Методические указания к выполнению типовых расчётов по курсу «Высшая математика» (стр. 2 )

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.
22.	23.	24.
25.	26.	27.
28.	29.	30.

ЗАДАНИЕ 4. Найти асимптоты графика функции:

1.	2.	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.
10.	11.	12.
13.	14.	15.
16.	17.	18.
19.	20.	21.
22.	23.	24.
25.	26.	27.
28.	29.	30.

ЗАДАНИЕ 5. Исследовать функцию и построить ее график:

1.	2.	3.	4.
5.	6.	7.	8.
9.	10.	11.	12.
13.	14.	15.	16.
17.	18.	19.	20.
21.	22.	23.	24.
25.	26.	27.	28.
29.	30.

Образец выполнения контрольной работы № 6

“ПриложениЯ дифференциального исчисления”

1) Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого возьмем производную и приравняем ее нулю.

при .

– + – + х

Рисунок 1

На тех интервалах, где , функция убывает; где , функция возрастает. Поэтому интервалы возрастания функции и , интервалы убывания функции: и .

По рисунку 1 видно, что в точках и функция принимает свои минимальные значения, а при – максимальное. Найдем эти значения:

Ответ: .

2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Так как свои наименьшее и наибольшее значения непрерывная на отрезке функция может принимать либо на концах этого отрезка, либо в точках экстремума, входящих в этот отрезок, то находим значения исследуемой функции во всех этих точках и среди них выбираем наибольшее и наименьшее значения:

при , ,

Найдем значение функции только при , так как .

.

Выбираем наибольшее значение функции из найденных трех чисел – это 10. Теперь наименьшее – это 3.

Ответ:

3) Найти точки перегиба функции .

Решение. Так как точками перегиба являются те точки из области допустимых значений, где вторая производная меняет знак, сначала найдем , затем и приравняем к нулю:

при , т. к. для всех .

Так как в точке изменила знак, то функция изменила выпуклость на вогнутость, т. е. – точка перегиба функции (рис. 2). Ответ: – точка перегиба.

-  + 2 Рисунок 2

4) Найти асимптоты графика .

Так как вертикальную асимптоту имеет функция с разрывом 2-го рода в точке , сначала найдем точки разрыва и исследуем поведение функции в их окрестностях. О. Д.З.

Значит, – точка разрыва, так как функция в этой точке не определена. Найдем предел слева и предел справа функции при подходе к точке . Выясним, разрыв какого рода терпит данная функция в точке.

. Предел слева равен .

. Предел справа равен .

Так как односторонние пределы бесконечны, то в точке разрыв 2-го рода, поэтому уравнением вертикальной асимптоты будет .

Функция также может иметь или не иметь наклонные асимптоты. Если они есть, то их уравнение запишем в виде ,

где .

Найдем правую наклонную асимптоту при .

Применяем правило Лопиталя:

Применяем правило Лопиталя: Подставляем в уравнение асимптоты и получаем уравнение правой асимптоты Найдем левую асимптоту при . Повторяя все предыдущие действия, как и для , получаем уравнение левой асимптоты: (рис. 3)