Методы экономико-математического моделирования (стр. 3 )

3. Инновационные критерии:

3.1.Перспективность научно-технических решений.

3.2.Патентная чистота инноваций.

4. Коммерческие критерии:

4.1.Стартовые затраты и общие размеры инвестиций.

4.2.Потенциальный годовой размер прибыли.

4.3.Срок окупаемости вложений.

4.4.Возможность использования налоговых льгот.

4.5.Стабильность поступления доходов от проекта.

4.6.Оценка периода удержания позиций на рынке.

4.7.Оценка финансового риска при осуществлении проекта.

5. Производственные критерии:

5.1.Степень доступности сырья, материалов, оборудования.

5.2.Оценка производственного персонала (количество и качество).

5.3.Возможности использования отходов производства.

5.4.Потребность в дополнительных производственных мощностях.

6. Рыночные критерии:

6.1.Оценка емкости рынка.

6.2.Оценка вероятности коммерческого успеха.

6.3.Оценка затрат на маркетинговые исследования и рекламу.

6.4.Соответствие проекта имеющимся каналам сбыта.

6.5.Оценка ожидаемого характера конкуренции.

7. Критерии региональных особенностей:

7.1.Степень риска при вложениях в недвижимость.

7.2.Риск при покупке действующих производств.

В реальных рыночных условиях при принятии решений не­возможно заменить всю совокупность критериев каким-либо од­ним комплексным или сверткой этих критериев. Необходимо ис­пользовать векторную целевую функцию.

Простейший подход предложен Г. Марковицем: двухкритериальная математическая постановка задачи «риск-доход» для портфельных инвестиций.

Пусть на множестве W= {w} всех возможных портфелей

w = (w1,w2,...,wn), =1

определена векторная целевая функция

F (w) = (F1(w), F2(w)),

где F1(w) — величина ожидаемого дохода в случае принятия портфеля w;

F2 (w) — величина риска (например, дисперсия ожидаемого дохода).

Оптимальный выбор обеспечивается при F1(w) ® max, F2(w) ® min.

Более общий выбор, n-мерный случай многокритериальной оптимизации — оптимальность по Парето.

Парето формулируется просто: «Следует считать, что любое изменение, которое никому не причиняет убытков и которое приносит некоторым людям пользу (по их собственной оценке), является улучшением».

Он применяется при решении таких задач, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, чтобы другие не ухудшались, а также таких, когда реализуется композиционный подход к построению плана развития экономической системы, учитывающий интересы составляющих ее подсистем (групп экономических объектов).

Проанализируем имеющийся арсенал математических средств и методов, на базе которых можно реализовать стратегию принятия управляющего решения в условиях многокритериальности, т. е. системный подход.

В общем случае системный подход включает следующие этапы:

• уяснение задачи и выбор цели (или целей);

•  выбор критериев качества альтернатив, т. е. показателей степени достижения целей;

•  перечисление или построение множества X={х} конкурирующих альтернатив или средств достижения целей;

•определение на множестве Х векторной целевой функции;

•использование математического аппарата поддержки принятия решений для упорядочения элементов х Є Х по предпочтительности.

Сущность подхода состоит в том, что общая (абсолютная или относительная) полезность альтернативы оценивается посредством некоторой функции от численных значений показателей, т. е. критериев, составляющих векторную целевую функцию.

Представим математическое определение задачи многокритериальной (векторной) оптимизации.

Путь X= {х} — множество допустимых решений, на котором определена векторная целевая функция

F(x) = ( F1(x),F2(x), FN(x )), (1.16)

компоненты которой — минимизируемые или максимизируемые критерии

Fν (x) → extr, ν = 1,2,…,N. (1.17)

На критерии Fv(x) налагаются условия:

•  однородность по виду экстремума - либо все максимизируются, либо все минимизируются;

•  соизмеримость - все имеют одну и ту же единицу измерения.

Пусть в выражении (1.17) все Fv (x) → min, ν = 1, 2, …, N.

