Анализ энтропийных моделей режимов электротехнических систем с генерирующими источниками, включая режимы детерминированного хаоса (стр. 6 )

В дальнейшем высказанные соображения послужат основанием для обобщения их на хаотические процессы, которые имеют индивидуальные величины плотности энергетических спектров и которые с точностью до масштабного коэффициента подобия совпадают с индивидуальным приращением энтропии тех же хаотических процессов. Тем самым решается проблема отыскания энтропии для хаотических режимов функционирования ЭС ГИ.

Для количественной оценки степени хаотичности движений в ЭС ГИ используется обычно либо энтропия Колмогорова-Синая, либо дробная размерность аттрактора. В то же время для описания структур, возникающих в режимах детерминированного хаоса был предложен критерий, который называется «уровень порядка» [57]. Известно, что каждой иерархической структуре может быть поставлен в соответствие математический образ в виде аттрактора в некотором фазовом пространстве. Исходя из этого, в качестве критерия степени хаотичности или уровня порядка σ было предложено использовать следующее выражение [57]:

σ = (m-D)/(m-1). (3.6)

где т – число степеней свободы нелинейной структуры системы, иначе говоря, размерность фазового пространства,

D – дробная размер­ность аттрактора.

Если D приближается к т, то в ЭС ГИ реализуется случай наиболее неупорядоченной структуры, σ→0. Если же при достаточно большом т размерность D немногим более двух (траектории аттрактора локализованы), то это означает, что большая часть перемен­ных состояния в ЭС ГИ коррелированны между собой, и степень порядка весьма велика, σ→1. По-видимому, использование критерия σ будет наиболее информативным при рассмотрении переходов типа «хаос-хаос». На этом пути трудность и ограниченность предлагаемого подхода заключается в том, что размерность аттрактора весьма сложно точно установить.

В этой связи предлагается иной подход к определению энтропии режимов детерминированного хаоса. Сущность предлагаемого подхода состоит в том, что обнаруженная эквивалентность с точностью до масштабного коэффициента величины приращения энтропии и величины плотности энергетического спектра случайных процессов, которая позволяет определять одну из этих величин через другую величину, является новым научным результатом с физической и математической точек зрения и послужит основанием для обобщения полученного результата на хаотические процессы, которые имеют индивидуальные величины плотности энергетических спектров и которые с точностью до масштабного коэффициента подобия совпадают с индивидуальным приращением энтропии тех же хаотических процессов как это приведено на рисунках 3.3, 3.4.

Рисунок 3.3 – Изменение текущей энтропии напряжения UR2

Рисунок 3.4 – Изменение плотности энергетического спектра напряжения UR2

Понятие «энтропия» через эквивалентное ему понятие «плотность энергетического спектра» как для случайного, так и хаотического процессов связывает воедино философские категории «Случайность» и «Хаос». Энтропия становится тем обручем, который стягивает ранее несоединимые в физическом и математическом аспектах сущности – случайные и хаотические явления. Но тогда проявляется следующее: хаос имеет две стороны и эти стороны проявляются как процессы детерминированного хаоса, не имеющие распределение вероятности, и как случайные процессы с некоторым распределением вероятностей, но плотность энергетического спектра имеет место быть и для хаотических, и для случайных процессов.

Результатом выполненных исследований являются разработанные алгоритмы, проверка которых осуществлялась на тестовых задачах и которые позволяют определять бифуркационные параметры ЭС ГИ и их численные значения, анализировать связанные с бифуркациями различные типы решений, включая хаотические режимы, минимизировать потери активной мощности по критерию энтропийной устойчивости во всех режимах работы, включая режимы детерминированного хаоса, что в реальных условиях ведет к экономической эффективности и энергосбережению на всех этапах эксплуатации ЭС ГИ.

В этом отношении необходимо указать, что ЭС ГИ со слабой положительной обратной связью (СПОС), а наличие хотя бы одной спонтанно возникающей СПОС является необходимым условием появления режима детерминированного хаоса, всегда превращают всю свою свободную энергию в работу против ожидаемого равновесия. В режимах детерминированного хаоса, когда в ЭС ГИ имеет место СПОС, ЭС ГИ обязана работать против ожидаемого равновесия. В хаосе равновесия не может быть, и, хотя через бифуркации меняется тип решения, но к равновесию ЭС ГИ не приходит.

