, плановых и косвенных данных. Ме­тод оценки параметров зависит от целей построения функции, осо­бенностей моделируемого процесса и исходных данных. Интерпре­тация параметров, в свою очередь, зависит от метода их оценки. Часто для интерпретации полученных параметров привлекаются их выражения через значения показателей у, х1,..,хп и значения частных производных dy/dxi. Средства труда и предметы труда по-разному участвуют в про­изводстве продукции. Если первые переносят свою стоимость на продукт в течение длительного периода, то вторые входят непосред­ственно в состав готовой продукции и переносят свою стоимость на продукт в течение одного производственного цикла. Показатели, размерности которых имеют вид «количество в единицу времени», характеризуют материальные, финансовые и другие потоки в соот­ветствующую единицу времени. Показатели, полученные суммиро­ванием (если время считается непрерывным, то интегрированием) потоковых показателей за период, характеризуют запас ресурсов соответствующего вида. На практике потоки и запасы рассматри­ваются по отношению к конкретной хозяйственной системе, при­чем потоки определяются на входе и выходе системы, а запас — как разность между суммарным (интегральным) потоком на входе и выходе системы.

Основным результатом (выходом) производственной системы является готовая продукция. Она измеряется с помощью различных потоковых показателей. Те компоненты средств производства, ко­торые потребляются в одном производственном цикле и входят в состав готовой продукции, также измеряются потоковыми показа­телями. Например, затраты сырья, материалов, энергии измеряются количеством в единицу времени (год, квартал, месяц). Напротив, ресурсы, относящиеся к основным фондам, оцениваются показате­лями типа «запас» (на определенную дату или в среднем за период).

Показатели потока ресурсов характеризуют в первую очередь взаимоотношения производственной системы с окружающей сре­дой, показатели запасов — собственное состояние системы. Эти группы показателей не являются независимыми: потоки ресурсов, поступающие на предприятие, увеличивают его запасы. Так, поток сырья и материалов позволяет создать их запас для бесперебойного хода производства. Потоки ресурсов, поступающие на предприятие, обычно участвуют в производстве, лишь пройдя стадию запаса. При этом переход конкретного предмета из «потока» в «запас» происхо­дит не мгновенно, а в течение некоторого периода времени, затра­чиваемого на разгрузку, складирование, установку и т. п. Таким об­разом, общий процесс производства можно представить как сово­купность двух процессов: формирование запасов средств труда, предметов труда и трудовых ресурсов и переработка их в готовую продукцию (рис. 1.5).


При этом вход системы характеризуют показатели типа «поток», со­стояние — типа «запас», выход системы — показатели объема выпуска продукции в стоимостном выражении за год (также типа «поток»).

К настоящему времени сложилось несколько различных толко­ваний понятия производственной функции. Их можно распреде­лить на два класса соответственно двум направлениям экономико-математических исследований — теоретическому и прикладному.

Теоретическое направление ставит своей целью в основном каче­ственный анализ динамики экономических систем, поэтому про­блема спецификации параметров практически не рассматривается, а при интерпретации производственной функции и ее характери­стик используются лишь общеэкономические категории. По суще­ству, производственная функция отождествляется здесь с агрегиро­ванной экономической технологией и носит абстрактный характер.

Главной задачей прикладного направления является разработка методов построения и использования моделей конкретных эконо­мических систем — предприятий, объединений, отраслей и т. п. — на основании статистических, бухгалтерских и других данных. Для этого направления характерно широкое использование математике-статистических методов. В рамках этого направления в определении нуждается не абстрактное понятие производственной функции, а понятие «производственная функция данного объекта».

Построение, анализ и использование производственной функ­ции основаны на отражении ее в характеристиках и параметрах особенностей производства. Поскольку производственная функция строится как аппроксимация экономической технологии, характе­ристики последней служат промежуточным звеном между характе­ристиками моделируемого процесса и производственной функции. При этом информация о данном производственном процессе долж­на быть переведена на язык описания производственных свойств технологической функции, а те, в свою очередь, — в совокупность количественных критериев, которым должны удовлетворять харак­теристики производственной функции.

