Методические указания к выполнению типовых расчётов по курсу «Высшая математика» (стр. 7 )

“Неопределенный интеграл”

Вычислить интегралы:

1)	Делаем замену переменных. Так как – это почти производная , за t можно взять , а лучше , тогда . Выразим отсюда , получим

Можно проверить, что интеграл найден верно. Для этого воспользуемся формулой

Ответ: .

2)	В интеграле в числителе стоит почти производная от . Поэтому . Тогда

Ответ:

3)	. Применяем формулу интегрирования по частям: , . После подстановки получим

Ответ:

4) Выделим в знаменателе интеграла полный квадрат: где . В конечном счете после подстановки получаем (1)

Найдем отдельно интегралы.

. После подстановки: получим

Подставляя найденные выражения в (1), получим

Ответ:

5) . Делая подстановку:

, получим .

Под знаком интеграла стоит неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель так же, как число 231 на 8, столбиком,

, результат записывается смешанной дробью:

Аналогично делим многочлены.

Берем степень , делим на , получаем . Затем умножаем на , получаем и отнимаем от . взаимно уничтожаются, сносим вниз, а при вычитании становится . Затем делим на , получаем . Затем умножаем на , получаем и это отнимаем и т. д.

Записываем результат деления: и подставляем его под знак интеграла . Последнее слагаемое представляет собой правильную дробь, которую можно разложить в сумму простейших дробей.

Приравниваем числители дробей

,

Теперь

Ответ:

Делая подстановку: , получим

Ответ: .

Так находятся интегралы, если есть хотя бы одна нечетная степень или . В случае, если имеются только четные степени, интегралы находят с помощью понижения степени по формулам тригонометрии.

Ответ:

Контрольная работа № 9

“ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ”

ЗАДАНИЕ 1. Вычислить интегралы:

1.	1) ; 2) .	2.	1) ; 2) .	3.	1) ; 2) .
4.	1) ; 2) .	5.	1) ; 2) .	6.	1) ; 2) .
7.	1) ; 2) .	8.	1) ; 2) .	9.	1) ; 2) .
10.	1) ; 2) .	11.	1) ; 2) .	12.	1) ; 2) .
13.	1) ; 2) .	14.	1) ; 2) .	15.	1) ; 2) .
16.	1) ; 2) .	17.	1) ; 2) .	18.	1) ; 2) .
19.	1) ; 2) .	20.	1) ; 2) .	21.	1) ; 2) .
22.	1) ; 2) .	23.	1) ; 2) .	24.	1) ; 2) .
25.	1) ; 2) .	26.	1) ; 2) .	27.	1) ; 2).
28.	1) ; 2) .	29.	1) ; 2) .	30.	1) ; 2) .

ЗАДАНИЕ 2. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

1.	1)	2)
2.	1)	2)
3.	1)	2)
4.	1)	2)
5.	1)	2)
6.	1)	2)
7.	1)	2)
8.	1)	2)
9.	1)	2)
10.	1)	2)
11.	1)	2)
12.	1)	2)
13.	1)	2)
14.	1)	2)
15.	1)	2)
16.	1)	2)
17.	1)	2)
18.	1)	2)
19.	1)	2)
20.	1)	2)
21.	1)	2)
22.	1)	2)
23.	1)	2)
24.	1)	2)
25.	1)	2)
26.	1)	2)
27.	1)	2)
28.	1)	2)
29.	1)	2)
30.	1)	2)

ЗАДАНИЕ 3. Найти объемы тел, образованных вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями: