Анализ энтропийных моделей режимов электротехнических систем с генерирующими источниками, включая режимы детерминированного хаоса (стр. 5 )

Заметим, что при нахождении выражения (2.20) использовалось определение МКМ некоторого случайного вектора [29].

Если Wup(t,t) - весовая функция u-й ПС по отношению к p-му воздействию, т. е. реакция на единичный импульс Fp=d(t), то [28]

, (2.21)

где Rpy(t) - корреляционная функция р-го и y-го возмущений.

Решение системы дифференциальных уравнений (2.20) позволяет отыскать изменяющиеся во времени дисперсии и корреляционные моменты ПС. Единственность решения обеспечивается заданием МКМ Kx(t0) в начальный момент времени t0.

2.3 Численно-аналитический метод исследования энтропийной устойчивости на базе тригонометрических рядов Фурье

Метод рядов Фурье разрабатывается применительно к математическим моделям ЭС ГИ, записанным в канонической форме. При этом решаются следующие задачи:

- определение статистических моментов второго порядка переменных состояний;

- определение плотностей вероятностей переменных состояния;

- построение алгоритмов исследования энтропийной устойчивости.

Представим матрицу Q(t) и вектор F(t) в форме тригонометрических рядов Фурье

, (2.22)

, (2.23)

,

где

u - номер гармоники.

Компоненты векторов Fuс и Fus являются случайными соответственно косинусными и синусными составляющими компонент вектора F(u).

Решение (2.17) будем отыскивать в виде тригонометрических рядов Фурье со случайными косинусными и синусными составляющими

(2.24)

где , u - номер гармоники.

Компоненты векторов xuс и xus являются случайными косинусными и синусными составляющими компонент вектора .

Продифференцировав (2.24) по и, перемножив между собой (2.22) и (2.24) по правилам, изложенным в [58], подставим полученные выражения в (2.17). Тогда, используя принцип гармонического баланса, получим

, (2.25)

где Y=(x1c,x1s,…,xuc,xus,…,xNc,xNs)T,

xuc =( x1uc,…,xiuc,…, xnuc)T,

xus =( x1us,…,xius,…, xnus)T,

WF =( F1s,F1c,…,Fus,Fuc,…, FNs,FNc)T,

.

Элементы матрицы С представляют собой субматрицы сuk. Элементы субматрицы сuk зависят от гармонических составляющих матрицы Q(u). Выражения для отыскания элементов сuk приведены в [52].

Выражение (2.25) является основным соотношением для определения МКМ относительно амплитуд гармонических составляющих переменных состояния. Согласно [16], МКМ KY определяется в виде

, (2.26)

где М – операция математического ожидания. Имея в виду, что

Y=C-1WF+C-1W1+C-1W2, YT=WFTC-1T+ W1TC-1T+ W2TC-1T, (2.27)

получим

, (2.28)

где - квадратные МКМ соответственно векторов Y, WF, W1, W2, при условии взаимной независимости векторов Y, WF, W1, W2.

Диагональные элементы МКМ KY представляют из себя дисперсии, а недиагональные элементы – корреляционные моменты гармонических составляющих вектора F, МКМ KY симметрична относительно главной диагонали.

Осуществим переход к нормированной МКМ . Если обозначить , а где , то элемент нормированной МКМ определится как

, (2.29)

а диагональные элементы нормированной МКМ равны единице.

При решении уравнения диффузии вероятности предусмотрено получение в форме тригонометрического ряда Фурье плотности вероятности показателей качества функционирования ЭС ГИ. Период ряда Фурье определяется интервалом рассмотрения динамических процессов в ЭС ГИ.

Вычислительная процедура представляет собой численно-аналитический метод, приводящий к численному определению коэффициентов Фурье плотности вероятностей показателей качества, представлению плотности вероятности аналитическими выражениями в форме сумм конечного числа гармонических составляющих. При этом становится возможным осуществить энтропийный анализ показателей качества переменных состояния ЭС ГИ (частоты, токов и т. д.) и энергетических показателей (активной мощности, потребления электроэнергии и т. д.), а также анализ энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

Исходными данными в вычислительном алгоритме (программе) являются:

-число гармоник N;

-компоненты вектора АК;

-компоненты вектора коэффициентов корреляции К;

-компоненты вектора начальных условий системы дифференциальных уравнений Y0;

В программе используются подпрограммы

-решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка, её имя RKGS;

-формирования системы дифференциальных уравнений на одном шаге, её имя FCT;

-вывода результатов решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений и вычисления энтропии, её имя QUPT.