В точках бифуркации происходит смена типов решений, т. е. происходит смена пространственно-временной организации ЭС ГИ, но вдали от равновесия каждая подсистема «видит» всю ЭС ГИ в целом, а в равновесии ЭС ГИ «слепа». Отсюда следует, что вдали от положения равновесия когерентность поведения подсистем ЭС ГИ в огромной степени возрастает.

Выражение (2.35) является основным соотношением для определения энтропии ЭС ГИ через нормированную МКМ случайного вектора Y. Тогда приращение текущей энтропии ЭС ГИ найдется как

. (3.7)

Выражение (3.7) является обобщением формулы для определения энтропии двух связанных между собой случайных процессов, полученной в [3], на случай n связанных между собой случайных процессов.

Выражение (3.7) дает возможность определить Н за время [t0, t1], если коэффициенты разложения элементов матрицы Q(t) отыскивать за время [t0, t1]. Изменение энтропии ЭС ГИ за время [t1, t1+Dt] можно проследить, если определить коэффициенты разложения элементов матрицы Q(t) уже за время [t1, t1+Dt]. Таким образом, становится возможным рассчитать энтропию ЭС ГИ как функцию времени, так как найдена процедура определения H(ti) для всех ti по предыдущим значениям.

Потоки энтропии в ЭС ГИ на отдельных участках определяются МКМ по (3.7), но используются коэффициенты корреляции только тех компонентов вектора Y, которые имеют отношение к этим участкам ЭС ГИ. Тем самым соблюдается аддитивный принцип, характерный для энтропии: сумма энтропии отдельных участков ЭС ГИ равна энтропии всей ЭС ГИ.

Опираясь на полученные результаты работы, приходим к выводу о том, что если текущая энтропия отлична от нуля, то появляется область S оптимальных инвариантных решений. Увеличение текущей энтропии приводит к увеличению области S. Это означает, что увеличивающаяся неопределённость в достижении цели управления ЭС ГИ делает лишённой смысла замену старого оптимального решения на другое оптимальное решение при изменившихся условиях функционирования. При этом дается оценка состоятельности старого оптимального решения.

3.2 Энтропийные аспекты эффективности, устойчивости и живучести

Управление ЭС ГИ представляет собой иерархическую структуру, которая характеризуется информационными ресурсами (ИР). К последним относятся ЭВМ, каналы связи, программы, датчики информации и т. д.

Очевидно, чем больше в системе ИР (будем исходить из их рационального использования), тем более эффектив­ной будет функционирование ЭС ГИ. Для каждой данной ЭС ГИ и для каж­дого уровня технологии имеется своя функциональная связь между эффективностью работы ЭС ГИ и ИР. Формирование структуры управления ЭС ГИ в той или иной степени сводится к распре­делению ИР между возможными ситуациями в ЭС ГИ, т. е. между неко­торым конечным набором ситуаций от S1 до Sn, Последние при неблагоприятных условиях могут вызывать возникновение аварийных режимов, свя­занных с ущербами для системы вплоть до потери ее живучести, т. е. прекращения ее существования как единого целого [15].

Выделение необходимого ИР на покрытие экстремальных ситуаций позволяет предотвратить переход их в «угрожающие аварией» режимы. Возникновение угрожающего аварией режима как результат неблагоприятного разрешения экстремальной ситуации всегда связано с выходом каких-либо обобщенных параметров за действительно опасную границу области цели. Переход вектора состояния ЭС ГИ за опасную границу i-й цели можно рассматривать как потерю энтропийной устойчивости по i-й цели. Исходя из причин, вызывающих такие явления, можно выделить три основных типа энтропийной устойчивости рассматриваемой системы по отношению к i-й цели: устойчивость в малом, устойчивость в большом (соответственно при малых и больших возмущениях) и устойчивость в колебательном режиме (при колебательных возмущениях в определенном диапазоне частот).