Элемент x Є X называется эффективной точкой (паретовским оптимумом), если не существует такого элемента х* Є X, для которого выполняются неравенства Fv (x*) ≤ Fv (x), ν = 1, 2,…,N, среди которых хотя бы одно является строгим.

Совокупность всех эффективных точек называется эффективным множеством (паретовским множеством): х = {х}.

В общем случае методы математических моделей многокритериальной оптимизации можно свести в две группы: принцип главного критерия и принцип интегральных критериев-сверток. Конечный смысл принятия рационального решения состоит в замене конфликта компромиссом.

Процесс решения конкретной многокритериальной задачи подразумевает реализацию двух этапов.

На первом этапе, используя подходящие алгоритмы математического программирования, осуществляется построение множества Парето (множество эффективных точек). Затем оно разбивается на подмножества элементов, эквивалентных по значению векторной целевой функции. Далее из каждого такого подмножества выбирается по одному представителю, объединение которых образует полное множество альтернатив.

На втором этапе исследователь определяет наиболее целесообразное решение, руководствуясь одним из принципов критериальности.

Универсальных методов решения не существует. Наиболее приспособленные для практического использования — «прямые методы» [1.38]. Суть их состоит в том, что общая (абсолютная или относительная) полезность альтернативы оценивается посредством некоторой функции от численных значений показателей или критериев, составляющих векторную целевую функцию. Здесь термин «функция» может означать формулы, таблицы, инструкции или систему правил, с помощью которых элементы множества Парето ранжируются в порядке убывания их полезности. Эту функцию чаще всего называют решающим правилом.

1.10. ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖОТРАСЛЕВЫХ СВЯЗЕЙ.

БАЛАСОВЫЕ МЕТОДЫ

Народное хозяйство представляет собой сложную систему взаимосвязанных отраслей. Например, сельскохозяйственное производство зависит от технической оснащенности. Сельскохозяйственная техника — важнейший ресурс сельхозпроизводителей и вместе с тем - конечный продукт машиностроительных предприятий. Производственными ресурсами машиностроительных предприятий служат станки, прокат, электроэнергия, которые, в свою очередь, являются конечной продукцией станкоинструментальной, металлургической промышленности, электростанций.

Учет всех межотраслевых производственных связей — необходимая предпосылка научно обоснованного планирования. В сфере моделирования макроэкономики основным является метод межотраслевого баланса [1.15, 1.18].

Основная часть этого метода — система отраслевых балансов производства и распределения продукции. Продукция большинства отраслей народного хозяйства идет на производственное потребление (в той же отрасли или другой), на личное потребление, а также на пополнение резервов и на экспорт. Т. е. весь выпуск продукции в каждой отрасли делится на промежуточный и конечный продукты. Промежуточный продукт потребляется другими отраслями в соответствии с технологическими нормами затрат. Таким образом, можно сформировать систему балансов производства и распределения продукции по отраслям в виде системы линейных алгебраических уравнений, которая в целом образует базовую модель межотраслевого баланса.

Предположим, что в экономике функционирует п отраслей, производящих п видов продукции.

Обозначим:

•  хi — валовое производство продукции i-й отрасли;

• yi — конечная продукция i-й отрасли;

•aij - норма прямых затрат продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли.

Тогда получим систему уравнений отраслевых балансов:

a11 x1 + a 12 x2 +… + a 1n xn + y1 = x1 ;

a21 x1+ a 22 x2 +… + a 2 n xn + y2 = x2;

………………………………. (1.18)

an1 x1 + a n2 x2 +… + a nn xn + yn = xn

или

xi =, i=1,2,…,n.

Такая модель называется моделью «затраты-выпуск», коэф­фициенты
aij - коэффициентами затрат, матрица A = { aij } - мат­рицей прямых затрат.

Модель «затраты-выпуск» обычно называется моделью Ле­онтьева (впервые упоминается с 1936 г.). Она строится на основе производственной функции типа «затраты-выпуск».

Открытая модель характеризуется производственным секто­ром, внешним ресурсом (импорт) и конечным спросом (личное потребление, экспорт, госресурсы).