Программа зарегистрирована в объединенном фонде электронных ресурсов «Наука и образование» РАО [41].

Рисунок 2.1 – Блок-схема алгоритма [39]

2.4 Вторая вариация текущей энтропии как аналог функции Ляпунова
в анализе энтропийной устойчивости

Если считать, что ПКФ представляет собой непрерывную функцию от параметров и переменных состояния ЭС ГИ, то энтропийная устойчивость связана с приспособляемостью ЭС ГИ к изменениям условий функционирования, при этом решающее значение имеет осуществление ЭС ГИ необходимых изменений в своей структуре за определённое время Т. В этой связи важно иметь свой критерий энтропийной устойчивости, являющийся аналогом функции Ляпунова при детерминированном описании ЭС ГИ. Значение отыскания такого критерия состоит в том, что открываются новые теоретические возможности в исследовании энтропийной устойчивости. Вместе с тем получение критериев энтропийной устойчивости имеет практическое значение. Заметим, что в математическом и физическом аспектах некоторая ЭС ГИ считается энтропийно устойчивой, если при ее энтропия H(t) не превосходит некоторую максимальную величину Hmax., другими словами, энтропия лежит в пределах , и энтропийно неустойчивой, если при энтропия H(t) стремится к бесконечности.

Наиболее целесообразным критерием энтропийной устойчивости представляется такой, выполнение которого обеспечит функционирование ЭС ГИ с максимальной энтропией и минимальной скоростью изменения энтропии

. (2.30)

Условие с необходимостью приводит к первому критерию энтропийной устойчивости: первая вариация энтропии dН равна нулю, а вторая вариация энтропии d2Н меньше нуля.

Условие , совместно с d2Н<0 приводит ко второму критерию энтропийной устойчивости: скорость изменения во времени больше нуля или равна нулю в предельном случае

. (2.31)

Выражения (2.30) и (2.31) представляют необходимое и достаточное условие энтропийной устойчивости.

В качестве аналога функции Ляпунова применяется вторая вариация энтропии d2Н. Вторая вариация энтропии d2Н указывает на нарастание или убывание энтропии и тем самым указывает на энтропийную устойчивость или неустойчивость ЭС ГИ.

Имеется еще одна причина, из которой следует, что теория энтропийной устойчивости должна исходить из свойств d2Н. Вторая вариация d2Н энтропии непосредственно связана со статистической теорией флуктуаций. Вероятность возникновения флуктуации ПК режимов функционирования ЭС ГИ выражается формулой [44]

P~exp(DH), (2.32)

где DH – отклонение энтропии Н от Нmax.

В работе [74] выражение (2.32) использовано для отыскания распределения вероятностей мощностей ЭС ГИ, содержащей управляемые вентильные преобразователи. Представляя

(2.33)

и учитывая, что для ЭС ГИ dН=0, находим

. (2.34)

Для энтропийной устойчивости необходимо, чтобы d2Н<0. Поэтому теорию энтропийной устойчивости следует строить на основе функции d2Н как аналоге функции Ляпунова в том смысле, как она определена в [9, 42].

Переход между энтропийной устойчивостью и энтропийной неустойчивостью связан с нарушением неравенства для критического ПК режимов функционирования и связанного с ним численного значения параметра ЭС ГИ.

Если после некоторого начального возмущения, ЭС ГИ эволюционирует от произвольного распределения вероятностей p(x, t) к стационарному (асимптотическому) распределению вероятностей , то тогда, опираясь на определение энтропии, выражение для текущей энтропии получается в виде [34]

. (2.35)

Рисунок 2.2 Устойчивая эволюция второй вариации энтропии для математической модели (2.10).

Таким образом, начинает выясняться роль текущей энтропии Н(t), второй вариации энтропии d2Н, класса распределений вероятностей p(x, t) в анализе энтропийной устойчивости режимов функционирования ЭС ГИ. Кроме детерминированных (каузальных) уравнений состояния необходимо знать класс распределений вероятностей переменных состояния, при которых ЭС ГИ остается энтропийно устойчивой или, наоборот, становится энтропийно неустойчивой.

2.5 Энтропийный анализ показателей качества функционирования

2.5.1 Энтропийный анализ чувствительности показателей качества функционирования

Энтропийный анализ чувствительности ПКФ проведен в соответствии с методикой, изложенной в [28].

Если математическое описание ЭС ГИ проведено с помощью переменных состояния, то чувствительность ЭС ГИ характеризуется матрицей чувствительности , которая указывает влияние каждого параметра на каждую переменную состояния. Элемент zij называют функцией чувствительности и определяют как [19]

, (2.36)

где xi – i-я переменная состояния, qj – j-й параметр.

Функция чувствительности, в сущности, показывает скорость изменения i-й переменной состояния по j-му параметру.

Вследствие случайного характера возмущений и начальных условий переменные состояния – случайные функции времени. Определение функции чувствительности непосредственно по (2.36) при случайном изменении xi(t,q1,…,qj,…,qm) невозможно. Требуется отыскать статистические моменты функций чувствительности для их объективного описания.

Необходимые математические ожидания, дисперсии и взаимные корреляционные моменты переменных состояний находятся по методике [65]. Не повторяя результатов [65], будем считать известным математические ожидания xi-mi(t,q1,…,qj,…,qm), дисперсии xi-Di(t,q1,…,qj,…,qm), взаимные корреляционные моменты между xi, xd –Kid(t,q1,…,qj,…,qm).

Определим математическое ожидание функции чувствительности zij.

. (2.37)

Дисперсия функции чувствительности zij находится как

, (2.38)

где Ri(t,q1,…,qj,…,qm) – корреляционная функция xi

Корреляционный момент между функциями чувствительности zij и zdl

. (2.39)

Выражение (2.39) получено по аналогии с (2.38), но вместо корреляционной функции Ri использовалась корреляционная функция между xi и xd.

При больших значениях корреляционного момента будет существовать влияние zij на zdl, приближающееся в пределе к прямо пропорциональной зависимости между ними. Положительный знак корреляционного момента означает, что функции чувствительности zij и zdl изменяются аналогичным образом при изменении qi и qi.

В установившемся состоянии соответствующие статистические характеристики функций чувствительности также определяются выражениями (2.38), (2.39), но при .

Вероятностное описание чувствительности с большей точностью выявляет область изменения параметров ЭС ГИ, при которой переменные состояния выходят за допустимые пределы. Отклонение i-ой переменной состояния от её номинального значения определяется как

, (2.40)

где Dqj – изменение j-го параметра.

Тогда в качестве энтропийного аналога выражения (2.40) можно выбрать функционал

. (2.41)

Выражение (2.41) определяет квадрат наибольшего отклонения i-й переменной состояния при существующих изменениях параметров Dqj и Dql. Величина D(zij), также знак и величина С(zij zdl) оказывают наибольшее влияние на величину Li.

Если известно предельное отклонение от номинального значения i-й переменной состояния ai, то необходимо, чтобы

. (2.42)

Итак, можно заключить, что исследование чувствительности в окрестности бифуркационных значений параметров является исходным пунктом для анализа энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

2.5.2 Формирование устойчивых структур плотностей вероятностей в пространстве состояний

Энтропийная модель ЭС ГИ характеризуется текущей плотностью вероятности p(x, t) переменных состояния X=(x1,…,xn) при заданной совокупности параметров R=(q1,…,qm). Эволюции во времени ЭС ГИ соответствуют деформации p(x, t), смещение её максимумов и минимумов, отвечающих наиболее вероятным и наименее вероятным состояниям, и стремление к некоторой асимптотической стационарной плотности вероятности p(x, tgT)=p(x), где [0,Т] – временной интервал рассмотрения случайных процессов. Функцию p(x) можно представить вероятностной поверхностью в пространстве состояний и параметров.

Фазовые портреты структурных неустойчивостей вероятностной поверхности соответствуют локальным экстремумам или точкам перегиба p(x, tgT) и при определённых изменениях параметров R приводят к резким изменениям локального поведения вероятностной поверхности вблизи наиболее вероятностных состояний ЭС ГИ [46]. Резкие изменения формы вероятностной поверхности вблизи наиболее вероятных состояний соответствуют в свою очередь резким качественным изменениям в эволюции ЭС ГИ [48].

В соответствии с принятой моделью эволюция плотности вероятности переменных состояния будет задана уравнением

. (2.43)

Решение уравнения (2.43) должно удовлетворять начальным и граничным условиям

.

Проследим за эволюцией некоторого возмущения во времени численно-аналитическим методом в соответствии с уравнением (2.43). Численный анализ показывает, что при В*=0,6 возмущения прекращаются и восстанавливается стационарное состояние. Наоборот, при В*=2,1 возмущения усиливаются, и стационарное состояние, которое принадлежит области 2, является неустойчивым. При этом уравнение (2.43) интегрировалось при стационарном значении. Это объясняется тем, что является всегда устойчивой конфигурацией, и тем, что при A>1 профиль p(x, t) очень быстро релаксирует к [52].

Следующим этапом является исследование фазовых портретов и устойчивости профилей p(x, t) (рисунок 2.3). Можно выделить три области:

а) области энтропийной устойчивости 1, флуктуации состояний затухают во времени,

б) область энтропийной неустойчивости 2, стационарные состояния неустойчивы, в этой области флуктуации монотонно возрастают,

в) вторая область энтропийной неустойчивости 3, где флуктуации усиливаются и в то же время претерпевают колебания

Рисунок 2.3а – Фазовые портреты и вероятностное распределение в пространстве переменных состояния для характеристической стадии а эволюции ЭС ГИ [44]

Рисунок 2.3б – Фазовые портреты и вероятностное распределение в пространстве переменных состояния для характеристической стадии б эволюции ЭС ГИ[44]

Рисунок 2.3в – Фазовые портреты и вероятностное распределение в пространстве переменных состояния для характеристической стадии в эволюции ЭС ГИ [44]

Численно-аналитический метод, использующий алгоритм раздела 2.3, позволяет получить спектрограмму энтропии как непериодической функции времени и показать, что достигается энтропийно устойчивое стационарное состояние ЭС ГИ, которое представлено на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 Спектрограмма энтропии устойчивой структуры, локализованной в фазовом пространстве для математической модели (2.68)

Новым важным свойством является то, что энтропийно устойчивая структура локализована в пространстве состояний. Энтропийно устойчивая структура ведет себя так, как будто в зависимости от величины параметров В и А она определяет свои собственные границы, отличные от границ, соответствующих точкам x=-x0, x=x0.

Следует ожидать, что локализация является энтропийным механизмом стабилизации переменных состояния по отношению к внезапным возмущениям. Наличие порогов и четкая локализация в пространстве состояний плотностей вероятностей переменных состояния являются эффективным средством осуществления регуляторных функций. Устойчивые локализованные структуры «консервируют» энтропию и показатели качества функционирования ЭС ГИ в некотором интервале возможных значений.

2.6 Выводы

1. Анализ решения уравнения диффузии для плотностей вероятностей р(x, t) переменных состояния показывает, что эволюция р(x, t) происходит как по «быстрой шкале» времени, связанной с обратной релаксацией к локальному максимуму после возмущения, так и по «медленной шкале» времени, связанной с переходом к глобальному максимуму. Такая эволюция р(x, t) соответствует максимизации текущей энтропии ЭС ГИ.

2. Анализ решения уравнения Риккати для изменяющейся во времени нормированной матрицы корреляционны моментов переменных состояния позволяет отыскать критерии энтропийной устойчивости режимов функционирования ЭС ГИ.

3. Вторая вариации d2Н текущей энтропии как аналог функции Ляпунова позволяет для режимов функционирования ЭС ГИ определить класс плотностей вероятностей р(x, t) переменных состояния, обладающих энтропийной устойчивостью.