Учитывая изложенное, целесообразно с системных позиций го­ворить об ориентированной энтропийной устойчивости, т. е. устойчивости по i-й цели при j-м типе возмущающего воздействия. Тогда ij-ориентированной энтропийной устойчивостью будем называть способность рассматриваемой подсистемы не допускать перехода ее вектора состояния через опасные границы области i-й цели при j-м типе возмущающего воздействия.

В зависимости от того, является ли i-я цель определяющей или дополняющей для вышестоящей j-й цели, а также от длительности нарушения энтропийной устойчивости по i-й цели, ответственного за достижение i-й цели, возможны различ­ные последствия из-за энтропийной неустойчивости по i-й цели.

По характеру влияния нарушения энтропийной устойчивости по i-й цели на другие цели оно может быть: локальным — не оказывающим суще­ственного воздействия на функционирование ЭС ГИ в отношении других целей; развивающимся и вызывающем возникновение каскада нарушений энтропийной устойчивости. Если этот каскад нарушений энтропийной устойчивости захватывает цели, связанные с поддержанием самого существования ЭС ГИ как единого целого, то можно сказать, что произошло нарушение живучести ЭС ГИ.

Когда область i-й цели имеет несимметричный характер и зона S полного достижения i-й цели оказывается расположенной недопустимо близко к опасной границе, то встает проблема выбора необходимого запаса энтропийной устойчивости, который обеспечит поддержание вектора состояния в некоторой зоне S', увеличенной по отношению к зоне S на некоторую величину. Повышая запас по энтропийной устойчивости, мы, тем самым, будем ухудшать показатель эффективности функционирования ЭС ГИ в базисных режимах, поскольку ЭС ГИ теперь работает не в зоне S, а в зоне S'. Итак, для повышения устойчивости в угрожающих аварией ситуациях необходимо идти на снижение эффективности функционирования в базовых режимах.

Как потеря энтропийной устойчивости по какой-либо i-й цели, так и каскад нарушений энтропийной устойчивости имеют свою скорость развития, которую можно характеризовать скоростью возрастания неопределенности. Причем здесь возникает не только информационная проблема - быстро выявить начало развития процесса, ведущего к нарушению энтропийной устойчивости по i-й цели, и выработать оптимальный закон управления, но и проблема наличия достаточно быстродействующих и мощных исполнительных органов, способных оказывать на ЭС ГИ сильные управляющие воздействия.

3.3 Энтропийная устойчивость и чувствительность режимов функционирования

Качество функционирования ЭС ГИ в большей степени зависит от чувствительности показателей качества к изменениям параметров системы (ПС). Анализ чувствительности позволяет решить задачу настройки параметров ЭС ГИ для достижения ПКФ, что входит составной частью в типичную задачу проектирования: при фиксированном наборе номинальных параметров ЭС ГИ должна работать наилучшим образом и обеспечивать экстремальные значения ПКФ.

С другой стороны, чувствительность определяет поведение ЭС ГИ в условиях нежелательной вариации её параметров. Высокая чувствительность в некоторых обстоятельствах становится причиной того, что ЭС ГИ оказывается совершенно неустойчивой в работе. Такая неустойчивость называется энтропийной и её не надо смешивать с динамической неустойчивостью систем.

Из общей задачи о чувствительности предпринята попытка определить условия, приводящие к нарушению энтропийной устойчивости ЭС ГИ, дать их количественные оценки и выявить между чувствительностью и энтропийной устойчивостью ЭС ГИ соответствующие взаимосвязи.

Качество функционирования ЭС ГИ определяется вектором ПКФ J(R), который является некоторым функционалом вектора параметров ЭС ГИ R. Многообразие условий, в которых работает ЭС ГИ, определяется набором заданных параметров R. Кроме того, существуют вариации заданных параметров, приводящие к дополнительному многообразию условий. Для приспособления к случайным, заранее непредсказуемым изменениям параметров R и поддержания нормированных значений ПКФ в течение времени (t0,t0+Dt) ЭС ГИ необходимо количество информации DI, вносимое управляющими воздействиями. Это количество информации определяется через приращение текущей энтропии ЭС ГИ DH

, (3.8)

где rij – элемент нормированной МКМ переменных состояния.