Закрытая модель не учитывает импорт и экспорт продукции.

Вариант 1 — без внешнего ресурса.

Обозначим конечный спрос через вектор-столбец С.

Тогда основная задача состоит в определении вектора X, такого, что

Х - АХ=С, Х ≥ 0

Или

(I - A) Х= С, Х ≥ 0 (I — единичная матрица).

Если (I — А) — невырожденная матрица, то

Х=(I-А)-1 С. (1.19)

Вариант 2 — с учетом внешнего ресурса.

Обозначим объем внешнего ресурса, требуемый для выпуска единицы продукции j-й отрасли, через a0J, тогда а0 = (a01, а02,…, аоп) - совокупный внешний ресурс.

Модель, учитывающая внешний ресурс, должна удовлетво­рять следующему добавочному условию:

ao X ≤ l0 (1.20)

где l0 — объем допустимого потребления внешнего ресурса.

Исследовать открытую модель Леонтьева — значит выяснить, мо­жет ли конечный спрос быть удовлетворен в любых пропорциях. Ка­кой объем валового продукта обеспечит заданный конечный спрос?

Модели (1.18), (1.19), (1.20) не относятся к оптимизацион­ным, но с их помощью на основе матрицы коэффициентов пря­мых затрат А можно рассчитать коэффициенты косвенных и пол­ных затрат.

Пусть aij - прямые затраты i-го продукта для j-й отрасли.

Если j-я отрасль рассматривается как часть сложной системы, тогда единица выпуска j-й отрасли требует использования и дру­гих продуктов, выпускаемых системой, для производства кото­рых тоже используется i-й продукт. Потребность в i-м продукте, которая возникает таким образом, составляет косвенную потреб­ность или косвенные затраты i-го продукта для j-й отрасли.

Полная потребность (полные затраты) есть сумма прямых и косвенных затрат.

Обозначим А* = (I-А)-1. Тогда Х = А* С.

Различные формы затрат можно вычислить исходя из матриц А и А*:

• aij - прямые затраты i-го продукта для j-й отрасли;

•  a*ij - полные затраты i-го продукта для j-й отрасли;

• (a*ij - aij ) - косвенные затраты i-го продукта для j-й отрасли.

На этих предпосылках основаны расчеты объемов квот экс­порта.

Методика межотраслевого баланса позволяет подсчитывать коэффициенты полных затрат как в натуральном, так и в стоимо­стном выражении, а также в единицах затрат труда - человеко-днях. Федеральная служба государственной статистики (Росстат) использует эти показатели в своей практике, например, для изу­чения распределения трудовых ресурсов по основным сферам производства.

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса может быть использована в процессе планирования производства в крупных многопрофильных предприятиях, комбинатах, хол­дингах.

Первый этап составления межпродуктового баланса пред­приятия - определение номенклатуры отраслей, их внутренних и внешних связей. В необходимых случаях (для сокращения раз­мерности матрицы затрат) можно применить агрегирование (ук­рупнение) отраслей.

Различают два способа агрегирования: по технологическому способу производства продукции (вертикальное агрегирование) и по экономическому назначению продукции (горизонтальное аг­регирование). В первом случае признаком агрегирования являет­ся сходство структуры затрат, во втором - характер использова­ния продукции.

При составлении номенклатуры отраслей агрегирование столбцов матрицы затрат одновременно предполагает агрегиро­вание строк, поскольку наименование отраслей и их порядок как по строкам, так и по столбцам совпадают. Эта особенность балан­са дает основание называть его также шахматным.

Второй важный этап работы по составлению межотраслево­го баланса предприятия - сбор и обработка исходной информа­ции, расчет коэффициентов прямых затрат и показателей объе­мов конечной продукции.

Матрицу прямых затрат предприятия условно можно разбить на четыре подматрицы, объединяющие строки (столбцы) по их роли и способу участия в производстве:

1)производящие отрасли с выходом на конечную продукцию;

2)собственные производственные ресурсы;

3)трудовые ресурсы;

4)покупные производственные ресурсы.