4. Энтропийно устойчивые плотности вероятностей р(x, t) переменных состояния локализуются в пространстве состояний с наличием непреодолимых порогов локализации, что является эффективным средством «консервации» текущей энтропии и показателей качества функционирования ЭС ГИ в некотором интервале возможных значений.

ГЛАВА 3. ЭНТРОПИЙНЫЕ МОДЕЛИ РЕЖИМОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГЕНЕРИРУЮЩИМИ ИСТОЧНИКАМИ

3.1 Текущая энтропия и энергетическая спектральная плотность случайных и хаотических процессов как эквивалентные количественные меры неопределённости в задачах моделирования режимов функционирования

Проблема анализа случайных и хаотических режимов связана с различными видами неопределённости. Такое положение следует считать объективно сложившимся, поскольку иногда невозможно, а иногда нецелесообразно получать достаточные объёмы достоверных данных. Уникальность решения задач в условиях неопределённости состоит в том, что приходится преодолевать трудности концептуального характера – в этом и сложность, и привлекательность проблемы неопределённости.

В работах [12, 22] выделяются два возможных подхода к решению задач в условиях неопределённости. В первом подходе получают хотя бы теоретически точное решение при фиксированных значениях неопределённых факторов, а затем оценивают устойчивость полученного решения при колебаниях неопределённых факторов, проводя многовариантные расчеты. Снятие неопределённости тем или иным образом происходит при введении соответствующих гипотез, гарантирующих получение точного решения. Второй подход (о целесообразности ориентации на который указывается в [21, 44]) предполагает обнаружение механизмов влияния факторов неопределённости на всех этапах пути к решению задач энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

Концепция по проблеме учёта факторов неопределённости в задачах моделирования энтропийной устойчивости ЭС ГИ подробно освещена в [33, 70]. Суть концепции заключается в том, что ключевую роль в разработке методики определения вида и параметров распределения вероятностей переменных состояния и учёта фактора неопределённости должна играть текущая энтропии состояния.

Энтропийные модели в задачах моделирования и оптимизации ЭС ГИ включают в себя не только распределение вероятностей переменных состояния, но и ограничение на энергетические ресурсы системы, включая должное качество энергетических ресурсов, в том числе и электрической энергии, что позволяет им выдерживать конкуренцию с моделями учёта неопределённости других типов [35].

К техническим средствам обеспечения должного качества энергетических ресурсов предъявляется ряд требований и наиболее важными среди них являются устойчивость и самоорганизация. Под устойчивостью понимают способность ЭС ГИ возвращаться в равновесное состояние (положение равновесия) после окончания действия внешних факторов. С физической точки зрения устойчивость означает, что при ограниченном входном воздействии выходной сигнал также является ограниченным, и процессы в системе стремятся к определенному значению при любых начальных условиях. Под самоорганизацией понимают возникновение в результате каскада бифуркаций или большого возмущения устойчивых структур в пространстве состояний ЭС ГИ.

Одним из факторов самоорганизации в ЭС ГИ является способность подсистем ЭС ГИ к взаимной синхронизации. Под синхронизацией понимают самопроизвольное установление в ЭС ГИ колебаний единой синхронной частоты и устойчивых к возмущениям определенных фазовых сдвигов между колебаниями в отдельных частях неоднородной распределенной ЭС ГИ.

В диссертации рассматривается синхронизация под определенным углом зрения, а именно как важный режим поведения ЭС ГИ. Необходимые для этого численно-аналитические исследования проводились на имитационной параметрической модели, приведенной на рисунке 3.1а, которая позволяет объединить управление режимами и получение экспериментальных данных ЭС ГИ.

Рисунок 3.1а – Имитационная электронная модель случайных и хаотических процессов

Физическая реализация имитационной электронной модели случайных и хаотических процессов представлена на рисунке 3.1б

Рисунок 3.1б – Физическая реализация имитационной электронной модели случайных и хаотических процессов

Двухкомпонентная модель ЭС ГИ имеет вид [49]:

(3.1)

где - исследуемые компоненты,

, – соответствующие плотности вероятностей,

Dx, Dy – диффузионные коэффициенты,

, – степенные много­члены.

