Проблемные задачи по теме «Площади» в 8 классе
1. Вырежьте из листа бумаги в клетку 8 одинаковых квадратов со стороной, равной 4 клеткам.
а) Сложите из этих квадратов какой-нибудь многоугольник. Чему равна его площадь, если один квадрат принять за квадратную единицу.
б) Сложите прямоугольник, площадь которого была бы равна 8 кв. ед. Сколько таких прямоугольников можно сложить? Каковы длины сторон каждого из этих прямоугольников?
2. Площадь прямоугольника равна 36 кв. см. Какие из данных пар значений длин сторон не подходят для этого прямоугольника 4 и 9; 2 и 13; 13 и 13; 6 и 6; 1 и 36?
3. Нужно огородить участок прямоугольной формы площадью 900 кв. м. Какими должны быть стороны, чтобы длина забора оказалась наименьшей?
4. Как изменится площадь прямоугольника, если одну из его сторон уменьшить в 3 раза? Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить вдвое?
5. Проведите необходимые измерения, чтобы определить, какую примерно площадь занимает здание нашей школы
а) с пришкольным участком;
б) без пришкольного участка.
6. На квадратном участке площадью 4 ара высаживают яблони. Под каждую яблоню отводится участок радиусом 2 м. Сколько яблонь можно высадить на этом участке? Сделайте от руки рисунок, принимая за сторону одной клеточки 2 м.
7. Нарисуйте какой-либо прямоугольник, равновеликий квадрату со стороной 6 см. Сколько существует прямоугольников с такой площадью, длины сторон которых выражаются целыми числами?
8. Прямоугольник 4 * 9 разрежьте на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
9. Имеются две веревки длиной по 100 м. Одной из них отгорожен прямоугольник со стороной 20 м, а другой - квадрат. Какая площадь больше: прямоугольника или квадрата?
10. В круг вписан квадрат и около того же круга описан квадрат. Во сколько раз площадь второго квадрата больше площади первого?
11. Участок земли, имеющей форму прямоугольника, изображен на плане. Масштаб плана 1:100. Во сколько раз площадь этого участка на местности больше, чем на плане?
12. Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если основание его увеличить в 2 раза, а высоту - в 3 раза?
13. Из круглого железного прута диаметром 2 мм необходимо выточить болт с квадратной головкой наибольшей площади. Найти расстояние между противоположными гранями головки.
14. Из круглого бревна требуется выпилить брус, имеющий в сечении квадрат со стороной 2 см. Какого диаметра надо взять бревно?
15. Участок квадратной формы расширили так, что получили новый участок квадратной формы, стороны которого на 5 м больше стороны первоначального, а площадь при этом увеличилась на 225 кв. м. Какова площадь первоначального участка?
16. Площадка для детских игр прямоугольной формы должна удовлетворять таким требованиям: длины сторон должны выражаться целыми числами метров, а площадь численно равняться периметру. Какой длины и ширины может быть такая площадка?
17. Периметр прямоугольника равен 20 см. Что больше: площадь этого прямоугольника или квадрата, имеющего тот же периметр.
18. Начертите произвольный параллелограмм. Проведите какую - либо прямую, которая разделила бы его на два параллелограмма, имеющие равные площади (предложите несколько способов).
19. Начертите произвольный параллелограмм. Постройте какой-либо прямоугольник, имеющий такую же площадь, что и параллелограмм.
20. Даны прямоугольник АВСD и некоторый острый угол. Постройте параллелограмм по стороне, равной отрезку АD и данному углу, имеющий такую же площадь, как и прямоугольник АВСD.
21. Мальчик массой в 45кг стоит на лыжах. Длина каждой лыжи 1,5 м, ширина 10 см. Найти площадь опоры в кв м, силу давления в ньютонах и вычислите какое давление оказывает мальчик-лыжник на снег, по формуле p = P/S, где р – давление, P- сила давления, S- площадь опоры.
22. Для выращивания семенной пшеницы отведен участок прямоугольной формы шириной 200 м и длиной 300м. Сколько га земли отведено под этот участок и сколько центнеров зерна можно получить со всего участка, если урожайность составила 45 ц пшеницы с 1 га?
23. В летнем трудовом лагере было 4 бригады, составленные так, что производительность их труда была одинакова. Бригадам нужно разделить участок для прополки сорняков. Как тремя отрезками разбить поле треугольной формы на 4 равновеликих треугольника, чтобы обеспечить одинаковые условия работы по прополке поля? (предложи не менее трех способов решения)?
