Сопротивление материалов (стр. 12 )

Продольно-поперечный изгиб стержней

Стальной стержень (рис. 1) из двух швеллеров (рис. 2) изгибается в плоскости Оyz под действием поперечных нагрузок и сжимающих сил F.

Требуется:

1. Проверить устойчивость стержня при действии сжимающей силы.

2. Вычислить значения по недеформированной схеме в характерных сечениях стержня и построить эпюры этих величин.

3. Вычислить значения по деформированной схеме и построить эпюры этих величин.

4. Построить эпюру в опасном сечении и проверить прочность стержня.

5.Сравнить полученные результаты с данными расчёта по недеформированной схеме.

В расчётах принять , , , . Коэффициент запаса по нагрузкам .

Исходные данные

Шифр	а, м	b, м	Fн, кН	Pн, кН	Mн, кНм	qн, кН/м
31–6	5	1,5	160	3	4	0,5

Расчётная схема

Решение

Определим геометрические характеристики поперечного сечения из двух швеллеров № 18. Выпишем из сортамента для одного швеллера:

,

Вычисляем для всего сечения

.

Наибольшая гибкость стержня определяется по меньшему из радиусов инерции по формуле

где коэффициент приведённой длины по условиям закрепления концов стержня, общая длина стержня.

По таблице для заданного расчётного сопротивления материала R с помощью линейной интерполяции получим коэффициент продольного изгиба (см. таблицу в конце задачи)

Расчётное значение сжимающей силы равно

.

Проверяем устойчивость стержня

48,31 МПа <

Устойчивость обеспечена. В противном случае пришлось бы увеличивать номер швеллеров.

Произведём расчёт стержня по недеформированной схеме (рис. 3а) в условиях центрального сжатия с изгибом. Для построения эпюр Qп и Mп от поперечных нагрузок из уравнений равновесия определим опорные реакции .

Результаты счёта в виде эпюр Qп и Мп приведены на рис. 3 б, 3 в. Как видно по эпюре Qп на участке AB, в сечении с координатой z0 изгибающий момент является локальным максимумом. Проведём соответствующие вычисления. Из подобия треугольников

.

Отсюда следует

.

По эпюре изгибающих моментов видно, что это же сечение является опасным сечением с глобальным максимумом изгибающего момента, т. е.

Определим прогибы от поперечных нагрузок с помощью метода начальных параметров, пользуясь формулой в общем виде

(1)

При этом равномерно распределённая нагрузка должна быть продолжена до правого конца, так как пользование данными формулами предполагает её непрерывность по всей длине балки. В свою очередь, для обеспечения эквивалентности образующейся нагрузки заданной нагрузке приходится прикладывать распределённую нагрузку на участке BD, но уже направленную вверх (пунктиры на рис. 1 а). Второе слагаемое для q введено в нижеследующие формулы по этой причине.

Перепишем формулу (1) для данной задачи, включив заданные и добавленные нагрузки и опорную реакцию с учётом их направлений. Учтём также, что левый конец, совпадающий с началом координат, оперт шарнирно, и поэтому начальный параметр v0 = 0.

(2)

В правые части (1) и (2) включаются лишь те нагрузки, которые находятся левее рассматриваемого сечения. Конкретные вычисления требуют предварительного вычисления начального угла поворота . Найдём его из условия, что прогиб правого конца балки равен нулю из-за наличия шарнирной опоры в точке

(3)

Здесь l = 8 м– общая длина стержня. Вычислим значение жёсткости стержня при изгибе

.

После подстановки чисел уравнение (3) принимает вид

По соответствующим вычислениям отсюда получим

Формула (2) готова для вычислений прогибов от поперечных нагрузок. её использование даёт эпюру, изображённую на рис. 1 г. Максимальный прогиб при этом равен 4,08 см.

Произведём расчёт стержня по деформированной схеме в условиях продольно-поперечного изгиба по упрощённой теории. С этой целью определим критическую силу Эйлера в плоскости изгиба

Суммарные прогибы и изгибающие моменты по упрощённой теории равны

Эпюры, построенные по вычислениям компьютерной программы, показаны на рис 3 д, 3 е. В сечении с наибольшим изгибающим моментом М = 28,77 кНм определим нормальные напряжения в верхнем и нижнем сечениях

Вычисляем значения наибольших нормальных напряжений в верхнем и нижнем волокнах этого сечения

,

Проверка прочности по наибольшим сжимающим напряжениям даёт

Прочность стержня обеспечена.

