Анализ энтропийных моделей режимов электротехнических систем с генерирующими источниками, включая режимы детерминированного хаоса (стр. 4 )

а) б)

Рисунок 1.3 – Изменение текущей энтропии ЭС ГИ при:

а) гауссовском и б) равновероятностном начальных распределениях плотностей вероятностей переменных состояния [28].

Энтропия H(x) сечения случайного процесса x(tj) имеет вид

(1.33)

и, как показано в [24], выражение (1.33) есть единственно однозначная мера энтропии.

Для получения p(x,tj), максимизирующей H(x) при ограничениях (1.32), необходимо максимизировать лагранжиан

, (1.34)

где ad – d-й множитель Лагранжа.

Значения p(x,tj) отыскиваются из решения уравнения

. (1.35)

С учётом (1.34) уравнение (1.35) имеет вид

. (1.36)

Выражение (1.36) получено перестановкой операций дифференцирования и интегрирования, а также суммирования и интегрирования. Обозначим

, (1.37)

тогда

. (1.38)

Ограничения, зависящие только от p(x,tj), влияют на нормировочный множитель, поскольку при этом есть величина постоянная, а ограничения, зависящие от x(tj) и p(x,tj) совместно, влияют на структуру показателя экспоненты в выражении (1.38).

Множители Лагранжа ad, , находятся путем подстановки (1.38) в ограничения (1.32) и решения полученной таким образом системы из m уравнений относительно ad, причем те as, , которые связаны с ограничениями, зависящими только от p(x,tj), искать не надо. Все as формируют нормировочный множитель A, который определяется из условия нормировки. Окончательно p(x,tj) имеет вид [21]

. (1.39)

По мере того как какое-либо ограничение становится все менее относящимся к делу в сравнении с другими ограничениями, его множитель Лагранжа стремится к нулю, внося все меньший вклад в структуру p(x,tj). Детальная оценка p(x,tj) по ПМЭ определяется не количеством имеющихся у нас ограничений (отсчетов их в моменты tj), а эффективным количеством логически независимых фрагментов информации, содержащихся в них.

Для определения максимальной энтропии Hmax подставим (1.39) в выражение (1.33)

, (1.40)

где M – операция математического ожидания.

Полученная формула (1.40) указывает на то, что весьма важным ограничением является такое, без которого предсказания существенно изменились бы, соответствующий ему ad будет большим и его присутствие значительно снижает энтропию H(x) (если его не будет, H(x) значительно возросла бы). Таким образом, множители Лагранжа ad в аппарате ПМЭ имеют глубокий смысл: ad является «потенциалом» значений Fjd(x,tj), который оценивает, насколько важное ограничение представляет это значение. Избыточные ограничения имеют нулевой «потенциал» и поэтому не оставляют следов в p(x,tj) и предсказаниях, которые делаются по p(x,tj). Любое избыточное ограничение выпадает автоматически, так как в вариационной задаче добавление избыточного ограничения не может изменить решения [11].

Если ограничения, накладываемые на p(x,tj), x(tj), не меняются во времени, что соответствует маломеняющемуся суточному графику нагрузки, то p(x,tj) есть стационарная плотность вероятностей x(tj). Если ограничения, накладываемые на p(x,tj) и x(tj), меняются во времени в широких пределах, то p(x,tj) есть нестационарная плотность вероятностей x(tj). При этом структура ограничений влияет на формирование структуры p(x,tj). Естественно, что с течением времени структура ограничений может претерпевать изменения, поэтому и структура p(x,tj) также может изменяться. Для примера можно сослаться на [56], в которой показано, как ПМЭ построил нормальную форму распределения вероятностей отклонений напряжения при ограничении на величину их дисперсий.

Итак, распределения вероятностей показателей качества режимов функционирования ЭС ГИ, полученные на базе ПМЭ, являются надежными из всего множества распределений вероятности. Другими словами, использование в энтропийном анализе режимов ЭС ГИ распределений вероятностей с максимальной энтропией есть оптимальная стратегия.