Проблемные задачи по теме «Теорема Пифагора»
1. Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами называются египетскими, а тройки целых чисел, для которых выполняется соотношение, связывающее стороны прямоугольного треугольника, - пифагоровыми тройками. Проверьте тот факт, что следующие тройки чисел являются пифагоровыми: 3; 4; 5; 5,12,13; 7,24,25. Верно ли, что при любых m и n (m>n) числа m2 – n2 , 2m∙n, m2 + n2 представляют собой пифагоровую тройку?
2. Гипотенуза прямоугольного треугольника на 1 больше одного из катетов, а сумма катетов на 4 больше гипотенузы. Найдите гипотенузу этого треугольника.
3. Три ребра, выходящие из одной вершины прямоугольного параллелепипеда, равны a, b, c. Найдите длину диагонали этого параллелепипеда. Получив нужную формулу, вы получите одно из возможных пространственных обобщений теоремы Пифагора.
4. Построить квадрат, площадь которого равна
а) сумме площадей двух данных квадратов; б) разности площадей двух данных квадратов.
5. Подберите стороны прямоугольного треугольника так, чтобы они были выражены натуральными числами и чтобы в них: а) гипотенуза равнялась √2; √13;√10; б) один катет равнялся 3;√3;√7.
6. Докажите, что если длины катетов a и b задавать по формулам a = 2xy, b=x - y, то гипотенуза будет вычисляться по формуле c = x + y. Используя эти формулы, подберите 4 - 5 прямоугольных треугольников, у которых длины сторон натуральные числа.
7. Можно ли из бревна, диаметр поперечного сечения которого 30 см, выпилить брус квадратного сечения со стороной, равной 20 см?
8. На луче OM от точки О отложите отрезок длиной: а)√ 2 см; б)√3 см; в) √5 см.
9. Катеты прямоугольного треугольника 18 см и 24 см. Найти высоту треугольника, проведенную к гипотенузе.
10. В прямоугольном треугольнике катеты равны 24 см и 10 см. Найти медиану треугольника, проведенную к гипотенузе.
11. В равнобедренном треугольнике: а) найдите высоту, проведенную к основанию, если боковая сторона и основание соответственно равны 13 см и 10 см;
б) найдите основание, если боковая сторона равна 6 см, а высота, проведенная к основанию, равна 4 см;
в) найти стороны, если боковая сторона относится к основанию как 5:6, а высота равна 16 см;
г) найдите боковую сторону, если основание и высота относятся как 3:2, а площадь равна 48 кв. см.
Прием третий. Выполнение учащимися учебных проектов
Пример учебного проекта по теме «Решение неполных квадратных уравнений» в 8 классе (выполняется на уроке). Группам выдаются карточки с заданием и инструкцией по выполнению его.
Карточка для первой пары.
Ввести понятие неполного квадратного уравнения (подготовить слайд).
Предложить способ решения неполного квадратного уравнения, если b=0 в общем виде. В случае затруднения воспользуйтесь учебником (подготовить слайд).
Привести примеры решения конкретных неполных квадратных уравнений данного вида (подготовить слайд).
Выписать из учебника (стр. 127) номера упражнений, в которых предложены уравнения данного вида (подготовить слайд), разбить их по уровням сложности, ориентируясь по мере сложности решения (подготовить слайд).
Выписать для совместного решения с учителем те упражнения, которые не смогли решить сами или не уверены в правильности их решения, но хотите узнать их решение на уроке-консультации (подготовить слайд).
Распечатать слайды презентации каждому ученику класса.
Подготовиться презентовать результаты труда своим одноклассникам.
Карточка для второй пары. Выполнить такое же задание для случая с = 0.
Карточка для третьей пары. Выполнить такое же задание для случая с =0 и b=0
Учителю остается соединить слайды в одну презентацию. Справочный материал после урока остается у всех учащихся класса.
С данной презентацией учащиеся 8 класса выступают перед девятиклассниками и одинадцатиклассниками при повторении данной темы перед экзаменами.
Прием четвертый. Разрешение парадоксов
Пример 1. Витя провел через вершины квадрата АВСD четыре прямые, параллельные его диагонали, и получил описанный квадрат. После некоторых измерений и вычислений он сказал:
- Площадь квадрата АВСD равна периметру описанного вокруг него квадрата.