Первая подматрица представляет открытую часть баланса, т. е. каждая строка здесь имеет одноименный столбец с коэффициен­тами, отличными от нуля. Остальные подматрицы - закрытая часть баланса. Одноименные векторы-столбцы этих матриц - ну­левые.

Для расчета коэффициентов матрицы А следует иметь в виду, что действующими методиками, например, в статистике сельско­го хозяйства и бухгалтерском учете разработаны и используются свои методы расчета показателей валовой и товарной продукции, методы распределения затрат многопрофильного производства на сопряженную, основную и побочную продукцию и др.

Конечная продукция многопрофильного предприятия может быть представлена в виде следующих элементов:

Y=P + Q + R,

где Y — конечная продукция;

Р — товарная продукция;

Q – внутрифирменное непроизводственное потребление;

R – прирост (уменьшение) запасов производственного и непроизводственного назначения.

Изменение структуры и объема конечной продукции влияет на структуру и объем валовой продукции, в который входит и об­щий объем производственных затрат. Это свойство межотрасле­вого баланса используется в планово-экономических расчетах для получения различных вариантов сбалансированных планов развития предприятия на перспективу.

Аналогично данная методика используется в планировании межхозяйственных связей, а также инфраструктуры районов, от­раслей и всего народного хозяйства.

Для получения решения модели межотраслевого баланса можно воспользоваться симплекс-методом, если к системе урав­нений (1.18) добавить искусственную целевую функцию, например ® max.

Характеристика балансов

Сущность балансового метода заключается в увязке потребностей и ресур­сов народного хозяйства или в установлении и соблюдении материально-вещественных и стоимостных пропорций. Ресурсы народного хозяйства под­разделяются на материальные (средства производства), финансовые, трудовые (трудоспособное население) и природные (земельные, водные, лесные и т. п.) вовлекаемые обществом в хозяйственный оборот.

В практике прогнозирования используется следующая система балансов:

-  материальные балансы;

-  стоимостные балансы;

-  балансы трудовых ресурсов;

-  баланс народного хозяйства;

-  межотраслевой баланс.

Все эти балансы тесно взаимосвязаны между собой.

Материальные балансы - это совокупность балансов, характеризую­щих соотношение между производством и потреблением отдельных видов продукции в натуральном и денежном выражении (балансы металла, машин и оборудования, электроэнергии и т. д.). Они являются важнейшим инструмен­том прогнозирования и обеспечивают пропорциональность между отраслями народного хозяйства, экономическими районами.

Показатели материальных балансов отражаются в таблице, состоящей из двух частей. Первая часть - ресурс, вторая - распределение ресурсов. В пер­вой части указывается объем и источник поступления определенного про­дукта, а во второй - направление и объем использования этого продукта. В основе всех материальных балансов лежит балансовое уравнение: остатки на начало + поступление ресурсов = остатки на конец + расходы в течение пе­риода.

Стоимостные балансы позволяют осуществлять увязку между произ­водством, распределением и использованием доходов, в частности увязку доходов и расходов государства, отраслей, объединений, предприятий насе­ления. Отличительной особенностью стоимостных балансов является то, что все показатели в них выражены в стоимостной (денежной) форме.

Среди стоимостных балансов можно выделить: баланс национального до­хода, баланс денежных доходов и расходов населения, государственный бюджет России и государственные бюджеты республик федерации.

Баланс трудовых ресурсов составляется для обоснования обеспечен­ности рабочей силой производственной и социально-культурной деятельно­сти. В этом балансе сопоставляются кол-во трудоспособного населения стра­ны с потребностью в рабочей силе.

Баланс трудовых ресурсов состоит из двух частей: в первой показывается численность и состав трудовых ресурсов, а во второй - распределение и ис­пользование трудовых ресурсов.

Балансы всех видов увязываются в балансе народного хозяйства, который представляет собой систему наиболее общих экономических показа­телей, характеризующих уровень развития экономики, масштабы, темпы и основные народнохозяйственные пропорции расширенного производства.

