Методы экономико-математического моделирования (стр. 4 )

9.В ходе моделирования СМО накапливаются статистичес­кие данные о процессе обслуживания.

10. Определяются показатели качества функционирования системы путем обработки накопленных результатов моделирования методами математической статистики.

1.12. ИГРОВЫЕ МЕТОДЫ

Математические модели управления поведением экономи­ческих систем в рыночных условиях — это, как правило, задачи оптимизации. Каждый действующий субъект рынка — индивиду­альный потребитель или руководитель фирмы принимает ре­шение в предположении, что известны целевая функция, инструментальные переменные и ограничения. Его решение не зависит от решений других субъектов, действующих на том же рыночном сегменте (с тем же товаром). В действительности рыночная конкуренция всегда приводит к тому, что на одном и том же рыночном сегменте действуют несколько участников (равноправных).

Задачи принятия решений на рынке одного товара с несколь­кими равноправными участниками рассматривает математичес­кая дисциплина, называемая теорией игр. В задачах такого типа оптимальное значение целевой функции для каждого из участни­ков зависит от решений, принимаемых всеми остальными участ­никами [1.4, 1.10].

В экономической практике часто появляется необходимость согласования действий фирм, объединений, отдельных предпри­нимателей и других участников рыночных процессов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений в промыш­ленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, особен­но при заключении договоров с иностранными партнерами на любых иерархических уровнях. Так, можно определить научно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарных запасов, решать задачи организации экскурси­онного обслуживания и выбора новых линий городского транс­порта, задачу планирования порядка эксплуатации месторожде­ний полезных ископаемых в стране и т. д. Метод теории игр мож­но применять при выборочных обследованиях конечных сово­купностей, при проверке статистических гипотез.

Предметом теории игр являются такие ситуации, в которых важную роль играют конфликты и совместные действия. Ана­логичные с математической точки зрения положения возникают в общеизвестных «салонных» играх (покер, бридж, шахматы, крестики-нолики и др.). Поэтому терминология этой математи­ческой дисциплины имеет много заимствований из «игрального» словаря.

Приведем основные понятия теории игр.

Игроки - лица, принимающие решения (группы лиц, фирм, стран).

Платежная функция — критерий оптимальности или целевая функция.

Выигрыш - значение целевой функции (т. е. полезность).

Игра — совокупность известных всем игрокам правил, кото­рые определяют, что может делать игрок и каковы последствия и выигрыш в результате каждого отдельного действия.

Ход — выбор одного из возможных вариантов игроком (последовательности действий) в игре.

Стратегия — набор правил, формулируемых до игры, которые определяют выбор варианта в любой из возможных ситуаций.

Классификация игр может быть проведена по различным признакам:

• по числу игроков - игры с двумя, тремя и более участника­ми (антагонистические, кооперативные, коалиционные);

• по количеству стратегий — конечные и бесконечные игры;

•  по свойствам платежной функции — игры с нулевой суммой, игры с постоянной разностью (ненулевой суммой);

•  по характеру предварительной договоренности — кооперативные и некооперативные.

Способы описания игр могут быть словесными, графическими, математическими.

Развернутая форма — словесная либо в виде дерева возмож­ных комбинаций вариантов (графическая схема): какие ходы мо­гут делать игроки, какой информацией они располагают, какие Могут быть предельные размеры платежей в конце игры.

Другое название развернутой формы - игра с полной информацией (шахматы, крестики-нолики). Например, покер - игра с неполной информацией, где неизвестны наборы карт у соперника.

Нормальная форма — описываются все возможные стратегии каждого игрока и определяются платежи в любой возможной комбинации стратегий всех игроков. Математически изображается в виде платежной матрицы.

Платежная матрица (матрица эффективности, матрица игры) включает все значения выигрышей (в конечной игре). Пусть иг­рок 1 имеет т стратегий Ai а игрок 2 — п стратегий Bj (i = 1,..., m; j = 1,…,n). Игра может быть названа игрой т х п. Представим матрицу эффективности игры двух лиц с нулевой суммой, сопро­водив ее необходимыми обозначениями (табл. 1.1.).