Основными элементами процесса производства на предприятии являются выпускаемая продукция, затрачиваемые ресурсы, а также технология и организация производственного процесса. Каждый из этих показателей характеризуется показателями объема, структуры качества.

Построение производственной функции

Предположим, что фирма производит только один вид про­дукции, используя несколько видов затрат. В этом случае фирма должна определить точку в пространстве затрат х = (х1 , х2, …, хп).

Здесь xj – количество j-го вида затрат в фирме; I - пространство затрат

I={x} = {(x1 , x2,..., хп)| xj ≥ 0}, j=1,2,…,n.

Каждой точке пространства затрат соответствует единственный максимальный выпуск продукта, произведенный при использовании этих затрат. Технологическая связь между выпуском продукции и затратами называется производственной функцией. Если обозначить через q объем выпуска, то производственную функцию можно записать в виде

q=f(x) = f (х1 , х2, …, хп )

Будем считать, что f(x) непрерывно дифференцируема, т. е. имеет непрерывные частные производные, которые называются в экономике предельными продуктами.

Свойства производственной функции могут меняться от точки к точке. Локальным показателем зависимости дохода от расширения масштаба производства, определенным в некоторой точке пространства затрат, является эластичность производства ε(X), т. е. эластичность выпуска по отношению к параметру масштаба производства α.

Эластичность замещения между затратами j и к, т. е. процентное изменение соотношения затрат, деленное на процентное изменение соотношения их предельных продуктов - σjk (X).

Эластичность замещения характеризует кривизну изоквант, т. е. множеств затрат, необходимых для одного и того же выпуска продукта:

{ХЄ I|f(X) = q 0},

где q° - заданный уровень выпуска.

Геометрическая иллюстрация производственной функции при
х =(х1 , х2) приведена на рисунке 1.6.

Рис. 1.6. Геометрическая иллюстрация производственной функции
при x=(х1 , х2); a - кривая выпуска продукции (закон убывающей доходности);
б — кривые среднего и предельного продукта

Приведем некоторые частные типы производственных функ­ций для двух видов затрат.

1. Линейная производственная функция:

q = α1 х1+ α2 х2; ε = ∞, σ= 1,

где αj - предельный продукт, j = 1,2.

3.Производственная функция Кобба-Дугласа:

q=b0 х1 b1 х2b2 ; ε =l; σ = b1+b2,

где b1, b2 - эластичность выпуска продукции по отношению к затратам;

b0> 1 – const.

3. Производственная функция «затраты-выпуск»:

q = min (х1 /с1, х2 / с2) или хj ≥ cj q, j = 1, 2; ε = 0; σ = 1,

где cj — количество затрат j, необходимых для производства единицы продукции.

В качестве примера применения производственной функции Кобба-Дугласа приведем расчет для обрабатывающей промышленности СССР за 1гг. Эмпирическая производственная функция у = 1,01 * l^0,72 * к^0,28, где y - объем производства, l- затраты труда, к - капитал, приемлема лишь для экстенсивного экономического роста.

1.8. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Статической задачей рационального ведения хозяйства (или рациональной экономической деятельности) называют задачу распределения ограниченных ресурсов для достижения комплекса конкурирующих целей в некоторый определенный момент времени. Представленная в такой форме задача была названа задачей математического программирования в статической форме, т. е. в фиксированный момент времени. Динамическая задача рационального ведения хозяйства — это задача распределения ограниченных ресурсов для достижения комплекса конкурирующих целей на протяжении некоторого промежутка времени от начального момента до конечного. Задача, представленная в такой форме, называется задачей управления. Управляемый экономический объект в этом случае - динамическая система [1.10; 1.11; 1.12; 1.14].

