Реферат по математике «Окружность и касательные» (стр. 3 )

(рис.19)

О

N

М

Так как А*DK – прямой, эта окружность (построенная на отрезке А*K, как на диаметре) проходит через точку О. Точно так же она проходит через точки Е и Р.

Учитывая вышесказанное, получаем:

Теорема. Основания трех высот произвольного треугольника, середины трех сторон которого и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности радиуса 1/2R.

Следуя , мы называем ее окружности девяти точек этого треугольника. Так как три точки K, L, M диаметрально противоположны точкам А*, В*, С* то каждый из двух треугольников KLM или A*B*C* может быть получен из другого поворотом на 180° вокруг центра этой окружности. Очевидно, что этот поворот, который меняет местами эти два конгруэнтных треугольника, должен также поменять и их ортоцентры Н и О. Следовательно, центром окружности девяти точек является середина НО, которую уже ранее мы обозначили через N, имея в виду ее будущую роль центра окружности девяти точек. Другими словами:

Теорема. Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.

2.3 История теорем окружности девяти точек.

История этих двух теорем несколько запутана. Бивана, опубликованная в английском журнале в 1804 году, по-видимому, указывает на то, что эти теоремы уже давно известны. Иногда они ошибочно приписываются Эйлеру, который уже в 1765 году доказал, что ортоугольник и серединный треугольник имеют общую описанную окружность. И в самом деле, европейские авторы часто называют эту окружность «окружностью Эйлера». По-видимому, первое полное доказательство было опубликовано в 1821 году Понселе. К. Фейербах переоткрыл частичный результат Эйлера еще позже и добавил новое свойство, которое является настолько замечательным, что побуждает многих авторов называть окружность девяти точек «окружностью Фейербаха». Имя Эйлера появляется столь часто и в столь многих областях математики, что нельзя не сказать о нем несколько слов.

Леонард Эйлер родился в 1707 году в г. Базеле (Швейцария). В 1727 году он был приглашен в Россию в Санкт-Петербургскую академию. В 1741 году он уехал в Берлин, чтобы получить кафедру математики Прусской академии. Он вернулся в Санкт-Петербург в 1766 году и жил там до конца своих дней. Умер в 1783 году.

Эйлер был неутомимым работником, его деятельность обогатила каждую область математики. Куда ни глянешь, всюду в жизни явления или предметы – либо теорема Эйлера, либо формула Эйлера, либо метод Эйлера. Эйлер написал 473 мемуара, которые были опубликованы после его смерти, и еще 61 мемуар, которые были изданы позже. И все это не смотря на то, что в 1753 году он перестал видеть одним глазом, а в 1766 году обоими. Он обладал исключительным комбинаторным даром, и его интуитивное понимание математики было огромным.

Продолжим. Напомним, что вневписанной окружностью треугольника АВС, соответствующей стороне АВ (или – вершине С), называется окружность, касающаяся стороны АВ или являющаяся продолжением сторон АС и ВС. Легко видеть, что у любого треугольника существует ровно три вневписанных окружности. При этом центр вневписанной окружности треугольника АВС, соответствующей вершине С, - это точка пересечения биссектрисы угла С и внешних углов А и В треугольника АВС. Таким образом, если три прямые образуют треугольник, то существуют ровно четыре окружности, каждая из которых касается всех трех прямых (рис. 20)

(рис.20)

Глава III. Построение окружности с помощью циркуля и линейки

3.1. Основные понятия

Построения с помощью циркуля и линейки — раздел евклидовой геометрии, известный с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, в частности:

· Линейка не имеет делений и имеет сторону бесконечной длины, но только одну.

· Циркуль может иметь сколь угодно большой или сколь угодно малый раствор (то есть может чертить окружность произвольного радиуса).

Возьмем на рассмотрение задачу на бисекцию. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок АВ на две равные части. Одно из решений показано на рисунке 21:

· Циркулем проводим окружности с центром в точках A и B радиусом AB.

· Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей (дуг).

· По линейке проводим отрезок или линию, проходящую через точки P и Q.

· Находим искомую середину отрезка AB — точку пересечения AB и PQ.