Такая двухкомпонентная модель ЭС ГИ строится на основе гармонических генераторов с пропорциональным возбуждением. В этом случае в модели (3.1) G и Q принимают вид [56]

(3.2)

Тогда о решениях математической модели (3.1) можно высказать следующие соображения. При малой величине диффузионных коэффициентов Dx, Dy амплитуда вынужденных колебаний генераторов будет меньше, чем амплитуда неустойчивого предельного цикла. В итоге вероятностное распределение амплитуд колебаний , будет ступенчатой функцией, устойчивой к малым возмущениям. Если число N генераторов увеличивать, то коэффициенты связи Dx и Dy, а также амплитуды вынужденных колебаний при неизменных коэффициентах диффузии будут увеличиваться и распределение , в виде ступеньки становится неустойчивым.

С другой стороны, чем теснее диффузионные связи между генераторами в сети, чем больше размерность этой сети, тем устойчивее синхронный режим и плотности вероятностей , стремятся к дельта-функции, т. е. ,. Более того, можно сказать, что флуктуации синхронной частоты уменьшаются при увеличении упомянутых факторов связи, а полоса синхронизации увеличивается как это приведено на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 – Этапы синхронизации режима детерминированного хаоса – напряжение на переменном сопротивлении R2 (UR2)

Синхронная частота ωс, и полоса синхронизации Δс определяются следующими равенствами:

(3.3)

где ωi – частоты колебаний ЭС ГИ.

При увеличении инкремента ЭС ГИ форма колебаний становится релаксационной, а коэффициенты связи Dx и Dy уже не являются равноправными. Пусть степень релаксационности характеризуется параметром εрел << 1. Тогда выражение для полосы синхронизации приобретает вид

(3.4)

При этом Dx определяет диффузионную связь по медленной переменной, не имеющей разрывов, a Dy – диффузионную связь по быстрой переменной. Из (3.4) следует, что полоса синхронизации Δс увеличивается в εрел-1 раз при диффузионной связи по медленной переменной и, наоборот, сужается при осуществлении диффузионной связи по быстрой переменной. В релаксационной ЭС ГИ при Dx ≡ 0 и Dy ≠ 0 наступает десинхронизация колебаний в пространстве состояний (при этом Δс → 0, если εрел << 1).

Отсюда следует, что для случайных процессов имеющееся распределение вероятностей переменных состояния однозначно определяет энтропию как меру неопределенности ЭС ГИ. В режимах детерминированного хаоса понятие «распределение вероятности переменных состояния» отсутствует и, следовательно, для хаотических режимов нельзя определить энтропию как меру неопределенности ЭС ГИ.

В этой связи уместно сослаться на следующий результат, полученный в теоретическом исследовании. Известная форма спектрального разложения некоторого процесса [2] позволяет перейти к пределу при Т→∞, что характерно для хаотических режимов (как нерегулярных и непериодических), и получить энергетическую спектральную плотность S(ω) хаотического режима в виде

, (3.5)

где ΔW – приращение мощности хаотического режима,

– частотный интервал рассмотрения хаотического режима (полоса синхронизации).

Аналитическое сопоставление классического определения приращения энтропии необратимых процессов через изменение энергии (тепла), полученной некоторой системой, к температуре теплоотдающей системы (Клаузиус, Кельвин) и определения приращения энтропии необратимых случайных процессов через их вероятностные распределения (Больцман, Шеннон) позволяет сделать вывод об эквивалентности величины приращения энтропии ΔH и величины плотности энергетического спектра S необратимых случайных процессов.

Это важное в физическом аспекте заключение имеет далеко идущие следствия. Если для некоторого ансамбля реализаций случайного процесса удается аналитически рассчитать или экспериментально определить энергетический спектр и, следовательно, определить плотность энергетического спектра, то для этого случайного процесса тем самым определена энтропия, хотя вероятностные распределения случайного процесса могут быть неизвестны по ряду причин, и энтропию случайного процесса через вероятностные распределения определить не представляется возможным. Обнаруженная эквивалентность указанных величин с точностью до масштабного коэффициента подобия величины приращения энтропии и величины плотности энергетического спектра случайных процессов позволяет определить одну из этих величин через другую величину.