Математика. Линейная алгебра (стр. 3 )

Таблица 4

№ п/п	Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин	Модули дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.1	1.2	1.3	2.1	2.2	2.3
1.	Теория вероятностей и математическая статистика	+		+		+	+
2.	Методы оптимальных решений	+		+	+	+	+
3.	Эконометрика	+		+
4.	Статистика	+		+
5.	Макроэкономика	+	+	+		+	+
6.	Макроэкономическое планирование и прогнозирование	+	+	+	+	+	+

5. Содержание дисциплины.

Модуль 1.

Тема 1.1. Матрицы и определители

Квадратная, диагональная, единичная матрицы. Действия над матрицами. Элементарные преобразования матриц. Экономические примеры использования матриц. Свойства определителей. Методы вычисления матриц: «правило треугольников», разложение по строке или столбцу. Минор, алгебраическое дополнение. Невырожденные матрицы. Обратные матрицы. Ранг матрицы.

Тема 1.2. Линейные пространства.

Определение линейного пространства. Свойства линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства. Новое определение ранга матрицы.

Тема 1.3. Системы линейных алгебраических уравнений.

Матричная запись системы. Теорема Кронекера-Капелли. Связь между общими решениями однородной и неоднородной систем. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Разложение вектора по базису.

Модуль 2.

Тема 2.1. Однородные системы линейных уравнений.

Пространство решений однородной системы, связь его размерности с рангом матрицы. Фундаментальная система решений однородной системы. Критерий существования ненулевых решений однородной системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, состоящей из n уравнений.

Тема 2.2. Линейные операторы.

Определение, основные свойства линейных операторов. Матричная запись линейных операторов. Действия над линейными операторами. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов. Характеристический многочлен линейного оператора. Определение евклидова пространства.

Тема 2.3. Квадратичные формы.

Определение квадратичной формы. Матрица квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Теорема о приведении квадратичной формы к сумме квадратов. Теорема об одновременном приведении квадратичных форм к сумме квадратов. Канонический вид линейных операторов.

6. Планы семинарских занятий.

Модуль 1.

Занятие 1. Сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц. Определители матриц. Расчет определителей по «правилу треугольников», методом разложения по строке или столбцу.

Занятие 2. Вычисление миноров, алгебраических дополнений. Нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Определение ранга матрицы методом окаймляющих миноров, с помощью элементарных преобразований. Решение простейших матричных уравнений.

Занятие 3. Контрольная работа по теме «Матрицы и определители». Линейные пространства. Базис и размерность линейного пространства. Определение ранга матрицы методом элементарных преобразований.

Занятие 4. Исследование системы m линейных уравнений с n неизвестными. Определение общего решения методом Гаусса. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Занятие 5. Контрольная работа по теме «Метод Гаусса». Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера. Использование в решении систем линейных уравнений пакетов прикладных программ (Excel, MathCAD).

Модуль 2.

Занятие 6. Однородные системы линейных уравнений: отыскание фундаментальной системы решений, общего решения системы.

Занятие 7. Контрольная работа по теме «Однородные системы линейных алгебраических уравнений». Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

Занятие 8. Использование при нахождении собственных значений и собственных векторов пакетов прикладных программ (Excel, MathCAD). Квадратичные формы, их запись в матричном виде. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

Занятие 9. Контрольная работа по теме «Линейные операторы и квадратичные формы».

7. Учебно - методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Самостоятельная работа студента играет очень большую роль в получении им высшего образования, отражаясь напрямую на качестве подготовки будущего специалиста. Именно эта часть работы развивает навыки самообразования, навыки самостоятельной работы в разных жизненных аспектах, стремление к саморазвитию и познанию.

Закрепляя пройденный материал, в дополнение к конспектам лекционных и практических занятий рекомендуется использовать литературу и другие источники, примерный перечень которых имеется в разделе 9. Время, систематичность, прилежность при подготовке к учебным занятиям и контрольным мероприятиям различного характера напрямую влияют на достижения и успехи студента, которые в дальнейшем при контроле знаний количественно выражаются в баллах и отметках.

Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах:

- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении поставленных индивидуальных задач;

- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной литературы; подготовка к собеседованиям, устным опросам, контрольным работам, коллоквиуму; написание рефератов, их аннотирование и рецензирование; составление структурно-логических схем; подготовка презентаций в электронном варианте; выполнение индивидуальных заданий, в том числе с помощью пакетов прикладных программ и т. п.

7.1. Подготовка к собеседованиям, устным опросам, коллоквиуму

Здесь при подготовке можно опираться на конспект лекций и литературу, предложенную в разделе 9 данной рабочей программы. В указанном разделе расположен список основной и дополнительной литературы. Основными учебными пособиями для подготовки к занятиям, являются [1], [3], [4], [8].

При подготовке к практическим занятиям можно опираться на литературу, предложенную в разделе 9 данной рабочей программы [2], [5], [6], [7].

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

Модуль 1.

1. Найти произведение матриц .

2. Какие ограничения на размер матриц накладываются при их перемножении?

3. Какая матрица называется единичной?

4. Найти в условиях задачи 1 обратную матрицу для матрицы .

5. Найти обратную матрицу методом элементарных преобразований В=

6. Найти в условиях задачи 1 матрицу, транспонированную относительно матрицы .

7. Решить матричное уравнение

8. Какую матрицу в условиях задачи 8 необходимо прибавить к матрице А,чтобы получить единичную?

9. Вычислить определитель разложением по строке или столбцу, предварительно его преобразовав:

Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду. Указать базисный минор.

.

11. Запишите общий вид системы линейных алгебраических уравнений из трех уравнений с двумя неизвестными.

12. Какие системы линейных алгебраических уравнений называют однородными?

13. Какие системы линейных алгебраических уравнений называют совместными?

14. Определите ранг матрицы системы из задачи 17.

15. Составьте расширенную матрицу для системы из задачи 16.

16. Найдя сначала обратную матрицу системы уравнений

решить затем эту систему методом обратной матрицы.

17. Используя формулы Крамера, решить систему уравнений

указав в ответе отдельно величину определителя этой системы.

18. Решить методом Гаусса систему уравнений

19. Убедиться, что векторы , не лежат в одной плоскости; написать разложение вектора по векторам , : = (2;1;1), = (1;1;0), = (-1;-2;-1), = (2;3;-5).

Модуль 2.

1. Найти фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений

2. Найти общее решение системы: . Проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства).

3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Результат проверить по определению: .

4. Найти ранг матрицы из задачи 1 и указать любой базисный минор.

5. Дайте определение квадратичной формы.

6. Что называют собственным вектором линейного преобразования?

7. Какой вид линейного оператора называется каноническим?

8. Сформулировать алгоритм приведения формы к нормальному виду.

9. Сформулировать алгоритм приведения формы к каноническому виду.

10. Сформулируйте критерий Сильвестра.

11. Привести к каноническому виду квадратическую форму

7.2. Подготовка к контрольным мероприятиям

При подготовке к контрольным работам рекомендуется использовать указанную в разделе 9 литературу. Перечень основных теоретических положений учебной дисциплины отражен в справочных материалах методического пособия [1], где представлены необходимые формулы, схемы, алгоритмы, рекомендации для решения задач. Практическая часть материала для подготовки представлена в [2]. Полезными здесь окажутся образцы решения задач контрольных мероприятий и их варианты для самостоятельного выполнения.