(рис.21)

Также:

В задачах на построение рассматриваются множество всех точек плоскости, множество всех прямых плоскости и множество всех окружностей плоскости, над которыми допускаются следующие операции:

1. Выделить точку из множества всех точек:

1. произвольную точку

2. произвольную точку на заданной прямой

3. произвольную точку на заданной окружности

4. точку пересечения двух заданных прямых

5. точки пересечения/касания заданной прямой и заданной окружности

6. точки пересечения/касания двух заданных окружностей

2. «С помощью линейки» выделить прямую из множества всех прямых:

1. произвольную прямую

2. произвольную прямую, проходящую через заданную точку

3. прямую, проходящую через две заданных точки

3. «С помощью циркуля» выделить окружность из множества всех окружностей:

произвольную окружность с центром в заданной точке

1. произвольную окружность с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками

2. окружность с центром в заданной точке и с радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками

В условиях задачи задается некоторое множество точек. Требуется с помощью конечного количества операций из числа перечисленных выше допустимых операций построить другое множество точек, находящееся в заданном соотношении с исходным множеством.

Решение задачи на построение содержит в себе три существенные части:

1. Описание способа построения заданного множества.

2. Доказательство того, что множество, построенное описанным способом, действительно находится в заданном соотношении с исходным множеством. Обычно доказательство построения производится как обычное доказательство теоремы, опирающееся на аксиомы и другие доказанные теоремы.

3. Анализ описанного способа построения на предмет его применимости к разным вариантам начальных условий, а также на предмет единственности или неединственности решения, получаемого описанным способом.

3.2 Деление отрезков

1) Если вам требуется разделить отрезок на две или четыре части, воспользуйтесь циркулем. Из концов отрезка А и В при помощи циркуля проведите две дуги окружности радиуса R. Радиус окружности сделайте несколько большим половины отрезка АВ. Доведите дуги до взаимного пересечения. Таким образом вы получите точки C и D, равноудаленные от отрезка АВ. Проведите через точки С и D прямую линию, пересекающую отрезок АВ. Точка пересечения этой линии и отрезка будет искомой точкой Е, в которой отрезок АВ разделяется на две равных части (рис. 22).

(рис.22)

2) Чтобы разделить отрезок на четыре равных части, проделайте описанную выше процедуру последовательно с каждым из двух получившихся равных отрезков АЕ и ЕВ (рис. 23) .

(рис.23)

3) Пусть потребуется отрезок АВ (рис. 24) разделить на 5 равных частей. Проведем от одного конца этого отрезка, например, от В, под произвольным углом прямую ВС. На этой прямой отложи от конца В пять раз какой-нибудь отрезок; получим точки 1, 2, 3, 4, 5. Последнюю точку 5 соединим с концом А данного отрезка и через точки 1, 2, 3, 4 проведем прямые, параллельные прямой A5. Можно указать, что эти прямые разделят отрезок АB на 5 равных частей в точках I, II, III, IV.

3.3 Известные задачи

· Задача Аполлония о построении окружности, касающейся трех заданных окружностей. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.

В своем сочинении «Касания» Аполлоний имел в виду три окружности контактной геометрии, то есть окружности с радиусом от 0 (точка) до бесконечности (прямая). Таким образом, для задачи Аполлония существует 10 глобальных случаев (рис.25):

(рис.25)

4) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех точек.

Решение: Соединим эти точки. Проведем к получившимся отрезкам серединные перпендикуляры. Они пересекутся в одной точке. Эта точка — центр искомой окружности.

5) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух точек (далее Α и Β) и прямой (далее а). Сначала проведем прямую ΑΒ.

Решение:

1. Если АВ не параллельна а, то найдем их пересечение С. Построим среднее геометрическое отрезков ΑС и ΒС. Отложим равный ему отрезок СΚ на прямой а. Окружность, описанная около ΔΑΒΚ — искомая.

2. Если ΑΒ||а, то проведем серединный перпендикуляр к отрезку ΑΒ и отметим точку Κ его пересечения с прямой a. Окружность, описанная около ΔΑΒΚ — искомая.

6) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки и двух прямых.

Решение:

1. Если прямые не параллельны, то возьмем точку их пересечения. Назовем угол между этими прямыми α. Соединим точку пересечения прямых с заданой точкой Μ. Назовем получившийся отрезок а. Впишем в угол α произвольную окружность, которая пересечет а, и отметим её центр Ο и точку пересечения с а (каждая даст свое решение) Α. Проведем прямую ΑΟ. Проведем параллельную ей прямую через Μ и биссектрису угла α. Их пересечение будет центром искомой окружности.