1.5 Энтропийный анализ режимов детерминированного хаоса

Основным свойством ЭС ГИ, демонстрирующих режим детерминирован-ного хаоса, является высокая чувствительность режима функционирования к сколь угодно малым изменениям начальных условий. Именно это обстоятельство ведет по сути дела к потере детерминированной предсказуемости и необходимости вводить вероятностные характеристики для описания динамики таких систем. В этом смысле становится понятным термин «детерминированный хаос», который характеризует рождение случайного, непредсказуемого поведения ЭС ГИ, которое управляется детерминированными законами [4].

Таким образом, в неустойчивых режимах ЭС ГИ можно однозначно предсказать будущее состояние только в случае строгого задания начальных условий. Однако, если учесть сколь угодно малую, но конечную ошибку, то детерминированное предсказание становится невозможным. Малая область первоначальной неопределенности (энтропии) размывается на конечную область в фазовом пространстве.

Математическим образом режима функционирования ЭС ГИ служит аттрактор – предельное множество траекторий в фазовом пространстве системы, к которому стремятся все траектории из некоторой окрестности этого множества. Режим детерминированного хаоса тоже аттрактор в смысле определения предельного множества траекторий в ограниченной области фазового пространства. Однако такой аттрактор имеет два существенных отличия: траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения нарастают). Именно эти отличия и привели к необходимости ввести в рассмотрение новый термин – странный аттрактор. Неустойчивость странного аттрактора обязана быть экспоненциальной. Это означает, что малое возмущение режима D(0) должно во времени увеличиваться по экспоненте [26]

D(t)= D(0) elt, (1.41)

, (1.42)

где l — показатель Ляпунова.

Если установлено, что исследуемый режим имеет положительный показатель Ляпунова l > 0, то следствием будут непериодичность любой из координат состояния, сплошной спектр мощности (в спектре колебаний присутствуют все частоты из некоторого интервала) и ниспадающие во времени корреляционные функции.

1.5.1 Идентификация хаотических режимов функционирования

Бифуркации в хаотических режимах сопровождаются изменениями размерности фазового пространства и с физической точки зрения соответствуют вовлечению в колебательный процесс новых степеней свободы. Описание условий бифуркации подразумевает точный способ описания точки бифуркации, в которой изменение параметра приводит к потере устойчивости. В точке бифуркации существование и единственность решений не обеспечивается и происходит изменение числа решений.

В основном были классифицированы следующие неустойчивости состояний в дифференциально-алгебраической модели ЭС ГИ [71]:

(1) Тип I – рабочий режим, при котором переменные состояния и параметры ЭС ГИ ограничены в пределах приемлемых условий работы,

(2) Тип IIA - алгебраическая бифуркация, которая происходит из-за наличия функциональной зависимости, связанной с уравнениями баланса мощностей в ЭС ГИ,

(3) Тип IIS - статическая бифуркация, которая происходит из-за сингулярности эквивалентной матрицы Якоби ЭС ГИ, при условии несингулярности матрицы Якоби электрической сети,

(4) Тип IID - динамическая бифуркация как результат слабо затухающих или неустойчивых колебаний,

(5) Тип III – проблема каскадной неустойчивости из-за неточной согласованности регулировок ЭС ГИ, таких как распределительные устройства, батареи статических конденсаторов и нагрузки, включающей асинхронные двигатели.

Вышеупомянутые общие типы бифуркации и устойчивости определяются на примере ЭС ГИ, показанной на рисунке 1.4.

1. Генерирующий источник (генератор),

2. Нагрузка,

3. Устройство возбуждения,

4. Датчик напряжения,

5. Система управления скоростью турбины,

6. Устройство автоматического регулирования возбуждения,

7. Линия связи

Рисунок 1.4 – Генерирующий источник и его системы управления [44]

Динамика ЭС ГИ характеризуется двумя типами уравнений:

– дифференциальные уравнения движения ротора, дифференциальные уравнения электрических контуров статора и ротора и их систем управления,

– алгебраические уравнения баланса активной и реактивной мощности на выводах шин генератора, на шинах высокого напряжения обмотки трансформатора и на шинах нагрузки.