В данной матрице элементы aij (значения выигрышей иг­рока 1) могут означать и математическое ожидание выигры­ша (среднее значение), если выигрыш является случайной величиной. Величины αi, i = 1,..., т и βj, j = 1,..., п — соответ­ственно минимальные значения элементов aij по строкам и максимальные - по столбцам. Их содержательный смысл бу­дет отражен ниже.

Таблица 1.1

Платежная матрица: нормальная форма записи игры

Элементами матрицы являются выигрыши игроков, а столбцы и строки — стратегии игроков. Платежная матрица имеет размерность т х n, m — число возможных стратегий иг­рока 1, п — число возможных стратегий игрока 2. Предполага­ется, что каждому из игроков известны все элементы платеж­ной матрицы.

Аппарат теории игр предназначен для выбора оптимального решения в усло­виях неопределенности, т. е. в ситуациях, когда отсутствует полная информа­ция, необходимая для выбора решения.

Первые работы по теории игр относятся к началу XX в. Основателем тео­рии игр является американский ученый-математик Дж. фон Нейман, который в 1928 г. доказал основополагающую теорему теории игр - теорему о мини-максе.

Определенную роль в развитии теории игр сыграло создание и совершен­ствование ЭВМ.

Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия иг­рока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях друго­го игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом: для каждого значения i (i =1,…,m) определяется мини­мальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2: min aij (i = 1, …, m), т. е. определяется минимальный выигрыш для игрока 1 при условии, что он примет свою i-ю чистую стратегию, затем из этих мини­мальных выигрышей отыскивается такая стратегия i = i0, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т. е. находится по формуле:

min aij = a i0j0 = α (1.21.).

j

Число α, определённое по формуле (1.21.) называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2. Игрок 2 при оптимальном своём поведении должен стремится по возможно­сти за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1. По­этому для игрока 2 отыскивается max aij т. е. определяется max выигрыш игрока 1, при условии, что игрок 2 применит свою j-ю чистую стратегию, за­тем игрок 2 отыскивает такую свою j = jI стратегию, при которой игрок 1 по­лучит min выигрыш, т. е. находится по формуле:

min max aij = ai1j1 = α (1.22.).

j i

Число α определяемое по формуле (1.22.), называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегии может себе гарантировать игрок 1. Другими словами, применяя свои чисты стратегии игрок 1 может обеспечить себе выигрыш не меньше α, а игрок 2 за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем α .

Если в игре с матрицей А α = α , то говорят, что эта игра имеет седловую

точку в чистых стратегиях и чистую цену игры v = α = α .

Седловая точка - это пара чистых стратегий (i0j0) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство α = α. В это понятие вложен сле­дующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке.

Глава 2

ПРАКТИЧЕСКОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ

2.1. ТЕХНОЛОГИЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Среди инструментов практической реализации теории при­нятия управленческих решений методы экономико-математи­ческого моделирования, объединяющие прикладные приложе­ния математики, теории управления и информатики, являются одними из самых сложных. Поэтому практическое использова­ние методов математической экономики в менеджменте пред­приятия предполагает освоение специалистами технологии моде­лирования.

Технология — совокупность методов и средств решения пос­тавленной задачи, в данном случае — задачи экономико-матема­тического моделирования деятельности управляемого экономи­ческого объекта.

Технология моделирования включает постановку задачи мо­делирования, определение информационной базы модели, раз­работку проекта модельного эксперимента, организацию прове­дения многовариантных экспериментов, экономический анализ результатов [1.4; 1.26; 1.29].

Технология экономико-математического моделирования (ЭММ) входит как составная часть в более широкое понятие — управляющую информационную технологию (ИТ), которая имеет свое обеспечение (обеспечивающие подсистемы): техническое, информационное, программное, организационное, математическое и методическое (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Управляющая информационная технология экономического объекта

Только при правильно органи­зованном взаимодействии всех подсистем ИТ лицо, принимаю­щее решения, или менеджер, может получить эффективную под­держку (обоснование) своим управляющим воздействиям.

Прежде чем перейти к изложению технологии ЭММ, подве­дем некоторые итоги. Как уже было отмечено, формализованное представление закономерностей поведения реальных экономических систем в виде абстрактных математических аналогов — системы уравнений и неравенств — называют математическим моделированием.

