Сопротивление материалов (стр. 9 )

,

.

Подстановка в систему уравнений (1) и сокращение на EJ даёт

14,55X1 + 7,098X2 + 1082,8 = 0,

7,098X1 + 5,859X2 +782,1 = 0.

Решая эту систему уравнений, получим

X1 = -22,74 кН, X2 = -105,9 кН.

Полученные знаки минус в ответе показывают, что силы Х1, Х2 направлены противоположно изображённым на рис. 3.

Отметим на рис. 1 дополнительно точки C и D. Тогда получается, что рама имеет три участка AC, CB, BD. Построим для них эпюры продольных сил N, поперечных сил Q и изгибающих моментов M с помощью метода сечений.

Участок АС, м

Проводим сечение произвольно внутри участка, выбираем для рассмотрения верхнюю отсечённую часть (рис. 7), показываем оси z и y, отмечаем переменное расстояние до сечения и точку G. Далее необходимо на схеме показать искомые внутренние силы, направления которых заранее неизвестны. Направления сил можно избирать произвольно и будут получены правильные ответы. Но при этом их знаки в конце вычислений придётся приводить в соответствие с правилами знаков сопротивления материалов. Чтобы избежать этих дополнительных процедур, целесообразно заранее намечать для внутренних сил положительные направления. В этом случае в ответах будут получены знаки, автоматически учитывающие установленные правила для внутренних сил.

Будем придерживаться следующих правил. Продольные силы N положительны, если они растягивающие. Поперечные силы Q положительны, если они создают момент, направленный по часовой стрелке относительно отсечённой части. С учётом сказанного намечены направления стрелок на рис. 7. Изгибающие моменты не имеют правила знаков для вертикальных участков, поэтому соответствующее направление здесь избрано произвольно. В то же время для них существует упомянутое выше правило построения эпюры, и его необходимо соблюдать.

Далее составляем уравнения равновесия и по ним определяем внутренние силы.

.

Результат нулевой, поэтому на этом участке (рис. 10) эпюра N не строится.

, F – Q = 0, Q = F = 81 кН.

Поперечная сила здесь является постоянной величиной, и ей соответствует эпюра данного участка на рис. 11.

F z – M =0, M = F z = 81 z.

Как видим, изгибающие моменты являются линейной функцией. Для построения соответствующего графика необходимо иметь две точки. Найдём значения момента в концевых сечениях

, .

Для нижнего конца получен знак плюс, означающий, что направление момента, показанное на рис. 7, совпадает с действительным. Из этого следует, что левые волокна рамы в этом месте будут растянутыми. И именно с этой стороны откладывается полученное значение на эпюре (рис. 12).

Участок СВ, м

Руководствуясь аналогичными соображениями рассматриваем левую отсечённую часть (рис. 8).

, F + N = 0, N = - F = - 81 кН.

F a - X1 z -

На этом участке знак поперечной силы изменяется с плюса на минус. Следовательно имеется максимум функции М(z). В этом сечении поперечная сила должна равняться нулю, т. е.

Отсюда находим соответствующее значение

z0 = 22,74/78 = 0,272 м

и максимальное значение изгибающего момента в сечениях участка CB

По этим результатам построены эпюры внутренних сил участка CB на рис. 10 – 12.

Участок BD, м.

После того, как будет проведено произвольное сечение внутри этого участка, может показаться целесообразным рассматривать далее верхнюю отсечённую часть. Однако это не так. Причина здесь в том, что в верхней опоре в виде заделки действуют три неизвестные опорные реакции: две силы и момент. Без их предварительного определения, что будет связано с большим объёмом вычислений, уравнения равновесия невозможно составлять. Следовательно, и внутренние силы не могут быть найдены. Поэтому лучше рассматривать для этого участка нижнюю отсечённую часть, показанную на рис. 9. Тогда имеем

, ,

, ,

, ,

По этим результатам завершается построение эпюр, представленных на рис. 10 – 12.

Перейдём к определению необходимого двутаврового сечения балки. От продольной силы и изгибающего момента в поперечном сечении рамы возникают нормальные напряжения σ, а от поперечной силы – касательные напряжения τ. Последние влияют на прочность таких рам весьма незначительно, поэтому поперечную силу не будем принимать во внимание.

Простой визуальный анализ эпюр N (рис. 10) и M (рис. 12) обнаруживает, что наибольшие нормальные напряжения, имеющие преобладающее влияние на прочность балки, возникают в сечении участка BD с самым большим изгибающим моментом (опасное сечение). Здесь

N =141,1 кН, М = 84,3 кНм.

Условие прочности по методу предельных состояний имеет вид

. (2)

В неравенстве (2) содержатся две неизвестные характеристики сечения двутавра: площадь А и осевой момент сопротивления W. Поэтому прямое вычисление их значений невозможно. В первом приближении предположим, что нормальные напряжения от продольной силы малы и, игнорируя N, определим требуемый момент сопротивления

.

По таблице ГОСТ 8239-89 ближайшим двутавром с неменьшим моментом сопротивления является номер 24 с характеристиками:

A = 34,8 см3, W = 289 см3.

Подставляя в условие прочности (2), имеем

Окончательно имеем

Очевидно, что прочность обеспечивается двутавром номер 24.

Одновременно подсчёты подтвердили предположение о малости нормальных напряжений от продольной силы.

Перейдём к определению перемещений. Перемещения в точках А и В будем вычислять с помощью метода Мора по формуле

. (3)

Здесь Е = 210 ГПа – модуль упругости стали, J = 3460 см4 – осевой момент поперечного сечения двутавра номер 24, взятый из таблицы, L – область интегрирования, охватывающая все участки рамы. Другие слагаемые формулы Мора не учитываются ввиду их малости по сравнению.

Интеграл в правой части (3) удобно вычислять с помощью способов Верещагина и Симпсона. Для этого строим единичные эпюры (рис. 13, 14). от единичных нагрузок, прилагаемых в точках А и В.

Перемножение этих эпюр с эпюрой М (рис. 12) дает горизонтальное перемещение точки А

и угол поворота сечения, проходящего через точку В,

рад.

Из полученных знаков ответов следует, что линейное перемещение точки А по направлению совпадает с направлением единичной силы, показанным на рис. 13, т. е. будет происходить вправо. Сечение рамы в точке В поворачивается против хода часовой стрелке, т. е. против направления стрелки на рис. 14.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	l м	h м	a м	F кН	q кН/м	M кНм	R МПа
1	3,2	4	1,4	50	20	40	250	2,0
2	4,2	5	2	40	18	50	330	1,5
3	3	4,2	1,2	30	16	40	360	1,8
4	4	5,1	1,6	20	12	50	320	1,6
5	3,1	4	1,4	40	15	40	300

Задача 11

Внецентренное сжатие с изгибом

Деревянная стойка прямоугольного поперечного сечения загружена в продольном направлении расчетной внецентренно приложенной сосредоточенной силой F, а также расчетными поперечными нагрузками P и q, действующими в главных плоскостях.

Требуется:

1. Построить эпюры внутренних усилий N, Mх, My от действующих расчетных нагрузок.

2. Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении стойки.

3. Проверить прочность по методу предельных состояний.

4. Определить грузоподъёмность стержня, т. е. предельные значения нагрузок, при которых прочность будет обеспечена.

Исходные данные

Шифр	b, см	h, cм	l, м	F, кН	P, кН	q, кН/м	R, МПа
31-6	26	30	2,5	100	10	7	25	0,9