2. Если прямые параллельны, построим прямую ΑΒ (Α и Β — точки пересечения с задаными прямыми), перпендикулярную им. Проведем к отрезку ΑΒ серединный перпендикуляр b. Проведем окружность с центром в заданой точке и радиусом, равным половине ΑΒ. Её пересечение с b будет центром искомой окружности.

7) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех прямых.

Решение:

1. Если среди них нет параллельных, то отметим точки их пересечения Α, Β и С. Окружность, вписанная в ΔΑΒС — искомая.

2. Если все три прямые параллельны друг другу, то окружности не существует.

8) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух точек (далее Α и Β) и окружности (далее ω).

Решение:

1. Если А и В не лежат на ω, то проведем окружность Ω, содержащую точки А и В и имеющую с ω общие точки. Проведем радикальную ось Ω и ω и пересечем её с АВ. Проведем из точки их пересечения касательную к ω и отметим точку касания Κ. Опишем окружность около ΔΑΒΚ. Она — искомая. Каждая касательная даст свое решение.

2. Если А и В лежат на ω, ω — искомая.

9) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки и двух окружностей.

10) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся двух прямых и окружности.

11) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся прямой и двух окружностей.

12) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся точки, прямой и окружности.

13) построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех окружностей.

· Задача Брахмагупты о построении вписанного четырехугольника по четырем его сторонам.

Построить с помощью циркуля и линейки вписанный четырехугольник по четырем его сторонам.

Одно из решений использует окружность Аполлония (рис.26).

(рис.26)

3.4 Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

· Трисекция угла (рис. 27) — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

(рис.27)

· Удвоение куба (рис.28) — классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

(рис.28)

· Квадратура круга (рис.29)  — построить квадрат, равный по площади данному кругу.

(рис.29)

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

3.5 Интересные факты

Узор на флаге Ирана (рис.30) описывается как построение с помощью циркуля и линейки.

(рис.30)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Окружность еще древние греки считали самой совершенной и гармоничной из всех геометрических фигур. В их ряду окружность является простейшей кривой, а ее совершенство заключается в том, что все составляющие ее точки располагаются на одинаковом расстоянии от ее центра, вокруг которого она "скользит сама по себе". Неудивительно, что способы построения окружности начали интересовать математиков еще в древности.

В школьной программе изучается раздел, такой как окружность. Но к сожалению, здесь не рассматривается более подробно некоторые темы, такие прямая Эйлера и окружность девяти точек. Ведь это очень интересные и познавательные темы.

Мы вспомнили основные понятия, которые используются при рассмотрении тем окружностей.

Познакомились с теорией девяти точек окружности.

Также мы рассмотрели построение окружности с помощью циркуля и линейки. Узнали и рассмотрели всевозможные способы построения окружностей. Рассмотрели примеры самых известных и неразрешимых задач на построение окружности.

Все это мы узнали из данного нами материала. Теперь мы можем ответить на ряд следующих вопросов: «Теорема девяти точек окружностей», «Способы построения окружности с помощью циркуля и линейки».

Теперь мы можем поделиться своими знаниями на уроках математики на тему: «Окружность и касательные»

Список литературы

1	Геометрия 7 - 9класс	Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [ , , и др. ]. – 19-е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 384с. : ил. – ISBN 1136-9
2	Математика. 10-11 классы.	Математика. 10-11 классы / сост. и др. – Волгоград: Учитель, 2009. – 287с.: ил. ISBN 1758-3
3	Новая геометрия треугольника	Зитель, С. И. Новая геометрия треугольника [Текст] / – М.: Учпедгиз, 1962
4	О прямых Эйлера и окружности девяти точек. Математика	Куланин, Е.О прямых Эйлера и окружности девти точек. Математика [Текст] / Е. Куланин. – 2000. - №43
5	Шедевры школьной математики	Кушнир, И. Шедевры школьной математики [Текст] Кн.2 / И. Кушнир. – Киев: Астарта, 1995
6	Геометрия	Шарыгин, И. Ф. Геометрия [Текст]: задачник / . – М.: Дрофа, 1996

Приложение 1.

Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.

Построить биссектрису угла А.

Построение. (рис.31) Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла А. Пусть В и С – точки пересечения этой окружности со сторонами угла (1). Из точек В и С тем же радиусом проведем окружность. Точку пересечения этих окружностей обозначим D (2). Проведем луч AD: это луч является биссектрисой угла А, что следует из равенства треугольника CADи BAD (3).

