Высшая математика (стр. 5 )

Глава 2. Числовые последовательности. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§ 1. Основные определения и результаты, связанные с числовыми последовательностями

1. Всякая числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел называется числовой последовательностью. Числовые последовательности обозначают малыми латинскими буквами с индексом, который указывает значение независимой переменной, например: и т. д.

2. В дальнейшем изложении будут встречаться -окрестности и -окрестности различных точек (чисел). Например, – -окрестность числа , определяется следующим образом:

.

Аналогично определяется и -окрестность числа :

.

3. Числовая последовательность называется бесконечно малой, если .

4. Точка называется предельной точкой числовой последовательности, если любая ее -окрестность содержит бесконечно много точек .

Пример 1. Пусть – последовательность всех рациональных числе отрезка . Тогда любое число будет предельной точкой этой последовательности.

Пример 2. Пусть – натуральные числа. Последовательность не имеет предельных точек.

Пример 3. Пусть . Эта последовательность имеет две предельные точки .

5. Число называется пределом числовой последовательности , если эта последовательность допускает представление: , где – бесконечно малая числовая последовательность (см. п.3). В этом случае пишут:

.

Последовательность называют сходящейся к числу .

6. Относительно сходящихся последовательностей имеют место следующие основные результаты.

Теорема 1. Пусть и – сходящиеся числовые последовательности, тогда:

,

,

, .

Теорема 2. Пусть , а также выполняется неравенство , тогда – сходится и .

7. Бесконечно малые последовательности и называются эквивалентными, если

, (коротко записывают ).

Если , то в этом случае говорят, что имеет более высокий порядок малости по сравнению с и пишут .

8. При вычислении пределов можно использовать соотношения эквивалентности ( – любая бесконечно малая последовательность):

,

,

,

,

,

,

,

.

9. Имеют место следующие замечательные пределы:

,

,

где – любая бесконечно малая последовательность.

§ 2.Определения и формулы, относящиеся к функциям одного переменного

1. Пусть и – два числовых множества. Если любому соответствует единственное , то в этом случае говорят, что на множестве определена числовая функция переменной и обозначают .

2. Число называется пределом функции в точке , если . В этом случае пишут:

.

3. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и имеет пределом число . При этом пишут:

.

4. Функция непрерывная в каждой точке отрезка называется непрерывной на отрезке . Это обстоятельство записывают следующим образом: .

5. Пусть функции и имеют в точке пределы, тогда справедливы равенства:

,

,

, .

6. Число называется правым пределом функции в точке , если .

Число называется левым пределом функции в точке , если , в этих случаях пишут:

,

.

Говорят, что функция имеет в точке разрыв I рода, если . Если можно положить и функция становится непрерывной в точке .

7. С помощью операции предельного перехода, подробно описанной в п.2, можно по заданной функции , определенной для , построить другую функцию также определенную на этом отрезке, которую называют производной функцией.

Рассмотрим более подробно определение производной функции. Прежде всего, введем в рассмотрение разностное отношение:

, и .

Числитель этой дроби называют приращением функции в точке и обозначают , знаменатель есть приращение независимой переменной . Перейдем к пределу в этом разностном отношении при . Если этот предел существует , то он и называется производной функцией. Это записывают следующим образом:

.

Пример 4. Найдем производную от , где – рациональное число. Будем действовать согласно определению:

.

Введем новые обозначения, пусть

, , тогда

.

Таким образом:

, .

8. Поступая аналогично описанному в приведенном выше примере можно получить производные других известных элементарных функций. Укажем некоторые из них:

,

,

,

,

,

и т. д.

9. Для получения производных от заданных функций необходимо учитывать следующие правила вычисления производных

а) , ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) , ,

е) .

Если и взаимно обратные функции, определенные на отрезках и соответственно (т. е. , и , ), тогда:

ж) .

Пример 5. Найдем производную от , .

Обратной функцией является функция , . Согласно предыдущей формуле

.

Пример 6. Найти производную от .

Очевидно, что определена для всех , удовлетворяющих условиям

, .

Согласно логарифмическому тождеству имеем

.

Теперь применяем правило (е)

.

11) Дифференциалом функции (обозначается ) называется произведение следующего вида:

,

где – дифференциал переменной . Если – независимая переменная, тогда ее дифференциал совпадает с ее приращением, т. е. . Если – функция переменной , тогда ее дифференциал определяется, как указано выше:

, где .

12) Производные и дифференциалы высших порядков определяются по индукции следующим образом:

;

,

13) Если функция задана параметрически: , , тогда ее производные вычисляются по формулам:

,

где

,

.

14) Если функция имеет непрерывную производную n-го порядка на отрезке , этот факт коротко обозначают так:

.

Пусть и , тогда справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

.

Остаточный член в формуле Тейлора иногда записывают в форме Пеано

.

15) Если и и для раскрытия неопределенности удобно воспользоваться следующим результатом, так называемым правилом Лопиталя

, .

Если , и правило Лопиталя можно использовать повторно

, .

16) Пусть – точка экстремума непрерывной функции . Если и , тогда . Обратно, если и , тогда точка является точкой экстремума ( – точка минимума, если и – точка максимума, если ).

Пример 7. Пусть при . Докажем, что .

Рассмотрим функцию

, .

Очевидно, что Пусть при функция достигает своего экстремального значения, тогда

.

Отсюда следует, что для любого .

Пример 8. Функция имеет минимум при , однако производная в этой точке не существует. Этот простой пример показывает, что при отыскании экстремальных значений необходимо принимать во внимание точки в которых не существует.

17) Если в некоторой точке , а при переходе через нее меняет знак, то в этом случае точку называют точкой перегиба.

Пример 9. , . Производные этой функции равны

,

.

Точка , является точкой перегиба графика этой функции. При (выпуклость графика направлена вниз), а при (выпуклость графика направлена вверх).

§3. Типовые задачи

Задача № 7

Вычислить пределы числовых последовательностей.

Таблица №7

№ варианта	Задание	№ варианта	Задание
1		2
3		4
5		6
7	(()	8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25		26
27		28
29		30

Образец решения задачи№7.