Любой экономический объект (предприятие, учреждение, тер­риториальный или отраслевой орган управления, вся экономика региона и т. д.) обладает сложной внутренней структурой и органи­зацией, множеством составных элементов, огромным количеством внутренних взаимосвязей. Все это непрерывно изменяется во времени (и в пространстве) под воздействием как внутреннего состояния, так и внешних влияний окружающей объект среды. Все это множество факторов воспроизвести в модели невозмож­но, поэтому модель всегда проще оригинала. Исследователь стре­мится сначала выявить путем анализа, а затем воспроизвести прежде всего те свойства системы, которые важны для решения стоящих перед ним задач. Детали второстепенного характера при этом опускаются.

Основной эффект моделирования - возможность вести «диа­лог» с аналогом объекта, вводя новые дополнительные условия и ограничения, ставя новые вопросы по принципу «что будет с объ­ектом, если...». При исследовании очень сложных систем, с боль­шой длительностью протекающих в них процессов, моделирова­ние служит единственным средством обоснования управленческих решений на перспективу. Следовательно, моделирование — одно из средств управления экономическим объектом [1.2; 1.3; 1.4; 1.24; 1.30].

Степень достоверности выводов при моделировании, а зна­чит, и применимость модели в практике управления зависят от глубины анализа и изученности закономерностей поведения ре­альной системы, от детализации исходной информации, от выбо­ра типа и структуры математической модели. Какую модель выб­рать — решает менеджер.

В планово-экономической работе используются разнообраз­ные типы моделей, различающихся целевым назначением, ха­рактером управленческих задач, степенью охвата явлений, мате­матическим аппаратом. На выбор модели оказывают влияние полнота и достоверность доступной информации, лимит времени на подготовку и проведение экспериментов.

Обзор разнообразных экономико-математических методов, рассмотренных нами выше, показывает, что моделировать в эко­номике можно «почти все», а результаты моделирования - всегда существенная информационная поддержка менеджеру. Подго­товка и проведение модельных экспериментов в экономике — в большинстве случаев сфера профессиональной деятельности экономистов-математиков или «операционистов-исследовате­лей». Учебный курс «Экономико-математические методы» для экономистов-менеджеров предполагает освоение практических навыков моделирования в простейших случаях.

Рассмотрим подробнее технологию применения модели ли­нейной оптимизации в планировании и управлении предприя­тием.

Поскольку моделирование — наиболее сложный метод иссле­дования, то прежде чем приступить к разработке модели, необхо­димо хотя бы схематически представить ее структуру.

Базовая модель оптимизации включает следующие элементы: исходные значения ресурсов; переменные величины, значения которых должны определяться в результате моделирования (не­известные); технико-экономические коэффициенты и нормати­вы, необходимые для отображения закономерных взаимосвязей ресурсов с выходными показателями (переменными, неизвест­ными); условия (ограничения), описывающие характер и логику взаимосвязей в модели; критерий оптимальности, определяю­щий качество функционирования исследуемой системы или объекта.

Подготовка моделирования начинается с уяснения цели все­го эксперимента и анализа производственно-хозяйственной дея­тельности предприятия. В дальнейшем полезно придерживаться следующих этапов.

1. Содержательная (словесная) постановка экономической (управленческой) задачи и обоснование критерия оптимальности.

2. Определение перечня переменных и ограничений (с их обозначениями).

3. Сбор информации и разработка технико-экономических коэффициентов и констант.

4. Выбор типа модели, построение конкретной модели в структурной форме и ее математическая запись в развернутой форме.

5. Проектирование модельного эксперимента.

6. Кодирование, перенесение информации на магнитный но­ситель (дискета, жесткий диск) в соответствии с требованиями выбранного программного средства решения задачи линейного программирования (STORM, LPX-88, Excel 7.0 или др.).

7. Собственно эксперименты с моделью: решение на ЭВМ, анализ результатов решения, корректировка параметров модели, повторное решение и т. д. Ведение журнала экспериментов.

8. Экономический анализ вариантов решений и выбор проекта плана (прогноза).

Этап 1. Постановка задачи — наиболее ответственный мо­мент, предполагает четкую экономическую формулировку, а именно: экономическую цель, установление продолжительности планового периода, выяснение известных параметров объекта и тех, количественное значение которых нужно определить, основ­ные факторы и условия, отражающие их связи в моделируемом объекте.