Следовательно, такая динамическая модель ЭС ГИ и ее матрица Якоби в точке равновесия может быть представлена следующим образом [61]

(1.43)

(1.44)

где х – М - вектор независимых переменных динамического режима генераторов и систем управления,

у – N - вектор зависимых переменных электрической сети, то есть, напряжения и угла на каждой шине вывода генератора , на шине повышающей обмотки трансформатора и на шине нагрузки ,

– вектор независимых параметров, к которым можно отнести опорное напряжение системы возбуждения , установленную механическую энергию системы управления скоростью турбины (РО) и параметры заданной нагрузки (PН, QН).

Матрица Якоби в любой точке равновесия может быть получена из линеаризованной динамической модели ЭС ГИ, которая может быть структурно представлена в матричной форме [70]

(1.45)

где – режимы механической динамики и динамики потока затухания,

– режимы систем возбуждения,

– режимы систем управления скоростью турбины,

– режимы стабилизаторов энергосистемы,

– угловые переменные на шинах электрической сети (вывода - Г, повышающей обмотки - Т, нагрузки – Н),

– переменные напряжения на шинах электрической сети,

– коэффициенты активной мощности в модели с нагрузкой, не зависящие от напряжения,

– коэффициенты реактивной мощности в модели с нагрузкой, не зависящие от напряжения,

– диагональная матрица, составленная из постоянных инерции синхронных машин, единичной матрицы и постоянных времени процессов затухания,

– постоянные времени систем возбуждения,

– постоянные времени систем управления скоростью турбины,

– постоянные времени стабилизаторов энергосистемы,

A-подматрицы, связанные с алгебраическими уравнениями электрической сети

; ;

;

; ;

.

Следующие свойства вышеупомянутых подматриц помогают понять модель ЭС ГИ [40]:

1)  Диагональные блочные матрицы представляют связь между внутренними обмотками и шинами синхронных машин.

2)  Матрица Якоби электрической сети gy, составленная из APθ APV, AQθ, AQV не симметрична.

3)  Коэффициенты зависимости требуемой нагрузки от напряжения заложены в диагональных элементах C и D подматриц.

4)  Подматрицы Ai, Ci, i=1,2,3,4 и BjH, DjH, j=1,3 являются диагональными.

Матрица Якоби потокораспределения имеет форму [61]

,

где подматрицы якобиана потокораспределения APθ APV, AQθ, AQV заданы так же, как и те подматрицы, которые использовали в представлении электрической сети динамической модели энергосистем (1.79), но с A1K=A1, C1K=C1, A3K=A3 и C3K=C3.

Обнаружение хаотических режимов может быть реализовано путем введения показателей Ляпунова. Показатели Ляпунова хаотической траектории имеют, по крайней мере, одну положительную величину λ. Так, самый большой показатель Ляпунова λ1 должен быть положительным. Эта характеристика отличает хаос от других типов переходных и установившихся режимов [29].

На заданном интервале характеристические показатели Ляпунова определяются как , где mi(t) такая же величина, как в выражении (1.42).

Из определения , следует, что если колебание хаотическое, тогда оно должно быть переходным хаотическим колебанием. Однако, обратная формулировка, в общем случае, не является истинной [60].

Переходные хаотические колебания имеют характеристики широкополосного энергетического спектра и непредсказуемости на интервале , так как эти свойства – прямые следствия наличия положительных значений показателей Ляпунова, которые объясняют чрезвычайную чувствительность к начальным условиям.

Таким образом, становится ясным, что колебание является переходным хаотическим тогда и только тогда, когда существуют по крайней мере один положительный показатель Ляпунова. Если - положительный показатель Ляпунова, тогда его легко и эффективно использовать как индикатор обнаружения хаоса, так как положительная величина подразумевает большую чувствительность к начальным условиям.