Динамическая система — всякая система, которая изменяется во времени. Математически этот процесс выражается через изменение ее переменных (координат). Процесс их изменения характеризуется траекторией:
Q(t) = [g1(t), g2(t),...,gn(t)] координаты g1, g2 ,..., gn являются функциями времени. При фиксировании определенного момента времени получаем состояние системы
Q = [g1, g2,…,gn]. Модели состояния — статические.

Динамические модели экономики — модели, описывающие экономику в развитии. На их основе прогнозируют развитие экономики, рассчитывают планы и программы.

Существуют два принципиально различных подхода к построению динамических моделей.

Первый подход заключается в исследовании равновесия в экономической системе, т. е. такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Задачи экономической динамики включают как описание процессов выхода системы к состоянию равновесия, так и процесс трансформации состояния равновесия под воздействием внешних сил. В последнем случае задача сводится к отысканию равновесной траектории, т. е. траектории уравновешенного, сбалансированного экономического роста, который представляет собой результат взаимодействия множества элементов экономической системы.

Второй подход — оптимизационный. Он состоит в целенаправленном выборе из числа возможных траекторий экономического развития оптимальной траектории (например, обеспечивающей наибольший объем фонда потребления за плановый период).

Математическое описание динамических моделей производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений.

Информационная база динамических моделей дополнительно содержит нормативы, характеризующие связи между разновременными показателями, лаги (запаздывания) и коэффициенты соизмеримости показателей во времени (коэффициенты дисконтирования).

С точки зрения теоретического анализа равновесных моделей большое значение приобрели динамическая модель фон Неймана и теоремы о магистралях [1.4].

В указанной модели производство всех продуктов растет в одном темпе с ростом затрат, темп снижения цен не зависит от времени, прирост производства финансируется путем инвестирования прибыли. Модель замкнута в том смысле, что все выпуски одного периода становятся затратами следующего периода; первичные факторы в ней не используются. Потребление рассматривается как затраты в технологическом процессе, производящем труд, который будет использоваться в производстве следующего периода.

Нейман описывает экономику, характеризующуюся линейной технологией производственных процессов, которая состоит из m процессов. С их помощью n видов затрат превращаются в n видов продукции.

Траектория, соответствующая максимальному сбалансированному росту называется лучом фон Неймана.

Динамическое программирование является одним из двух современных направлений в теории задач оптимального управления. Сформулируем эту задачу в математических терминах.

Предположим, что управляемая экономическая система непрерывно изменяет свое состояние во времени как под влиянием внутренних взаимосвязей своих элементов, так и при внешнем воздействии (управлении).

Введем в рассмотрение некоторые переменные величины, называемые управляющими параметрами. Задано некоторое множество функций времени, называемое множеством управлений.

Задача состоит в выборе управляющих параметров как функций времени, принадлежащих множеству управлений.

Поведение системы (объекта) описывается с помощью некоторых других переменных, называемых фазовыми координатами, также зависящих от времени и от управляющих параметров.

Значения фазовых координат в каждый момент времени выбираются таким образом, чтобы максимизировать заданный целевой функционал, зависящий от фазовых координат и управляющих параметров. Функции времени для управляющих параметров и для фазовых координат связаны с помощью системы дифференциальных уравнений, называемых уравнениями движения. Задача, представленная в указанной форме, называется задачей управления.

Оптимальной траекторией {х*(t)} является такая допустимая фазовая траектория, заканчивающаяся на конечной поверхности, на которой достигается максимум целевого функционала.

Перейдем к рассмотрению основного метода решения задачи управления - метода динамического программирования, который представляет собой оптимизационный подход в динамическом моделировании экономики.

Сущность подхода состоит в следующем: данная конкретная задача управления «погружается» в более широкий класс задач, которые характеризуются рядом параметров; затем с помощью принципа оптимальности определяется основное рекуррентное соотношение, связывающее задачи из этого класса.

Если выполнены некоторые дополнительные предположения относительно гладкости участвующих в рассмотрении функций, то из главного рекуррентного соотношения вытекает основное дифференциальное уравнение в частных производных — уравнение Беллмана, с помощью которого можно найти решение вышеупомянутого широкого класса задач.

