Устойчивость электрических систем (стр. 6 )

(9.19)

Правые части уравнений могут быть разложены в ряд Тейлора так же, как это было сделано в предыдущем случае простейшей системы

.......................................................................................................................................................................

(9.20)

Знак «+» и многоточие в конце каждого уравнения в (9.20) указы­вают на наличие членов разложения высших порядков. Отбрасывая эти члены и преобразуя левые части уравнений (9.19) к виду

и т. д., получаем уравнения малых колебаний системы:

(9.21)

Разделив каждое из уравнений (9.21) на соответствующее зна­чение Tj и вычтя из первого из них поочередно все остальные, за­пишем уравнения малых колебаний в окончательном виде

(9.22)

Здесь

относительные ускорения станций, взятых попарно. Запишем систему уравнений (9.22) в операторной форме, обозначая р = d/dt и прини­мая р как алгебраическую величину:

…………………………………………………………… (9.23)

Признаком неустойчивости системы является бесконечное уве­личение относительных углов Δd12, Δd13,…. Δd1n Изменение аб­солютных углов d1, d2..., dn„ не определяет устойчивости системы, их увеличение может происходить и в устойчивой системе. Систе­ма линейных уравнений (9.23) имеет решение

……………………..

Поскольку система (9.23) однородна, D1n(p) = 0, следовательно, нетривиальное решение может быть получено только при D(p) = 0. Определитель D(p) записывается в виде

Раскрыв этот определитель, получим характеристическое урав­нение

Р2(n-1) + а2р2(n-2) + а4 p2(n-3) + ... + а2(n-2)/p2 + a2(n-1) = О,

характер корней которого определяет характер изменения относительных углов Δd1n и, следовательно, позволяет констатировать факт устойчивости или неустойчивости системы.

В аналитических расчетах статической устойчивости использу­ется несколько иная форма характеристического уравнения, яв­ляющаяся более удобной при использовании известных критериев устойчивости Рауса, Михайлова и др.:

A0pn + A1pn-1+A2pn-2 +... +Ап = 0. (9.24)

Согласно известным теоремам [15, с. 407], для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения (9.24) имели отрица­тельные вещественные части. Определение корней осуществляется прямым решением этого уравнения. При больших степенях урав­нения (9.24) используются методы, позволяющие судить по опре­деленным признакам об устойчивости системы без решения характеристического уравнения. Соответствующие признаки назы­вают критериями устойчивости.

Согласно критерию Гурвща алгебраическое уравнение n-й степени с постоянными коэффициентами имеет корни с отрица­тельными вещественными частями, если удовлетворяются сле­дующие условия:

1. Все коэффициенты уравнения (9.24) положительны.

2. Все определители Гурвица положительны и имеют вид

(9.25)

В этих определителях элементы, индекс которых превышает п, заменяются нулями. Так как в определипоследний столбец состоит из одного коэффициента, отличного от нуля, ∆n = An∆n-1 При этом условие ∆n = 0 распадается на два: Аn = 0 и ∆n-1 = о. Первое определяет границу апериодической устойчивости, второе - колебательной устойчивости. Условия п. 1 и 2 зависимы. При положительности коэффициентов Аi (i = 1 ... n) для установ­ления положительности всех определителей Гурвица достаточно проверить знаки всех нечетных определителей Аь Д3 и т. д. Такой критерий называется критерием Льенара - Шипара.

Критерий Рауса основан на составлении таблицы определен­ного вида (см. таблицу), в которой используются коэффициенты характеристического уравнения (9.24).

Таблица Рауса

Номер строки		Номер столбца
	1	2	3	4
'! 1 2 3 4 5	а0 A1	а2 A3 ………………	а4 A5 ……………..	а6 A7

Для того чтобы действительная часть всех корней характери­стического уравнения была отрицательной, необходимо и доста­точно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были отличны от нуля и имели один и тот же знак.

Критерий позволяет выразить условия устой-| чивости электрической системы в геометрической форме. Приняв р =jω, характеристическое уравнение (9.24) можно записать сле­дующим образом:

D(jω)=A0(jω-p1)( jω-p2)… (jω-pn)

Разделяя правую часть этого уравнения на действительную и мнимую части, получим

D(jω)=Re[D(jω)]+jIm[D( jω)]= jjφ(ω)

Причем

Re[D(jω)]=An-An-2ω2+ An-4ω2…

Im[D( jω)]= An-1-An-3ω3+ An-5ω5…

Задаваясь рядом значений ωот 0 до +∞, получим для каждого значения w точку на комплексной плоскости. Совокупность точек образует кривую, которая называется годографом характеристиче­ского многочлена (годографом Михайлова). Вектор, конец которо­го при изменении ω скользит по годографу, называют характеристическим (рис. 9.12).

Рис. 9.12. Годограф характеристи­ческого уравнения 4-го порядка

Критерий Михайлова форму­лируется следующим образом: для того чтобы характеристическое уравнение имело только корни с отрицательной вещественной ча­стью, необходимо и достаточно, чтобы характеристический вектор при изменении со от 0 до + ¥ моно­тонно поворачивался против часо­вой стрелки на угол пp/2, где п -степень характеристического урав­нения. Модуль характеристичес­кого вектора при всех значениях со должен быть отличным от нуля.

Метод D-разбиения применяется в том случае, когда необхо­димо выявить влияние на устойчивость каких-либо параметров системы (например, коэффициентов усиления регулятора возбуж­дения). С помощью метода D-разбиения решается задача опреде­ления значений выбираемых коэффициентов усиления, при которых характеристическое уравнение автоматически регулируе­мой системы имеет только корни с отрицательной вещественной частью. При этом в зависимости от количества параметров разли­чают методы D-разбиения - по одному, двум и более параметрам.

Метод D-разбиения по одному параметру. Если некоторые коэффициенты характеристического уравнения (9.24) линейно зависят от параметра К системы автоматического регули­рования, то это уравнение можно представить в виде