1.5.2 Энтропийные характеристики хаотических режимов

Реальные ЭС ГИ являются сложными нелинейными диссипативными системами. В них имеется большое количество нелинейностей различной природы. Нерегулярные колебания могут возникать как в ЭС ГИ с одним генератором, так и в ЭС ГИ, включающих в себя несколько генераторов. Причем в ЭС ГИ с несколькими генераторами динамика и характер процессов были более разнообразны, кроме того, большое влияние на характер процессов оказывал и тип связи между одиночными генераторами.

Теоретически возможны два пути перехода ЭС ГИ в хаотический режим: 1) каскад удвоения периода бифуркаций и 2) большое возмущение (наброс нагрузки, перенапряжения, короткие замыкания и т. д.).

Для энтропийного анализа хаотических процессов используется модель ЭС ГИ (1.6)-(1.14), в которой параметром бифуркации является Q1b. Начальные условия переменных состояния системы принимаются равными: x(0)=(0.761, 0, 1.332, -0.328, 4.198, 0.239, 0.779). Другие параметры те же, что и в таблице 1.1. Постепенно увеличивая значение Q1b, получаем бифуркационную диаграмму [63,75], показанную на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 – Бифуркационная диаграмма ЭС ГИ [44]

Интегрируем уравнения (1.6)-(1.14), со значением Q1b лежащим в промежутке от 1.190 до 1.203. При Q1b<1.191, в системе существуют устойчивые колебания с периодом 1T. Для 1.191 < Q1b< 1.197, в системе появляются колебания с периодом 2Т. При Q1b=1.197, 1.198..., появляются последовательно период-4Т, период-8Т.

При нарастании удвоения периодов бифуркаций (каскад бифуркаций) колебания угла генератора ЭС ГИ сводятся к хаотическому режиму с изменением текущей энтропии, приведенной на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 – Изменение текущей энтропии при каскаде бифуркаций отклонений угла поворота ротора генератора с начальными условиями (0.7, 0.3,0.6,0.0) [30]

Рисунок 1.7 – Изменение текущей энтропии при набросе нагрузки отклонений угла поворота ротора генератора с начальными условиями (0.7, 0.3,0.6,0.0) [30]

При значении Q1b равным 10.89 (произошел наброс нагрузки) получаем результаты, приведенные на рисунке 1.7.

Вполне очевидно, что изменение текущей энтропии хаотического режима связано с различными начальными возмущениями. Это говорит нам о том, что изменение текущей энтропии хаотических режимов в ЭС ГИ в сущности связано с изменением энергии, вызванной действием неожиданных возмущений.

Хаос очень чувствителен к начальным условиям и параметрам ЭС ГИ. Любое небольшое изменение их может разрушить устойчивые колебания. Разрушение хаоса может привести к лавине напряжения, угловой нестабильности, или лавине напряжения с угловой нестабильностью одновременно с нарушением энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

1.6 Выводы

Достаточно углубленный критический анализ изложенных проблем энтропийной динамики ЭС ГИ позволяет сформулировать научные задачи, решение которых даст возможность раскрыть тему диссертационной работы. Перечислим эти задачи в логической последовательности:

1.Экспериментальное обоснование возможности применения принципа максимизации энтропии для анализа энтропийной устойчивости.

2.Изучение энтропийных аспектов анализа показателей качества функционирования режимов ЭС ГИ.

3.Разработка методов исследования энтропийной динамики и энтропийной устойчивости ЭС ГИ. Отыскание критериев энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

4.Анализ энтропийных моделей переходных (и, как частный случай при t→, установившихся) режимов ЭС ГИ, включая режимы детерминированного хаоса.

5.Обоснование эквивалентности текущей плотности энергетического спектра и приращения текущей энтропии случайных (стохастических) и хаотических режимов.