При этом необходимо соблюдать следующие требования:

• проверить (хотя бы приблизительно) линейность взаимо­связей производственно-технологических и экономических пока­зателей, чтобы оправданно выбирать модель линейного програм­мирования;

• система линейных уравнений и неравенств должна быть совместной (иметь решение) и неопределенной (множество ре­шений). Выбор наилучшего варианта математически обеспечива­ется алгоритмом отыскания экстремального значения некоторо­го экономического показателя, представленного в целевой функ­ции, причем сама функция должна быть линейной;

•цель, или целевая функция (максимизация доходного пока­зателя или минимизация затратного), должна быть единственной, но можно предусмотреть варьирование целей при планировании модельного эксперимента.

Этап 2. Выбор переменных и ограничений определяется их важ­ностью для цели эксперимента и трудоемкостью их построения: «ни много — ни мало».

Условия выбора:

·  переменные должны быть измеримы (т. е. количественно оп­ределяемы);

·  число и состав переменных — произвольно: 25—30 — для кур­совых работ, 30-100 - для дипломных, в практике реального ме­неджмента — обычно свыше 100;

·  необходимо выделять основные (обозначают основное со­держание моделируемого производства) и вспомогательные (привлекают для облегчения математической формулировки ог­раничений) переменные;

·  единицы измерения выбираются одинаковые для однотип­ных переменных. Для технико-экономических параметров числа не должны быть очень большими или слишком малыми (при не­обходимости их можно масштабировать). Нужно следить, чтобы в правой и левой частях ограничения единицы измерения совпа­дали;

·  ограничения подразделяются на основные, дополнительные и вспомогательные. Основные отражают наиболее существенные условия производства и распределения. Они накладываются на все или большинство переменных. Дополнительные накладыва­ются на некоторые или на отдельные переменные. При этом не следует перегружать модель дополнительными ограничениями, так как это сужает область допустимых решений (по заданному критерию объема выполнения или выпуска продукции). Вспомо­гательные вводят для облегчения разработки числовой модели, обеспечения правильной формулировки экономических требо­ваний. Например, различные условия пропорциональности меж­ду значениями отдельных переменных или их группами.

Перечень переменных и ограничений с подробной расшиф­ровкой введенных разработчиком модели обозначений завер­шает этот этап.

Этап 3. Информационное обеспечение — это вся числовая ин­формация модели: исходные данные и расчетные, технико-эко­номические коэффициенты, а также числовые результаты экспе­римента и производные от них показатели, составляющие выво­ды моделирования.

Источники исходной информации (официальные докумен­ты) должны быть указаны непосредственно после перечня пере­менных и технико-экономических коэффициентов: годовые от­четы, производственно-финансовые (бизнес-) планы, данные первичного учета (или собственного журнала наблюдений), тех­нологические карты, статистические сборники, различные нор­мативные справочники. Для каждого источника указывается, ка­кие из его реквизитов (показателей) необходимы для разработки модели.

На основе исходных данных разрабатываются коэффициенты модели, приводятся расчетные алгебраические формулы с ис­пользованием ранее выбранных обозначений, затем рассчитан­ные коэффициенты включаются в числовую модель.

Коэффициенты можно разделить на три группы: удельные нормативы затрат или выхода продукции, коэффициенты про­порциональности, коэффициенты связи (±1).

Коэффициенты при переменных в целевой функции зависят от экономического содержания (нулевые — для тех переменных, которые не входят в критерий оптимизации).

Все коэффициенты считаются постоянными величинами (const). Если это не так, то требуется специальное обоснование, почему возможно заменить ее постоянной оценкой и как она по­лучена. Исходная информация для удобства собирается в табли­цах, там же приводятся расчетные коэффициенты. Для выходной информации разрабатывается форма выходного документа.

Этап 4. Математическая формулировка модели в структурной форме должна использовать ранее выбранные обозначения. Сна­чала приводится содержательное словесное описание, а затем — формульная запись (целевой функции или ограничения). Все вве­денные обозначения можно свести в один список (перед матема­тической записью модели), а можно давать расшифровку обозна­чения сразу после первого упоминания.

Для обозначений используют буквы латинского, греческого алфавита, заглавные и строчные.