Динамическое программирование представляет собой метод нахождения оптимальных решений в задачах, где процесс решения может быть разбит на шаги или подзадачи. Большой вклад в разработку теории динамического программирования внес американский ученый Р. Беллман. Формулировка принципа оптимальности, данная Беллманом, звучит так: «Оптимальное поведение обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение (т. е. управление) в начальный момент, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения».

Условно принцип Беллмана можно записать в следующем виде:

Z*k=max{fk + Z*k+l},

где fk - множество решений на к (текущем) шаге;

Z* к+1- оптимальные решения на k+1 шагах;

Z*к - оптимальное решение на к (текущем) шаге.

Предположим, что общая задача управления имеет решение, т. е. существует функция оптимального поведения для всех возможных управлений:

Тем самым задача оказывается «погруженной» в более широкий класс задач, характеризуемых значениями п+1 начальных параметров.

Если бы уравнение Беллмана было решено, мы получили бы функцию оптимального поведения. Тогда оптимальное значение целевой функции для исходной задачи можно было бы определить как частное значение этой функции при заданных конкретных начальных условиях.

В общем случае это уравнение в частных производных не имеет аналитического решения. При использовании разностей размерность задачи возрастает многократно. Беллман назвал это препятствие «проклятием размерности».

Во многих динамических задачах время рассматривается не как непрерывная, а как дискретная величина. Задачи такого типа, называемые многошаговыми задачами оптимизации, можно также решать методом динамического программирования.

Математически оптимизационная задача строится с помощью рекуррентных соотношений (результат для одного года вводится в уравнение для следующего). Процесс принятия оптимального решения многошаговый, т. е. вычисление последствий каждого решения является условием для выработки оптимальной стратегии для будущих решений. Общим подходом является то, что переменные в модели рассматриваются не вместе, а последовательно, одна за другой, т. е.строится такая вычислительная схема, когда вместо одной задачи со многими переменными строится много задач с малым числом (или одной!) переменных в каждой.

Принцип оптимальности Беллмана для многошаговых задач тот же - будущие результаты не зависят от предыстории того состояния системы, при котором принимается решение, и общее оптимальное решение является суммой оптимальных решений каждого шага.

Основное уравнение Беллмана устанавливает разрешающие правила многошагового процесса оптимизации.

В многошаговых задачах оптимизации время принимает дискретные значения. Многошаговая задача оптимизации методом динамического программирования приведена к последовательности одношаговых задач оптимизации.

Примеры применения моделей динамического программирования:

•  задачи планирования деятельности экономического объекта (предприятия, отрасли) с учетом изменения потребности в производимой продукции во времени.

•  оптимальное распределение ресурсов между различными направлениями использования во времени (например, распределение урожая зерна каждого года на питание и на семена так, чтобы за ряд лет получить максимум хлеба).

1.9. ОПТИМИЗАЦИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННСТИ

Ранее рассматривались оптимизационные модели, для практической реализации которых необходимо полностью детерминированное, т. е. однозначное, представление всех исходных данных (удельная прибыль, потребительский спрос, уровни запасов и т. д.). Предполагалось, что задание числовых значений параметров, фигурирующих в соответствующих моделях, не сопряжено с какой бы то ни было неопределенностью.

В реальных условиях, по крайней мере, некоторые из упомянутых показателей известны лишь приближенно. Есть экономические объекты (или ситуации), когда влияние неопределенных векторов является существенным. Это означает, что принципиально невозможно в каждый данный момент времени получить абсолютно точные сведения обо всех процессах, которые в этот момент происходят.