Оптимальная ЭС ГИ приспосабливается к случайным изменениям параметров R наилучшим, т. е. единственно возможным способом. Это означает, что хотя бы одна переменная состояния изменяется по близкому к детерминированному закону и, следовательно, элементы столбца нормированной МКМ, соответствующего этой переменной состояния, стремятся к единице. Тогда из выражения (3.8) следует, что . Оптимальная ЭС ГИ, если её можно было бы создать, оказалась бы энтропийно неустойчивой к малейшим вариациям условий функционирования, приводящим к изменению параметров R. Следовательно, энтропийно устойчивыми являются квазиоптимальные ЭС ГИ. Для таких ЭС ГИ элементы нормированной МКМ переменных состояния обязательно меньше единицы.

Если считать, что ПКФ представляет собой непрерывную функцию от R, то вывод об энтропийной неустойчивости означает: чем ближе ЭС ГИ к оптимальной, тем больше её чувствительность, иначе говоря, чем больше непредсказуемости в условиях функционирования, тем оптимальная ЭС ГИ будет хуже приспосабливаться к этим условиям и даже может оказаться неработоспособной. Исходя из предыдущих рассуждений, можно сформулировать «золотое правило» электроэнергетики: чтобы ЭС ГИ была энтропийно устойчивой, она должна быть в достаточной степени неупорядоченной, чувствительность можно уменьшить лишь ценой ухудшения ПКФ [39].

Энтропийная устойчивость связана с приспособляемостью ЭС ГИ к изменениям условий функционирования. При этом решающее значение имеет скорость изменения компонент вектора ПС, т. е. успеет или не успеет ЭС ГИ осуществить необходимые изменения в своей структуре за определённое время Dt. Изменение структуры ЭС ГИ влечет за собой и изменение энтропии. Так, изменение какой-либо компоненты Rs вектора ПС приведет к приращению энтропии ЭС ГИ со скоростью

(3.9)

ЭС ГИ будет абсолютно функционально устойчивой по параметру Rs, если , при этом приращение энтропии из-за изменения параметра Rs не будет происходить.

Из выражения (3.9) следует, что тогда, когда а) rij=0, б) Равенство rij=0 означает, что между переменными состояния не существует корреляции. Иначе, говоря, переменные состояния не оказывают никакого влияния друг на друга. Однако это практически неосуществимо, так как при этом целесообразное поведение ЭС ГИ не имеет места, равенство означает, что или корреляционный момент rij как функция Rs имеет экстремум, при этом чувствительность rij по параметру Rs равна нулю, или корреляционный момент rij вообще не зависит от параметра Rs. Следовательно, абсолютная энтропийная устойчивость ЭС ГИ по параметру Rs достигается в том случае, когда корреляционный момент rij имеет локальный экстремум по параметру Rs или не зависит от Rs.

3.3.1 Энтропийная модель «угрожающих аварией» режимов

«Угрожающие аварией» режимы ЭС ГИ – это граничные режимы между нормальными и аварийными режимами. «Угрожающие аварией» режимы тесно связаны с показателями качества функционирования ЭС ГИ, так как появление нового качества функционирования связано с переходом от одного типа решения к другому типу решения в рамках одной и той же исходной системы уравнений при изменении параметров ЭС ГИ. Изменение какого-либо параметра ЭС ГИ за критическое значение приводит к энтропийной неустойчивости (нарушение критериев энтропийной устойчивости, связанных с изменением энтропии), а это, в свою очередь, переводит нормальный режим в «угрожающий аварией» режим.

Классификация «угрожающих аварией» режимов по предпочтительности [10]:

а – режим, из которого ЭС ГИ возвращается в нормальный режим;

б – режим, при котором после одного из множеств вероятных возмущений ЭС ГИ может вернуться к режиму «а»;

в – режим, при котором после одного из всех множеств вероятных аварийных возмущений ЭС ГИ может вернуться к режиму «а» только после отключения части нагрузки.

Если при данной структуре сети невозможен переход к режиму «а» и далее к исходному нормальному, управление ЭС ГИ должно изменить структуру сети L и режим по активной мощности для установления нового нормального режима.

Если теперь, принимая во внимание критерии оптимальности и надежности для угрожающих аварией режимов, оптимизировать некоторую целевую функцию Ft(x) по x, где x – вектор управляемых переменных в момент времени t для структуры Lt, то необходимо найти Ft(x) по всем x из Lt. Оптимальное решение в момент t является n-вектором и удовлетворяет соотношению

. (3.10)

Это определение подразумевает, что при смене структуры ЭС ГИ <Fа(xа), Lа> на <Fв(xв), Lв> можно по-прежнему считать оптимальным решением, если только из принадлежности - окрестности следует, что не больше чем на x отличается от . При этом степень точности или близости можно регулировать величиной x. Таким образом, можно заменить оптимальное решение некоторой областью S в n-мерном пространстве и считать, что любое решение x из S является приемлемым квазиоптимальным решением. Чем больше область S, тем меньше чувствительность оптимального решения . При определении допустимого множества S следует прежде всего знать характер функций Fa и Fв в окрестности .

Итак,

, (3.11)

. (3.12)

Представляя выражение в скобках рядами Тейлора в точке и ограничиваясь только тремя членами, получим

(3.13)

так как при , целевые функции достигают экстремального значения.

Обозначим .

Тогда

, (3.14)

где под s2(x) понимается оценка дисперсии относительно .

Оценка s(x), иначе говоря, состоятельность старого оптимального решения при изменившейся структуре находится следующим образом [44]

. (3.15)

Это соотношение и есть критерий инвариантности квазиоптимальных решений для различных типов «угрожающих аварией» режимов.

Критерий инвариантности (3.15) соответствует максимальной текущей энтропии. Доказательство этого положения проводилось на имитационной модели ЭС ГИ, и результаты исследований представлены в приложении.

В сущности s2(x) есть ни что иное, как максимально возможная дисперсия области S в n-мерном пространстве и любое решение х, не выходящее за границы s2(x) , является приемлемым квазиоптимальным решением.

Многовариантные экспериментальные исследования на имитационной модели ЭС ГИ, приведенные в приложении, подтвердили этот результат. На рисунке 3.5 приведена полученная в эксперименте №7 максимально возможная дисперсия области S для двухмашинной ЭС ГИ.

Рисунок 3.5 Максимально возможная дисперсия области S для двухмашинной ЭС ГИ.

3.3.2 Энтропийные модели каскадного развития «угрожающего аварией» режима и живучести

На XXVII сессии международной конференции по большим электрическим системам (СИГРЭ) 1978 года введено новое понятие, которое в отечественной литературе [10] получило название «нормальная случайность». Под нормальной случайностью понимается событие, не предусмотренное при проектировании управления ЭС ГИ и стимулирующее развал ЭС ГИ при всех мероприятиях по улучшению устойчивости и ограничению потребителей.

Следуя методике, изложенной в [28], рассмотрим условия возникновения аварийных режимов ЭС ГИ, когда события развиваются в виде цепной реакции, приводящей к развалу ЭС ГИ, т. е. условия возникновения нормальной случайности. Механизм возникновения нормальной случайности проанализируем с привлечением понятия энтропийной устойчивости ЭС ГИ.

Решение поставленной задачи будет опираться на математическую и имитационную модели управления «угрожающим аварией» режимом, предложенную [76]. Математическая модель описывается линеаризованными уравнениями

, (3.16)

, (3.17)

где x – вектор отклонений переменных состояния от исходного установившегося состояния,

U – вектор отклонений управляющих воздействий (УВ), реализующих автоматическое регулирование возбуждения (АРВ) и автоматическое регулирование скорости вращения (АРС),

К – матрица коэффициентов передачи регулятора,

А, В – матрицы, в общем случае с переменными во времени коэффициентами, зависящими от исходного установившегося состояния.

Цель управления состоит в выборе УВ, которые минимизируют некоторый критерий качества

, (3.18)

где W,G – весовые матрицы.

Подставляя (3.17) в (3.16), получим

. (3.19)

При случайных начальных условиях возникновения аварийного режима компоненты вектора Х, являющиеся решением системы уравнений (3.19), будут случайными функциями времени. Поэтому в состоянии ЭС ГИ присутствует некоторая неопределённость (текущая энтропия), которая может развиваться как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения.

