Методические указания к выполнению типовых расчётов по курсу «Высшая математика» (стр. 6 )

“ Функции нескольких переменных ”

1) Найти и функции .

Решение Считаем переменную “y” постоянной величиной.

Считаем переменную “х” постоянной величиной.

Ответ:

2) Показать, что при .

Решение. Сначала найдем первые частные производные

Теперь находим смешанные частные производные второго порядка и сравниваем их.

Видим, что смешанные производные равны, что и требовалось доказать.

3) Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

Решение. Введем функцию двух переменных . Так как 2,01=2+0,01, . Аналогично , т. к. . Воспользуемся тем, что при малых и .

Так как , отсюда следует, что

.

Заменим приращение функции ее дифференциалом ,

где .

Тогда ,

т. е. в данном случае .

Вычислим . Найдем . Для этого сначала найдем частную производную по в произвольной точке.

.

Теперь найдем

;

.

Находим искомое значение корня

.

Если найти на калькуляторе, то получим . Различие только в четвертом знаке после запятой.

Ответ: .

4) Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем сначала стационарные точки, т. е. те точки, в которых частные производные одновременно равны нулю:

Изменим порядок во втором уравнении и приведем систему линейных уравнений к стандартному виду, чтобы ее можно было решить методом Крамера.

.

Нашли одну стационарную точку, в которой , это точка . Выясним с помощью вторых производных, есть ли в экстремум, и, если есть, то какой.

Составляем определитель .

Так как , то экстремум существует. Так как , то в стационарной точке функция имеет минимум. Найдем его.

Ответ: .

5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике со сторонами

.

Решение. Так как свои наибольшее и наименьшее значения непрерывная функция может иметь или в стационарной точке внутри рассматриваемой области или на границе этой области, задачу будем решать в два этапа. Найдем стационарные точки и значения функции в тех из них, которые лежат в рассматриваемой области.

Точка не принадлежит треугольнику (рис. 7), поэтому значение функции в этой точке не вычисляем. Переходим ко второму этапу. Треугольник ограничивают три прямые. Будем исследовать функцию на экстремум на каждой из них. Сначала найдем значения функции в вершинах треугольника.

 

Рисунок 7

Рассмотрим границу : Подставляя в выражение функции, получим

Получили задачу на экстремум для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Находим при , а это значение не входит в рассматриваемый отрезок . На концах отрезка значения функции уже подсчитаны, это и .

Переходим к границе : . Подставляя в выражение функции, получим .

Снова решаем задачу для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Находим при . Эта точка входит в отрезок . Поэтому вычислим значение функции в этой точке.

.

На концах отрезка значения функции подсчитаны заранее, это и .

Рассматриваем третью границу : . Выразим и подставим в выражение функции:

Ищем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Находим при , а это значение не входит в . Теперь выбираем из найденных значений функции наибольшее. Это значение равно 6 в точке . А наименьшее значение принимается в двух точках: и .

Ответ: , .

6) Найти производную функции в точке в направлении от этой точки к точке .

Решение. Запишем формулу производной функции по направлению вектора .

,

где – орт направления вектора .

Сначала найдем вектор , в направлении которого будем искать производную. . Найдем длину . . Направляю-

щие косинусы вектора совпадают с координатами орта , поэтому

.

Теперь найдем частные производные функции .

Найденные значения подставляем в формулу производной по направлению:

Вывод. Функция убывает по направлению вектора , так как полученная производная меньше нуля.

Ответ:

7) Найти формулу вида методом наименьших квадратов по данным опыта.

х	1	2	3	4	5
у	3,3	4,0	2,8	0,9	1,2

Решение. Нужно провести прямую так, чтобы сумма квадратов расстояний от точек, данных в таблице, до искомой прямой была наименьшей. Для этого составляется функция , которая зависит от двух переменных: и , и находится точка ее минимума.

Это можно записать короче: . Находим стационарную точку

Перепишем эти уравнения так, чтобы потом можно было решить полученную систему линейных уравнений относительно и методом Крамера.

Найдем коэффициенты при и . Для этого составим таблицу.

1	1	1	3,3	3,3
2	2	4	4,0	8,0
3	3	9	2,8	8,4
4	4	16	0,9	3,6
5	5	25	1,2	6,0
Σ	15	55	12,2	29,3

Подставляем полученные в результате суммирования нужные коэффициенты в систему:

.

Ответ:

Контрольная работа № 8

“НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ”

ЗАДАНИЕ. Вычислить неопределенные интегралы:

1.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

2.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ; 10) .

8) ;

9) ;

3.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ; 10) .

8) ;

9) ;

4.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ; 10) .

8) ;

9) ;

5.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

6.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ; 10) .

8) ;

9) ;

7.

1) ;

2) ;

3);

4) ;

5) ;

6) ;

7) ; 10) .

8) ;

9);

8.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ; 10) .

8) ;

9) ;

9.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

10.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ; 10) .

8) ;

9) ;

11.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

12.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ; 10) .

8) ;

9) ;

13.

1);

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10).

14.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ; 10) .

8) ;

9) ;

15.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

16.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

17.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

18.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

19.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

20.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

21.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

22.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

23.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

24.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

25.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

26.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

27.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

28.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

29.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

30.

1) ; 2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

Образец выполнения контрольной работы № 8