Числовую модель в развернутой форме записывают, если раз­мерность общей модели невелика (20-30 переменных и ограни­чений).

Если размерность общей задачи большая, то вместо числовой модели записывают матрицу коэффициентов на клетчатой (мил­лиметровой) бумаге.

Матричная запись — таблица числовых коэффициентов, в ко­торой столбцы имеют наименования — обозначения переменных, а строки перенумерованы в соответствии с количеством всех ог­раничений. Последней строкой записываются коэффициенты целевой функции последним столбцом — свободные члены огра­ничений (со знаком отношения ≤ ≥).

Если модель имеет выраженную внутреннюю структуру (бло­ки), то целесообразно вначале изобразить графически блочную структурную схему модели с указанием отдельных блоков. Затем выполняется матричная запись — как обычно.

При размерности, большей, чем 100 х 100, вместо матричной запи­си (вручную) следует разрабатывать компьютерную программу рас­чета коэффициентов на языке, совместимом с ППП оптимизации.

Этап 5. Проектирование модельного эксперимента охватывает:

порядок проведения вариантных расчетов (с описанием ва­риантов исходных данных);

перечень выходных расчетных показателей для экономичес­кого анализа;

взаимосвязи расчетных показателей с реквизитами действу­ющих на предприятии плановых документов (для использования в практике планирования конкретного предприятия).

Проект должен сопровождаться календарным графиком про­ведения экспериментов.

Этап 6. Кодирование, перенесение информации на магнитный (электронный) носитель — подготовка к экспериментированию с моделью на ЭВМ. От того, насколько безошибочно она будет вы­полнена, зависят продолжительность и трудоемкость заключи­тельного этапа (анализ и интерпретация полученного «машинно­го решения»).

Правила, алгоритмы и приемы представления вводимых дан-ных описаны в «Руководствах пользователя» к прикладным прог­раммным средствам и различаются в зависимости от типа приме­няемого пакета прикладных программ. В приложении 4 приведен пример подготовки данных к решению задачи ЛП средствами MS Excel [1.31].

Этап 7. Процесс решения на ЭВМ, т. е. экспериментирование с моделью, разделяют на этапы:

отыскание математически допустимого решения. Здесь мо­жет обнаружиться несовместность системы ограничений, кото­рая устраняется корректировкой исходной модели;

получение вариантов оптимального решения, пригодных для сравнительного экономического анализа.

После получения оптимального решения результаты заносят­ся в выходной документ (таблицу) и сравниваются с основными фактическими или плановыми производственно-экономически­ми показателями предприятия. Больших различий («скачков», «перескоков», «революций») быть не должно. В противном слу­чае модель должна быть скорректирована. Все изменения и корректировки фиксируются в журнале экспериментов.

Этап 8. По итогам сравнительного анализа расчетных и фак­тических показателей делается вывод об адекватности модели или приемлемости результатов моделирования, после чего даются рекомендации по управлению объектом: какие управленческие решения (приказы, распоряжения, перемещения и в какие сро­ки, в какой последовательности, с какой этапностью) нужно предпринять, чтобы перейти от фактического (худшего) состоя­ния к оптимальному (лучшему), каких затрат это потребует, как окупятся затраты.

2.2. ДЕКОМПОЗИЦИЯ И СОКРАЩЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ БОЛЬШИХ МОДЕЛЕЙ

Методы моделирования функционирования экономических объектов с помощью задач линейного программирования пока­зали свою надежность и применимость как для микроэкономики (предприятия), так и для макроэкономики (отрасли, регионы). Стал очевидным, однако, и ряд факторов, ограничивающих даль­нейшее развитие этого математического инструмента планирова­ния и управления.

С одной стороны, сложность экономической действитель­ности позволяет описать с необходимой точностью происходя­щие в ней процессы лишь при помощи большой системы линей­ных неравенств и уравнений (сотни и тысячи взаимосвязей), для решения которых требуются сбор и длительная предварительная обработка большого количества исходных данных. С другой сто­роны, для принятия планово-управленческих решений необхо­димо быстрое вычисление приближенных параметров этих боль­ших линейных систем, а также неоднократное их решение для определения многовариантности планов и прогнозов.