Эпюра нормальных напряжений по высоте сечения приведена на рис. 4.

Сравнение эпюр прогибов и изгибающих моментов, полученных по недеформированной и деформированной схемам (рис. 3) показывает, что при действии продольной сжимающей силы прогибы и изгибающие моменты существенно увеличиваются.

Примечание:Нижеследющая таблица не включается в оформление работы.

Коэффициенты продольного изгиба центрально сжатых элементов

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	l, м	a, м	b, м	FН, кН	PН, кН	MН, кНм	qН, кН/м	Тип сечения	№ про- филя
1	7,8	3,6	2,1	160	3,2	5	0,1	I	16
2	7,2	4,1	2,0	140	3,1	4	0,3	III	18
3	7,0	3,9	2,2	150	3,0	5	0,0	V	16
4	8,0	4,2	2,0	150	3,3	4	0,1	IV	20
5	7,9	3,8	2,3	160	3,2	5	0,2	II	20

ТИПЫ СЕЧЕНИЙ

Литература

1. Александров материалов. – М.: Высшая школа, 2000. – 560 с.

2. , , Леонтьев механика (для учащихся строительных вузов и факультетов). Учебник. –М., Издательство АСВ, 2012 с.

3. Атаров материалов в примерах и задачах: Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2013. – 407 с.

4. и др. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. – М.: изд. Ассоц. строит. вузов, 1995. –572 с.

5. , , Горшков материалов (с основами строительной механики). Под. ред. . –М.: ИНФРА-М, 2011. –480 с.

6. Дарков материалов. – М., 1989. – 624 c.

7. , , Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. – М.: Высшая школа, 1999. – 592 с.

8.Михайлов материалов: учебник для студентов высших учебных заведений / .–М.: Издательский центр «Академия», 2009. – 448 с.

9. Саргсян материалов, теории упругости и пластичности. – М., 2000. – 286 с.

10. Феодосьев материалов. – М.: Изд-во МГТУ, 1999. – 591 с.

11. Сайт кафедры теоретической и прикладной механики: http://kafedratpm.ucoz.ru.

Содержание

Предисловие ……………………………………………………………………	3
Общие указания по выполнению заданий ……………………………………	4
Примеры решений и варианты заданий………………………………………	7
Задача 1. Растяжение – сжатие упруго-пластической статически неопределимой стержневой системы………………………………………..	7
Задача 2. Определение грузоподъёмности чугунной балки при прямом поперечном изгибе ……………………………………………………..	15
Задача 3. Внутренние силы в сечениях криволинейного стерня и расчёты на прочность………………………………………………..	20
Задача 4. Внутренние силы при изгибе рамы…………………………………..	24
Задача 5. Внутренние силы в балках с промежуточным шарниром ………	29
Задача 6 Определение перемещений при изгибе плоской рамы ……………	34
Задача 7. Пространственное напряжённое состояние в точке и прочность…	38
Задача 8. Расчёт бруса на прочность при сложном сопротивлении ………..	42
Задача 9. Определение перемещений в балках при прямом изгибе………….	48
Задача 10. Расчёт плоской статически неопределимой рамы……..….………..	56
Задача 11. Внецентренное сжатие с изгибом…………………………..….….	65
Задача 12.Расчёт балки на упругом основании.……………………………….	71
Задача 13. Рациональное сечение сжатой стойки при продольном изгибе …	78
Задача 14. Продольно-поперечный изгиб стержней………………………….	85
Литература…………………………………………………………………………	92

учебное издание

Культербаев Хусен Пшимурзович

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Задачи для домашних заданий, примеры решений

Для студентов направления 270800 – Строительство

Редактор

Компьютерная верстка

Корректор

В печать 14.03.2013. Формат 60х84 1/8.

Печать трафаретная. Бумага офсетная. 8.83 усл. п.л. 8.5 уч.-изд. л.

Тираж 200 экз. Заказ № ________.

Кабардино-Балкарский государственный университет.

г. Нальчик, .

Полиграфический участок ИПЦ КБГУ

г. Нальчик, .