(рис.31)

Приложение 2.

Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой.

Дано: .

Построить прямую, перпендикулярную прямой п и проходящую через данную точку С.

Построение (рис. 32).

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке С. Пусть В и A — точки пересечения этой окружности с прямой (2). Из точек В и А радиусом АВ проведем окружность, точку пересечения этих двух окружностей обозначим через О (3), проведем прямую СО (4). Перпендикулярность прямых СО и п следует из равенства треугольников АОС и ВОС.


(рис.32)

Приложение 3.

Дано: .

Построить прямую, перпендикулярную прямой п и проходящую через данную точку С.

Построение (рис. 33).

Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке С. A — точки пересечения этой окружности с прямой п (2). Из точек Б и А тем же радиусом проведем окружности и точки пересечения этих двух окружностей обозначим через С1 и С (3). Проведем прямую C1C (4).

Докажем перпендикулярность прямых СгС и п. Точку пересечения прямых CjC и п обозначим через О. Треугольники АСЕ иАСВ равны по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому СОВ = CAO. Тогда треугольники САО и С1АО равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что углы СОА и СОА равны. А так как они смежные, то они прямые. Следовательно, СО — перпендикуляр, опущенный из точки С на прямую п.

(рис.33)

Приложение 4.

Число π.

Любой школьник вычисляет теперь длину окружности по диаметру гораздо точнее, чем мудрейший жрец древней Страны пирамид или самый искусный архитектор великого Рима. Древние египтяне считали, что окружность длиннее диаметра в 3,16 раза, а римляне в 3,12, между тем как правильное отношение 3,14159… Египетские и римские математики определили отношение окружности к диаметру не строгим геометрическим расчетом, как позднейшие математики, а нашли его просто из опыта. Но почему получились у них такие ошибки? Разве не могли они обтянуть какую-нибудь круглую вещь ниткой и затем, выпрямив нитку, просто измерить ее?

Без сомнения, они так и поступали, но не следует думать, что подобный способ должен непременно дать хороший результат. Вообразите, например, вазу с круглым дном диаметром в 100 мм. Его окружность должна равняться 314 мм. Однако на практике, измеряя ниткой, вы едва ли получите эту длину: легко ошибиться на один миллиметр, и тогда ваше π окажется равным 3,13 или 3,15. А если примете во внимание, что диаметр и диаметр вазы нельзя измерить вполне точно, что и здесь ошибка в 1 мм весьма вероятна, то убедитесь, что для π получаются довольно широкие пределы между

и ,

то есть в десятичных дробях, между

3,09 и 3,18.

Вы видите, что определяя π указанным способом, мы можем получить результат, не совпадающий с 3,14: один раз 3,1, в другой 3,12, в третий 3,17 и т. п. Случайно окажется среди них и 3,14, но в глазах вычислителя это число не будет иметь больше веса, чем другие.

Взяв круглый предмет большого размера – например, колесо, - мы вправе ожидать, что для π получится более точный результат. На практике ожидание это не оправдывается: обтянуть аккуратно колесо ниткой, чтобы она притом лежала на одной плоскости, не легко. Ошибка в измерении длины окружности может достигать здесь целого сантиметра (вспомним, что обод колеса редко бывает строго геометрическим кругом). Еще менее точные результаты получились бы на практике, если бы, начертив на земле большой круг, измерить его длину и диаметр.

Теперь становится более понятным, почему Древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру и понадобится гений Архимеда, чтобы найти для π значение - найти без всяких измерений, а одним лишь геометрическим рассуждением.

Архимедово число, , не есть, как известно, вполне точное выражение отношения окружности к диаметру.

Теоретически доказано, что отношение это вообще не может быть выражено числом совершенно точно. Мы можем написать его лишь с тем или иным приближением, - впрочем, далеко превосходящая точность, необходимую для самых строгих требований практической жизни. Математик XVI века Лудольф, в Лейдене, имел терпение вычислить его с 25 десятичными знаками и завещал вырезать это для π на его могильном памятнике.

Вот оно: 3, 653 589 793 238 462 643 383 279 

Для обычных вычислений с π вполне достаточно запомнить два знака после запятой 3,14, а для более точного – четыре знака 3,1416