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭНТРОПИЙНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГЕНЕРИРУЮЩИМИ ИСТОЧНИКАМИ

2.1 Уравнение диффузии плотностей вероятностей
переменных состояния

При анализе энтропийных моделей режимов функционирования ЭС ГИ приняты следующие допущения:

- электрическая схема ЭС ГИ из n генераторов приведена на рисунке 1.1, в которой все напряжения измеряются относительно узла 0 (нейтраль), узлы 1, 2,…, n – шины соответствующих генераторов или точки подключения ЭДС за переходными реактивными сопротивлениями;

- механический угол ротора генератора совпадает с углом ЭДС за переходным реактивным сопротивлением;

- нагрузка по своим характеристикам занимает промежуточное положение между постоянным полным сопротивлением (Zн=const) и постоянной полной мощностью (Sн=const), носит случайный характер и может оказывать существенное влияние на результаты анализа энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

Рассмотрим ЭС ГИ, описываемые смешанной системой дифференциальных и алгебраических уравнений (система уравнений в так называемой канонической форме) [35]

(2.1)

Здесь X, Y – векторные координаты, которые образуют соответственно пространство переменных состояния и пространство показателей качества функционирования.

Относительно векторов функций F и f в дальнейшем используются различные предположения. Вначале будем считать эти функции дифференцируемыми необходимое число раз во всей рассматриваемой области пространства состояний. Еще раз перепишем уравнение (2.1) в таком виде, который более удобен для дальнейших рассуждений

, (2.2)

, i=1,2,…,n. (2.3)

Начальные фазовые координаты x1(0), x2(0), …, xn(0) считаются случайными и их распределение характеризуется плотностью вероятности p(x1, …, xi, …, xn, 0) = p0(x, …, xi, …, xn), которая, по определению, удовлетворяет условию нормировки

.

Требуется найти уравнение, которому подчиняется изменение текущей плотности вероятности в пространстве состояний p(x1, …, xi, …, xn, t). Текущая плотность вероятности показателей качества функционирования py(x1, …, xi, …, xn, t) будет определена через p(x1, …, xi, …, xn, t) с использованием аналитической связи между X и Y.

Достаточно наглядный вывод искомого уравнения получается при использовании представления о «фазовом газе». Подобные представления применяются в анализе энтропийной динамики [21], когда уравнение диффузии вероятностей получено для математической модели ЭС ГИ, записанной в нормальной форме Коши. Следуя [21] и используя аналогичные приемы, в данной работе уравнение диффузии вероятностей переменных состояния формируется для математической модели ЭС ГИ, записанной в канонической форме.

Понятие «фазового газа» может быть интерпретировано следующим образом. Допустим, что имеется счетное множество совершенно одинаковых ЭС ГИ с одинаковыми Fi, fi и системами уравнений состояния, отличающихся лишь различными начальными условиями. Изображающая точка каждой такой ЭС ГИ будет совершать в пространстве состояний некоторое движение. Движение частиц фазового газа в каждой точке пространства состояний имеет регулярную составляющую, обусловленную функциями Fi, fi и случайную составляющую, вызываемую шумами Ui(t). Поэтому мгновенная плотность «фазового газа», т. е. количество частиц на единицу объёма в данный момент времени и в данном месте пространства состояний, будет иметь как регулярную составляющую (математическое ожидание) p(x1, …, xn, t), так и случайную центрированную составляющую Dp(x1, …, xn, t). Математическое ожидание плотности «фазового газа» равно искомой плотности вероятности в пространстве состояний.

Дифференцируя уравнение (2.3) по t и подставляя значение из уравнения (2.2), получаем

, (2.4)

где - элемент обратной матрицы Якоби.

Условие сохранения имеет вид [20]

. (2.5)

Отсюда следует, что

. (2.6)

Поскольку , то левая часть уравнения (2.6) есть полная производная по времени функции Dp. Следовательно,

(2.7)

Уравнение (2.7) есть линейное уравнение относительно Dp с нулевым условием Dp(0)=0. Решение уравнения (2.7) имеет вид

(2.8)

где WDp(t,t’) – весовая функция.

