Сопротивление материалов (стр. 3 )

(1)

(2)

Искомые расчётные нагрузки должны удовлетворять обоим условиям прочности.

Опасным является сечение с максимальным значением изгибающего момента Мmax. Для его определения необходимо построить эпюру изгибающих моментов. Проведём координатные оси y и z, как отмечено на расчётной схеме. Покажем опорные реакции R1 и R2. При определении изгибающих моментов понадобятся опорные реакции, потому определим их с помощью уравнений равновесия. Сначала составим уравнение равновесия, которое будет содержать только одно из неизвестных. Наметим точку О и составим уравнение

Опорную реакцию R1 найдём из второго уравнения равновесия

Поскольку к балке не приложена распределённая нагрузка, для построения эпюры достаточно вычислить значения изгибающих моментов в характерных сечениях. Изгибающий момент в сечении А и во всех сечениях консольной части

По результатам вычислений построены эпюры M и Q, показанные на рис. 1.

Перейдём к определению осевых моментов сопротивления для растянутых и сжатых волокон заданного поперечного сечения балки. Данное сечение состоит из двух прямоугольников (рис. 1). На более крупном рисунке (рис. 2) обозначим их номерами 1 и 2, наметим центры тяжести для каждого соответственно: C1, C2. Проведём через них координатные оси, собственные для каждого элемента и обозначим их: x1, y, x2. Ввиду симметричности фигуры, вертикальные центральные оси обоих элементов совпадают и такая общая ось является центральной для всего сечения. По этой причине введена только одна ось y – ов. Нанесём на чертёж основные размеры.

Поскольку центр тяжести сечения лежит на оси y - ов, нет необходимости в отыскании его координаты хС. Для вычисления второй координаты yC проведём вспомогательную ось x0.

Предварительно определим геометрические характеристики для каждого элемента, необходимые для последующих вычислений.

Прямоугольник 1. Площадь сечения

,

координата центра тяжести С1 в системе осей x0y

Осевой момент инерции

Прямоугольник 2. При аналогичных обозначениях

Общая площадь сечения

A = A1 + A2 = 24 + 54 = 78 см2.

Координата центра тяжести сечения

По этим значениям на рис. 2 намечаем точку С и через неё проводим центральную ось х. Ввиду того, что ось у – ов является осью симметрии, оси х, у являются главными осями инерции.

Расстояния между параллельными горизонтальными осями х - х1, х - х2

Главный осевой момент инерции относительно центральной оси

Осевые моменты сопротивления определяются путём деления Jx на расстояния от центральной оси х до крайних растянутых и сжатых волокон соответственно

Условие прочности по растягивающим напряжениям (1) принимает вид

Отсюда

Аналогичные вычисления проведём по прочности сжатых волокон

Меньшее из двух значений силы является грузоподъёмностью или несущей способностью балки

F = 15,49 кН.

При таком значении силы сосредоточенный момент, приложенный к балке, равен

M = Fa = 15,49 · 0,8 = 12,39 кНм.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	м	a м	b cм	h cм	c cм	Rр МПа	Rс МПа	γc
1	1,8	0,9	11	9	2	50	150	1,00
2	1,6	0,7	12	8	3	55	160	0,90
3	1,5	0,8	10	7	2	60	155	0,95
4	1,7	1,0	13	8	3	65	165	0,85
5	1,6	1,0	11	9	2	50	160	0,90

Задача 3

Внутренние силы в сечениях криволинейного стержня

и расчёты на прочность

Криволинейный стержень круглого поперечного сечения в виде четверти окружности с радиусом R, нагружен расчётной силой F. Требуется построить эпюры внутренних сил, определить диаметр сечения d из расчёта по первой группе предельных состояний.

Исходные данные

Шифр	R, м	F, кН	МПа
31-6	2,0	10	240	0,9

Расчётная схема Решение

Внутренние силы будем определять с помощью метода сечений. С этой целью проведём сечение Ot в радиальном направлении (рис. 1) и для дальнейшего рассмотрения оставим верхнюю отсечённую часть (рис. 2).

Введём ортогональную систему координатных осей n, t и угловую координату . Внутренние силы N, Q, M, показанные на рис. 2 будем считать положительными. Найдём их из уравнения равновесия отсечённой части

Вычисления проведём в табличной форме для с шагом .

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90
N	0	-1,74	-3,42	-5,00	-6,43	-7,66	-8,66	-9,40	-9,85	-10
Q	10	9,85	9,40	8,66	7,66	6,43	5,00	3,42	1,74	0
M	0	-3,47	-6,84	-10,00	-12,86	-15,32	-17,32	-18,80	-19,69	-20

Эпюры, построенные по результатам счёта показаны на рис. 3.