Сопротивление материалов (стр. 10 )

Расчётная схема и эпюры Решение

Анализ заданной расчётной схемы показывает, что в поперечном сечении стержня действуют внутренние силы , т. е. имеет место внецентренное сжатие с изгибом. Поперечными силами ввиду их незначительного влияния на прочность и деформации будем пренебрегать. Следовательно, дальнейший интерес представляют три силовых фактора . Их можно определить с помощью уравнений равновесия, вытекающих из метода сечений.

Сначала найдем геометрические характеристики поперечного сечения:

С целью выявления наиболее опасных сечений построим эпюры внутренних сил. В характерных верхнем и нижнем сечениях найдем их значения. При этом примем правила знаков, соответствующие рис. 2, т. е. внутренние силы, показанные на рисунке, будем считать положительными.

Верхнее сечение

Нижнее сечение

Среднее сечение

Соответствующие эпюры имеют вид рисунков рис. 1 б, в, г.

В сечениях от действия указанных внутренних сил возникают нормальные напряжения, причём от продольной силы только сжимающие, а от изгибающих моментов – как растягивающие, так и сжимающие в разных точках сечения. Какое из сечений является более опасным, зависит от наибольшего значения напряжения по абсолютной величине. Поэтому перейдём к определению напряжений. Нормальные напряжения в произвольной точке по принципу независимости действия сил определяются как сумма трёх слагаемых (рис. 2)

Наибольшее по значению напряжение будет отрицательным (сжимающим) и определяется для прямоугольного сечения как сумма абсолютных величин

(1)

По (1) получены максимальные значения:

в верхнем сечении

,

в нижнем сечении

Сравнение двух результатов показывает, что наиболее опасным является нижнее сечение. В нижнем сечении необходимо определить опасную точку, т. е. точку с наибольшим нормальным напряжением, и построить эпюру нормальных напряжений. С этой целью выясним расположение нулевой линии. Для произвольной точки (х, у) сечения нормальное напряжение определяется формулой

(2)

Для построения эпюры нормальных напряжений необходимо определить положение нулевой линии. С этой целью напряжения, определяемые формулой (2) приравняем к нулю и получим уравнение нулевой линии

(3)

При х = 0 из (3) получим ординату точки пересечения нулевой линией оси у – ов

Аналогично положим, что у = 0 и определим из (3) абсциссу точки пересечения оси х – ов

По этим отрезкам построена нулевая линия на рис. 3. Наибольшее сжимающие напряжение будет в точке D (-13, 15 см), растягивающее – в точке В (13, -15 см). По вычислениям с помощью (2) получена эпюра нормальных напряжений . Опасной точкой сечения является точка D с максимальным напряжением

Проверим условие прочности здесь

Подстановка чисел даёт

Условие прочности выполняется. Грузоподъёмность превышает приложенные нагрузки. Их значения можно повысить. Если принять одинаковые коэффициенты повышения k, то

Отсюда вывод: нагрузки можно увеличить значительно без ущерба для прочности до значений:

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	b, см	h, cм	l, м	F, кН	P, кН	q, кН/м	R, МПа
1	26	32	2,4	200	9	8	25	0,90
2	24	30	2,6	210	8	6	22	0,85
3	23	28	2,5	220	10	5	24	0,95
4	21	27	2,3	200	9	7	23	0,80
5	20	25	2,0	190	11	5	28	0,85

Задача 12

Расчёт балки на упругом основании

Для двутавровой балки, расположенной на упругом основании, при модуле упругости равном E = 210 ГПа требуется:

1.записать с помощью метода начальных параметров выражения для прогибов v, углов поворота поперечных сечений , изгибающих моментов M и поперечных сил Q;

2.поставить граничные условия и определить неизвестные начальные параметры.

3.провести расчеты на компьютере и построить эпюры Q, M, φ и v;

4.построить эпюру реактивного отпора основания.

5.определить реакции опор, если они имеются;

6.проверить прочность балки, приняв коэффициент надежности по нагрузке γf = 1,2, расчетное сопротивление R = 210 МПа = 21 кН/см2 и коэффициент условий работы γс = 1,0.

Исходные данные

Шифр	Двутавр №	l, м	F, кН	М, кНм	q, кН/м	k, Н/cм3
31-6	22	6,0	24	16	20	50

Расчётная схема Решение

Для балки в виде стального прокатного двутавра №22 выпишем осевой момент инерции J = Jx = 2550 см4 и ширину полки b = 11 см. Обозначим и определим жёсткость балки

.

Для упрощения дальнейших вычислений введём обозначение безразмерной переменной ξ и вычислим параметр λ

Запишем с помощью метода начальных параметров выражение для прогиба балки в произвольном сечении

(1)

Здесь v0, - начальные параметры, представляющие собой прогиб и угол поворота в начале координат, т. е. на левом конце балки z = 0 . Y1, Y2, Y3, Y4 – функции , которые определяются из специальных таблиц или по формулам:

Пользуясь формулой (1) и далее вытекающими из неё выражениями для характеристик балки, следует помнить, что нагрузки M, F, q имеют знаки, установленные для них в методе начальных параметров и зависящие от их направлений. В частности, в данном случае эти знаки будут отрицательными.

Неизвестные начальные параметры определим из граничных условий на правом конце балки:

(2)

Смысл уравнений (2) в том, что прогиб и угол поворота правого концевого сечения должны равняться нулю вследствие его заделки.

Запишем выражения для углов поворота поперечных сечений, изгибающих моментов и поперечных сил.

. (3)

(4)

(5)

Вычисляем аргументы и значении функций для выполнения граничных условий (2)

, ,

, , .

Раскроем граничные условия (2) с помощью формул (1), (3). При этом единицы измерения силовых величин для удобства вычислений переведём в килоньютоны.

После элементарных упрощений получена система двух алгебраических уравнений относительно

Решая, имеем

Далее расчёты производим с помощью компьютерной программы кафедры теоретической и прикладной механики. Полученные эпюры приведены на рис. 2. Числа, подписанные для характерных точек, взяты визуально с экрана монитора при многократных увеличениях графиков и обладают высокой точностью.

Реакции в правой опоре можно определить по эпюрам изгибающих моментов 2в и поперечных сил 2г или по обращению к компьютеру с запросом. Получено, что они имеют значения

Ml =18,09 кНм, направлен по часовой стрелке,

Rl = 27,82 кН, направлена вверх.

Ординаты реактивного отпора основания определяем по формуле Винклера

.

Здесь знак минус учитывает, что имеют противоположные направления. Результаты счёта на компьютере показаны на рис. 3. Равнодействующая этой силы, вычисленная как определённый интеграл методом трапеций составляет

R = 116,79 кН.

Проверим равновесие балки.

Относительная погрешность составляет

.

Очевидно, что равновесие обеспечено. Вычисления правильны.

Расчётное значение наибольшего изгибающего момента равно:

Выполняем проверку условия прочности

где - момент сопротивления двутавра №22.

Условие прочности выполнятся. Прочность обеспечена.

Второе число шифра	Двутавр №	l, м	F, кН	М, кНм	q, кН/м	k, Н/cм3
1	18	5,2	30	15	20	60
2	20	6,0	36	20	25	70
3	22	6,2	40	25	22	40
4	24	6,4	50	30	24	50
5	27	6,6	52	35	26	70