Высшая математика (стр. 1 )

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Государственный университет по землеустройству

Кафедра высшей математики

Высшая математика

Линейная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное исчисление функций одной переменной

Контрольные задания для самостоятельной работы

студентов I курса специальностей:

31.09.00 – «Землеустройство»

31.10.00 – «Земельный кадастр»

31.11.00 – «Городской кадастр»

25.00.34 – «Аэрокосмические исследования Земли,

фотограмметрия»

25.00.32 – «Геодезия»

Москва 2005

УДК 51

Подготовлено и рекомендовано к печати кафедрой высшей математики Государственного университета по землеустройству (протокол №   от  . . 2005 г).

Рецензент: Заведующий кафедрой высшей математики МЭИ доктор физико-математических наук профессор

Авторы:

к. ф.-м. н. доц. , к. ф.-м. н. ,

к. ф.-м. н. доц.

Общие указания

Предлагаемая работа содержит контрольные задания по программе курса высшей математики первого семестра для студентов всех специальностей. Каждое задание содержит образец решения.

Выполнение студентами контрольных заданий является одним из этапов изучения учебной дисциплины и подготовки к экзамену.

Студенты выполняют контрольные задания в соответствии со своим вариантом, назначаемым преподавателем.

К экзамену допускаются лишь те студенты, у которых зачтены все контрольные задания, запланированные в данном семестре.

Глава 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

§ 1. Основные определения и результаты

1. Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел , , ,

,

состоящая из строк и столбцов.

Суммой матриц размера и называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц и :

, , .

Произведением матрицы на число называется матрица , получающаяся из матрицы умножением всех ее элементов на :

, , .

Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-ой строки матрицы и j-го столбца матрицы :

, , .

Матрица называется транспонированной к матрице , если выполняется условие , для всех , где и  – элементы матриц и соответственно.

2. Если  – квадратная матрица 2-го порядка, то соответствующим ей определителем 2-го порядка называется число

.

Аналогично, если  – квадратная матрица 3-го порядка, то соответствующим ей определителем 3-го порядка называется число

Разложение определителя по -ой строке. Справедливо следующее соотношение:

,

где

называется алгебраическим дополнением элемента и представляет собой (с точностью до знака ) определитель -го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием -ой строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент .

3. Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае. Если  – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица такая, что

,

где  – единичная матрица (т. е. такая, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю).

 – единичная матрица 3-го порядка.

Матрица называется обратной к матрице . Обратную матрицу можно найти по формуле ,

где

 – транспонированная матрица к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . Матрица называется союзной к матрице .

4. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1)  перестановка строк (столбцов);

2)  умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3)  прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

5. Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными общего вида

или, в матричной форме, ,

, , .

Если , то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.

Решением системы называется всякий -компонентный вектор столбец , обращающий матричное уравнение в равенство.

Система называется совместной, если у нее существует, по крайней мере, одно решение, в противном случае она называется несовместной.

Две системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Расширенной матрицей системы называется матрица , дополненная столбцом свободных членов

.

6. Метод последовательных исключений Гаусса. С помощью элементарных преобразований над строками расширенная матрица системы может быть приведена к виду

.

Эта матрица является расширенной матрицей системы ступенчатого вида

которая эквивалентна исходной системе.

Если хотя бы одно из чисел отлично о нуля, то полученная система, а следовательно, и исходная система несовместны.

Если же , то система совместна и полученные формулы позволяют выразить неизвестные (базисные неизвестные) через неизвестные (свободные неизвестные). Придавая свободным неизвестным произвольные значения , получим общее решение системы вида

.

7. Правило Крамера. Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными . Если матрица системы невырожденная, т. е. , то система имеет, и притом единственное, решение, компоненты которого вычисляются по формулам

,

где  – определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца на столбец свободных членов.

8. Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Длиной или модулем вектора называется длина отрезка и обозначается .

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в множестве векторов в пространстве. Всякий вектор может единственным образом представлен в виде

,

соответствующая запись называется разложением вектора по базису , а числа называются координатами вектора в этом базисе.

Базис называется прямоугольным, если векторы и попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения , , .

Координаты вектора в прямоугольном базисе совпадают с проекциями вектора на базисные орты соответственно, а длина вектора равна

.

Если и  – две произвольные точки в пространстве, то координаты вектора равны

, , ,

а, соответственно, .

9. Скалярным произведением ненулевых векторов и называется число .

Если векторы и представлены своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведение равно

.

Из этой формулы, в частности, следует формула для определения косинуса угла между векторами

.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если наблюдателю находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами кратчайшие повороты от к и от к происходят против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор, обозначаемый символом , определяемый следующими тремя условиями:

1) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т. е.

);

2) вектор перпендикулярен плоскости векторов и ;

3) упорядоченная тройка , , правая.

Из определения векторного произведения следует, что , а также, что вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда .

Если и  – векторы, заданные своими координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение векторного произведения в том же базисе имеет вид

,

или, в символической записи

.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число .

Геометрические свойства смешанного произведения:

1) если  – объем параллелепипеда, построенного на векторах и , то

2) для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно выполнение условия .

Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т. е.

.

Это свойство позволяет ввести обозначение (результат не зависит от того, как расставить скобки векторного произведения в правой части). Смешанное произведение через координаты векторов в правом прямоугольном базисе записывается в виде

.

10. Плоскость в декартовой прямоугольной системе координат может быть задана своим общим уравнением

.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) общими уравнениями

где коэффициенты не пропорциональны коэффициентам , что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей;

2) параметрическими уравнениями

или в векторной форме , где  – радиус вектор некоторой точки, принадлежащей прямой, а  – направляющий вектор прямой;

3) каноническими уравнениями

,

где  – координаты некоторой точки прямой,  – координаты направляющего вектора прямой.

§2. Типовые задачи

Задача №1

Даны две матрицы и . Найти неизвестную матрицу Х, удовлетворяющую данному матричному уравнению (таблица 1).

Таблица 1

Номер варианта	Уравнение	Матрица А	Матрица В
1	2Х–3А=(Х+3В)А
2	2X+AB=AX–B
3	ABX–4X=2A
4	2BX=A(X+5B)
5	2X+A=B(X–2A)
6	ABX–A=B+BAX
7	XA+6X=40B
8	X–XB=A
9	XA=B+X
10	AX+3X=B
11	(X+A)B=2X
12	(X–B)A=2A+X
13	XAB=A–3X
14	8B–X=BAX
15	AX=B+X
16	AX=B–X
17	ABX=5A–X
18	BX–2A=X
19	4X–15A=ABX
20	X–12B=XA
21	A(X–6B)=X
22	3X+B=XA
23	AX+2A=2BX
24	XB=A+3X
25	AX–B=3X
26	2X–A=BX
27	XB–B=5X–XA
28	AX=B+3X
29	AX–B=2A+X
30	AX=B

Образец решения задачи №1