Сережа соединил середины сторон того же квадрата АВСD и получил вписанный квадрат. После некоторых измерений и вычислений он сказал:
- Площадь квадрата АВСD равна периметру вписанного в него квадрата.
Как же так, воскликнули недоуменно мальчики? В обоих случаях квадрат АВСD один и тот же; следовательно, и площадь одна и та же, а описанные и вписанные квадраты разные, причем периметр описанного квадрата в 2 раза больше периметра вписанного. Не могут же две разные величины быть одновременно равны третьей! В чем тут может быть дело?
Пример 2. Верно ли, что: 5=5; 5>5; 5<5; 5<6; 5<2; 5=6?
Учитель берется доказать, что последнее равенство верно. И доказывает так. Возьмем верное числовое равенство: 35+10-45=42+12-54 и представим его в виде
5(7+2-9)=6(7+2-9). Теперь разделим его обе части на одно и то же число (то, которое стоит в скобках). Получили 5=6. В чем тут дело?
Прием пятый. Умышленная ошибка
Пример 1. Учитель пишет на доске, а ученики прилежно списывают х-2(х+4) = -5;
х-2х +8 = -5; х -2х = -8 -5; - х = - 13; х = 13. Ответ: 13.
Учитель совместно с учащимися делает проверку, корень не подходит. Учитель ошибся! Ничего себе! После этого ученики начинают контролировать и перестают автоматически списывать с доски.
Пример 2. Учитель сообщает детям, что не смогла вчера решить задачу, прошу помощи в решении. Дети никогда не откажут помочь учителю.
Пример 3. Во время доказательства теоремы учитель сообщает, что не может вспомнить, как доказать тот или иной факт, и просит помочь.
Пример 4. Учитель решает задачу и «заводит» учащихся в неизвестную для них ситуацию (неизвестный факт), просит найти выход.
Играть учителю надо натурально, а то дети просто потом не поверят. Прием тогда не даст желаемого эффекта.
Прием шестой. Выполнение творческих заданий
(работа с учебником «Геометрия, 7 – 9, авт. и др.)
1. Тема «Площадь прямоугольника»
Цель: вывести формулу для вычисления площади прямоугольника.
Задание. Учащимся предлагается самостоятельно изучить по учебнику доказательство теоремы о площади прямоугольника. Записи оформить в следующей таблице.
№ | Действия ученика | Результат действий |
1. 2. 3. … |
Сделай вывод: 1. Площадь прямоугольника равна…..….………………
2. S = ………………………………………..
2. Тема «Площадь параллелограмма»
Цель: Доказать теорему о площади параллелограмма
Задание. ( Использовать прием «логических цепочек)
1. Выписать доказательство;
2. Разрезать его на отдельные блоки;
3. Перемешать;
4. Пронумеровать произвольно;
Учащиеся должны выстроить цепочку доказательства.
3. Тема «Площадь треугольника»
Цель: вывести формулу для нахождения площади треугольника.
Задание. 1) Записать алгоритм доказательства теоремы из учебника. Записи оформить в виде таблицы.
№ | Шаги алгоритма | Результат |
1. 2. 3. | ||
Сделать вывод: площадь треугольника вычисляется по формуле…………, где S- …………………………………, a-………………………….., h- ………………….. |
2) Найти ошибки в доказательстве. Каждому ученику выдается текст с ошибками доказательства теоремы о площади треугольника. Предлагается найти ошибки в доказательстве, используя текст п.52 учебника на стр.125.
3) Доказательство с незаконченным предложением. Каждому ученику выдается листок с незаконченными предложениями, предлагается их закончить, используя текст учебника п.52 на стр.125.
№ | Начало предложения | Концовка предложения |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 | Пусть ABC Сторона AB Отрезок CH Докажем, что Достроим треугольник Треугольники ABC и DCB равны по Равные фигуры имеют Площадь параллелограмма Площадь треугольника Площадь параллелограмма равна Площадь треугольника | треугольник основание высота площадь треугольника равна (AB CH):2 ABC до параллелограмма ABDC трем сторонам равные площади состоит из площадей двух равных треугольников равна половине площади параллелограмма AB∙CH равна (AB∙CH):2 |
Сделайте вывод: Площадь треугольника равна……………
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