Умножая (2.8) слева и справа на Ui(t) и применяя операцию математического ожидания, находим

, (2.9)

где Sij - взаимная спектральная плотность между i-м и j-м случайными процессами.

Множитель 1/2 появляется в (2.9) потому, что интегрирование функции ведется в пределах от 0 до +0, а не от -0 до +0.

Подставляя (2.9) в (2.6), получаем окончательно

(2.10)

Решение уравнения диффузии в канонической форме математической модели ЭС ГИ удовлетворяет условию нормировки.

Рассмотрим реальные ситуации, которые весьма часто возникают в ЭС ГИ.

А) Управляющие параметры зафиксированы. Поэтому можно искать стационарную (t) вероятностную функцию распределения, приняв . В результате (2.10) сводится к

, (2.11)

решением которого является [21]

(2.12)

где N – некоторая константа.

Если коэффициент диффузии D непостоянен, то решение может быть записано в виде [21]

, (2.13)

N – константа нормировки.

Б) Коэффициент диффузии D=0. Поэтому уравнение (2.13) запишется в виде

, (2.14)

решением которого является , что нетрудно проверить [21].

Вернемся к обсуждению качественных свойств уравнения диффузии вероятностей (2.10). Правая часть этого уравнения состоит из двух членов - «дрейфа» и «диффузии».

Роль «диффузии» двояка. Она описывает

1) размах плотности распределения р(x, t), которая концентрируется вокруг локального максимума, и

2) плотность вероятности р(x, t), которая характеризует перевод системы в некоторый отдалённый глобальный максимум [37].

«Дрейф» заставляет функцию распределения р(x, t) двигаться по направлению к ближайшему локальному максимуму.

Наличие двух членов в правой части уравнения (2.10) свидетельствует о том, что оно является уравнением с двумя временными масштабами. Это значит, что явление, описываемое качественно уравнением (2.11), происходит в двух совершенно различных временных масштабах: по «быстрой» шкале времени T1 связанной с обратной релаксацией к локальному максимуму после возмущения, и «медленной шкале времени T2, связанной с переходом к глобальному максимуму.

2.2 Уравнение Риккати для матрицы корреляционных моментов переменных состояния

Рассматривается определение корреляционных моментов переменных состояния в процессе временной эволюции ЭС ГИ. Иначе говоря, определяются изменяющиеся во времени математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты переменных состояния (ПС).

В качестве исходной принята математическая модель ЭС ГИ (2.1). Система линеаризованных уравнений в матричной форме, отображающая ЭС ГИ, имеет вид

(2.15)

где Q(t) – квадратная матрица коэффициентов линеаризованной системы дифференциальных уравнений.

Применяя к (2.18) операцию математического ожидания, получим

(2.16)

где mx - вектор математических ожиданий ПС,

mF - вектор математических ожиданий возмущений.

Последние отыскиваются с помощью экспериментальных статистических исследований.

Решение системы (2.16) позволяет определить математические ожидания ПС. Единственность решения обеспечивается матрицей начальных значений mx(t0) вектора математических ожиданий ПС.

Для отыскания дисперсий и корреляционных моментов ПС необходимо применить операцию центрирования к системе (2.15). Для этого из системы (2.15) вычтем систему (2.16). Следуя [28], получим

(2.17)

где - центрированный вектор ПС,

- центрированный вектор возмущений.

Умножим выражение (2.17) на вектор и применим операцию математического ожидания. Тогда

. (2.18)

Затем, транспонировав выражение (2.17), умножим полученное выражение на и применим операцию математического ожидания

. (2.19)

Сложим выражения (2.18) и (2.19). Получим, что

.

Окончательно, дифференциальное уравнение относительно матрицы корреляционных моментов Kx(t), в дальнейшем называемое уравнением Риккати, имеет вид

, (2.20)

где Kx(t), - соответственно квадратичная матрица корреляционных моментов (МКМ) вектора X(t) и взаимные МКМ векторов , и , .