Сопротивление материалов (стр. 8 )

Задача 9

Определение перемещений в балках при прямом изгибе

Для заданной балки при прямом изгибе требуется:

1.Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил от заданных нормативных нагрузок.

2.Подобрать сечение балки в виде стального прокатного двутавра по методу предельных состояний, приняв коэффициент надежности по нагрузке равным γf=1,2. Расчетное сопротивление стали по пределу текучести R = 210 МПа, коэффициент условий работы γс = 1.

3.Определить с помощью метода начальных параметров значения прогибов v и углов поворота φ поперечных сечений в характерных сечениях балки от нормативных нагрузок. По полученным значениям построить эпюры v и φ, указав их особенности (экстремумы, скачки, изломы и точки перегиба). Определить числовые значения прогибов в сантиметрах и углов поворота сечений в радианах, приняв модуль упругости стали Е=210 ГПа.

Исходные данные

Шифр	l, м	a, м	b, м	M, кНм	q, кН/м
31-6	2,0	1,4	1,0	16	30

Расчётная схема Решение

Заданная расчётная схема балки изображена на рис. 1. Вначале произведём расчёт несомой балки AC, имеющей условную шарнирную опору в сечении С (рис. 2а).

Определяем опорные реакции. Балка является статически определимой, поскольку для определения трёх опорных реакций можно составить два уравнения равновесия и дополнительное уравнение для левой или правой части балки.

Расчёт проведём с помощью поэтажной схемы. Разрежем мысленно балку по промежуточному шарниру С. Балка AC не может работать самостоятельно и опирается на несущую балку СG. Разбиваем балку на несомую CG и несущую AC части (балки). Производим статический расчёт несомой балки AC (рис. 2б).

.

, .

Опорную реакцию прикладываем к несущей балке и определяем опорные реакции

,

, .

Эта реакция направлена вниз. Вычислим поперечные силы и изгибающие моменты для характерных сечений.

Балка .

,

.

.

Между точками A и B находится сечение с экстремальным значением изгибающего момента, так на этом участке приложена распределённая нагрузка, и поперечная сила меняет знак с плюса на минус. Найдём координаты этого локального максимума, затем и значение изгибающего момента. По рис. 2в

.

Отсюда . Следовательно

.

Балка .

.

Для построения криволинейной эпюры на участке вычислим ещё одно значение

.

По результатам вычислений построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, приведённые на рис 2в, 2г.

Подбор сечения балки из стального двутавра производится по методу предельных состояний из условия

. (1)

Из эпюры 2г наибольшее значение изгибающего момента, найденное по нормативным нагрузкам, равно . Значит, расчётное значение

.

Из (1) требуемый момент сопротивления

.

Берём из таблицы двутавр № 16. Его данные:

.

Определим с помощью метода начальных параметров значения прогибов v и углов поворота φ поперечных сечений в характерных сечениях балки от нормативных нагрузок. Соответствующие формулы имеют вид

(2)

(3)

В правые части (2) и (3) включаются лишь те кинематические и статические факторы, которые находятся левее рассматриваемого сечения. Равномерно распределённая нагрузка должна быть продолжена до правого конца, так как пользование данными формулами предполагает её непрерывность по всей длине балки. В свою очередь, для обеспечения эквивалентности образующейся балки заданной балке приходится прикладывать распределённую нагрузку на участке BG, но уже направленную вверх (пунктиры на рис 2а).

При конкретизации формул (2), (3) применительно к данной расчётной схеме получим для последнего правого участка

, (4)

(5)

Здесь знак минут при заданной распределённой нагрузке обусловлен направлением вниз.

Для вычислений по (2), (3) необходимо установить начальные параметры и взаимный угол поворота сечений в промежуточном шарнире. В этих целях воспользуемся условиями опирания балки по рис. 1. Левый конец, совпадающий с началом координат (рис. 2а), оперт шарнирно, из чего следует равенство нулю начального параметра, т. е. v0 = 0.

Из-за наличия опор в точках прогибы должны равняться нулю

.

Подставляя в (5) значения аргументов и параметров запишем два уравнения

,

.

Здесь введено обозначение

.

После простейших преобразований уравнения получает вид

Решение системы уравнений даёт

.

Вычисления, проведённые по компьютерной программе, дали эпюры на рис. 2д, 2е.

Второе число шифра	l, м	a, м	b, м	F, кН	M, кНм	q, кН/м
1	1,4	2,0	1,0	24	16	30
2	2,2	1,2	1,2	16	18	20
3	1,2	2,2	1,4	24	15	18
4	1,6	1,6	1,4	22	18	24
5	1,8	1,4	1,0	18	14	26

Задача 10

Расчёт плоской статически неопределимой рамы

Для плоской статически неопределимой рамы из стального двутавра заданы расчётные нагрузки F, q и расчётное сопротивление материала R. Требуется: раскрыть статическую неопределённость; построить эпюры внутренних сил М, Q, N; из расчёта на прочность по предельным состояниям определить номер двутавра; вычислить линейное перемещение точки А и угол поворота сечения В.

Исходные данные

Шифр	l м	h м	a м	F кН	q кН/м	R МПа
31-6	2,1	2,6	1	81	78	360	0,9

Решение

Степень статической неопределённости плоской рамы вычисляется по формуле

где Д =1 – число дисков, Ш = 0 – число шарниров соединяющих жёсткие элементы, С = 1 + 1 +3 = 5 – число опорных стержней (заделка эквивалентна трём опорным стержням!). Следовательно,

.

Система два раза статически неопределима.

Будем раскрывать статическую неопределённость с помощью метода сил. Независимо от конкретного выбора лишних неизвестных сил Х1, Х2 для их определения будет использована каноническая система уравнений

(1)

Отбрасываем две связи, наложенные на раму в виде шарнирно подвижных опор, и получаем из заданной системы (рис. 1) основную систему (рис. 2). Она должна быть, во-первых, геометрически неизменяемой жёсткой конструкцией, т. е. способной нести внешнюю нагрузку, и, во-вторых, уже статически определимой системой. Очевидно, что выбранная основная система обладает такими свойствами.

Прикладываем к основной системе заданную нагрузку и неизвестные опорные реакции Х1, Х2 в отброшенных связях и получаем эквивалентную систему рис. 3. Система уравнений (1) является математическим выражением факта, что перемещения в направлениях неизвестных сил X1 и Х2 должны равняться нулю, поскольку в местах их приложений на самом деле имеются опоры, не позволяющие перемещаться соответствующим точкам.

Для решения уравнений необходимо сначала найти коэффициенты и свободные члены системы (1). Они представляют собой перемещения в направлениях сил X1 и Х2 от единичных сил , и нагрузки F. Отсюда следует, что необходимо построить эпюры изгибающих моментов от этих сил. Влияние продольных и поперечных сил на величину перемещений весьма незначительное, поэтому они не учитываются в вычислениях.

Эпюры изгибающих моментов построены по их значениям в отдельных характерных точках рамы. Они вычисляются с помощью метода сечений несложным путём и поэтому соответствующие выкладки здесь не приводятся. Результатом действий являются эпюры, представленные на рис. 4, 5, 6. При этом соблюдается правило построения эпюры изгибающих моментов, по которому ординаты откладываются со стороны растянутых волокон.

Теперь приступим к определению перемещений.

,

, ,