Дифференциальное уравнение эволюции текущей энтропии имеет вид [66]

, (3.20)

где Tr – след матрицы.

Формула (3.20) получена при анализе энтропийной устойчивости динамических систем. Из (3.20) видно, чтобы ЭС ГИ была энтропийно устойчива, необходимо и достаточно

Tr(A+BK)<0, (3.21)

в противном случае ЭС ГИ будет энтропийно неустойчивой.

ЭС ГИ, обладающая энтропийной устойчивостью, может быть неустойчивой по режиму. Поясним это утверждение на примере нерегулируемой энергосистемы с постоянными коэффициентами. В этом случае след матрицы равен сумме корней характеристического уравнения. Сумма корней характеристического уравнения может быть отрицательной, но некоторые корни или хотя бы один может быть положительным. Но это как раз и указывает на то, что при энтропийной устойчивости ЭС ГИ может быть неустойчивой по режиму.

Но если ЭС ГИ энтропийно неустойчива, то она обязательно будет неустойчивой по режиму. Для ЭС ГИ с постоянными коэффициентами этот вывод очевиден из указанного соотношения между следом матрицы и суммой корней характеристического уравнения, а для системы линеаризованных дифференциальных уравнений с переменными во времени коэффициентами это следует из выражения для определителя фундаментальной матрицы, формирующей систему решений [19]

. (3.22)

Пусть в результате случайного события в некоторый момент времени t0 произошло резкое изменение параметров ЭС ГИ или появились ошибочные управляющие воздействия, приведшие к тому, что

, (3.23)

и ЭС ГИ стала энтропийно неустойчивой.

Имеются три возможности, при которых (3.23) выполняется:

а) , но по абсолютной величине ;

б) , однако по абсолютной величине ;

в) .

В ЭС ГИ при выполнении хотя бы одного условия («а», «б», «в») в момент времени t0 наступит энтропийная неустойчивость. Условия «а», «б», «в» и есть необходимые условия возникновения нормальной случайности.

Если рассматривать указанные условия как наступление соответственно событий «а», «б», «в», то можно заключить, что данные события неравновероятны. Событие «а» означает, в сущности, наступление динамической неустойчивости. Событие «б» означает неустойчивость информационных цепей управления. Событие «в» означает произведение событий «а» и «б». Из трех событий наиболее вероятно появление событий «б» и «а», наименее вероятно – события «в».

Если в момент времени t0 ЭС ГИ стала энтропийно неустойчивой, дальнейшее развитие событий зависит от того, удастся ли затормозить рост энтропии и стабилизировать работу ЭС ГИ, либо не удастся (рост энтропии станет безудержным, а ЭС ГИ останется энтропийно неустойчивой).

В развивающихся аварийных режимах, когда уже возникли необходимые условия для появления нормальной случайности, существенное значение имеет соотношение между скоростью нарастания энтропии и пропускной способностью каналов управления.

Рисунок 3.6 Критическая эволюция текущей энтропии, приводящая к каскадному развитию «угрожающего аварией» режима.

Если , то с помощью УВ удастся уменьшить рост энтропии за некоторое время (конечное) и энтропийная неустойчивость будет ликвидирована. Если же , то при любом управлении на множестве управляющих воздействий энтропийная неустойчивость не будет ликвидирована.

Условие является достаточным условием возникновения нормальной случайности. Из понятия энтропийной неустойчивости ЭС ГИ оказывается возможным дать оценку живучести ЭС ГИ. Если определить время T0, за которое скорость роста энтропии достигает величины пропускной способности каналов управления, то T0 будет характеризовать время, данное управлению для того, чтобы избежать безудержного нарастания энтропии ЭС ГИ. Образно говоря, на успешное управление аварийным режимом ЭС ГИ имеет времени не больше чем T0. Следовательно, время T0 характеризует живучесть и дает оценку живучести ЭС ГИ.