При этом нужно всегда помнить, что нахождение приемлемо­го (экономически реализуемого) экстремального решения задачи линейного программирования, содержащей сотни переменных и ограничений, - это длительный неформализуемый процесс ана­лиза и корректировок промежуточных вариантов, даже если рас­четы проводятся на быстродействующей ЭВМ.

Отсюда вытекает необходимость разработки для больших ли­нейных систем специальных методов оптимальных расчетов. Их направления:

1) разработка нового эффективного метода линейного прог­раммирования;

2) разработка методов декомпозиции больших линейных систем;

3) сокращение размера оптимизационных задач.

Первый метод пока не дал радикальных результатов, во вся­ком случае, для задач общего вида.

В качестве примера разработки эффективного специального метода оптимизации можно привести транспортную задачу и ме­тод потенциалов.

Методы разложения, или декомпозиции. Они показали свою предпочтительность с позиций информационной управляющей технологии [1.24; 1.29]. Исходная задача математического прог­раммирования заменяется совокупностью взаимосвязанных под­задач, решения которых, скоординированные по определенным принципам, позволяют получить решение исходной задачи. Ме­тоды эффективны для больших задач линейного программирова­ния, у которых матрица коэффициентов может быть приведена к блочной структуре (рис. 2.2).

Исходная задача: найти {Xj}, чтобы

f (Х)==>max

при условиях:

(4.1)

АjХj=аj;

BjXj=b;

Xj≥0,j=l,...,n,

где Aj - матрица mj х пj;

Bj - матрица т х пj;

Xj, Cj - векторы размерности пj;

аj - вектор размерности mj;

bj - вектор размерности m.

Задача (2.1) допускает следующую экономическую интер­претацию. Имеется п секторов (отраслей, объектов, подсистем) экономики, деятельность которых характеризуется векторами (Х1, Х2,…,Хn) — наборами интенсивностей различных техноло­гических способов производства. Каждый j-й сектор обладает (локальными) ресурсами аj, потребление которых в технологи­ческих способах задается соответствующими столбцами мат­риц Aj.

	n1	n2	…	nn
	x1	x2	…	xn
m1	A1				a1
m2		A2			a2
…	…	…	…	…	…
mn			…	An	an
m	B1	B2	…	Bn	b
	c1	c2	…	cn =>	max

Рис.2.2. Схема исходной матрицы коэффициентов блочной задачи линейного программирования большой размерности

Такими ресурсами могут быть производственные мощности, сырье, рабочая сила, запасы денежных средств и т. д. На деятель­ность всех п секторов экономики наложены общие балансовые ограничения: суммарное потребление общих (глобальных) ресур­сов должно быть равно b. Это могут быть, например, задаваемые извне минимальные уровни потребления или максимальный рас­ход жестко лимитируемых ресурсов (топлива). Каждый j-й техно­логический способ производства наряду с Aj характеризуется так­же столбцами матрицы Bj, элементы которой задают потребление глобальных ресурсов при единичной интенсивности использова­ния способа.

Существуют два основных подхода к декомпозиции системы (2.1) [1.29].

Прямая декомпозиция путем перераспределения между секторами глобальных ресурсов — метод Корнаи—Липтака.

Двойственная декомпозиция или декомпозиция через цены — метод Данцига—Вулфа.

В обоих случаях основной проблемой является подбор ло­кальных значений величины, ограничивающей потребление гло­бального ресурса. В этом подборе решающую роль играют двой­ственные переменные (оценки) расходования одноименного гло­бального ресурса в каждом секторе экономики. Величина поша­говой корректировки определяется анализом устойчивости опти­мального решения каждой локальной задачи.

1.Прямая декомпозиция: строится итеративный процесс оп­ределения векторов-столбцов (u1,u2,…,un), удовлетворяющих условию

И таких, что оптимальные решения подзадач

АjХj=аj ;

(2.2)

BjXj=uj ,i=1,…,n

cjXj→max

являются одновременно решением задачи (2.1).

2. Двойственная декомпозиция: секторам экономики задают­ся зависящие от цен (двойственных оценок) целевые функции, которые заставляют сектора выбирать решения, способствующие достижению общей цели задачи (2.1). Т. е. строится итеративный процесс определения набора векторов-строк уj (j=1,2,…, п) та­ких, что оптимальные решения подзадач