В задачах микро - и макроэкономики появление неопределенных факторов вызывают:

•  рост масштаба и усложнение структуры народного хозяйства;

•  влияние достижений науки и техники, прогнозировать ко­торые можно лишь с некоторой вероятностью;

•  рост материального благосостояния и культурного уровня населения, что делает потребительский спрос подвижнее, изменяет структуру отраслей;

•  влияние внешних по отношению к экономической системе факторов (погодные условия, внешнеполитические обстоятельства и т. д.).

Кроме того, неопределенность создается характером информации об экономических процессах: ее неизбежной неточностью, запаздыванием, искажением и сокрытием, случайным выбором своей стратегии конкурентом на рынке. Поскольку каждая выбираемая стратегия может привести к разным результатам, оценка результата принимаемого решения может быть получена с некоторой вероятностью.

При решении задач оптимизации управляющих решений в условиях неопределенности с единственным критерием оптимальности чаще всего оптимизируется математическое ожидание целевой функции. Однако использование единственной целевой функции в общем случае продиктовано лишь удобством математика-моделиста. Руководители же, имеющие опыт практического применения экономико-математических моделей, хорошо знают, что получаемое с помощью математической модели решение редко является оптимальным «со всех точек зрения».

Принятие решений в условиях неопределенности - это задача управления экономическим процессом при необходимости действовать в ситуации, известной не полностью. Формулируют ее обычно как задачу поиска наилучшего (в каком-нибудь смысле) решения на заранее заданном множестве допустимых решений [1.8, 1.13, 1.17, 1.23]. Обычно выделяют два направления.

1.  Выбор решения, когда каждое действие приводит к одному из множества возможных частных исходов, причем о каждом исходе лицу, принимающему решение (ЛПР), известна вероятность его появления. Математическая теория таких задач управления называется стохастическим (вероятностным) программированием.

2.  Выбор решения, когда то или иное действие имеет своим следствием множество возможных частных исходов, но вероятности этих исходов совершенно не известны. В этом случае при выборе метода решения задачи управления требуется учитывать природу факторов неопределенности:

•  наличие двух и более критериев — показателей качества функционирования управляемой системы; здесь применяются методы многокритериальной оптимизации (оптимизации по Парето) и теории игр;

•  наличие помех, возмущений, ошибок измерений и другого вида неопределенностей, о которых известна лишь граница изменений, а какие-либо статистические характеристики отсутствуют. Практика управления в этом случае порождает математическую теорию нечетких множеств (нечеткой логики).

Оптимизация управления во всех перечисленных задачах сводится к попыткам прогнозировать результаты функционирования объектов в условиях неопределенности и математически приводит к построению моделей с риском. Современная экономическая теория выделяет отдельное научное направление: теорию управления риском, математический аппарат которой объединяет разные методы и модели.

Многокритериальная оптимизация

Стохастическая, или вероятностная, оптимизация представляет собой статистический подход к учету неопределенностей, когда случайные отклонения конкретных показателей (параметров модели) подчиняются известному закону распределения.

Необходимость принятия оптимального управляющего решения в условиях множества конкурирующих критериев выбора вариантов определяет многокритериальный подход или векторную оптимизацию. Методы многокритериальной оптимизации составляют математическую основу теории экономического риска: принятие решений в условиях «проблемной» неопределенности, когда качество или эффективность различных вариантов реализации (например, инвестиционных проектов) в принципе невозможно оценить одной целевой функцией. Достаточно адекватную оценку можно получить лишь с помощью векторной целевой функции, состоящей из целого ряда разнородных критериев [1.28, 1.36, 1.38].

Приведем примеры критериев оценки эффективности инвестиционных проектов, которые желательно одновременно учитывать:

1. Внешние, инфраструктурные, критерии:

1.1.Непротиворечивость действующему законодательству.

1.2.Степень загрязнения окружающей среды.

1.3.Воздействие на уровень занятости населения.

1.4.Согласованность с социально-экономической ситуацией (в регионе или стране).

2. Собственные характеристики (критерии) предприятия:

2.1.Компетентность руководящего персонала.

2.2.Маркетинговая стратегия поведения на рынке.

2.3.Финансовая состоятельность.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6