Свойство ЭС ГИ противостоять крупным внутренним и внешним возмущениям, не допуская каскадного развития аварийных ситуаций, существенного снижения располагаемой мощности и отключения наиболее ответственных электроприёмников, характеризует понятие «живучесть ЭС ГИ».

Опираясь на результаты [28], предлагается оригинальная интерпретация понятия «живучесть ЭС ГИ», на основании которой и строится энтропийная модель живучести. Живучесть ЭС ГИ понимается как невозможность нарушить связность некоторой части ЭС ГИ, называемой ядром. Ядро – это совокупность питающих узлов (ПУ), линий связи (ЛС) и наиболее ответственных узлов нагрузки с такой структурой, которая позволит обеспечить питанием всю совокупность наиболее ответственных узлов нагрузки хотя бы одним ПУ из всей совокупности ПУ. До тех пор, пока не нарушена связность ядра, ЭС ГИ обладает живучестью и выполняет свое целевое назначение. В противном случае она прекратит свое существование как ЭС ГИ. Для создания некоторого запаса живучести ЭС ГИ повысим требование к структуре ядра: структура ядра, которая обеспечивает живучесть всей ЭС ГИ, должна оставаться неизменной.

Отсюда следует, поскольку живучесть ЭС ГИ непосредственно связана со структурой ядра, что задачу анализа живучести надо рассматривать как структурную оптимизацию ядра ЭС ГИ. Основываясь на результатах [51,67,75], можно сделать заключение:

1.  Структура ядра должна обладать максимальной энтропией Нmax, другими словами, неизменность (связность) структуры ядра ЭС ГИ должна обеспечиваться минимальным количеством управляющей информации.

2.  Скорость изменения энтропии Н должна быть минимальной.

В этом случае ядро описывается случайным графом, в котором с некоторой вероятностью допустимы связи между любыми его вершинами. Если удастся отыскать вероятность связности ядра ЭС ГИ в целом с учётом критериев структурной оптимизации, то тогда модель живучести ЭС ГИ будет построена и можно определить ряд количественных характеристик живучести. Ядро ЭС ГИ, представленное случайным графом G(,Г), где – множество ветвей ЛС, Г – число узлов, связно с вероятностью [69]

, (3.24)

где D – вероятность того, что ветви, соединяющие любую пару вершин графа G(,Г), находятся во включённом состоянии. Строго говоря, формула (3.24) дает оценку вероятности при достаточно большом и постоянной величине D. Но этот недостаток компенсируется тем, что при D=const автоматически выполняется условие максимальной энтропии Н структуры ядра.

Вероятность распада ядра ЭС ГИ

(3.25)

зависит от числа вершин и величины D.

Максимальное значение вероятности связности графа G(,Г) и, следовательно, живучести ЭС ГИ при фиксированном значении D [44]

. (3.26)

Формула (3.26) получена таким образом. Считая величину непрерывной, приравниваем производную выражения (3.25) к нулю. Получим уравнение относительно , из которого находим значение , обращающее в минимум Pp и в максимум Pс.

Варьируя D от D1,…,Dj… до Dm при фиксированном числе , получим ряд вероятности Pс1, Pс2,…,Pсm живучести ЭС ГИ. Можно заметить, что с увеличением D увеличивается Pс. Максимальное значение Pс=1 при D=1. Это естественный результат, поскольку при этом с достоверностью можно утверждать, что ЛС находится во включённом состоянии.

Рисунок 3.7 Текущая плотность вероятности распада ядра ЭС ГИ, соответствующая максимальной энтропии

3.4 Энтропийная модель взаимосвязи электроэнергетики и экономики

Развитие электроэнергетики и связанные с этим теоретические исследования ЭС ГИ в нашей стране до последнего времени базировалось на использовании хорошо разработанной методологии системных исследований в энергетике (СИЭ), соответствующих методов прогнозирования, проектирования и планирования, которые были достаточно эффективными для централизованной планово-директивной системы управления. Сегодня они во многом не адекватны существующей системе электроэнергетики, многоукладной по форме собственности и без вертикальной интеграции по виду организации. Однако в СИЭ заключен достаточно мощный потенциал, который может и должен быть использован при разработке современных систем управления развитием электроэнергетики [25].