Реферат по математике «Окружность и касательные» (стр. 2 )

D

(рис.10)

1.4 Описанная окружность.

Описанная окружность многоугольника (рис.12) — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

(рис.12)

В многоугольнике (рис.12):

· Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).

· Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

В треугольнике:

· Около треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров (рис.13).

· У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри (рис.14) , у тупоугольного — вне треугольника (рис.15), у прямоугольного — на середине гипотенузы (рис.16).

О

С

В

А

(рис. 13) (рис.14)

(рис.15) (рис.16)

1.5 «Замечательные» точки треугольника.

В четвертой книге «Начал» Евклид решает задачу: «Вписать в данный треугольник круг». Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центр вписанного круга. Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга. В «Началах» не говорится о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово «ортос» означает прямой, правильный). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвертой особенной точкой треугольника являлась точка пересечения медиан. Архимед доказала, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника

На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание. Начиная с XVII в. они были названы «замечательными» или «Особенными» точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – «геометрии треугольника» (развитие этой геометрии стало особенно заметным начиная с 70-х годов прошлого века), или «новой геометрии треугольника», одним из родоначальников которого был Леонард Эйлер.

В 1765 г. Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной позже «прямой Эйлера». В 20-х годах в. французские математики Ж. Понселе, Ш. Бриашон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основание медиан, основание высот и середин отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.

Эта окружность называется «окружностью девяти точек» или «окружностью Фейербаха», или «окружностью Эйлера». К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на «прямой Эйлера».

Глава II. «Прямая Эйлера». Окружность девяти точек.

2.1 Что такое прямая Эйлера?

Так что же такое «прямая Эйлера»? Введем это понятие. Треугольник, полученный соединением середин сторон данного треугольника, назовем серединным треугольником. На рис. 17 треугольник А*В*С* есть серединный треугольник треугольника ABC. Рассмотрим также медианы AА* и ВВ*, пересекающиеся в точке G (АА*ВВ* = G ); две высоты треугольника АВС, пересекающиеся в точке H (ADBE = H); и две высоты треугольника А*В*С*, пересекающиеся в точке О (A*MB*N = O). Поразительно как много можно обнаружить, лишь изучая этот рисунок.

А

М

В*

Е

O

Р

С*

N

G

(рис.17)

Н

В D А* С

Во-первых, стороны треугольника А*В*С* параллельны сторонам треугольника АВС (B*C*||BC, A*B*||AB, A*C*||AC), поэтому эти треугольники подобны => С*В* =1/2ВС, поэтому отношение длин двух соответствующих отрезков (а не только соответствующих сторон) будет равно 1 : 2. Кстати, точка Р – середина отрезка В*С* – также является и серединой отрезка АА*.

Далее мы видим, что AС*А*В* – параллелограмм, следовательно, прямая АА* делит пополам отрезок В*С*. Поэтому медианы треугольника А*В*С* лежат на медианах треугольника ABC, а это означает, что оба треугольника имеют один и тот же центроид G.

Высоты треугольника А*В*С*, изображенные нами на рисунке, являются серединными перпендикулярами сторон АВ и ВС треугольника АВС. Отсюда мы делаем вывод, что точка О – ортоцентр треугольника A*B*C* – является в то же время и центром окружности, описанной около треугольника АВС.

Так как точка Н – ортоцентр треугольника АВС, а точка О – ортоцентр подобного ему треугольника А*В*С*, то АН = 2ОА*. Вспомним, что AG = =2GА*. И, наконец, так как оба отрезка, AD и OА*, перпендикулярны стороне ВС, то они параллельны.

Следовательно, HAG = OА*G, НА*G OA*G, и AGH = A*GO. Этим показано, что точки O, G, H лежат на одной прямой и OH = 2CO, то есть справедлива.

= > Теорема. Ортоцентр, центроид и центр описанной окружности произвольного треугольника лежат на одной прямой. Центроид делит расстояние от ортоцентра до центра описанной окружности в отношении 2:1.

Прямая, на которой лежат эти точки, и называется прямой Эйлера этого треугольника.

Изучим рисунок 17 более тщательно. Мы отметили точку N, где прямая Эйлера HO пересекает прямую, проходящую через точку Р перпендикулярно отрезку В*С*. Все три прямые АН, РН и А*О перпендикулярны отрезку В*С*, параллельны. Так как |АР| = РА*, то прямая PN равноудалена от прямых AH и А*О. Следовательно, точка N – середина отрезка НО.

До сих пор в наших рассуждениях фигурировала сторона В*С* треугольника А*В*С*. Если мы проведем те же рассуждения, но применительно к какой-либо другой стороне этого треугольника, то отрезок НО останется тем же и он будет делиться серединным перпендикуляром к новой стороне. Так как у отрезка НО одна середина, то мы можем утверждать, что серединные перпендикуляры всех трех сторон треугольника А*В*С* будут проходить через точку N. Другими словами, точка N должна быть центром окружности, описанной вокруг треугольника А*В*С*.

Итак, центр окружности, описанной вокруг серединного треугольника НО прямой Эйлера исходного треугольника. Кроме того, так кА треугольник А*В*С* подобен треугольнику АВС, то радиус окружности, описанной вокруг серединного треугольника, равен половине радиуса окружности, описанной вокруг исходного треугольника.

2.2 Окружность девяти точек.

Стоит также подробно остановится на окружности девяти точек. Чтобы облегчить восприятие дальнейшего, мы уберем некоторые линии на рисунке 17 и добавим несколько других; в результате получим рисунок 18. Рассмотрим внимательно новый чертеж, на котором K, L, M – середины отрезков АН, ВН, СН, лежащих на высотах.

(рис.18)

Так как ВС – общая сторона двух треугольников АВС и НВС, а точки С*, В* и L, M являются серединами других их сторон соответственно, то отрезки С*В* и LM параллельны прямой ВС (а их длины равны половине отрезка ВС).

Аналогично, так как АН – общая сторона двух треугольников ВАН и САН, то оба отрезка С*L и В*М параллельны прямой АН (а их длины равны половине длины отрезка АН). Следовательно, А*К, В*L, C*M являются тремя диаметрами окружности, как показано на рисунке 19.