Межотраслевой баланс производства и распределения общественного продукта представляет собой систему показателей, отражающих производство и распределение общественного продукта в отраслевом разрезе, межотрасле­вые производственные связи, использование материальных и трудовых ресур­сов, создание и распределение национального доходы (ресурсы равны их распределению).

В межотраслевом балансе общественный продукт делится на промежуточ­ный и конечный.

Промежуточным называется такой продукт, который поступает в дальнейшую переработку в текущем периоде. Это в основном предметы тру­да, которые направляются в сферу материального производства для произ­водственного потребления.

Конечный общественный продукт представляет собой совокупность произведенных за определенный период времени (обычно за год) материаль­ных благ, не поступающих в данном периоде в производственное потребление - иначе, это совокупный общественный продукт, очищенный от повторного счета.

Схема модели межотраслевого баланса представлена на рисунках.

Из схемы видно, что каждая отрасль материального производства (количест­во = n), отражается в балансе дважды, как отрасль - производитель (строка схемы) и как отрасль потребления (столбец схемы).

Каждый элемент xij несет двойную смысловую нагрузку: как элемент строки он выступает в качестве распределительной характеристики, как элемент столбца - в качестве затратной характеристики.

1 раздел. Итоговый элемент итогового столбца отражает объем продук­ции соответствующей строки в стоимостном выражении, расходуемый на те­кущее производственное потребление всех отраслей, включенных баланс. Итоговая строка содержит материальные затраты каждой отрасли на произ­водство всей продукции в стоимостном выражении.

2-й раздел показывает использование продукта каждой отрасли матери­ального производства или другими словами, данный раздел характеризует материально-вещественную (строка) и функциональную (столбец) структуру конечного продукта.

Схема модели межотраслевого баланса

Продолжение схемы

В 3-ем разделе приводится стоимостной эквивалент конечного продук­та. В каждом столбце этого раздела находит отражение вновь созданная стои­мость каждой отрасли в разрезе структурных элементов:

сj - - амортизационные отчисления отрасли j за год;

vj - оплата труда в отрасли j за год;

mj - прибыль отрасли j за год.

В 4-й разделе отражается (распределение) перераспределение вновь созданной стоимости.

Исходя из анализа разделов, запишем:

-по строкам , i=1,...,n.

- по столбцам + cj + vj + mj = Xj , j=1,...,n.

Условие баланса выражается в выполнении равенства:

=

Подставив вышеприведенные выражения по строкам и столбцам в условие
баланса, получим:

()=(+ cj + vj + mj )

После преобразования (в левой и в правой части уберем ) условие
баланса примет вид:

=( cj + vj + mj ).

Это соотношение отражает единство материально-вещественного и стои­мостного аспектов процесса производства.

ЭММ межотраслевого баланса

Исходя из условий в первого раздела МБ:

X1=x11+ x12 +…+ x1n + y1,

X2=x21+ x22 +…+ x2n + y2,

....................................................................

Xn=xn1+ xn2 +…+ xnn + yn,

Модель межотраслевого баланса строится в предположении о прямой зависимости хij - от Хj:

xij = aij Xj,

где aij - коэффициенты прямых затрат.

Коэффициенты прямых затрат показывают, какое количество продукции отрасли i расходуется на производство единицы валовой продукции
отрасли j. Подставив в исходную систему коэффициенты прямых затрат, получим:

X1=a11 X1+ a12 X2+…+ a1n Xn + y1,

X2=a21 X1+ a22 X2+…+ a2n Xn + y2,

...........................................................................................

Xn= an1 X1+ an2 X2+…+ ann Xn + yn.

Данная модель позволяет проводить следующие варианты расчетов:

-  задав величину валовой продукции отрасли Xij, можно определить величину конечной продукции уi.;

-  задав величину конечной продукции отрасли уi можно определить величину валовой продукции отрасли Хij

-  задав величину валовой продукции для одних отраслей и конечной - для дру­гих, определим величины соответственно конечной и валовой продукции отраслей.

Первый расчет запишем в матричной форме:

Y = (Е - A)Х

где Е - единичная матрица n-ro порядка;

А - квадратная матрица коэффициентов прямых затрат n-го порядка;

X - матрица-столбец валовой продукции n отраслей;

У - матрица-столбец конечной продукции n отраслей.

Второй расчет:

X = (Е - А)-1Y.

Третий вариант требует дополнительных расчетов и преобразований и используется на практике очень редко.

При расчетах необходимо выполнение следующих условий:

1) ≤ 1, причем, хотя бы для одной отрасли должно выполняться условие < 1.

2) диагональные элементы матрицы аij< 1.

Элементы матрицы (Е - А)-1 называются коэффициентами полных мате­риальных затрат. Коэффициенты полных затрат показывают производственные затраты отрасли i, необходимые для производства единицы конечной продук­ции отрасли j. Полные затраты включают в себя сумму прямых и косвенных затрат продукции отрасли i на единицу продукции отрасли j.

1.11. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Системы массового обслуживания — экономические системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслу­живания.

С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслу­живание, возникают следующим образом. Поступив в обслужива­ющую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требова­ние из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслу­живанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию сле­дующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего перио­да работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования про­исходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового обслуживания могут служить:

• посты технического обслуживания автомобилей;

• информационные центры с персональными компьютерами, обслуживающие поступающие заявки или требования на реше­ние тех или иных задач;

• аудиторские фирмы;

• отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей отчетности предприятий;

• телефонные станции и т. д.

Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на об­служивание;

•  дисциплина очереди;

•  механизм обслуживания.

Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последо­вательность моментов поступления требований на обслуживание, и указать количество таких требований в каждом очередном пос­туплении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероят­ностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требова­ния (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

Дисциплина очереди. Это важный компонент системы массо­вого обслуживания. Он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требо­вания подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Ча­ще всего используются дисциплины очереди, определяемые сле­дующими правилами:

•  первым пришел - первый обслужен;

•  пришел последним — обслужен первым;

•  случайный отбор заявок;

•  отбор заявок по критерию приоритетности;

•  ограничение времени ожидания момента наступления об­служивания (имеет место очередь с ограниченным временем ожи­дания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).

Механизм обслуживания. Он определяется характеристиками самой системы обслуживания и структурой обслуживающей сис­темы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество тре­бований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой та­кой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

Структура обслуживающей системы определяется количест­вом и взаимным расположением каналов обслуживания (меха­низмов, приборов и т. п.).

Система обслуживания может состоять из нескольких разно­типных каналов обслуживания, через которые должно пройти каж­дое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе про­цедуры обслуживания требований реализуются последовательно.

Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности лю­бой системы массового обслуживания определяют следующие основные характеристики:

•  вероятностное распределение моментов поступлений зая­вок на обслуживание (единичных или групповых);

•  распределение времени продолжительности обслуживания;

•  тип обслуживающей системы (параллельное, последова­тельное или параллельно-последовательное обслуживание);

•  количество и производительность обслуживающих каналов;

•  дисциплина очереди;

•  источник требований.

В качестве основных критериев эффективности функциониро­вания систем массового обслуживания в зависимости от харак­тера решаемой задачи могут выступать:

•  вероятность немедленного обслуживания поступившей за­явки;

•  вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;

•  относительная и абсолютная пропускная способность сис­темы;

•  средний процент заявок, получивших отказ в обслужива­нии;

•  среднее время ожидания в очереди;

•  средняя длина очереди;

•  средний доход от функционирования системы в единицу времени и т. п.

Предметом теории массового обслуживания является уста­новление зависимости между факторами, определяющими функ­циональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

Случайный характер потока заявок (требований), а также в общем случае и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный про­цесс. По характеру случайного процесса, происходящего в систе­ме массового обслуживания (СМО), различают системы марков­ские и немарковские. В марковских системах входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (зая­вок) являются пуассоновскими. Пуассоновские потоки позволя­ют легко описать и построить математическую модель системы массового обслуживания. Данные модели имеют достаточно простые решения, поэтому большинство известных приложений теории массового обслуживания используют марковскую схему. В случае реализации немарковских процессов задачи исследова­ния систем массового обслуживания значительно усложняются и требуют применения статистического моделирования, числен­ных методов с использованием ЭВМ.

Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:

• системы с отказами, в которых заявка, поступившая в сис­тему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и сразу же покидает очередь;

• системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, посту­пившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, стано­вится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограничен­ным ожиданием.

В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

•  длина очереди;

•  время пребывания в очереди.

В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживания неограниченно долго, т. е. пока не подойдет очередь.

Все системы массового обслуживания различают по числу ка­налов обслуживания:

•  одноканальные системы;

•  многоканальные системы.

Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего системы массового обслуживания выступа­ют в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают на­чала обслуживания до определенного момента, после чего систе­ма начинает работать как система с отказами.

Для решения задачи статистического моделирования функцио­нирования СМО должны быть заданы следующие исходные данные:

• описание СМО (тип, параметры, критерии эффективности работы системы);

•  параметры закона распределения периодичности поступле­ний требований в систему;

•  параметры закона распределения времени пребывания тре­бования в очереди (для СМО с ожиданием);

•  параметры закона распределения времени обслуживания требований в системе.

Решение задачи статистического моделирования функциони­рования СМО включает ряд этапов.

1.Вырабатывается равномерно распределенное случайное число ξi.

2.Равномерно распределенные случайные числа преобразу­ются в величины с заданным законом распределения:

•  интервал времени между поступлениями требований в сис­тему (Δ t Ti);

•  время ухода заявки из очереди (для СМО с ограниченной длиной очереди);

•  длительность времени обслуживания требования каналами

(Δ t Oi ).

3. Определяются моменты наступления событий:

•  поступление требования на обслуживание;

•  уход требования из очереди;

•  окончание обслуживания требования в каналах системы.

4.Моделируется функционирование СМО в целом, накапли­ваются статистические данные о процессе обслуживания.

5.Устанавливается новый момент поступления требования в систему, и вычислительная процедура повторяется в соответ­ствии с изложенным.

6.Определяются показатели качества функционирования СМО путем обработки результатов моделирования методами ма­тематической статистики.

Методику решения задачи рассмотрим на примере моделиро­вания СМО с отказами.

Пусть система имеет два однотипных канала, работающих с отказами, причем моменты времени окончания обслуживания на первом канале обозначим t1i, на втором канале — t2i. Закон расп­ределения интервала времени между смежными поступающими требованиями задан плотностью распределения f1(tT). Продолжи­тельность обслуживания также является случайной величиной с плотностью распределения f2(t0).

Процедура решения задачи будет выглядеть следующим об­разом.

1.Вырабатывается равномерно распределенное случайное число ξi

2.Равномерно распределенное случайное число преобразуется в величины с заданным законом распределения. Определяется реализация случайного интервала времени (Δ t Ti) между поступле­ниями требований в систему.

3. Вычисляется момент поступления заявки на обслуживание:ti = ti-1 + Δ t Ti.

4.Сравниваются моменты окончания обслуживания предше­ствующих заявок на первом t1(i-1) и втором t2(i-1) каналах.

5.Сравнивается момент поступления заявки ti с минималь­ным моментом окончания обслуживания (допустим, что t1(i-1) < t2(i-1) :

а) если [ti - t1(i-1)] < 0, то заявка получает отказ; вырабатывается новый момент поступления заявки описанным способом;

б) если [ti - t1(i-1)] ≥ 0, происходит обслуживание.

6.При выполнении условия 5, б определяется время обслужи­вания i-й заявки на первом канале Δ t 1i путем преобразования случайной величины ξi в величину (время обслуживания i-й заяв­ки) с заданным законом распределения.

7.Вычисляется момент окончания обслуживания i-й заявки на первом канале t1i = [t1(i-1) + Δ t1i]

8.Устанавливается новый момент поступления заявки, и вычислительная процедура повторяется в соответствии с изло­женным.